CC BY
17
Ключевые слова:
нефтяной пласт, метод
модифицированных
проницаемостей,
двухфазная
фильтрация,
верификация
моделей
для многослойных пластов.
УДК 539.217.5
Анализ двухфазной фильтрации на основе усредненных моделей в пластах, обладающих слоистой и зональной неоднородностью
С.Р. Еникеева1, С.П. Плохотников1 , С.А. Лившиц2, Р.В. Лебедев3,4*
1 ФГБОУ ВПО «Казанский национальный исследовательский технологический университет», Российская Федерация, 420015, Республика Татарстан, г. Казань, ул. К. Маркса, д. 68
2 ФГБОУ ВПО «Казанский государственный энергетический университет», Российская Федерация, 420066, Республика Татарстан, г. Казань, ул. Красносельская, д. 51
3 Национальный исследовательский университет «МЭИ», Российская Федерация, 111250, г. Москва, вн.тер.г. муниципальный округ Лефортово, ул Красноказарменная, д. 14, стр. 1
4 ООО «Газпром ВНИИГАЗ», Российская Федерация, 142717, Московская обл., no. Ленинский, пос. Развилка, Проектируемый пр-д № 5537, зд. 15, стр. 1
* E-mail: R_Lebedev@vniigaz.gazprom.ru
Тезисы. В работе приведены графики численных расчетов для количества добытой нефти, коэффициента нефтеотдачи. На основании представленных графиков сделаны выводы о возможности применения различных расчетных моделей для определения показателей разработки.
Результаты работы существенно расширили рамки применимости метода модифицированных проницаемостей на основе поправочных коэффициентов при наличии допущения о струйности течения в многослойном пласте и в сложных многослойных пластах в задачах математического моделирования нефтедобычи в подземной гидромеханике и теории разработки.
Математические постановки задач аэромеханики, гидромеханики, теории фильтрации и др. базируются на общих теоремах динамики сплошных сред [1] и задаются в виде систем дифференциальных уравнений 2-го порядка в частных производных эллиптического и параболического типов с краевыми условиями 1-го и 2-го родов. Изредка в постановках встречаются гиперболические уравнения. При численной реализации часто решают вопросы усреднения физических параметров уравнений трехмерной системы при помощи перехода к усредненным математическим моделям меньшей размерности.
Практический интерес представляют расчеты нефтяных и газовых месторождений, в которых пласты неоднородны по абсолютной проницаемости породы. Особенно интересен случай, когда неоднородность задана одновременно и по толщине, и по простиранию, что обусловлено реальным физическим строением некоторых многослойных пластов [2-5]. Функцию абсолютной проницаемости (K(x,z)) пористой среды в общем виде для таких пластов зададим в мультипликативном виде формулой
K(x, z) = a(z)k(x). (1)
При этом абсолютную проницаемость каждого вертикального слоя такого пласта задаем формулой
Ki (x) = aik(x), i = 1, n, (2)
где к(х) - среднее значение по толщине пласта функции зональной неоднородности абсолютной проницаемости, которая представима в аналитическом или кусочно-непрерывном видах. Эту функцию абсолютной проницаемости можно задавать и от двух аргументов - х, у. Безразмерный параметр а^), учитывающий послойную неоднородность по толщине слоев (их количество равно п), задаем конкретным вероятностным рядом в виде таблицы значений а и вероятностей Р,, / = 1, п. Этот ряд
может подчиняться произвольному вероятностному закону. Тогда все расчетные формулы для модифицированных относительных проницае-мостей усредненных моделей С, В [3-6] математически имеют место и для этого случая задания абсолютной проницаемости многослойного пласта формулой вида (1). Конкретные численные расчеты проводили для равномерного и экспоненциального вероятностных законов распределения параметра а(ф) в 10-слой-ном пласте (т.е. для п = 10). Зональную неоднородность по абсолютной проницаемости породы (средняя величина по толщине пласта) определяем формулами
, 1 + 9х . 10-9 x k (x) =-или k (x) = -
5,5
5,5
(3)
Рассмотрим полосообразный 10-слойный нефтяной пласт, который разрабатывается тремя скважинами в элементе заводнения. Из них центральная скважина нагнетает в пласт воду, а слева и справа симметрично от нее работают по одной добывающей скважине при заданном перепаде давления. В наличии полностью симметричное относительно центра вытеснение нефти при двухфазной фильтрации.
