Аналитическое решение для компонент электрического поля в среде расположения подземных коммуникаций Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ СОВМЕСТИМОСТЬ

УДК 621.311

Б.В.Ефимов, А.С.Карпов, Ю.М.Невретдинов

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ДЛЯ КОМПОНЕНТ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ В СРЕДЕ РАСПОЛОЖЕНИЯ ПОДЗЕМНЫХ КОММУНИКАЦИЙ*

Аннотация

Показаны результаты интерпретации решений для векторного потенциала поля диполя, для расчетов напряженности электрического поля в нижнем полупространстве. Показаны зависимости изменения характеристик поля от удаления и электропроводности грунта, а также возможности ограничения объемов вычислений по заданной погрешности.

Ил. - 3, библиогр. - 4 назв.

Ключевые слова:

электрическое поле, электромагнитная совместимость

B.V.Efimov, A.S.Karpov, Y.M.Nevretdinov

THE ANALYTICAL SOLUTION FOR THE ELECTRIC FIELD COMPONENTS IN THE MEDIUM LOCATION OF UNDERGROUND UTILITIES

Abstract

Shows the results of interpretation of solutions for the vector potential dipole field, to calculate the electric field in the bottom half. Shows the variation of field characteristics on the distance and the electrical conductivity of soil, as well as ways to limit the amount of calculations for a given error.

Keywords:

electric field, electromagnetic compatibility

Для решения задач электромагнитной совместимости с высоковольтной сетью, в том числе исследований индуктивного влияния аварийных токов в воздушных ЛЭП, расположенных вблизи подземных коммуникаций, необходимо определение параметров электромагнитного поля, созданного аварийным током в воздушной линии. Расчет распределения продольной Э.Д.С. в среде расположения подземных коммуникаций от аварийного тока в воздушной линии возможен с помощью интерпретации общего решения для поля диполя с током, получаемого в виде векторного потенциала. При этом источник электромагнитного поля представляется совокупностью диполей с током, а результирующее поле в произвольной точке пространства является суперпозицией полей этих диполей.

Рассмотрим поле диполя с током, расположенного над землей на высоте h (рис.1).

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 09-08-00276).

Рис.1. Компоненты электрического поля диполя в нижнем полупространстве

На рисунке показано расположение осей декартовой системы координат, диполя с током и векторов напряженности поля. Горизонтальный электрический диполь, расположен в точке г = И на оси г и ориентирован в х - направлении, причем, декартовы координаты выбраны так, что плоскость г = 0 соответствует поверхности земли, а полупространство г > 0 занимает верхняя непроводящая область с параметрами (є0, ц0). Здесь Я - расстояние от центра диполя до расчетной точки; г - проекция Я на плоскость х, у.

Нахождение составляющих напряженности электрического поля диполя для случая расположения расчетной точки в той же среде, где находится сам диполь, было рассмотрено в [1].

Согласно [2] общие выражения для векторного потенциала в однородном нижнем полупространстве имеют следующий вид при г < 0:

тії ^

Ах = — | М{А)-ви( Я)г30(Я т)с1Я (1)

4я о

Б(Я) • /(Я>г - Г|- М(Я) •еи(Л>г

•30(Я-г )аЯ

где и(Я) = ^/Я2 + у2 ; ио(Я) = ф?+у1, а У о = _8 о о и У = ¿-^оюст -постоянные распространения в воздухе и в грунте V (Я) = и (Я) .

В выражении (1) необходимо определить входящие в основные уравнения компоненты М(Я) и В(Я), которые выводятся из граничных условий при г = 0 и имеют следующий вид:

В(Я) = --

Ио(Я)^ (и(Я) ч-ио(Я)) ио(Я) + (Уо- I •У(Я)

у

■М(Я)

М (Я) =

V ио(Я

1+

ио(Я) - и (Я) ио(Я) + и (Я)

-ио(Я) • И

(2)

(3)

Выражения для компонент поля Ех, Еу и Ег для нижней полусферы могут быть получены из соотношений (исходя из уравнений Максвелла с учетом условий, которым удовлетворяет векторный потенциал):

Ех =

1

а

-1- •Ах +

д Г дАх дА,

дх

1 д ГдА

Е =------------

у а ду

дх д,

дА,

■ + ■

дх д,

Е, =

1

і •єо •«

-1 ^А, + —

д ГдАх дА,

д, V дх

+

д,

(4)

(5)

(6)

Однако, использовать уравнения (4-6) в представленном виде нельзя, так как значения Ах, Аг, позволяющие исключить векторный потенциал, неизвестны. Поэтому, для нахождения компонент напряженности электрического поля как функций координат в общем случае, подставим уравнения (1-3) в уравнения (4-6).

