Аналитическое решение задачи о зажигании стены деревянного дома в результате действия фронта лесного пожара Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2010 Математика и механика № 3(11)

УДК 521.534:536.245.022

А.М. Гришин, П.В. Пугачева АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ЗАЖИГАНИИ СТЕНЫ ДЕРЕВЯННОГО ДОМА В РЕЗУЛЬТАТЕ ДЕЙСТВИЯ ФРОНТА ЛЕСНОГО ПОЖАРА

Дается краткий обзор работ по проблеме природных (лесных и степных) пожаров и приближенное аналитическое решение задачи о зажигании деревянной стены фронтом лесного пожара. Предлагается программа дальнейших исследований перехода природных (лесных, степных) пожаров на деревянные строения, поселки и города.

Ключевые слова: природные пожары, горение древесины, действие фронта природного пожара на деревянные строения, аналитическое решение задачи, физическое и математическое моделирование возникновения городских пожаров.

Известно, что во многих случаях в результате действия лесных пожаров на отдельные деревянные постройки в поселках и городах, расположенных на территориях, покрытых лесом, возникают пожары [1]. В частности, в г. Лос-Аламос (США) в мае-июне 2000 года имел место массовый городской пожар, причиной которого послужил лесной пожар [2, 3]. В связи с этим представляет интерес физическое и математическое моделирование воспламенения стены деревянного дома в результате действия фронта лесного пожара.

Цель исследования заключается в определении времени зажигания стены деревянного дома, что позволит планировать организацию тушения пожара.

Для получения аналитического решения этой задачи были приняты следующие основные допущения:

1. Начальные температуры фронта лесного пожара ТГ и деревянной стены ТН известны.

2. На границе раздела сред (зона пожара - деревянная стена) имеют место теплообмен в результате действия процессов излучения и теплопроводности, а также гетерогенные процессы испарения воды и горения древесины.

3. Наряду с процессом теплопроводности при решении задачи учитывается перенос окислителя (кислорода) к границе раздела стены и фронта пожара, в результате чего на поверхности деревянной стены происходит гетерогенная (процесс испарения) и экзотермическая гетерогенная реакция горения.

4. Условием зажигания является достижение на границе раздела сред критической температуры ТД = Т* >> ТН .

5. Предполагается, что зажигание происходит до момента окончательного прогрева деревянной стены.

На рис. 1 показаны зоны 1 и 2. В первой зоне представлена область 1, где имеет место лесной пожар и при / = 0 температура равна ТГ , а область 2 - деревянная стена, на которую действует фронт лесного пожара. Структура древесины об-

суждается в монографии [3], где отмечается, что она является пористым телом, в которое могут проникать жидкости и газы. Эти процессы на качественном уровне подробно рассмотрены в [4] с использованием известных экспериментальных данных. В работах [3 - 6] обсуждаются закономерности возникновения различных катастроф, в том числе и пожаров.

Предположим, что уравнение теплопроводности для зоны пожара и слоя древесины имеют вид [7]

где а = 'к1/ р1су1 и а2 =Х 2/ р2су2 - коэффициенты температуропроводности во

среды природного пожара, Дж/(м-с-К); Х2 - коэффициент теплопроводности дре-

ность древесины, кг/м3; су1 и су2 - теплоемкости газа в зоне пожара и древесине, Дж/(кг-К); / - время, с; х - координата, м; Т1 и Т2 - температуры в зоне пожара

и в слое древесины, К.

Будем считать, что на границе раздела сред выполняются условия равенства температур фронта пожара и древесины и баланс тепловой энергии с учетом окисления древесины и испарения воды из нее:

Здесь ТГ - температура горения во фронте лесного пожара, К; е - коэффициент

Л

1

2

Область

Область

расположения фронта лесного пожара

расположения

деревянной

стены

>

х < 0

0

х > 0

Рис. 1. Область определения основной системы уравнений

1. Математическая постановка задачи

о зажигании деревянной стены

(1)

фронте пожара и деревянной стене, м2/с; Х1 - коэффициент теплопроводности

весины, Дж/(м-с-К); р1 - плотность среды природного пожара, кг/м3; р2 - плот-

(2)

черноты; ст - постоянная Стефана - Больцмана, Дж/(м2-с-К4) [7]; R - универсальная газовая постоянная, Дж/(моль-К); MB - молярная масса воды, кг/моль; Tw - температура на границе раздела сред, К; А - эмпирический множитель; q1 -теплота испарения воды, Дж/кг; pw и pe - известные давления на границе раздела сред и в окружающей среде, Па; q2 - тепловой эффект горения древесины,

Дж/кг; ск - концентрация кислорода на границе раздела сред; k2 и E2 - пре-дэкспоненциальный множитель, м/с, и энергия активации, Дж/моль, для скорости гетерогенной реакции окисления древесины.

