CC BY
25
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
НАУКА- ИННОВАЦИИ. ТЕХНОЛОГИИ, №2, 2017
удк 621.391.8 Малофей О.П. [Malofey О.Р.], Мапофей А.О. [Malofey А.О.], Шаньгина А.Е. [Shangina А.Е.]
АНАЛИЗ АЛГОРИТМОВ ПОМЕХОУСТОЙЧИВОГО КОДИРОВАНИЯ И ПОВЫШЕНИЕ ИХ ЭФФЕКТИВНОСТИ В СЛОЖНЫХ СИСТЕМАХ
Analysis of algorithms of interference coding and improving the efficiency in the complex systems
При создании новых технических решений необходимо обеспечить заданные значения технических параметров при минимально возможных затратах. Целесообразно использование принципа минимума затрат при ограничениях на технический эффект, а также на внешнее и внутренние параметры, характеризующие систему защиты информации от ошибок. Методологической основой решения задач оптимизации является теория исследования операций. Так как проектируется система защиты информации от ошибок, обеспечивающая требуемое значение показателя помехоустойчивости Р,тр при минимальных затратах Стр, то показатель эффективности всех допустимых проектов могут служить аппаратурные затраты на создание устройства надежности обработки Y], Задача оптимального математического программирования сводится к нахождению значений аргумента функции числа повторений сообщения т и вероятности искажения единичного символа кодовой комбинации Ро, которые минимизируют функционал, и решается классическим методом множителей Лагранжа.
When creating new technical solutions it is necessary to ensure the technical parameters which set cost is the lowest. It is advisable to use the principle of minimum costs and restrictions on the technical effect, as well as the external and internal parameters that characterize the information protection system errors. The methodological basis for solving optimization problems is also the theory of operations research. Since the system is created to protect information from error, providing the required noise immunity value of the indicator P3mp at minimum cost Cmp, the performance indicator of permissible projects may be instrumental in the creation of processing costs reliability of the device Yi. The problem of optima! mathematical programming is reduced to finding the number of repetitions of the function argument values of the message m and the likelihood of distortion of a single character codeword Po, which minimize the functional, and can be solved by a classical method of Lagrange multipliers.
Ключевые слова: множитель Лагранжа, минимум функции, задача оптимизации, функционал, целевая функция, мажоритарное декодирование, помехоустойчивость.
Key words: Lagrange multiplier, minimum of function, the task of optimization, functional, objective function, infotelecommunication system, majority decoding, noise immunity
Введение
Для определения эффективности инфотслскоммуникационных систем применяют следующие технические критерии: показатели помехоустойчивости (отношение сигнал/шум. вероятность ошибочного приема и др.), пропускная способность, надежность, комбинации различных технических параметров. Они характеризуют качество системы, ее технический уро-
вень. Однако, используя только технические показатели, мы локально оцениваем эффективность новой техники. Поэтому при создании инфотелекомму-никационных систем следует учитывать и аппаратурные затраты.
Исходя из этого, сформулируем принципы минимума аппаратурных затрат и максимума эффекта, на основе которых могут формироваться критерии эффективности различного назначения [1]. Принцип минимума затрат используют в тех случаях, когда при заданном эффекте требуется определить вариант г е 2, при котором обеспечиваются минимально возможные аппаратурные затраты. Если же при заданных затратах необходимо достичь цели в максимальной степени, приемлем второй принцип. Высокое качество приема информации достигается методом многократной передачи сообщения, который широко применяется в системах, работающих по каналам низкого качества, т. е. КВ радиоканалам. Использование в таких инфотелекоммуникацион-ных системах только первой решающей схемы связано со значительными аппаратурными затратами, необходимыми для обеспечения требуемого значения показателя помехоустойчивости. Поэтому эту задачу лучше решить, применив вторую решающую схему, которая гарантирует необходимый показатель помехоустойчивости [2].
Материалы и методы исследования
Оптимальные устройства и системы проектируют математическим методом с описанием его разработки. Методологической основой решения задач оптимизации технических систем является теория исследования операции [3]. Согласно этой теории, опишем систему связи и представим задачу технического проектирования в математической форме [4]:
тти(Х),Х = (х:,х2,...,хп) (1)
Фхк (X) = 0, (рх1 (X) < 0 (2)
<ру1(Х) = 0,<ру;(Х)<0 (3)
Сформулируем задачу: найти вектор внутренних параметров Хопт, удовлетворяющий равенствам и неравенствам (2), (3) и доставляющий минимум целевой функции и(Х).