Преобразуем выражение (1) для А г, содержащее частную производную

по х. Учитываем, что

В(Я) • е

У(Я)^

и(Я)

Я2

М(Я)-е

от х не зависит,

а 30(Яг(х)) - непрерывная функция Бесселя [3] первого рода нулевого порядка

имеет

определяется

непрерывную производную и

— 10(Я-г) = -—-.ТДЯ-г(х)). Тогда Аг можно представить в следующем виде:

5х г

как

Ійі

4л

Б (Я) -е;

V (Я)-г

и (Я) Я2

■М Я е1

и (Я)-г

Ях

31(Яг (х))

йЯ.

Введем обозначения:

РДМ) = В(Я)-е¥(Я> 2-[Ш ) М(Я)^еи(Я>2 и Р2(Я,,) = М(Я) • еи(Я) 'г, Р(Я, г)

и Р2 (Я, г) учитывают характеристики среды у и (Я), И и не зависят от х и у.

Рассчитав частные производные дАх- и дА^, получим выражение для сііу А

дх дг

Л • Г(х)) • [) • Р1 (Я,,) + Р- (Я, ,)].

х

О

I • 81

4л

gradxdiv A=—(8A+') = 8x ^ 8x 8z )

( Д 12 "

J^-r(x)) + — -Jo(y-r(x))

Ir(x))

r(x) ^ r(x)

Аналогично получаем:

• [U[ [(A, z) +P2(A, z)];

8 (8A 8A

I • 8l 4л

grad div A = - ,

y 8y ^ 8x 8z

^ jo(y ^ r(x)) + , 2A x3 y '1 • r(x))

r (x)

r (x)

• [U (A) • P1 (A, z) + P2 (A, z)] dA;

(8)

8 (8Ax 8Az

■ + -

gradzdiv A = —

8z I 8x 8z

I- 81

4л

A • x r(x)

■ • J^A • r(x))

• U(x) • [U(A) • P1 (A, z) + P2 (A, z)]dA

(9)

С учетом выполненных преобразований (7-9) выражения для компонент напряженности электрического поля Ех, Еу, Ег имеют вид:

Ex =

1

с

2 Ь 81

у-----------

4л

• IP2 (A,z) • J0 (A • r(x))dA

+

Ь 81 -1 f

+---------------------J

ГТ J

4л с

E>- =ir

A• (y2 - x2) т 4 (A • x

r(x)3

•J^ r) + 1

I r(x)

•№r(x))

1^ • Jo(A • r(x)) + • J1(A • r(x))

4л

r(x)

r(x)3

(10)

[U(A)-P1(A,z) + P2 (A, z)]dA, [U-P1(A,z) + P2 (A, z)]dA

Ez = —

с

■у •■

I • 81

4л

•J P1(A,z)

- Ax r(x)

■ J1(A • r(x))dA

т -^1 л

■ —-• .ЦЯ • г(х)) • и(Я) • [и(Я) • Р1 (Я, 7) + Ро (Я, 2>}1Я

4л ^г(х)

Выведенные формулы действительны в предположении изотропности нижнего полупространства.

Предложенные в данной статье выражения для компонент

электрического поля в среде расположения подземных коммуникаций могут быть использованы для решения задач электромагнитного влияния воздушных линий на подземные линии связи, цепи контроля и автоматики через введение интегральной характеристики. Это позволяет оценить индуктивное влияние для параллельно расположенных проводных магистралей.