Рассмотрены два вероятностных закона для учета слоистой вертикальной неоднородности пласта: равномерный (коэффициент вариации неоднородности V = 0,55) и экспоненциальный (V = 0,89). В расчетах применяли стандартные
функции лабораторных относительных прони-цаемостей (ОП) воды (Кв) и нефти (Кн) [8] вида
kas ) = кВо [sn(s )f,
KH( S) = KHo[l - Sn(S ))]p, S - S,
где Sn(S) = —
S - S,
S, S и S, - основные коли-
чественные критерии насыщенности пласта; а = в = 1, 2, 3.
При этом модифицированные проницаемости для равномерного закона (рис. 1) имели вид [3-6]
к (Б) = Кв (Б )[1 + Кл/з(1 - Бп (5))], Кнм(Б) = Кн( Б )[1-^л/ЗБп(Б)].
Для экспоненциального закона распределения (рис. 2) получаем:
) = Кв(Б )[1-1п БП(Б)],
БП(Б )1п Бп( Б)"
K'(S) = KH(S)
1 + -
1- Sn(S)
Математическая постановка трехмерной (x,y,г)-задачи двухфазовой фильтрации с известными краевыми условиями обнародована ранее, приведены все физические параметры пористой среды и жидкостей, которые использовали для расчетов в данной работе [4-8]. Численные расчеты производились на гидродинамическом симуляторе Tempest
Рис. 1. Квадратичные (а) и кубические (б) функции лабораторных (см. сплошные линии) и модифицированных (см. пунктир) ОП воды и нефти. Равномерный закон распределения
Рис. 2. Квадратичные (а) и кубические (б) функции лабораторных (см. сплошные линии) и модифицированных (см. пунктир) ОП воды и нефти. Экспоненциальный закон
распределения
Значения К(х, г), мД, по 10 слоям для разных моделей
Модель Модели С, В
ОХ О1
К1 = 50 К2= 150 К3 = 250 К4 = 350 К5 = 450 К6 = 550 К7 = 650 К8 = 750 К9 = 850 Кю = 950
ко 91 273 455 636 818 1000 1182 1364 1545 1727 909
к2 86 258 430 602 774 945 1117 1289 1461 1633 860
к4 81 243 405 567 729 891 1053 1215 1377 1539 810
к6 76 228 380 532 684 836 988 1140 1293 1445 760
к8 71 213 355 498 640 782 924 1066 1208 1350 711
к10 66 198 331 463 595 727 860 992 1124 1256 661
к12 61 183 306 428 550 673 795 917 1040 1162 612
к14 56 169 281 393 506 618 731 843 955 1068 562
к16 51 154 256 359 461 564 666 769 871 974 512
к18 46 139 231 324 417 509 602 694 787 879 463
к20 41 124 207 289 372 455 537 620 702 785 413
к22 36 109 182 255 327 400 473 545 618 691 364
к24 31 94 157 220 283 345 408 471 534 597 314
к26 26 79 132 185 238 291 344 397 450 502 264
к28 21 64 107 150 193 236 279 322 365 408 215
кзо 17 50 83 116 149 182 215 248 281 314 165
к32 12 35 58 81 104 127 150 174 197 220 116
кзз 9 27 45 64 82 100 118 136 155 173 91
Примечание: равномерный закон распределения, к(х) = 0,5
9г ^ 10 - — _33.
5,5
расположение записей - сверху вниз в порядке убывания
фирмы Roxar [7] в г. Бугульме в организации ТатНИПИне фть.
Проведены расчеты для случая задания значений К(х, 2) по расчетным блокам конечно-разностной сетки размерностью 34*5*10 (для х*у*2 соответственно), где ось ОХ расположена по высоте таблицы (34 точки), а ось 02 - по длине каждой таблицы (10 точек). Данные брали для расчетов по моделям С, В, А3 для четных точек по оси ОХ (таблица). Все остальные семь трехмерных решений Л1 для
расчетов используют данные этих же таблиц, но при разном расположении слоев по вертикали [3-6], здесь К, мД, - среднее по оси ОХ значение функции (1) для каждого слоя. При этом среднее по пласту значение функции К(х, 2) равно 0,5 Д.