Если на переменную наложены ограничения типа функциональных равенств, точку экстремального значения функции находят методом их исключения или методом множителей Лагранжа, когда переменные невозможно или затруднительно поставить в виде
ткш(Х),Х = (хьх2,...,х„);
(4)
(р^Х) = 0,1 = 1,2,.,.,т;т<п. (5)
При выборе параметров для оценки эффективности инфо-телекоммуникационных систем, работающих на каналах низкого качества и использующих многократное повторение, в соответствии с системным подходом в общем случае следовало бы учитывать все виды затрат, имеющие место при организации линии связи. Так как проектируется оптимальное устройство, обеспечивающее требуемую помехоустойчивость Р™р, при минимальных затратах Стр, показателем сравнительной эффективности допустимых проектов будет сложность устройства достоверности приема . Очевидно, в целевую функцию должен входить только этот параметр, поскольку согласно техническому заданию желательно его уменьшить:
о(У) = Ух=Сг+ С2,
где С1 -сложность первой решающей схемы, обеспечивающей получение символов сообщения с вероятностью ошибочного приема символа /\„ С2-сложность второй решающей схемы, обеспечивающей получение символа со значением эквивалентной вероятности ошибки I' ,. В результате имеем следующее техническое задание оптимального проектирования в математическом виде: заданы множества векторов внутренних и внешних параметров проектируемого устройства (хьх2); У = (у,. у2). компоненты которых XI = т. где т - аргумент числа повторений сообщения
£(т) = 2т-1;т = 2,3,4,...; х2 =Р0;у2=Рэт"
Запишем компоненты с помощью системы ограничений
Ф,
)2<х1 /2^7+0,5; 1 0 < х2 «1;
\Уг«Стр; \Уг«Р7-
Здесь - допустимое время доведения сообщения до абонента /д" ={к + г)! V. где к - число информационных символов в сообщении; г - число проверочных символов; V — скорость модуляции. Уравнение связи внешних и внутренних параметров:
У\ = А (КУ + АтоО»);* = I.2; 7 = и,3;
(6)
где d,a —
Р-
к-
ти радиосвязи в дециметровом диапазоне и при тропосферном рассеянии в метровом диапазоне - это разнесенный радиоприем сигналов. В общем виде определим помехоустойчивость систем с активной паузой и некогерентным приемом, использовав формулу для средней вероятности ошибки при о-крат-ном разнесении сигналов [5]:
Р0 (Л), = (и!/2(1 +А/2)(2 + h / 2)...(и + h / 2))
при п = 1; р0 = (1 /(А + 2):
Äsl/P0;« = 2;
P0(Ä)„ =l/(l + Ä/2)(2 + Ä/2);A2 =2/^
Подставив в вьфажение (8) значения для hi, получим при а = 1
С1=А1(1/Р0г-С;=А1(\4Р0У.
В тоже время С2 = Aiy,(m). где At. .42 - нормированные коэффициенты, а у,(т) - функция, определяющая сложность второй решающей схемы,
7\ О) - 2(m -1); у2 (т) - log2(w +1); уъ (w.) = 2 + log2 (т +1);
Д(т) = c2mm_!»1/2л 2(w"m_0'5(l/2-l)"mx((m-l)/(2m-1))_И1+0'5;
Ä(w) = 3'"-2+l.
Введем уравнения связи в целевую функцию и ограничения и запишем задачу оптимального математического программирования с нелинейным функционалом одним нелинейным ограничением в виде равенства и двумя ограничениями в виде неравенств
у2=Мт)Р0т;к = 1,2; (7)
С1=АДу=с1Ра к,ршу, (В)
постоянные коэффициенты, характеризующие тип передающих устройств, мощность передатчика,
среднее значение отношения сигнал-помеха [5]. Эффективное средство повышения помехоустойчивое-
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
Повышение эффективности сложных инфогепекоммуникационных систем
о{Х) = пш[4 (/г,) + А2у(/и)] (9)
(10)
2« т«15 (П)
Ю-3 <Р0<10-1. (12)
Результаты исследований и их обсуждение
Таким образом, рассматриваемая задача сводится к нахождению значений т и I',,. удовлетворяющих уравнениям (10)-(12) и минимизирующих фу нкционал (9). Она решена классическим методом множителей Лагранжа [6]. Для этого подставляем функцию
<р{Х) = рк(т)Р0т+ Ю-10 =0
с неизвестным множителем к в целевую фу нкцию трех переменных Х|.Х2./.:
у{Х,Х) = у(Х) + Л(р{Х).
Получаем задачу оптимального математического программирования без ограничений
тти(х>л)=тшМ <А)+Аг у] (т.) + л<р(Л1-
Х,л х,л (13)
Откуда оптимальные значения независимых переменных находим решением системы из трех уравнений
д[и(х,А)] = 0. д[и{х,х)] = ^
8X1 ЙХ2
<р(Х) = 0.
