Аналитическое продолжение ряда Аппеля Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ РЯДА АППЕЛЯ ^У

© 2008 Х.А. Чиханов2

В статье рассматривается ряд Аппеля ¥1 в связи с проблемой аналитического продолжения.

1. Ряд Аппеля

В статье изучается проблема аналитического продолжения ряда Аппеля [1,2]:

£ («у ^ / м>м<1> (1Л)

а, [Ь, Ь']

х, у

с

1,к=0

(с)п+к

Здесь (А)к = А(А + 1)... (А + к - 1) — символ Похгаммера3; к — число множителей в произведении. В случае комплексных х, у ряд (1.1) сходится в бикруге \х\, \у\ < 1 в пространстве двух комплексных переменных С2ху = Сх®Су (произведение двух расширенных комплексных плоскостей). Мы, однако, будем в основном рассматривать вещественные значения х, у. Для простоты также ограничимся вещественными значениями параметров а, Ь, Ь', с.

Ряд является естественным обобщением классического рядя Гаусса. Он обладает как одномерным, так и двумерным интегральными представлениями:

1

J га-1(1 - г)с-а-1(1 - гх)-Ь(1 - гу)-Ь'йг =

а, Ь, ЬЪ

х, у

с

= к1

= к2

№

(1.2)

5+'-1(1 - г - 5)+-Ь-Ь'-1(1 - гх - у-

'йгйз.

Здесь индекс + для функции /(р) означает срезку при отрицательном аргументе (т.е. /(р) = 0 при р < 0). Таким образом, двойной интеграл в (1.2) берется по площади треугольника [г, 5 > 0, г + 5 < 1]. Постоянные к1 и к2 —нормировочные:

1

5-Я'

= I га-1(1 - г)

с-а-1

йг = Г

а, с - а с

-1 5ь:-1

(1 - г - 5)

с-Ь-Ь'-1

йгй& = Г

Г(а)Г(с - а) Г(с) '

Ь, Ъ, с - Ь - ЬЪ с

1 Представлена доктором физико-математических наук, профессором Ю.Н. Радаевым.

2Чиханов Хамит Александрович, кафедра уравнений математической физики Самарского государственного университета, 443011, Россия, г.Самара, ул.Акад. Павлова, 1.

3Мы рассматриваем ситуацию общего положения, игнорируя отдельные значения параметров. В частности, предполагается, что с Ф 0,-1, -2,....

+

(1.3)

Интегральные представления проверяются разложением подинтегральных выражений в ряды. Заметим, что эти интегралы дают аналитическое продолжение ряда (1.1) из бикруга \х\, \у\ < 1 практически на все С^, исключая некоторые особые гиперповерхности.

Несложные выкладки приводят к системе дифференциальных уравнений для ряда F1 (см. [2], 5.9):

1х(1 - х)ихх + у(1 - х)иху + [с - (а + Ь + 1)х] их - Ьуиу - аЬи = 0, у(1 - у)иуу + х(1 - у)иху + [с - (а + Ь' + 1)у] иу - Ь'хих - аЬ'и = 0.

Теорема 1. Существует единственное решение и (х, у) системы (1.3), аналитическое в точке (0,0) с нормировкой и(0,0) = 1. Доказательство сводится к построению двойного ряда и приводит к ряду

Теорема 2. Существует единственное решение и (х, у) системы (1.3), аналитическое в точке (1,1) с нормировкой и(1,1) = 1. Доказательство аналогично и приводит к ряду и2.

Теорема 3. Существует единственное решение и(х,у) системы (1.3),имеющее вид и(х, у) = х-Ьу-Ь'Ф(х, у), где Ф(х, у) — функция, аналитическая в точке (то, то) с нормировкой и (то, то) = 1. Доказательство аналогично и приводит к ряду из.

Почему же интегралы (1.2) удовлетворяют системе(1.3)? Несложно убедиться, что при подстановке (1.2) в уравнения (1.3) под знаком интеграла возникает точная дифференциальная форма относительно переменных интегрирования4. Поэтому интеграл вычисляется, и он равен нулю. Заметим, что дифференциальная форма

ю = Га-1(1 - 0с-а-1(1 - гх)~Ь(1 - (у)-Ь'¿1 (1.4)

является аналитической функцией от Г на бесконечно-листной римановой поверхности с пятью точками ветвления 0, 1, то, 1/х, 1 /у. Следовательно, кроме отрезка [0,1] можно брать другие пути интегрирования, соединяющие точки ветвления. Всего таких путей 10 (С:). Итак, мы имеем 10 решений системы (1.3), каждое из которых можно с помощью дробно-линейного преобразования свести к интегралу по отрезку [0,1]. Далее, в интеграле (1.2) можно сохранить пределы интегрирования, применяя дробно-линейное преобразование [0 м 0,1 м 1, ^ мто], где ^ — одна из точек [1/х, 1/у, то]. Таких преобразований — 3, а с учетом перестановки пределов— 6. Кроме того, отметим, что интегралу (1.2) соответствуют два совпадающих между собой ряда ввиду биекции [х ^ у, Ь ^ Ь']. Это дает стационарную подгруппу точки (0,0) из 12 членов ( 12 автоморфизмов ряда Таким образом, мы имеем 120 решений системы (1.3). Они были известны почти 100 лет назад [1].

2. 120 решений системы (1.3)

Для понимания сути дела нам необходимо выписать 60 решений:

и =

а, [Ь, Ь']

х, у

с

и2 =

а, [Ь, Ь']

а с + Ь + Ь' + 1

1 - х, 1 - у

из = х~Ьу-Ь' ^

Ь + Ь' - с + 1, [Ь, Ь'] Ь + Ь' - а + 1

1 1

■к'?

4Дифференциальная форма ю называется точной, если ю = ¿Ю1.

и4 = хЬ'-с+1(1 - х)с-а-1(у - х)-Ь¥1

и5 = уЬ-с+1(1 - у)с-а-1(у - х)-Ь¥1

Щ = хъ+ъ-с(1 - х)с-а-Ь(у - х)-ъъ¥1

и-, = уъ+ъ'-с(1 - у)с-а-ъ (у - х)-Ь¥1

и8 = х~аЕ\ и9 = у~а¥1

1 - Ь, [а - с + 1, Ь'] Ь' - с + 2

1 - Ь', [Ь, а - с + 1] Ь - с + 2

1 - Ь, [с - Ь - Ь', Ь'] с - а - