CC BY
18
валков, не имеющих скосов, АОшл оп = 0,6 мм, а
шлифовочные выпуклости рабочих валков выполнили в соответствии с табл. 2.
Таблица 2
Шлифовочные выпуклости рабочих валков, в зависимости от ширины полосы и межперевалочной кампании валков, АВшл р , мм
Ширина полосы, мм Менее 1100 1100-1280 Свыше 1280
Начало кампании опорных валков + 0,1 - 0,05 - 0,1
Конец кампании опорных валков + 0,2 + 0,2 + 0,2
Как видно из табл. 2, при прокатке полос шириной более 1100 мм в начале кампании опорных валков без скосов требуются рабочие валки с вогнутой профилировкой. По мере износа опорных валков вогнутость уменьшают и в конце их кампании используют рабочие валки с выпуклостью 0,2 мм.
Промышленные испытания новых профилировок и их влияния на шероховатость холоднокатаных полос производили в 5-й клети 5-клетевого стана «1700» в течение трех месяцев - с ноября 2010 г. по январь 2011 г. За этот период в клети отработали 4 межперевалочные кампании опорных валков. Наработка за кампанию, в зависимости от качества материала валков и сложности сортамента, составила от 30 до 50 тыс. т. В конце кампании первоначальная выпуклость бочек опорных валков уменьшалась за счет их износа до 0-0,15 мм.
Основные результаты испытаний выпуклых опорных валков без скосов по краям бочки состояли в следующем.
1. Вненормативная шероховатость с показателем
Ra > 1,9 мкм на поверхности прикромочных участков полос шириной более 1400 мм исчезла сразу же после установки в 5-ю клеть опорных валков с новой профилировкой. От начала и до конца кампании опорных валков показатель Ra по всей ширине полос находился в диапазоне 1,5... 1,8 мкм, разница значений Ra в средней части и вблизи кромок не превышала 0,2.0,23 мкм, светлые полосы в прикромочных участках исчезли, т. е. широкие листы автомобильного сортамента стали полностью удовлетворять по шероховатости техническим условиям автомобильных заводов.
2. Увеличение отсортировки металла по неплоскостности и другим дефектам в период испытаний не наблюдалось, в том числе - при производстве листов минимальной толщины (до 0,28 мм) и ширины (990. 1015 мм).
На основании результатов промышленных испытаний выпуклые профилировки опорных валков без скосов на 5-й клети 5-клетевого стана «1700» и измененные выпуклости (вогнутости) рабочих валков были приняты к постоянному использованию в производстве.
Литература
1. Беняковский, М.А. Справочник. В 3 кн. Кн. 3. Технология прокатного производства / М.А. Беняковский, К.Н. Богоявленский, А.И. Виткин и др. - М., 1991.
2. Мазур, В. Л. Управление качеством тонколистового проката / В.Л. Мазур, А.М. Сарьян, И.Ю. Приходько, А.И. Яценко. - Киев, 1997.
3. Третьяков, А.В. Расчет и исследование прокатных валков / А.В. Третьяков, Э.А. Гарбер, Г.Г. Давлетбаев. -М., 1976.
4. Целиков, А.И. Машины и агрегаты металлургических заводов. В 3 т. Т. 3. Машины и агрегаты для производства и отделки проката: учеб. для вузов / А.И. Целиков, П.И. Полухин, В.М. Гребеник и др. - М., 1981.
УДК 517.958:621.74.047
З.К. Кабаков, Д.И. Бородин, И.Ю. Мазина
АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЗАТВЕРДЕВАНИЯ ПЛОСКОЙ ЗАГОТОВКИ НА ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКЕ НЕПРЕРЫВНОЙ РАЗЛИВКИ МЕТАЛЛА
В статье приводится постановка и аналитическое решение двумерной задачи затвердевания плоской заготовки на горизонтальной установке непрерывной разливки.
Задача затвердевания, двумерная задача Стефана, аналитическое решение, непрерывное литье.
The article considers the statement and the analytical solution of a two-dimensional problem of flat blank solidification on a horizontal continuous-casting machine.
Solidification problem, Stefan two-dimensional problem, analytical solution, continuous casting.
Необходимым условием успешного развития лю- дернизация используемых в производстве техноло-бого металлургического предприятия является мо- гий и технического оснащения, а также внедрение
инновационных разработок в области техники и технологии производства металлопродукции, обладающих преимуществом с точки зрения ресурсо- и энергосбережения.
Одним из инновационных направлений в непрерывной разливке металла является производство заготовок, близких к готовым изделиям. В работах [1], [3], [4] приведен метод горизонтальной непрерывной разливки металла, который позволяет получать прутки толщиной не более 10 мм с гладкой поверхностью. В этом методе струя жидкого металла затвердевает во взвешенном состоянии с использованием поля электромагнитных сил, которые возникают при скрещивании магнитного поля и электрического тока, пропускаемого через заготовку. Схема установки приведена на рис. 1.