При А1 =\,а = \,А1 =100иГ]('я) = 2(гп-1)
данная система уравнений примет вид
2А2 + Щ (т)Р™ + ЯД (т)Р0и 1п Р0 = 0;
} + Щ(т)тР?А = 0, Л>
А(т)Р0т= 10"105
Откуда Я = А1/ /иД (т)Р™+ и окончательно получаем систему из двух уравнений
Р\ (т)тР0 тР0 Рх(т)Р™ -1СГ10 = О
(14)
В данной системе уравнений вызывает затруднение взятие производной от функции вида /;,(/;?) = С"2т1, поэтому имеет смысл использовать методику приближенных вычислений биномиальных коэффициентов:
где
Тогда
п= 1 Г*»;Г'». ц = \-Щ = - — -;Й = 2/и-1.
2т —\
г" >
2-Л
(2т-Щ ^¡1- М
2т -1А 2т
т(2т-Ц
2т -1
2т-1
(2т-1-т)(2т-1)
т ] 2т-1
2т-У
2л/2
т
•ш-0,5
\ -т/ .
1 1 I т -1
2т -1/ \2т-1
-(и-1)-0,5
Окончательно получаем
С" > 1 т"(т+0'5)[ 1 1 Т т~1 "2т~1 242."' \2т-\) \2т-\
-т+0,5
Следовательно, имеем
1 /и-(я+°.5)
т
\0.5-т
242 (2т-1)а5"2т
у¥(т) =
т + 0,5 т- 0,5 4т -1
--— +-----
т т -1 2т — 1 //|(»г) т2-ш + 0.5 Д(и) ~ т(»г-1)(2т-1)
Тогда систему уравнений (14) представим в следующем виде
.А,
1п Р0=-
Ч'(т) + 2—тР0
(15)
1
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
Повышение эффективности сложных инфсгелекоммуникационных систем
10+ЬД(;я)
^о=Ю т (16)
Решая методом итераций уравнение (15), получаем корни уравнения, сведенные в таблицу 1, а корни уравнения (16) в таблицу 2.
Таблица! КОРНИ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ In Р0
т 2 3 4 5 6 7
Ро 1,08*10-2 8*10-3 6,1*10"3 5,1*10-3 4,4*10-3 3,9*10"3
Таблица 2. КОРНИ УРАВНЕНИЙ ДЛЯ Р0
т 2 3 4 7 10 15
Ро 5,75*10"6 1,99*10"4 1,28*10"3 1,3*10"2 3,3*10"2 6,6*10"3
Аналогично решаем для у 2 (т) = log2 (т +1) и уг (т) = 2 + log2 (т +1).
Варианты решения этой системы для различных h, ,у. (т),ßk (т) сведены в табл. 3, где
VP(»0 = (т2~т + 0,5)/(т(т -\)(2т -1));
К(т) = (3'"-2\п3)/(3т-2 +1).
Искомое оптимальное решение х,„т получаем с помощью метода итерации. Подставляя в формулу (7) значения т„,„„., Pmmmh находим минимальное значение целевой фу нкции.
Графическое решение рассмотренных систем уравнений позволяет наглядно отыскать оптимальное значения внутренних параметров при требовании минимума затрат (рис. 1).
Представляет интерес оценить поведение целевой функции при отклонении значений внутренних параметров от найденных оптимальных.
На рис. 2. показано поведение целевой функции от Р0 при значениях т, удовлетворяющих условию (7). Аналитические записи построенных кривых сведены в табл. 2. Отклонение значений параметров от оптимальных приводит к заметному увеличению сложности проектируемых устройств. В то же время применение во второй решающей схеме комбинированных устройств мажоритарного декодирования повышает эффективность инфотелекоммуни-кационных систем (см. рис. 2, кривые 4, 5), работающей по каналам низкого качества 10 3 < i',, <10 и снижает затраты на создание систем защиты информации от ошибок, работающей по каналам пониженного качества. Кроме
Рис. ! Графическое определение параметров систем уравнений,
приведенных в таблице 3.
