Анализ чувствительности односекторной модели экономики, обладающей магистральным свойством Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.865 DOI 10.18522/0321-3005-2015-3-37-40

АНАЛИЗ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ОДНОСЕКТОРНОЙ МОДЕЛИ ЭКОНОМИКИ, ОБЛАДАЮЩЕЙ МАГИСТРАЛЬНЫМ СВОЙСТВОМ

© 2015 г. Б.Р. Клепфиш

Клепфиш Борис Рахмильевич - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра фундаментальной и прикладной математики, Ростовский государственный экономический университет, ул. Большая Садовая, 69, г. Ростов-на-Дону, 344002, e-mail: [email protected]

Klepfish Boris Rakhmil'evich - Candidate of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Department of Fundamental and Applied Mathematics, Rostov State University of Economics, Bolshaya Sadovaya St., 69, Rostov-on-Don, 344002, Russia, e-mail: [email protected]

Для экономической модели, обладающей магистральным свойством, рассматривается задача анализа чувствительности, которая формулируется как задача вычисления производной функционала, характеризующего оптимальную траекторию, по параметру. Для этого подход с использованием сопряженных переменных распространен на уравнения динамики с кусочно-непрерывными правыми частями. Для моментов времени, в которых вид уравнения динамики меняется, указаны условия скачка для сопряженных переменных. В качестве примера рассмотрена модель экономического роста на основе модели Солоу. Данный подход позволяет использовать резервы экономических моделей по выбранным критериям качества.

Ключевые слова: чувствительность, магистраль, оптимальное управление, односекторная модель, экономический рост, производственная функция.

The problem of sensitivity analyses for economic model that the optimal growth path satisfies the turnpike property is considered. The problem is formulated as one of computing the derivative, with respect to a parameter, of a functional characterizing the quality of optimal growth path. To compute the derivative, the adjoint variable approach is extended to systems with piecewise continuous of right-hand sides. Jump conditions for the adjoint variables are indicated for the times at which the mentioned changes occur. As an example, model of optimal economic growth of closed economy, with a unique final good on the basis of Solow-Swan model is considered. The approach enables us to fully exploit the reserves of economic models on selected quality criteria.

Keywords: sensitivity, turnpike, optimal control, one-sector model, economic growth, production function.

При построении агрегированных моделей всегда существует неопределенность в отношении предположений о составе и значениях их параметров. Для оценки поведения моделей в предположении о неточности значений параметров часто используется анализ чувствительности. Поскольку конечной целью моделирования являются, как правило, рекомендации по вопросам принятия решений, можно считать, что такой анализ применяют для проверки чувствительности предлагаемых рекомендаций. Известны приложения анализа чувствительности к задачам экономической динамики и оптимального управления экономическими объектами. В качестве меры чувствительности обычно выбирают производную некоторого функционала, который вычисляется на траекториях движения системы по параметру. Общие подходы к вычислению таких производных на траекториях динамических систем с непрерывными правыми частями известны [1, 2]. В предлагаемой работе представлены формулы производной интегрального функционала, характеризующего чувствительность динамиче-

ской системы, вектор скорости которой во время движения терпит разрыв. Эта ситуация характерна для экономических систем, обладающих магистральным свойством [3, 4].

Оно [3, 4] состоит в том, что при достаточно большом (конечном) промежутке времени, на котором рассматривается модель, траектория движения модели состоит из трех участков: сначала движение происходит от начальных значений в направлении точки равновесия, соответствующей сбалансированному росту, некоторое время остается вблизи нее и уходит от нее со временем, чтобы выполнялись условия экономического горизонта.

В настоящей статье развивается подход к анализу чувствительности для динамических систем с разрывными правыми частями, предложенный ранее в [5].

Базовая модель

Рассмотрим модель экономического роста в агрегированной односекторной замкнутой экономи-

ке [6]. Время изменяется непрерывно от начального момента t0 до момента T, и единицей измерения считается один год. В модели используются экзогенные показатели, считающиеся постоянными: -1 < v < 1 - годовой темп прироста числа работников; 0 <ц< 1 - норма амортизации капитала. Основное дифференциальное уравнение для рассматриваемой модели, связывающее фондовооруженность на одного работника к (t ) и среднедушевое потребление c(t), имеет вид [6, 7]

k = f (k(t)) -Xk(t) - c(t),

(1)

где X = ц + V .

Начальное и граничное состояния задаются значениями фондовооруженности на одного работника при t = ^ и t = Т

к= к0, к(Т) > кх. (2)

Имеют место предположения [7]

/' = /- > 0, /" = < 0, Ук > 0,

dk

dk

lim f' (к) = ж, lim f'(к) = 0.

