Анализ эффективности статистических методов для обнаружения составляющей погрешности от временной нестабильности средств измерений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Бержинская М.В., Прозорова Е.В. АНАЛИЗ ЭФФЕКТИВНОСТИ СТАТИСТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ДЛЯ ОБНАРУЖЕНИЯ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ ПОГРЕШНОСТИ ОТ ВРЕМЕННОЙ НЕСТАБИЛЬНОСТИ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ

Эксплуатация средств измерений (СИ) неразрывно связана с возможным изменением их характеристик вследствие старения. Периодический контроль в форме поверки (т.е. контроль по альтернативному признаку) без анализа протоколов поверки не позволяет прогнозировать выход погрешности СИ за установленные нормы. Но даже с использованием протоколов поверки (т.е. контроль по количественному признаку) достоверный прогноз возможен не всегда. Сказанное относится, например, к случаю проведения нескольких последовательных поверок одного и того же экземпляра СИ в различных лабораториях, так как при этом производится сличение единицы величины, воспроизводимой поверяемым СИ, с единицей величины, воспроизводимой различными экземплярами рабочих эталонов, которые могут иметь некоторые отличия в воспроизводимой единице величины [1].

Покажем, что анализ протоколов поверок известными статистическими методами позволяет оценить характер составляющей погрешности от временной нестабильности СИ при выполнении следующих условий:

- эксперимент по определению составляющей погрешности от временной нестабильности СИ должен выполняться в условиях повторяемости;

- для оценивания составляющей погрешности от временной нестабильности СИ должен быть использован один и тот же экземпляр рабочего эталона.

Другими словами, к входу СИ на протяжении всего эксперимента (до нескольких лет) должен быть подключен один и тот же эталон, а в помещении должны поддерживаться одни и те же условия. Понятно, что использование СИ и рабочего эталона в таком режиме является нерациональным. Кроме того, характер старения СИ в таких условиях, скорее всего, будет отличаться от характера старения СИ в рабочих условиях эксплуатации.

Для практического применения пригоден аналогичный подход, заключающийся в периодической постановке эксперимента по оцениванию составляющей погрешности от временной нестабильности СИ при условии, что в другое время, как СИ, так и рабочий эталон, используются по своему непосредственному назначению.

Предположим, что эксперимент по выявлению временной нестабильности СИ проводится в моменты времени ^ при к е {0; 1;...; п} . При этом оценка составляющей погрешности от временной нестабильности СИ в моменты времени ^ определяется формулой:

ё(*к-10) = Х(1к)-Х(10), (1)

где X(д), - результаты измерений величины, воспроизводимой эталоном, в моменты времени

^ и ?0 соответственно.

Для обнаружения составляющей погрешности от временной нестабильности СИ могут быть использованы как контрольные карты Шухарта [2] и кумулятивных сумм [3], так и критерии серий [4] и инверсий [5].

Был проведен сравнительный анализ применимости этих статистических методов на примере оценивания составляющей погрешности от временной нестабильности трёх рабочих СИ - однозначных мер напряжения (с номерами 1-3), оценки составляющей погрешности от временной нестабильности которых для моментов времени ^ рассчитаны по указанной выше формуле и приведены в таблице 1.

Таблица 1

Моменты времени Оценки составляющей погрешности от временной нестабильности однозначных мер напряжения, мкВ

№1 №2 №3

Со 0 0 0

Ьг -13 -72 59

С2 -22 -4 18

Сз -5 -зв 13

Ь4 -зв 5 34

С5 5 -18 17

Сб 29 -66 51

С7 -29 -68 47

Ьв зв -22 16

С9 27 -79 34

Докажем эффективность применения статистических методов оценки составляющей погрешности от временной нестабильности СИ: контрольных карт Шухарта [2] - для проверки возможности поиска закономерности в случайных данных, а также контрольных карт кумулятивных сумм [3], критериев серий [4] и инверсий [5] - для поиска этой закономерности (так называемого тренда).