Результаты вычислительного эксперимента для двухмерных моделей С, В, Л7, Л8 даны на рис. 3-10.
На рис. 3-10 четко прослеживается закономерность: усредненные решения В и С - это
о ^100
80
60
40
20
— А7 Л
— с в
0 2
2 0 2
2 2
2 0 2
4 2
2 0 2
6 2
2
2 0 2
2 0 2
2
т
0 2
4
т
0 2
2
Год
Рис. 3. Графики нефтедобычи по годам: равномерный закон, линейные функции ОП,
5,5
0
140 , 120 100 80 60 40 20 0
2 0 2
2 2
-Л — в
4 2
6 2
2 0 2
2
т
0 2
4
т
0 2
6
т
0 2
4 0 2
2 4
4 4
6 4
4 0 2
2
Год
Рис. 4. Графики нефтедобычи по годам: равномерный закон, квадратичные функции ОП,
5,5
100
80
60
40
20
-
— в
0 2
2 0 2
2 2
2 0 2
22
6 2
2
8 2
2
2222
4
0 2
2
Год
Рис. 5. Графики нефтедобычи по годам: равномерный закон, линейные функции ОП,
5,5
140
120
100 80 60 40 20
-А — в |
2 0 2
2 0 2
2
т
0 2
4
0 2
6
т
0 2
4 0 2
8 4 0 2
Год
Рис. 6. Графики нефтедобычи по годам: равномерный закон, квадратичные функции ОП,
5,5
0
0
ограничения снизу и сверху для множества всех эталонных решений Л8 - Л7. Расчеты проводились и для случая кубических функций ОП для этих же двух законов. Были получены результаты, аналогичные представленным на рис. 4, 6, 8, 10 для случая квадратичной функции.
Относительно границ разброса эталонов можно допустить, что они определены недостатком геолого-физической информации о наличии или отсутствии изоляции слоев пласта на всей его протяженности.
И этот разброс достигает 20...30 % относительно среднего значения по всем восьми эталонам. В то же время разброс между графиками двух осредненных моделей достигает 10.20 % относительно ближайшей границы эталонов. А средняя величина по эталонам отличается от среднего значения по моделям В и С на 5.9 % в каждый фиксированный момент времени разработки пласта. И последняя погрешность существенно меньше погрешности по геолого-физической информации
100
80
60
40
20
8 01
2
- А
— в
2 0 2
2 2
4 2
6 2
8 2
2
т
0 2
4
0 2
6
т
0 2
4 0 2
Год
Рис. 7. Графики нефтедобычи по годам: экспоненциальный закон, линейные функции ОП,
5,5
0
о пласте, которая на сегодняшний день принята в качестве объективной реальности.
Эти результаты определяют положительно вопрос верификации двух усредненных моделей В и С для многослойных пластов, обладающих слоистой неоднородностью по вертикали и зональной неоднородностью по горизонтали одновременно.
Опубликованные ранее [4] результаты проведенного вычислительного эксперимента
и сравнительного анализа гидродинамических показателей разработки численных расчетов двухфазной фильтрации в одномерной постановке с модифицированными функциями Квм(£) и ) и в двумерной постановке с лабораторными функциями Кв(£), Кн(£) определенного вида справедливы и для представленного случая. Делается вывод о возможности и обоснованности использования осредненного одномерного решения по сравнению с двумерным.
3 140 3
, 120 100 80 60 40 20
-А — В
У V
8 01
2
2 0 2
2 2
4 2
6 2
8 2
2
т
0 2
4
т
0 2
6
т
0 2
8
т
0 2
4 0 2
2 4
4 4
6 4 0 2
Год
Рис. 10. Графики нефтедобычи по годам: экспоненциальный закон, квадратичные функции ОП, к(х) = ^
0
На ранних стадиях разработки многослойного пласта, когда имеет место недостаток геологической информации о строении пласта, наличии или отсутствии гидродинамической связи между его слоями, эти выводы наиболее обоснованы и востребованы на практике. Для случая изотермической фильтрации в многослойных породах нефти результаты В. Елисеенкова и С. Плохотникова [4] еще раз подтверждают предложенные здесь выводы. Аналогичные
выводы сделаны для пластов, обладающих только вертикальной неоднородностью по абсолютной проницаемости [2-6].