к ^0 к

Задачу об оптимальном экономическом росте можно рассматривать как задачу управления [6, 7], в которой в качестве управляющего параметра рассматривается удельное потребление, т.е. считаем, что управление - это кусочно-непрерывная функция времени {c(t)}, удовлетворяющая уравнению (1) и ограничению

0 < c(t) < f (к (t)). (3)

Задача состоит в оптимальном выборе {c(t)} для достижения некоторой экономической цели [6]. Предполагается, что целевой функционал рассматриваемой задачи зависит от дисконтированной функции полезности, при этом дисконтирующий множитель имеет вид экспоненты, т.е. полезность в момент времени t, приведенная к моменту tj, равна ~tj)U(c(t)). Тогда благосостояние, соответствующее интервалу, примет вид

maxW = max Je~b(t-tl)U(c(t))dt.

(4)

Постановка задачи содержит уравнение движения (1), граничные и начальные условия для фазовых переменных (2), ограничения на управляющие функции (3) и целевой функционал (4). В [6] показано, что оптимальная траектория рассматриваемой задачи обладает магистральным свойством по отношению к состоянию сбалансированного роста.

Анализ чувствительности

Динамическая система (1) характеризуется как фазовой переменной к^), так и параметром X = ц + v. Для моделей, обладающих магистральным свойством, на интервале времени движения имеются два момента изменения характера движения: выход на магистраль и сход с магистрали. Оптимальное решение этой задачи в случае прохождения магистрали выше начального уровня к0 и ниже конечного уровня к1 таково, что на подынтервале t2] потребление равно нулю и производственные фонды имеют максимальное развитие. После этого до момента tз развитие идет по магистрали, потребление и фондовооруженность растут с тем же темпом, что и трудовые ресурсы. При tз < t < Т весь производимый продукт тратится на потребление [6, 7].

Магистрали (траектории сбалансированного ро-

* *

ста) соответствуют значения с , к , которые являются решениями уравнений [6, 7]

Н4 И4 И4 И4

/'(к ) = Х + 8, с = /(к ) — Хк . (5)

Соответственно, моменты времени t2, tз можно определить по формулам

к * de,

to = t\ +\и -, IT,

2 1 Jki f©-xe ' 3

, т ^ k H = T--ln —

X k.

(6)

2

Будем анализировать чувствительность (4) к изменению коэффициента X.

Запишем уравнения движения в виде

г/к

— = / (к,X), tl < t <Ц+!, г = 1,2,3, Щ) = к0,t4 = Т. dt

Здесь / (к, X) - вид правой части уравнения (1), обеспечивающий движение к магистрали при г = 1; вдоль магистрали - при г = 2; на завершающем этапе - при г = 3; t2 и tз - моменты выхода на магистраль и схода с неё. В качестве меры чувствительности примем величину производной интегрального функционала (4) [1, 2] по параметру X, которую вычислим, используя подход, разработанный в теории оптимального управления [8]. Зависимость W от параметра возникает в связи с зависимостью фазовой переменной от параметра. Исследование

некоторого значения X состоит в анализе последствий малого возмущения 5X.

Пусть значение параметра X0 возмущено величиной 5X, 118X11 - малая величина, а траектория к ^) такова, что в нефиксированные моменты t2, tз происходит изменение характера движения; t2, tз

*

определяются условиями выхода на магистраль (г2 ) и схода с неё (г3).

Это добавляет к условиям задачи соотношения (6), которые запишем в виде

N (к(г2), г2) = гг - гх - \\(г2 ) /Ф - ^ N2(к(гъ),гъ) = гз -т + 1ш^^ = 0.

л ко

= 0,

(7)

F (X) = J e"8(t -t1 U (c(t ))dt + %1N1 (k (t2),t2) -

+ П2 N 2(k (t3),t3).

(8)

расширенного функционала (8) имеет вид

T

8F = 8(tcjNj + л2 N2) + 8 J (H - yk)df.

(9)

8F =2 i= 1

SN,-

SN,-

-dti+j + dti+j dk (ti+1)

dk (tt+1)

+ 2 (H -yk) i=1

t=t,

-2 (H -yk)

"+1 i=i

t=t+

(10)

- y8k

-y8k

t- -y8k

+ JT (v + — |8kdt + JT SHdt8X.

t1 ^ dk) 1 SX Теперь можно использовать соотношения [8]

(11)

dk ti ) = Г(t- } + k(ti )dt4 = 2,3. 18k (t+) + Ar(t+ )dti

Исключим с помощью (10), (11) 8k(ti ) и 8k (t+). После группировки членов получим

2

8F =2 i=1

V(ti++1) -V(t,+1) +

SN,

H(t"+1) - H(t++1) +я,- 5N'

+JT

dt,

. SH V, shs,'

y +-18k +-8X

dk ) SX

Sk (ti+1) dti+1 +

dk (ti+1) +

(12)

i +1

dt.

Следуя [8], определим формально расширенный функционал задачи, учитывая соотношения (7).

