Осреднение моделей трехфазной фильтрации в неоднородных слоях, подчиняющихся равномерному распределению Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРОЦЕССЫ И АППАРАТЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ

УДК 543.4:544.2

С. П. Плохотников, В. А. Богомолов, Е. Н. Белова, О. И. Богомолова, Д. С. Плохотников, О. Р. Булгакова

ОСРЕДНЕНИЕ МОДЕЛЕЙ ТРЕХФАЗНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В НЕОДНОРОДНЫХ СЛОЯХ,

ПОДЧИНЯЮЩИХСЯ РАВНОМЕРНОМУ РАСПРЕДЕЛЕНИЮ

Ключевые слова: фильтрация, фазовые проницаемости.

В работе построены осредненные модели трехфазной фильтрации для неоднородных пластов. Неоднородность задавалась с помощью равномерного распределения, частного случая ^-распределения при коэффициентах у=1, Проведен сравнительный анализ построенных моделей с эталонными трехмерными моделями.

Keywords: filtration, phase permeability.

The averaged three-phase filtration models of inhomogeneous layers have been built in this work. The heterogeneous-ness was specified by beta- distribution law with y=2, q=1. The compared analysis of filtration models with etalon 3D models has been done.

Введение

При многовариантных гидродинамических расчетах можно использовать трехмерные численные гидродинамические модели многофазной фильтрации. Гидродинамические модели создаются на основе геологических моделей, которые содержат до 100 млн. ячеек разностной сетки, время расчетов которых неприемлемо для практического использования. Поэтому делают ремасшта-бирование (ир^саИ^), объединяя мелкие ячейки геологической сетки в крупные ячейки гидродинамической сетки. В работе с помощью вычислительного эксперимента исследованы возможности применимости известных [1,2] осредненных моделей, в том числе с модифицированными относительными фазовыми проницаемостями (ОФП), исследованных ранее при двухфазной фильтрации [36]. Также создана методика осреднения для трехфазной фильтрации [7]. В данной работе рассматривалось трехфазное изотермическое вытеснение нефти и газа водой при площадном заводнении в слоистом пласте - пятиточечной и девятиточечной системах заводнения. Пятиточечная система заводнения - одна нагнетательная скважина в центре квадрата, а вокруг - 4 добывающих скважины. Девятиточечная система - одна нагнетающая скважина в центре, а вокруг - 8 добывающих скважин.

Цель работы

Для моделей трехфазной фильтрации построить двумерные модели со средними ОФП и с модифицированными ОФП, полученными с учетом струйности течения по пропласткам для равномерного распределения, частный случай в-распределения при у=1, П=1. Провести сравнительный анализ с помощью ВЭ трехмерных и двумерных моделей трехфазной фильтрации. При этом для трехмерных моделей задать слоистую неоднород-

ность, подчиняющуюся равномерному распределению.

Построение математической модели

Трехфазная фильтрация в слоистом пласте с проницаемостью к(г) и исходными ОФП, обозначим их МЗд.БД МЗд.БД кгд(8д,вш), была сведена к фильтрации в однородном пласте со средней проницаемостью к и модифицированными ОФП вида [7] (Модель В1):

k™(Sw)-

MSJ • kw(Sw)

k*

k (Sfx,S )• k"(S )

km /q Q \_ rw v 9' wz o\ wz

ro(Sg'Sw) - -

km(Sgx,Sw) -

k*

krg(S9x) • ko(Sw)

k*

где кт(Зт), к0(Бш) - средние значения абсолютной проницаемости в зонах воды и нефти в каждом вертикальном сечении пласта.

Модель В1 - осредненная модель, которая получается путем осреднения по толщине пласта проводимости для каждой из фаз. В ней учитывается наличие газа только в зоне нефти. При осреднении вводим следующие физические допущения: независимость давления Р от Z , в каждом вертикальном разрезе пласта существуют две зоны - зона воды мощностью Нш ив ней = - максимальное

значение , Бд = Бд* - минимальное значение вд , и зона нефти мощностью Н0| и в ней =

S9 - S9

исходные параболы относительных про-

ницаемостей заменяем на секущие прямые. Но целесообразнее подправить их с помощью поправочных

коэффициентов по аналогии с работами [3-6], так же как со случаем двухфазной фильтрации.

По аналогии с двухфазной фильтрацией [36], получим модифицированные ОФП для трехфазной модели.