***
По результатам выполненных исследований можно сделать следующие выводы:
• характер течения двухфазной изотермической фильтрации и значения показателей разработки в многослойном пласте зависят
от взаимного расположения слоев по толщине, наличия их гидродинамической связи, а также аналитического вида лабораторных функций ОП КВ(Б), КН(Б);
• графики численных расчетов количества добытой нефти, коэффициента нефтеотдачи, времени разработки и других показателей разработки для простейшей усредненной модели С дают завышенные результаты по сравнению с интервалом разброса графиков двухмерного профильного решения задачи - эталонными решениями;
• графики расчетов на усредненной модели В при линейных и нелинейных функциях Кв(Б), Кн(Б) дают заниженные результаты показателей разработки по сравнению с интервалами разброса графиков эталонных решений, а последние, в свою очередь, образуют целое множество кривых в зависимости от взаимного расположения слоев многослойного пласта; эти интервалы разброса эталонов находятся в интервале двух приближенных
решений по моделям В и С, и для каждого из указанных показателей разработки можно рекомендовать для приближенных гидродинамических расчетов эти усредненные модели в совокупности;
• предложенные формулы и проведенный вычислительный эксперимент определяют положительно вопрос верификации двух усредненных моделей для многослойных пластов, обладающих слоистой неоднородностью по вертикали и зональной неоднородностью по горизонтали одновременно для абсолютной проницаемости породы;
• результаты работы существенно расширили рамки применимости метода модифицированных проницаемостей на основе поправочных коэффициентов при наличии допущения о струйности течения в многослойном пласте и в сложных многослойных пластах в задачах математического моделирования нефтедобычи в подземной гидромеханике и теории разработки.
Список литературы
1. Лагранж Ж.Л. Аналитическая механика / Ж.Л. Лагранж; под ред. Л.Г. Лойцянского и А.И. Лурье. -М.-Л.: Гостехиздат, 1950. - Т. 1. - 598 с.
2. Ахмад Р.К. Решение одной задачи усреднения коэффициентов системы эллиптических
и параболических уравнений / Р.К. Ахмад, С.П. Плохотников, С.В. Никифорова и др. // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. - 2019. -№ 1. - С. 30-36.
3. Ахмад Р.К. Верификация осредненных моделей двухфазной фильтрации / Р.К. Ахмад, С.П. Плохотников, Ф.А. Галимянов и др. // Вестник технологического университета. -2019. - Т. 22. - № 1. - С. 97-99.
4. Eliseenkov V.V. Hydrodynamic calculations of layered seams on the basis of modified relative permeabilities / V.V. Eliseenkov,
S.P. Plokhotnikov // Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. - 2001. - Т. 5. -С. 833-838.
5. Plokhotnikov S.P. Mathematical averaging of coefficients of system of elliptic
and parabolic equations in continuum mechanics / S.P. Plokhotnikov, V.A. Bogomolov, R.Kh. Nizaev, et al. // Lobachevskii Journal of Mathematics. - 2019. - Т. 40. - № 5. -С. 553-561.
6. Plokhotnikov S.P. Verification of two averaged models of three-phase filtration in inhomogeneous layers of oil reservoirs, obeying uniform distribution / S.P. Plokhotnikov, V.A. Bogomolov, I.T. Salimyanov, et al. // IOP Conf. Series: Journal of Physics. - 2019. - Conf. Series 1328. -№ 012062. - С. 1-6. - D0I:10.1088/1742-6596/1328/1/012062.
7. Tempest-MORE. Руководство пользователя, версия 6.3. - Roxar, 2006. - 373 c.
8. Методические указания по созданию постоянно действующих геолого-технологических моделей нефтяных и газонефтяных месторождений. Ч. 2: Фильтрационные модели. - М.: ВНИИОЭНГ, 2003. - 228 с.