Наибольший интерес представляет компонента Ех - проекция напряженности электрического поля на ось х, параллельной оси направления диполя (рис.1), которая может быть представлена в виде суммы [4]:

2

СО

+

Ex =

У 0

J-ю-є c

■Ax - gradxU = EA + EU2 + EU3,

где слагаемое Ех определяется производной векторного потенциала по времени или первым интегралом в выражении (10):

— Т Н1 о

ЕА =-1г1-а- Л Р—(Я,,)^0(Я^ г(х))ёЯ,

Лтг . гг *

т-1 и т-1 и т-1 и

аЕх = Ех— + Ех3 - слагаемое определяется градиентом скалярного потенциала

или вторым интегралом в выражении (10).

Следовательно, имеем:

EU =

x2

— I -dl x

a - 4 л r(x)

• j[U(X) - P1(X,z) + P2(X,z)] - A2 - J0(X - r(x))dX,

EU =

x3

I-

a- 4n r (x)

- j [U(X) - P (X, z) + P2 (X, z)]-Jj (X • r (x))dX.

(11)

В подынтегральные выражения (11) входит общий множитель -[и(Я) •Р1(Я,г) + Р2(Я,г)], который можно преобразовать подставив М(Я) и В( Я ) следующим образом:

и (X)

U02(X) — |УУ I -U2(X) U0(X) + у -U(X)

U (X)- P(X, z) + P2(X, z) = 2 "\

+1

X 2U 0 X)

U (X)-z-U0(X)-*

(12)

U0X) U0(X) + U(X)

Для дальнейшего анализа, равенство [12] представим следующим образом:

я

и(Я) • Р1 (Я, 7) + Р2 (Я, 7) = [1 + 8К(У)] • • К преЛ (У) • еи(Я) "-ио (Я) ь

U0(X)

K прел.(У) =

2U(X)

U0(X) + U(X)

5K(y) =

U(X)

U2(X)—

І Уу

2 Л

-U2(X)

U0(X) +

-U(X)

(13)

где отношение K прел (у) является коэффициентом преломления на границе раздела воздух-земля, а множитель 5К(у) можно рассматривать как поправку, учитывающую различие в условиях преломления составляющих напряженности электрического поля от векторного и скалярного потенциалов.

Множитель, стоящий перед первым интегралом (11), равен

X 2

—— = cos2 ф , где фг - угол между осью x и направлением r. Аналогично

r2 r

2 2

У -x

множитель -----------, перед вторым интегралом (11) можно представить, как

г2

2

(sin2 фг - cos2 фг) = -cos(2фг). Остальные составляющие не зависят от фг. Поэтому рассмотренные множители определяют изменение Ех вокруг диполя в плоскости, параллельной разделу сред, при фиксированных г. В результате преобразований EU2 и EU3 с учетом выражений для Kпел (у) и 5К(у) (13)

имеют следующим вид:

EU =

x2

-1 • dl • cos2 фr a • 4 л

и -1 • dl • cos^r)

EU =

x3

a • 4л

(SK(y) +1) •

(5K(y) +1) •

-------К

ü0(X) прел-

X • К ü0(X) прел-

(y) • gü(^)^z-üo(^)^h

(y) • gUW-z-UoW-h

•X2 • Jo(X^ r(x))dX,

X

----J1(X • r(x))dX •

Первая из них (Ех2) становится максимальной на оси диполя (ф=0, ф=180°) и равна нулю в плоскости, перпендикулярной этой оси и проходящей через середину диполя (2ф=90°, 2ф=270°). Вторая (Е1]хЪ) - достигает

максимальных значений, как на самой оси, так и на плоскости, нормальной к оси диполя. Она становится равной нулю при углах в 45° и 135°. Следует подчеркнуть, что в данном случае речь идет об углах в плоскости, параллельной плоскости раздела сред. Экспоненту еи(Я)г-и°(Я)Л можно рассматривать как коэффициент, определяющий поле, созданное рассматриваемым горизонтальным диполем.

Для иллюстрации результатов решения уравнения ЕхА как слагаемого,

определяемого производной векторного потенциала по времени и характеризующего величину напряженности электрического поля диполя, выведена зависимость, полученная в результате варьирования удаления расчетной точки от оси диполя, как в продольном, так и в поперечном направлениях (рис.2).