2—\-~ -
и %1
-— —_ и&— ■-■
- -
л
^^Ь V
ИР
+ -
Рис. 1. Схема установки литья: 1 - электрод; 2 - промежуточный ковш; 3 - жидкий металл; 4 - стакан;
5 - электромагнит; 6 - водяное охлаждение; 7 - готовая заготовка; 8 - ролики; / = I ■ В - электромагнитная сила; I - плотность тока в заготовке; В - индукция магнитного поля
Устройство для литья состоит из промежуточного ковша 2. После выхода из разливочного стакана 4 металл 3 поддерживается электромагнитной силой /, возникающей в струе при скрещении во взаимно перпендикулярных направлениях постоянного магнитного поля В и постоянного электрического тока I. Магнитное поле создается электромагнитом 5. От жидкого металла к затвердевшему проходит ток, подводимый с помощью электрода 1 и роликов 8. Жидкий металл охлаждается сначала за счет излучения и свободной конвекции, а затем водой 6. Затвердевшая заготовка 7 вытягивается роликами.
В найденных источниках отсутствуют методики обоснования данного устройства. Главным конструктивным параметром установки является глубина жидкой фазы, которая зависит от скорости вытягивания прутка и интенсивности его охлаждения.
Для обоснования основных конструктивных и технологических параметров установки необходимо исследовать влияние этих параметров на длину жидкой фазы. Такое исследование можно выполнить только на основе решения задачи затвердевания плоской заготовки. Наиболее просто это решение можно получить аналитическим путем.
В данной статье для решения поставленной задачи рассматривается процесс затвердевания и охлаждения плоской заготовки в продольном сечении,
проходящем через середины широких граней. Предполагается, что процесс затвердевания проходит симметрично, поэтому в качестве расчетной области выбрана половина сечения. Скорость литья V полагается неизменной, а плотность металла р и теплопроводность X - постоянными, не зависящими от температуры.
Расчетная область (рис. 2) состоит из трех участков, каждому из которых соответствует своя функция температуры Т = Т(х, г, /). Участок 1 занят жидкой фазой, участки 2 и 3 - твердой фазой. При переходе из зоны поддержки (участки 1 и 2) в зону охлаждения (участок 3) значение коэффициента теплоотдачи а изменяется с а1 на а2.
а1
а2
Рис. 2. Схема расчетной области: S - половина толщины заготовки; е - длина жидкой фазы; I - длина зоны поддержки
Математическая постановка задачи выглядит следующим образом. Имеется система уравнений теплопроводности
ЭТ - Э2Т Э2Т
-Т = "ЭТ"' ЭТ2 э2т, э2т,
ЭТ3 Э2Т3 Э2Т3
"ЭТТ = Х!Т+1_ЭХ2~
с граничными условиями:
г = 0: г = е:
г = I:
г = да: х = 0:
х = £:
Т = Т0;
. ЭТ1 . ЭТ2
1—1 - Lрv = 1—-; Эг Эг
Т = Т2 = Ткр;
Эг Эг
Т = Т ■
2 13>
Т = Т ;
13 -'ср '
-1ЭТ=0;
Эх
=а<Т - ) •
а =
а1, 0 < г < I; а, I < г <
х
1
2
3
+
1
3
е
Оценим значение критерия Б1 в направлении оси х заготовки при максимальном значении
а2 = 5000 Вт/(м2 • К) (охлаждение водой), максимальной толщине заготовки 2S = 10 мм и 1 = 236 Вт/( м • К) (для алюминиевой заготовки).
безразмерная координата; Ре - критерий Пекле; Б1,- -критерий Био (/' = 1, 2); Kз - критерий затвердевания; Е - безразмерная координата фронта затвердевания; 0кр - безразмерная температура кристаллизации;
L1 - безразмерная длина зоны поддержки.
В безразмерных величинах задача примет вид:
0,005 • 5000 __
Bi = --= 0,106.
236
Так как Б1 < 0,24 [2], то по толщине заготовка является термически тонким телом.
С учетом последнего замечания проинтегрируем первое уравнение системы по х от 0 до S с учетом граничных условий при х = 0 и х = X
Pe ^ = ^ - Bi101;
dZ dZ2 1 1
„ эе2 э2е2 „ Pe —=—2 -Bi,e2; dZ dZ2 1 2
„ de3 d2e3 n Pe — = —3 -Bi2e3;
dZ dZ2 2 3
(1)
| cpv —L dx = | 1 ° 1 dx + | 1
d2T
dz
dz2
d2T1 dx2
dx;
a,
cpv H = " IT(T - T*).
Таким же образом преобразуем второе и третье уравнения системы. В результате получим одномерную задачу:
dT1 . d2T a1 , CPV - S (T - Tcp ) , 0 £ z <e;
dT
d 2T
a
cpv = - -i(T2 -Tcp), z </;
dz
dT d2T
cPv^ = ^ -a2T -TcP), /
dz dz
S
<z
с граничными условиями: z = 0: 1 = T0;
. dTl dT2
l—1 - LPV = z = e: i dz dz
T = T2 = Tр;
= 1^; z = l: i dz dz
T = T ■
1/ 2 J3'
z = ¥ : 73 = ^ .