Кроме того, необходимо учесть начальные и граничные условия при х — -оо :

Т1 li=0 = ТГ , lim T1 = ТГ (3)

х—-о

и при х — о :

Т2 li=0 = Тн, lim Т2 = Тн . (4)

х——о

2. Аналитическое решение задачи

Используя результаты исследований, опубликованных в [7], для уравнения теплопроводности (1) при х < 0 имеем решение

г х л

Т = A1 + В1Ф

()

где А1 и В1 - произвольные постоянные, а Ф - функция ошибок [7].

Для второго уравнения (1), описывающего распространение теплоты в древесине при х > 0, согласно [7], имеет место другое общее решение:

Т2 = А2 + В2Ф

24a2i,

(6)

Здесь А2 и В2 - произвольные постоянные. По определению [7]

2 Г _?2

Ф(х) = —:= [ e ^ d^ . л/л 0

(7)

Видно, что в начальный момент времени температура в левой части области определения основной системы уравнений соответствует температуре горения во фронте лесного пожара, т.е. при х < 0 имеем

П=о = Тг . (8)

Из первого граничного условия (2) следует с учетом (5) и (6), что

А: = А2. (9)

Используя выражения (6) и (7), находим

дТ1

дх

- В

~2= exp (-х2)

Ып .

1

В

Jna1t

(10)

х=0

Т

дх

х=0

2 2 ’ В2-=ехр(-х )

. Ып .

В2

2у[а^ у]па2ґ

Из граничного условия (3) при х ^ -о получим

А + в = тг ,

а с учетом граничного условия (4) при х находим

А2 + В2 = ТН ,

(П)

(12)

(13)

Подставляя формулы (10) и (11) во второе граничное условие (2), получаем уравнение

в2

-^па2ґ

= &<зТГ - Х1

в1 4А(Рк - Ре )

^па2ґ -^2пЯМВТ№

+ ?2Р2к2С™ еХРІ -

А

ят

(14)

Таким образом, имеем систему уравнений (9), (12), (13) и (14) для определения четырех неизвестных А1, А2, В1.В2. Из выражений (9), (12) и (13) получаем

А = Тг - А, (15)

В2 = Тн - тг + Д. (16)

Подставляя (16) в уравнение (14), после соответствующих преобразований

имеем

В, (Г) =

т 4 , Х 2 (ТГ - ТН ) Ч\А(Рм, - Ре ) ,

еа!г +----------------------------.-. ^^ +

у}па2ґ у]2пЯМВТК

Е2

+42к2Р2См, ЄХРІ -

ят„.

(17)

Подставляя (20) в (18), найдем выражение для В2(г).

Далее следует определить неизвестное значение концентрации кислорода на поверхности древесины с№, входящее в выражение (2). Для этого используем

уравнение, описывающее диффузию кислорода:

* = в

д-С

-о < х<0 .

дг дх1

Здесь В - коэффициент диффузии; с - концентрация кислорода. Это уравнение имеет аналитическое решение [7]

I |х|

с = а + рФ! —-

(18)

(19)

,24ш ) '

Для определения неизвестных величин а и в используем начальные и граничные условия

с

= с„, сі „ = С,

(20)

где сН и с-0 - известные начальные значения концентрации и концентрации при

х ^ -00 .

Кроме того, на границе раздела сред имеется гетерогенная реакция окисления, поэтому справедливо условие

п дс Р2 П^Т

дх

= -k2p2Cw ЄХР|-Rr I • (21)

Подставляя (19) в граничное условие (21), получим

Из (19), (20) следует, что плотность кислорода на границе раздела сред при х = 0 равна

с№ = а . (23)

Из (19), с учетом того, что в нашем случае Ф| х=-ш = 1, имеем

а = сН - р . (24)

Используя (22) - (24), получим

сн4Ъ

VD + уркїк2 exp I — E

RTw

(25)

Окончательное выражение для концентрации кислорода после преобразований будет иметь вид

е^ 1Фм*!

