CC BY
22
УДК 681.121.89.082.4
© С.З. Шкундин, В.А. Румянцева, А.А. Жердев, 2011
АНАЛИЗ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ АКУСТИЧЕСКОГО СПИРОМЕТРА
Приводится численная оценка влияния изменения скорости звука в воздухе на точность измерения акустического спирометра. Авторами установлено, что погрешность измерения связанная с изменением скорости чрезвычайно мала, и ей можно пренебречь.
Ключевые слова: акустический спирометр, ассиметричный волновод, аэроакустическое взаимодействие, эффект доплера..
Акустический спирометр, разработанный для контроля ФВД у пациентов, должен быть приспособлен для работы в условиях повышенной влажности и постоянно изменяющейся температуры, поэтому изначально алгоритм работы акустического спирометра был разработан таким образом, чтобы результат производимых измерений не зависел от скорости распространения звука в среде. Но что делать, если скорость звука может изменяться непосредственно во время измерений?
Рассмотрим спирометрический канал в отсутствии потока. Скорость плоской акустической волны (поршневой или нулевой моды) с данной фазой (скорость с), будь то непрерывное излучение или отрезок радиоимпульса данной частоты, есть скорость распространения волнового фронта. Предположим, что эта скорость меняется на пути от х1 до х2 из-за изменения, например, температуры, давления или влажности воздуха.
Пусть скорость звука зависит от времени (есть функция с(т)). Если время прохода волновым фронтом с фазой ф базы от х1 до х2 есть т3 = т2 - т1, где т1 — время выхода фронта из х1, т2 — время прихода фронта в точку х2, тогда
u2
L = J c(x)d т, (1)
где L — расстояние от x1 до x2.
Пусть далее волновой фронт с фазой ф + Дф вошел в х1 в момент т1 + Дт1 и достиг х2 в момент т2 + Дт2. Если бы скорость распространения с(т) = const, тогда бы выполнялось равенство Дт1 = Дт2.
Но поскольку скорость звука не постоянна во времени, то окажется, что Дт1 Ф Дт2. Зависимость между ними и характеризует интересующую нас связь между периодом частоты f0 на входе участка х1 и периодом частоты f на выходе одной соответствующей координаты х2 .
Тогда, аналогично (1) можно записать:
Т2 +ДТ2
L = J c(x)dт (2)
Ti +ДТ1
Приравнивая (1) и (2) получим
T2 T2 +ДТ2
Jс(т)dт = J с(т)dт (3)
Ti Xi +Дт1
Из (2) следует, что
т1 +Дт1 т2 +Дт2
J с(т)dт = J c(f)dт (4)
т1 т2
По теореме о среднем [1] из (4) получим
^Дт = ^Дт,, (5)
где т1 < £, <т1 +Дт1; т2 < Ь < т2 + Дт2.
Можно выразить набег фазы на входе х1 за время Дт1 — промежуток между двумя помеченными плоскими фронтами с фазами ф и ф + Дф на входе.
Дф = 2nfo Дт1.
С другой стороны фронт ф + Дф регистрируется на приеме на Дт2 позже, чем фаза ф, наблюдаемая на выходе х2.
Дф = 2nf0 Дт1 = 2nf (к)Дт2.
На выходе х2 сдвиги фаз фронта ф и ф + Дф — одинаковы. Если ф + Дф достиг х2 через Дт2 после фронта ф, то:
т2 < к < т2 + Дт2.
Отсюда
f (6)
ATj f( к)
Переходя к пределу при Аф ^ 0, (т.е. Aij ^ 0 , Ат2 ^ 0) получим:
lim АТ2 = ^^. (7)
АТ1,АТ2 ^0 ATj f (т2)
С другой стороны из (5) получаем
lim ^ = £illi (8)
AtlAt2 ^0 Ат1 с(т2)
Итак, f (T2) = f0 ^Y2^. (9)
C(T1)
Заменим т2 на текущее время. Тогда сдвиг частоты в произвольный момент времени будет f (т) = f0 с(т) .
ФО
Вспоминая, что т3 = т2 - т1 — время прохождения фронтом, пересекающим х2 в момент т, спирометрической базы
L . Тогда т.к. т = т2, получим:
Д/(т)_/(т)-/с _/„-(^-т-/с _/с
С (т тз )
С (т) 1
’(т-тз) .
Если Ь мала, т.е. за время прохождения ее фронтом волны, ее скорость меняется мало, то есть
Ас = с (т)-с (-т3 )<< с (т) (11)
то можно положить
с(т-т3) = с(т)-—т3, где т3 =
ёс Ь
(12)
*3, *3 ,
а т с(т)
Ь мала и тогда окончательно:
с(т-т3) 0 атс(т)с(т-т3)
, и в силу (9):
А/ (т) = /о О-
с(т) ат
(13)
В итоге получается изменение частоты, обусловленное не движением источника или приемника сигнала друг относительно друг друга, а наличием зависимости изменения скорости движения звука в среде при прохождении расстояния от х1 до х2. Такое явление может быть названо нестационарным проявлением эффекта Доплера.
Проведем численный эксперимент. Пусть в начальный
м
момент времени Т0 скорость звука составляла с(Т0) = 330 (—)
с
и предположим, что за время одного измерения, вследствие совокупного влияния резких изменений температуры, давления и влажности, скорость звука изменилась на 1 м/с и соста-
С учетом того, что интервал времени достаточно мал, можно говорить о приближенном равенстве:
йс ^ Ас й т АТ
м -а
вила с(?1) = 331(—). АТ = Т1 -Т0 = 3.3 10-3(с).
с
Тогда изменение частоты для момента Т1 составит:
А/(?1)=/"С(^^' где (14)
/0 — частота акустических колебаний в момент времени Т0;
Ь = 64 • 10-3 — длина базы спирометра в метрах.
Для исходных данных, указанных выше, изменение частоты составит менее чем 0,017 %. Исходя из (14), настолько же может измениться и скорость потока. Следовательно, можно говорит о низкой чувствительности САПР к изменению частоты, которые могут произойти вследствие резкого изменения скорости распространения звука в спирометрическом канале, не значительны и не оказывают влияния на точность вычислений, производимых акустическим спирометром.
Зависимость от скорости звука в (14) тоже присутствует, но разность фаз обратно пропорциональна её квадрату, поэтому её влияние на конечный результат должно быть несущественным, т.к. значение скорости звука много больше единицы. Расчеты погрешности, связанные со скачкообразным изменением скорости звука, показали, что при её увеличении на 1 м/с (с 330 до 331) погрешность измерения акустического прибора увеличится не более чем на 0,00000554 %.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. — М.: Издательство «Наука», 1977. — 872 с.