Для построения контрольных карт Шухарта определим среднеквадратическое отклонение составляющей погрешности от временной нестабильности каждого СИ по формуле:

- I 1 ” '

—гЁ(^(А-Ч)У>

1 к=1

где £;- - оценка среднеквадратического отклонения составляющей погрешности от временной нестабильности 1-го СИ, — /0) - оценка значения временной нестабильности 1-го СИ, /е[1;т],

£у(Д — /0) - среднее значение погрешности от временной нестабильности 1-го СИ по п измерениям; кп

- коэффициент, зависящий от п, кп = 1,03 при п=10 [6].

Для построения на одной контрольной карте графиков составляющих погрешности от временной нестабильности всех СИ, проведём нормализацию указанной характеристики по формуле:

где s^{tk—tQ^ - нормализованная оценка составляющей погрешности от временной нестабильности.

Нормализованные оценки составляющей погрешности от временной нестабильности СИ приведены в

таблице 2. На рисунке 1 представлен график зависимости . При этом предупреждающие границы

рассчитаны в соответствии с [2].

Таблица 2 ________________________________________________________

Моменты времени Значения нормализованных оценок составляющей погрешности от временной нестабильности однозначных мер напряжения

№1 №2 №3

to 0,03 1,11 -1,51

£1 -0,47 -1,10 1,57

£'2 -0,82 1,00 -0,57

£3 -0,16 -0,06 -0,83

£4 -1,44 1,26 0,27

t5 0,22 6 5 0 2 6 0 -

£6 1,15 -0,91 6 1 1

£7 -1,09 - О 9 0,95

tв 1,50 0,43 - О 6

£д 1,0 8 -1,31 0,27

Е/ 3

-3 |-

—*— 1 —■— 2 -**-3 ----Предупреждающие ---границы

Рисунок 1 - Нормализованная контрольная карта Шухарта

Анализ контрольных карт Шухарта показывает, что случайная составляющая составляющей погрешности от временной нестабильности всех СИ не превышает предупреждающих границ (±2), что является основанием для поиска возможной закономерности в изменении временной нестабильности.

Для построения контрольных карт кумулятивных сумм проведём расчёт кумулятивных сумм по формуле [3]:

п

С<к = К - 'о) - ет('к - 'о )) ' <3 >

к=1

где 8^ {1к - /0) - целевое значение, 8/н (/к _ *о) = 0.

Результаты расчета приведены в таблице 3, а контрольные карты - на рисунке 2.

Таблица 3

Моменты времени Кумулятивные суммы оценок составляющей погрешности от временной нестабильности СИ

№1 №2 №3

£0 0 0 0

£1 -0,50 -2,21 3,09

£2 -1,36 -2,33 4,03

£3 -1,55 -3,49 4,71

£4 -3,02 -3,34 6,49

£5 -2,83 -3,89 7,38

£б -1,70 -5,91 10,04

£7 -2,83 -7,99 12,50

£8 -1,36 -8,67 13,34

£9 -0,31 -11,09 15,12

-1 —■—2 -■*- 3 ---Границы ---У-маски

Рисунок 2 - Контрольная карта кумулятивных сумм

Анализ контрольной карты кумулятивных сумм показывает, что заметен явный тренд значений составляющей погрешности от временной нестабильности второго и третьего СИ.

Кроме построения различных видов контрольных карт для проверки наличия тренда могут применяться различные критерии, например, критерий серий [4] или критерий инверсий [5].

Результаты расчёта числа серий п) и протяжённости самой длинной серии и) для значений, приведённых в таблице 1, представлены в таблице 4.

Таблица 4

Но- мера СИ Расчетные значения Допускаемые значения при a = 0,05 Нали- чие тренда

'~Н Ф) v{n) r(n)

І 5 4 2,56 З,44 есть

2 в 2 нет

З в 2 нет

Анализ таблицы 4 показывает наличие тренда в составляющей погрешности от временной нестабильности первого СИ, что противоречит результатам анализа контрольных карт кумулятивных сумм.

Результаты расчёта параметров критерия инверсий [ 5] для значений, приведённых в таблице 1, представлены в таблице 5.

Таблица 5

Номера СИ Число инверсий Aj Допускаемые значения Наличие тренда

An;1-a Ana

І І6 ІЗ ЗІ нет

2 ЗІ есть

З І9 нет

В результате анализа таблицы 3.5 обнаружен лишь один тренд (в составляющей погрешности от временной нестабильности второго СИ) из двух, явно наблюдаемых на рисунке 2.