_ (Б,)-|к- -и(к)| 8,(8,)•к'

№,8,) _

^(8^;) • и(к) , кга(8ах) • ^к)

I/-т /С С ^ \ _ га а ' \ ) кта(8,,8а) _ [1-8,(8,)|к' к

где

^/е)_|к • 1(к,

(1)

(2)

К,(8,) _ К,8,, кга(8^х) _ к0а8Г

кго(8,,8ах)_к0о[1-8, -8ах]; ' а _ 5 _ 1,2,3, к° - максимальная ОФП нефти;

кт — максимальная ОФП воды; кд — максимальная ОФП газа; Бог — остаточная нефтенасыщенность; Б№С — насыщенность связанной воды; Бо — водо-и нефтенасыщенности, Б^Б«,«?-

■ьАх >Я

Бог, Бо _ 1 - Э* - вдх, к' _ | к • ^к) • с1к — средняя

О

(8, 8,с)

проницаемость, 8, _

(1- 8 - 8 - 8 )

V ,с ог ас /

— под-

вижная

водонасыщенность,

(8 - 8 с8*,)

8"х(8а,81„) _—а-а,с * — фиксированное значе-

^^^ (1-8,) ф р

ние газонасыщенности .

При этом значение к(Бт) находим, решая

уравнение

8 - 8 к(8,) (3)

——-^ _ |ОДСк.

1 - 8ог - 8,с 0

Получим модифицированные ОФП для для трехфазной модели в случае равномерного распределения.

Плотность вероятности обобщенного в — распределения имеет вид:

1 Г(у +

^к) _

Ь - а Г(у)Г(л)

к - а ^ у-1 Г1 - к - а ^

Ь - а

Ь - а

(4)

а<к<Ь, у>0, п>0, где Г(ц) — гамма функция. Равномерное распределение - частный случай Р-распределения при коэффициентах у=1, ц=1.

Подставляя их в Ошибка! Источник ссылки не найден. получим

1 (5)

1 (к)

Ь - а

Уравнение Ошибка! Источник ссылки не найден. будет иметь вид:

8 о-Г

1

Ь - а

ск_О

Средняя проницаемость будет к' _

а + Ь 2

Решая уравнение относительно к , получаем корень уравнения — к _ Ь - (Ь - а) • 8,

Из (1) получим модифицированные относительные проницаемости для линейного случая имеют вид:

кт _ . Г1 8, • (Ь - а)

кго _ кго •И ь+а-

кт _ кг, •и +

К _ к га -Ц +

(1-8,) • (Ь - а) Ь + а

(1 - 8,) • (Ь - а) Ь + а

Можно получить коэффициент вариации слоистой неоднородности для равномерного распределения

/1ч (Ь - а)

у(к) _ / /г (а + Ь)л/3

и записать соотношение:

у(к) та _(+а. (а+ь)

И произвести замену в формулах. Тогда для трехфазной модели модифицированные ОФП примут вид:

кт _кт • [1+ (1 -8,)], кто _ кго .[1^л/з • 8,], (6)

кт _ к га • [1 -у^ • 8,]

На рис.1 показаны графики зависимости моди-кгГ(Э)

0.60.5 -0,4-о.з-0,20,1 -0,0

О3.' ж

\ \ •О8*)

V \ / /

ч / / \ ч / / /

ч

/ / / / \ \

/ ✓ / / / У // ч ч

0,3 0,4 0.5 0,6 0.7 0,8 Рис. 1 - График зависимости модифицированных ОФП (нефть-вода) от водонасыщенности для равномерного распределения при линейных исходных ОФП

фицированных ОФП (нефть-вода) от водонасыщен-ности для равномерного распределения при линейных исходных ОФП. Графики модифицированных ОФП для системы нефть-газ выглядят аналогично.

Вычислительный эксперимент

Задача была решена при заданном перепаде давлений между нагнетательной и добывающими скважинами, внешняя граница задавалась непроницаемой. При расчетах использовались сетки из блоков: 11x11x10 (х,у,2) для эталонного трехмерного случая; и 11x11x1 для двумерного случая (ремаштабированная). В расчетах использовалась полностью не явная схема.

В модели были заданы следующие физические параметры: 128 - начальное пластовое давление, атм; 22 - температура пласта, С; 100 - температура закачиваемой воды, С; 55 - забойное давление на добывающей скважине, атм.; 170 - забойное давление на нагнетательной скважине, атм.; к0о =0.5 -максимальная ОФП воды; к0, =0.7 - максимальная ОФП нефти; к0д =0.8 - максимальная ОФП газа;

3ОГ=0.2 - остаточная нефтенасыщенность; 8^С=0.2 -насыщенность связанной воды; 8^=0.1 - насыщенность защемленного газа; - водо-, нефте- и газонасыщенности, 1- 8ог.-

Расчеты для пятиточечной и девятиточечной систем проводились для четырех вариантов:

Двумерные решения (осредненные):

1. С - решение - осредненное решение с линейными исходными ОФП кт(Б„), кгд(Зд,Б„), кгО(Зд,Б„), вида (2) и средней абсолютной проницаемости к * = 0.5 дарси. Задавался 1 пропласток, высотой Н = 10м

Трехмерные решения (эталонные):

2. В1 - решение - осредненное решение, газ находился только в связанном состоянии в зоне нефти, задача решалась с модифицированными ОФП к:(Бш), к;0(вж,в*), ОБ^вП вида (6) и

средней к* = 0.5 дарси для равномерного закона распределения задания абсолютной проницаемости к(г) исходного слоистого пласта. Задавался 1 про-пласток, высотой Н = 10м.