Рис. 2. Пример распределения напряженности поля в нижнем полупространстве на глубине 1 м; диполь на высоте 10 м с током 1 кА частотой 50 Гц

В рассмотренном примере удаление расчетной точки по горизонтали изменяется по х и у от 100 м до 100 м. Изменение напряженности поля диполя при удалении от источника с током имеет экспоненциальный характер как по оси х, так и по оси у. В приведенном примере характер изменений компоненты Ех по х и у практически одинаков. В частности, при удалении расчетной точки от начальной координаты х = 0 и у = 0 на расстояние 510 м приводит к уменьшению напряженности на 250 мВ/м, что составляет около 78%. При дальнейшем удалении еще на 10 м напряженность уменьшается еще на 20 мВ/м, то есть примерно на 10%.

Характер изменения компоненты Ех дает возможность упрощения расчетов по полученным формулам при решении задач электромагнитной совместимости. Уменьшение компоненты Ех в зависимости от удаления позволяет использовать ограничение интервала интегрирования в практических расчетах результирующей напряженности поля в подземных коммуникациях.

Влияние грунтовых условий на распределение продольной компоненты напряженности поля Ех по оси у для различных значений проводимости грунта а приведено на рис.3.

Шя1, мЕ.'м

С = 0.1 (Од [м)!/У / ,Г « Л. сг = 1.0 (Ом м)'1

1 (Омм) 1 с - и.001 (О ям)'1 У і м

о1-------------------------------------------------------------------------------------------^—

-100 -50 о 50 100

Рис.3. Распределение значений продольной компоненты напряженности электрического поля по оси у для различных значений проводимости грунта о

На рисунке показана напряженность, наводимая на кабель, находящийся под землей на глубине г = 1 м, от диполя длиной & = 1м, находящегося на высоте Н = 10 м, по которому протекает ток I = 1000А, в зависимости от перпендикулярного удаления от направления диполя, для разных значений удельной проводимости (о) на частоте /= 50 Гц. Как видно, величина Ех уменьшается на порядок при удалении на 100 м.

1. Получено решение уравнений электрического поля в произвольной точке земли на основе решения для векторного потенциала поля горизонтального диполя, расположенного над поверхностью однородной земли. Аналитические выражения получены для составляющих компонент электрического поля.

2. Выполнен анализ решений для напряженности электрического поля в нижнем полупространстве.

3. Для составляющих напряженности электрического поля выведены расчетные зависимости в функции удаления расчетной точки от вертикальной оси диполя.

4. Решение уравнений электрического поля в произвольной точке земли может быть использовано в дальнейшем для исследований наведённых напряжений и токов в элементах подземной проводной коммуникации.

Литература

1. Якубович М.В. Диссертация кандидата технических наук: 05.14.12

Исследование наведённых напряжений на отключённых воздушных линиях, находящихся в зоне влияния разветвлённой высоковольтной сети: дис. канд. Тех. наук: 05.14.12: Апатиты, 2007. - 135 с. - РГБ ОД, 61:07-5/3286.

2. Уэйт Дж. Р. Геоэлектромагнетизм. Под ред. М.Н.Бердичевского. - М.: Недра, 1987. - 235 с.

3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Том 2. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены (2-е изд.). - М.: Наука, 1974.

4. Ефимов Б.В., Якубович М.В. Трехмерное электромагнитное поле неоднородной воздушной линии электропередачи. - Апатиты: Изд-во КНЦ РАН, 2003. - 51 с.

Сведения об авторах Ефимов Борис Васильевич

Директор Центра физико-технических проблем энергетики Севера Учреждения Российской академии наук Кольского научного центра РАН; д.т.н., с.н.с., проф.

Россия, 184209, Мурманская область, г. Апатиты, мкр. Академгородок, д. 21А эл.почта: efimov@ien.kolasc.net.ru

Карпов Алексей Сергеевич

Младший научный сотрудник лаборатории надежности и эффективности оборудования энергосистем Центра физико-технических проблем энергетики Севера КНЦ РАН.

Россия, 184209, Мурманская область, г. Апатиты, мкр. Академгородок, д. 21А эл.почта: dal_par07@ien.kolasc.net.ru

Невретдинов Юрий Масумович

Заведующий лабораторией надежности и эффективности оборудования энергосистем Центра физико-технических проблем энергетики Севера КНЦ РАН, к.т.н.

Россия, 184209, Мурманская область, г. Апатиты, мкр. Академгородок, д. 21А эл.почта: ymnevr@mail.ru