Analyzing binary-phased filtration in reservoirs with stratified and zonal heterogeneity by means of averaged models
S.R. Yenikeyeva1, S.P. Plokhotnikov1 , S.A. Livshits2, R.V. Lebedev3
1 Kazan National Research Technological Institute, Bld. 68, Karla Marksa street, Kazan, Tatarstan, 420015, Russian Federation
2 Kazan State Power Engineering University, Bld. 51, Krasnoselskaya street, Kazan, Tatarstan, 420066, Russian Federation
3 National Research University "Moscow Power Engineering Institute", Bld. 14, Block 1, Krasnokazarmennaya street, Lefortovo, Moscow, 111250, Russian Federation
4 Gazprom VNIIGAZ LLC, Bld. 1, Estate 15, Proyektiruemyy proezd no. 5537, Razvilka village, Leninskiy urban district, Moscow Region, 142717, Russian Federation
* E-mail: rus.lebedev.84@list.ru
Abstract. The article includes graphics reflecting numerical calculations of oil outputs and oil permeabilities. Basing on these data, authors conclude which computer simulators could be applied for determination of field development indicators.
The results of the highlighted studies have broadened the scope of a modified permeabilities method with adjustment factors at hypothesis of a stream flow in a multilayer reservoir and in the elaborated multilayer reservoirs in case it is applied for tasks of mathematical simulation of oil production in underground hydromechanics and the theory of oil field development.
Keywords: oil reservoir, method of modified permeabilities, binary-phased filtration, verification of models for multilayer reservoirs.
References
1. LAGRANGE, J.L. Analytical mechanics [Analiticheskaya mekhanika]. Translated from French. Moscow-Leningrad, USSR: Gostekhizdat, 1950, vol. 1. (Russ.).
2. AHMAD, R.K., S.P. PLOKHOTNIKOV, S.V. NIKIFOROVA, et al. Solution of a problem of averaging the coefficients of the system of elliptic and parabolic equations [Resheniye odnoy zadachi usredneniya koeffitsiyentov sistemy ellipticheskikh i parabolicheskikh uravneniy]. Vestnik KGTU im. A.N. Tupoleva, 2019, no. 1, pp. 30-36. ISSN 2078-6255. (Russ.).
3. AHMAD, R.K., S.P. PLOKHOTNIKOV, F.A. GALIMYANOV, et al. Verification of averaged models for binary-phased filtration [Verifikatsiya osrednennykh modeley dvukhfaznoy filtratsii]. Vestnik Tekhnologicheskogo Universiteta, 2019, vol. 22, no. 1, pp. 97-99. ISSN 1998-7072. (Russ.).
4. ELISEENKOV, V.V., S.P. PLOKHOTNIKOV. Hydrodynamic calculations of layered seams on the basis of modified relative permeabilities. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 2001, vol. 5, pp. 833-838. ISSN 0021-8944.
5. PLOKHOTNIKOV, S.P., V.A. BOGOMOLOV, R.Kh. NIZAEV, et al. Mathematical averaging of coefficients of system of elliptic and parabolic equations in continuum mechanics. Lobachevskii Journal of Mathematics, 2019, vol. 40, no. 5, pp. 553-561. ISSN 1995-0802.
6. PLOKHOTNIKOV, S.P., V.A. BOGOMOLOV, I.T. SALIMYANOV, et al. Verification of two averaged models of three-phase filtration in inhomogeneous layers of oil reservoirs, obeying uniform distribution. IOP Conf. Series: Journal of Physics, 2019, Conf. Series 1328, no. 012062, pp. 1-6. - DOI:10.1088/1742-6596/1328/1/012062.
7. Tempest-MORE. User's manual, version 6.3. Roxar, 2006.
8. Guidelines to create ongoing geological-technological models for oil and gas-oil fields [Metodicheskiye ukazaniya po sozdaniyu postoyanno deystvuyushchikh geologo-tekhnologicheskikh modeley neftyanykh i gazoneftyanykh mestorozhdeniy]. Pt. 2: Filtration models [Filtratsionnyye modeli]. Moscow: All-Russian Scientific-Research Institute of Organization, Management and Economics of Oil and Gas Industry, 2003. (Russ.).