Оба рассмотренных критерия (серий и инверсий) не выявили полностью наличие трендов в результатах, приведённых в таблице 1, что говорит об их низкой чувствительности к обнаружению трендов. Кроме того, явным преимуществом контрольных карт обоих типов является их наглядность.

Таким образом, для определения составляющей погрешности от временной нестабильности СИ целесообразно применять:

- контрольные карты Шухарта для оценивания случайной составляющей погрешности от временной нестабильности (так называемой прецизионности),

- контрольные карты кумулятивных сумм для определения закономерности в изменении составляющей погрешности от временной нестабильности (так называемого тренда).

Для подтверждения целесообразности использования контрольных карт с целью выявления временной нестабильности СИ проведем моделирование с помощью Microsoft Excel.

Критерий инверсий является более мощным по сравнению с критерием серий при обнаружении монотонного тренда в последовательности наблюдений [5]. Поэтому при моделировании будем проводить сравнительный анализ только критерия инверсий и контрольных карт кумулятивных сумм.

Экспоненциальная модель с достаточной степенью точности описывает составляющую погрешности от временной нестабильности для времени эксплуатации СИ. Экспериментальные данные, приведенные в [7 ], подтверждают обоснованность ее применения. Поэтому при моделировании будем считать, что составляющая погрешности от временной нестабильности СИ изменяется по экспоненциальному закону.

Случайным образом моделировались 2 ситуации:

- наличия тренда в составляющей погрешности от временной нестабильности СИ;

- отсутствия тренда в составляющей погрешности от временной нестабильности СИ.

При этом обнаружение тренда проводилось для результатов измерений, полученных для десяти равноотстоящих моментов времени в предположении, что составляющая погрешности от временной нестабильности СИ за время эксперимента в 10 раз больше границ случайной составляющей погрешности.

Результаты обнаружения трендов рассматриваемыми статистическими методами приведены в таблице

6. На рисунках 3 и 4 показаны соответственно ситуации необнаружения тренда (ошибка первого рода) и ложного срабатывания критерия инверсий (ошибка второго рода) [8].

Таблица б

Статисти- ческий метод Обнаружено наличие трендов, n1, % Обнаружено отсутствие трендов, n2 , % Эффективность г\ + n2 1

2 100%

Критерий инверсий З4 9З 0,64

Контрольные карты кумулятивных сумм 92 99 0,96

E~W0,S

-0,2

-0,4 -0,6

-1 ------Границы ----V-маски

Рисунок 3 -Ситуация необнаружения тренда критерием инверсий

Рисунок 4 - Ситуация ложного срабатывания критерия инверсий

Таким образом, эффективность критерия инверсий при выявлении трендов типа флуктуаций неудовле-

творительна. Поэтому для выявления составляющей погрешности от временной нестабильности СИ (т.е. для оперативного контроля по альтернативному признаку) целесообразно применять контрольные карты кумулятивных сумм.

ЛИТЕРАТУРА

1. Данилов А.А. Методы установления и корректировки межповерочных и межкалибровочных интервалов средств измерений. - Главный метролог, 2005, №6. - С. 29-36

2. ГОСТ Р 50779.42-99 Статистические методы. Контрольные карты Шухарта

3. ГОСТ Р 50779.45-2002 Статистические методы. Контрольные карты кумулятивных сумм. Основные положения

4. Айвазян С.А. и др. Прикладная статистика: Основы моделирования и первичная обработка дан-

ных. Справочное изд. / С.А. Айвазян, И.С. Енюков, Л.Д. Мешалкин.- М.:

- 471 с.

5. Бендат Дж., Пирсол А. Прикладной анализ случайных данных: Пер.

540 с.

6. 50.1.037-2002 Прикладная статистика. Правила проверки согласия теоретическим. Часть II. Непараметрические критерии

7. Новицкий П.В., Зограф И.А. , Лабунец В.С. Динамика погрешностей средств измерений — Л.: Энергоатомиздат, 1990. — 192 с.

8. Рыжов Э.В., Горленко О.А. Математические методы в технологических исследованиях. Киев:

Наук. думка, 1990. 184 с.

Финансы и статистика, 1983. с англ. - М.: Мир, 1989. -опытного распределения с