4D + 4лік2 exp I---------— |ф

c =---------------v RT„ J ^ 12^tj c . (

■Jd + \fntk2 exp I-—

4 RTw

Легко видеть, что cw - концентрация окислителя на границе раздела сред, которая должна быть всегда меньше 1, что следует из определения cw. Поскольку предэкспоненциальный множитель k2 << 1, то cw при Ew имеет порядок

СХ ^ж<<1. (26)

Этот результат согласуется с физикой процесса гетерогенного воспламенения.

Представленные в работе результаты исследования перехода лесных пожаров в городские и поселковые исчерпывают проблему анализа действия природных пожаров на населенные пункты. Очевидно, что необходимо сравнить статистические данные по действию природных пожаров и использовать более точные математические модели прогноза катастроф [4-6] и численные методы решения задач математической физики [8]. Очевидно, что для создания баз данных математических моделей необходимо использовать методы решения обратных задач математической физики [9].

На рис. 2 представлен график изменения температуры в зависимости от пространственной координаты х , а на рис. 3 - изменения концентрации кислорода.

х, м

Рис. 3. График изменения концентрации кислорода в зависимости от пространственной координаты х при Г = 100 с

Заключение

Надо сказать, что в данной работе рассмотрена одна из простейших задач жизнедеятельности человека - сохранение жилищ, построенных из древесины, от действия лесных и степных пожаров.

Результаты исследований, которые представлены в данной работе нуждаются в дальнейшем развитии. В частности, необходимо учесть пористость и проницаемость древесины, а также анизотропию ее структуры [10]. Необходимо наряду с теоретическими исследованиями провести экспериментальные исследования действия лесных пожаров на поселки и города с использованием комплекса экспериментальных установок [11].

Используя методы [9-11], создать базу данных для численного решения задачи (значения коэффициентов теплопроводности и диффузии, пористости, скоростей испарения воды из пор и гетерогенных и гомогенных химических реакций.

ЛИТЕРАТУРА

1. Шойгу С.К., Копылов Н.П., Баратов и др. Пожарная безопасность. Энциклопедия. М.: МЧС России, ФГУ ВНИИ ПО МЧС России, ЗАО «Голден-Би», 2007. 405 с.

2. Ramos O. Cerro Grande canyons of fire, Spirit of community / Octavio Ramos, Jr. Chris Pearly et al.; рrepared by Los Alamos National laboratory, 2001. 188 p.

3. Гришин А.М. Моделирование и прогноз катастроф (основные определения и понятия теории катастроф и общие закономерности их возникновения и развития) Томск: Изд-во Том. ун-та, 2002. 122 с.

4. Гришин А.М. Моделирование и прогноз катастроф. Ч. 1.Томск: Изд-во Том. ун-та, 2003. 524 с.

5. Гришин А.М. Моделирование и прогноз катастроф. Ч. 2. Кемерово: Практика. 2005. 560 с.

6. Гришин А.М. Петрин С.В., Петрина Л.С. Моделирование и прогноз катастроф. Ч. 3. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2006. 575 с.

7. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964. 487 с.

8. Гришин А.М., Зинченко В.И., Ефимов К.Н. и др. Итерационно-интерполяционный метод и его приложения. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2004. 320 с.

9. Гришин А.М., Зинченко В.И., Кузин А.Я. и др. Решение некоторых обратных задач механики реагирующих сред. Томск: Изд-во Том. ун-та, 2006. 418 с.

10. Харук Е.В. Проницаемость древесины газами и жидкостями. Новосибирск: Наука, 1976. 190 с.

11. Гришин А.М., Зима В.П., Кузнецов В.Т. и др. Комплекс экспериментальных установок для исследования природных пожаров // Изв. вузов. Физика. 2009. № 2/2. С. 84 - 89.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ:

ГРИШИН Анатолий Михайлович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой физической и вычислительной механики Томского государственного университета. E-mail: [email protected]

ПУГАЧЕВА Полина Викторовна, аспирантка кафедры физической и вычислительной механики механико-математического факультета Томского государственного университета. E-mail: [email protected]

Статья принята в печать 21.06.2010 г.