Таблица 3. ВАРИАНТЫ РЕШЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМЫ ИЗ ТРЕХ УРАВНЕНИЙ
ДНЯ РАЗЛИЧНЫХ /г,.(т),/Зк (т)
К п А<»> Система уравнений для Хопт
2(т-1) ЫР0=-[Ч'(т) + (2А2тР0)/А1]-,
1 /р0 пт рт _ л п-10 2и-1 0 _ 1 *'
1оё2(т + 1) 2т-\ 1иР0 = -\х¥(т) + {АгтР<))1 А{(т + \)Ъ.2)\, с?а.АГ=ю"10
2 + 1о£2(т + 1) 3""2+1 1п Р0=-[К(т)+(А2тР0)/А,(т +1) 1п 2)]; Зт~2 + Щт = 10_1°
2(т-1) /-1П ЫР0=-[Ч'(т) + (2А2тР^2)/А1];
2!у% с?т-Ат =ю-10
1оё2(т + 1) (-1т 1г, Ра = -[Ч>(т)+(А2тР^2)/А1 (т + 1)1п2)];
2 + 1с^2(т + 1) 3я"2+1 1пР0 =-[К(т)ЦА2тР'п)Щт+\) 1п 2)]; (3"-2+1)Р0и = 10-!0
тош, появляется резерв времени по сравнению с применением известных устройств мажоритарного декодирования, так как высокое значение показателя помехоустойчивости достигается при меньшем числе повторов сообщения.
Аналитические соотношения, описывающие поведение кривых, изображенных на рисунке 2, сведены в таблицу 4.
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
Повышение эффективности сложных инфсгелекоммуникационных систем
V(m, Po)
2000
1000
тз
6
т
Pi_Рз И
Ю-4 10-;: 10-= ю-'
Рис. 2. Поведение целевой функции У(т,Р0) вблизи оптимума при
использовании мажоритарных устройств.
Таблица 4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ЗАПИСИ ПОСТРОЕННЫХ КРИВЫХ
Функция Аналитическая запись N° кривой
Уг f-ит тут _ 1 Г1-10 2т-1 0 — 1U 1
Уг (3°,"2+1)Р0™ = 10 10 2
Ул 4(l/p0)° +42(т + 1) 3
Ул 4(l/P0r+41og2(/n + l) 4
у, 4(l/P0r+4[2 + log2(m + l)] 5
Вывод
В результате сопоставительного анализа возможных вариантов разнесенного приема, сдвоенных частично-разнесенным прием более эффективен, чем одиночный I',, < 10 3. Использование же устройств комбинированного мажоритарного декодирования расширяет заложенные потенциальные возможности метода многократной передачи, поскольку снижается число копий сообщения при заданных ограничениях на достоверность. Это уменьшает время доведения информации до получателя.
Библиографический список
1. A.C. 1439790 от 3.04.87 Малофей О.П., МалофейА.О. и др. Устройство для приема и мажоритарного декодирования информации.
2. Ключко В.И., Малофей О.П. Об одном классе устройств адап-
тивного мажоритарного декодирования кодов с повторением // Радиотехника. Вып. 64. Издательство ХГУ объединение "Вища школа", 1983. С. 73-77.
3. Патент №2023448 от 15.11.94 БИ №21 / Малофей О.П., Мало-фей А.О. и др. Устройство для исправления ошибок при многократном повторении сообщений.
4. Патент № 2152129 от 27.06.2000 БИ №18 Устройство коррекции ошибок с расширенным набором решающих правил / Малофей О.П., Малофей А.О. и др.
5. Патент №2012134 от 30.04.94. Опубл. БИ №8, 30.04.91 / О.П. Малофей, А.О. Малофей и др. Устройство для исправления ошибок при многократном повторении сообщений.
6. Просветов Г.И. Методы оптимизации: задачи и решения. Учебно-практическое пособие. М.: Изд-во "Апьфа-Пресс", 2009. 168 с.
7. Юрлов Ф.Ф. Технико-экономическая эффективность сложных радиоэлектронных систем. М.: Сов. радио, 1980. 277 с.
References
1. Certificate of authorship 1439790 from 03.04.87 apparatus for receiving and decoding the information of the majority
2. Klyuchko V.I., Malofey O.P. Aclass of devices adaptive majority decoding codes with repetition. Radiotehnika issue 64, KSU Publishing Association "Vishcha School", 1983, p. 73-77.
3. Patent № 2152129 from 27.06.2000 Bl №18. Malofey OP, SA Malofey and others. Error correction device with an expanded set of decision rules.
4. Patent № 2023448 from 11.15.94 Bl №21 Malofey O.P, Malofey A.S. and others. A device for correcting errors under repeated messages.
5. Patent № 2012134 from 30.04.94 Bl № 8. Malofey OP, SA Malofey and others. A device for correcting errors during repeated repetition of messages.
6. Prosvetov G.I. Optimization Methods: challenges and solutions. Educational and practical guide. M.: Publishing house "Alfa-Press", 2009. 168 p.
7. Yurlov F.F. Technical and economic efficiency of complex electronic systems. M.: Sov. Radio, 1980. 277 p.