Для упрощения дальнейших вычислений перейдем к безразмерным параметрам:
T1 Tq, , е = T2 ^р ; е = T3 ^ ■
е> = т о-т
Pe =
cp vS
a1S
a, s
Bi. = Bi2 = Kз =
Z = z; S
L
з c'
(T0 -Tcp)'
e T - Г l
w— ■ fl - кР сР • т -
E = - ; екр = --- ; L = - ,
S р T0 - T^ 1 S
где 0,. - безразмерная температура (i = 1, 2, 3); Z -
граничные условия:
Z = 0:
Z = E:
Z = L1 :
Z = ¥:
е1 =1;
эе1
dZ
е1 = е2 = екр ;
— Pe • Кз А dZ 3 dZ
dg2 =863 dZ " dZ
е2 = е3;
е3 = 0.
(2)
(за)
(зб)
(4)
(5)
Все уравнения системы (1) представляют собой линейные дифференциальные уравнения II порядка. Решением системы являются функции:
е1 = Се" + С2еЬ;
bz.
е2 = С3еа + С4е'
е3 = С5еа2 z + С6еЬ z
где
а =
Pe + J Pe2 + 4Bi1 Pe-<J Pe2 + 4Bi1
а =
Pe + Pe2 + 4Bi2 Pe Pe2 + 4Bi
' Ь2 =
2
2
Для определения неизвестных постоянных C1,..., C6 используем граничные условия. Из условия (5) limе3 = lim(С5е"2г + С/22) = 0. Это условие выполняется только в том случае, если C5 = 0 (так как а2 > 0 и е"2z ® ¥). Следовательно, 03 = С6еЬ2z.
Из (2), (3б) и (4) составим систему
S
0
0
0
2
2
2
1
C1 + C2 - q0; 2e
C1eaE + C2ebE -1;
C3e + С4ebE -1;
С3ae^ + C4bebL' - C6b2e^;
СeaL1 + СebL -Ce^A,
-1 aeaE +^ME.b^ - K Pe -
AE aE ae + „4Е „aE be KPe
e -e ebLl
a-b
e -e
aeaE +
,aL1
2 e"L_+bE + eaE+bL eL +ье + b2 b e"E+bL1
beb
b2 - b
a - b
решая которую, находим
Упростим данное уравнение:
C -
9oebE -1.
ebE -eaE ;
C - 1 -0oe
2 bE aE
e -e
3 a - b,
C4 -
2 ea^1 +bE + eaE+bL b2 - b
eaL1
eah1+bE + b2 - b eaE+bL
a-b
C -
e
(b+a-b2 )L1
(a - b)
eaL,+bE (a - b2) + ea+bL (b2 - b)' Запишем выражения для температурных полей:
01 -
0oe -1 eaz + 1 -q,eaE ebz;
bE aE
e -e
bE a E
e -e
ebL
02 --й
2 a - b,
-eaZ +
2 ea^1 +bE + eaE+bL b2 - b
e
aL1
4Z .
eaL1 +4E + b_^ eaE+bL.
a-b
(6)
(7)
b - ae(a-A)E +90eaE (a - b)
bE aE
e -e
a
+
- K Pe -b
a - b2 e(a-i)(i1 -E) + 1 1 + b2 - b e(a-b)(E-Ц)
b2 - b a - b2
(9)
2
Таким образом, получено решение задачи в безразмерных величинах, включающее поля температуры на всех трех участках расчетной области (6)-(8) и уравнение для определения границы фазового перехода (9). Решение уравнения (9) может быть получено с помощью математического пакета МаШСЛБ для конкретного набора исходных данных.
Полученное решение позволяет исследовать влияние толщины заготовки, длины участка поддержки жидкого металла, интенсивности охлаждения твердой части металла и скорости вытягивания плоской заготовки на длину жидкой фазы и обосновать основные конструктивные и технологические параметры горизонтальной установки непрерывной разливки с электромагнитным подвешиванием металла. Кроме того, данное решение можно использовать для тестирования численного решения рассматриваемой задачи.
Литература
где
0-
e
(b+a-b2 )L1
(a - b) ^
3 eaL1 +bE (a - b2) + e^+bL1(b2 - b)
(8)
Pe + ^Pe2 + 4Bi1 Pe -^Pe2 + 4Bi1
' 2 ; - 2 ; Pe Pe2 + 4Bi2
b2=
2
Для определения безразмерной координаты фронта затвердевания воспользуемся граничным условием (3а). Подставив в него выражения для 91 и 02, получим уравнение относительно Е:
1. Каваками, К. Модернизация технологических процессов в черной металлургии Японии / К. Каваками // Черные металлы. - 1988. - № 13. - С. 3-12.
2. Фокин, В.М. Основы энергосбережения в вопросах теплообмена / В.М. Фокин, Г.П. Бойков, Ю.В. Видин. - М., 2005.
3. Asai, S. Birth and resent activities of electromagnetic processing of materials / S. Asai // ISIJ International. - 1989. -Vol. 29, № 12. - P. 981-992.
4. Takeuchi, S. Stability analysis of free surface of liquid metals levitated by electromagnetic force / S. Takeuchi, J. Etay, M. Garnier // ISIJ International. - 1989. - Vol. 29, № 12. - Р. 1006-1015.