Выберем значения у(г-) и у(г+), - = 2,3, так, чтобы коэффициенты при <к(г-) и <г- обратились в нуль. Это приводит к соотношениям

У^ + О = y(t!+1) + Лг

SN

Sk (ti+1)

H (t-+1) = H (t++1) -л,

SN,-sT"

(13)

i +1

Здесь П1, п2 - скалярные множители, значения которых будут указаны ниже. Первая вариация

- = 1,2.

Коэффициенты выбираются так, чтобы обеспечить требуемое равенство. Чтобы исключить в (12) слагаемое, содержащее 8к(г), нужно использовать уравнение в вариациях [8], определив у (г) решением граничной задачи

dy df" * "f-^"У = 0 Г*у = 0. dt dk

(14)

Подынтегральное выражение в (9) определено в (4), (5):

Н = е-5(г )и (с(г)) + у/ (к, X). Заменим интеграл в (9) суммой интегралов на подынтервалах [гьг2], [¿2,¿з], [¿з,Т] и проинтегрируем (Н - ук) по частям, принимая во внимание возможную разрывность функции у в точках

г2, гз [8].

Здесь Гку = 0 - граничные условия, сопряженные к условиям в исходной задаче оптимального управления и дополненные условиями скачка из (13). Окончательно получим, используя (14),

dX T1 SX г2 SX

ти f(k, X)

dt.

+ J, y(t)

j,3 TW SX

Таким образом, предлагаемый подход позволяет оценить чувствительность оптимального значения целевого функционала при изменении значений параметров. Это дает возможность полнее использовать резервы моделей экономики по выбранным критериям качества.

Литература

1. Хог Э., Чой К., Комков В. Анализ чувствительности при

проектировании конструкций. М., 1988. 428 с.

2. Дончев А. Системы оптимального управления. Возму-

щения, приближения и анализ чувствительности. М., 1987. 156 с.

3. Зеликин М.И., Борисов В.Ф. Особые оптимальные режи-

мы в задачах математической экономики // Оптимальное управление. Современная математика и ее приложения. Тбилиси, 2003. Вып. 11. С. 3-161.

4. Sethi S.P., Thompson G.L. Optimal control theory: applica-

tions to management science and economics. N.Y., 2005. 511 p.

5. Клепфиш Б.Р. Анализ чувствительности механических

систем с неудерживающими связями // Прикладная математика и механика. 2003. Т. 67, № 5. С. 713.

+

2

+

Л

2

2

t3

T

+

t

t

2

6. Минюк С.А., Ровба Е.А., Кузьмич К.К. Математические

методы и модели в экономике. Мн., 2002. 432 с.

7. Лагоша Б.А., Апалькова Т.Г. Оптимальное управление в

экономике: теория и приложения. М., 2008. 224 с.

8. Брайсон А., Ю-ши Х. Прикладная теория оптимального

управления. М., 1972. 544 с.

References

1. Khog E., Choi K., Komkov V. Analiz chuvstvitel'nosti pri proektirovanii konstruktsii [Sensitivity analysis in the design of structures]. Moscow, 1988, 428 p.

2. Donchev A. Sistemy optimal'nogo upravleniya. Vozmush-

cheniya, priblizheniya i analiz chuvstvitel'nosti [Optimal control system. Disturbances, approach and sensitivity analysis]. Moscow, 1987, 156 p.

3. Zelikin M.I., Borisov V.F. Osobye optimal'nye rezhimy v

zadachakh matematicheskoi ekonomiki [Singular optimal regimes in problems of mathematical economics]. Opti-

Поступила в редакцию_

mal'noe upravlenie, Sovremennaya matematika i ee prilo-zheniya. Tbilisi, 2003, vol. 11, pp. 3-161.

4. Sethi S.P., Thompson G.L. Optimal control theory: applica-

tions to management science and economics. N.Y., 2005, 511 p.

5. Klepfish B.R. Analiz chuvstvitel'nosti mekhanicheskikh

sistem s neuderzhivayushchimi svyazyami [Sensitivity analysis of mechanical systems with unilateral constraints]. Prikladnaya matematika i mekhanika, 2003, vol. 67, no 5, p. 713.

6. Minyuk S.A., Rovba E.A., Kuz'mich K.K. Matematicheskie

metody i modeli v ekonomike [Mathematical methods and models in economics]. Minsk, 2002, 432 p.

7. Lagosha B.A., Apal'kova T.G. Optimal'noe upravlenie v

ekonomike: teoriya i prilozheniya [Optimal control of the economy: theory and applications]. Moscow, 2008, 224 p.

8. Braison A., Yu-shi Kh. Prikladnaya teoriya optimal'nogo

upravleniya [Applied theory of optimal control]. Moscow, 1972, 544 p.

5 мая 2015 г.