3. А8 -решение (с изолированными пропла-стками) - эталонное численное трёхмерное решение задачи для десятислойного пласта с изолированными пропластками (отсутствуют перетоки), распределение абсолютной проницаемости которых подчинялось равномерному закону. Задавались 10 пропла-стков каждый высотой Н1 = Н2 = Н3 = Н4 ... Щ0 = 1м, изолированных друг от друга непроницаемыми перемычками;

4. А7 - решение (с неизолированными про-пластками) - тоже, что и предыдущая модель, но с неизолированными пропластками. Задавались 10 пропластков гидродинамически связанные друг с

другом. Пропластки располагались относительно друг друга следующим образом: «лучший» (максимальное значение абсолютной проницаемости) рядом с «худшим» (минимальное значение абсолютной проницаемости), «лучший» из оставшихся рядом с «худшим» из оставшихся и т.д. снизу-вверх.

Vp кзгпЗ 2000

1800

1600

1400

1200

1000

800

600

400

200

I J

1 f J

* 1

*

VSP Msm3

60

50

40

30

20

10

-А7- нефть С-нефть -А8-нефть -В-нефть А7-газ С-газ -А8-газ В-газ

2010

201 4 2018 Date

2022 2026

Рис. 2 - Зависимость суммарного объема добытых нефти и газа Vp от времени Date для пятиточечной системы заводнения, и соответственно для решений -

A7jAs,C,B1

На рис.2 хорошо видно, что осредненное решение В1 с модифицированными ОФП имеет меньшую погрешность относительно эталонного решения Л8, а решение С с исходными ОФП меньшую погрешность относительно эталонного решения Л7. Такие же результаты получены для девятиточечной системы заводнения, и для других показателей разработки, как для газа, так и нефти. Решения В1 и С ограничивают все трехмерные эталонные решения Л, для которых проводились вычисления. Это говорит об обоснованности применения этих двух осредненных моделей в совокупности при площадном заводнении в слоистых пластах при трехфазной фильтрации.

Выводы

Сравнительный анализ зависимости показателей разработки для различных трехфазных моделей, показал правильность построения осредненных трехфазных моделей. Осредненные трехфазных мо-

дели показали хорошие результаты, что говорит об обоснованности применения этой методики осреднения и для трехфазных моделей фильтрации. Литература

1. Булыгин Д.В. Геология и имитация разработки залежей нефти / Д.В. Булыгин, В.Я. Булыгин. - М.: Недра, 1996. - 382 с.

2. Методические указания по созданию постоянно действующих геолого-технологических моделей нефтяных и газонефтяных месторождений (Часть 2. Фильтрационные модели). - М.: ВНИИОЭНГ, 2003. - 228с.

3. Плохотников С.П., Елисеенков В.В. Гидродинамические расчеты в слоистых пластах на основе модифицированных относительных проницаемостей// ж. «Прикладная механика и техническая физика», (ПМТФ), Новосибирск, РАН СО, т.42, №5, 2001, с. 115-121.

4. Плохотников С.П. Модифицированные фазовые проницаемости в задачах площадного заводнения слоистых пластов / С.П. Плохотников, Д.С. Плохотников, О.Б.

Марвин, Р.Х. Фатыхов // Вестник Казан. технол. ун-та. -2005. № 1. - С.121-124.

5. Плохотников С.П. Математическое моделирование трёхфазной фильтрации в слоистых пластах с учётом схемы струй / С.П. Плохотников, Д.С. Плохотников, В.В. Елисеенков, А.С. Климова // Вестник Казан. технол. ун-та. - 2005. - № 2. - С.173-178.

6. Плохотников С.П. Осредненные модели двухфазной трехкомпонентной фильтрации при закачке в нефтяной пласт химических реагентов - полимеров, водных растворов ПАВ. / С.П. Плохотников, В. А. Богомолов, О.Р. Булгакова// Вестник Казан. технол. ун-та. - 2010. - № 10. - С.350-356.

7. Bogomolov V.A. "Mathematical simulation of three-phase filtration in stratified beds with account for the scheme of jets" V.A. Bogomolov, S.P. Plokhotnikov, O.R. Bulgakova, D.S. Plokhotnikov // Journal of Engineering Physics and Thermophysics, - Springer, 2011, Vol. 84, No. 5, pp. 975979.

© С. П. Плохотников - д-р техн. наук, проф. каф. ИПМ КНИТУ, [email protected]; В. А. Богомолов - ст. препод. той же кафедры, [email protected]; Е. Н. Белова -асп. той же кафедры; О. И. Богомолова - асс. той же кафедры; Д. С. Плохотников - асп. той же кафедры; О. Р. Булгакова - асп. той же кафедры.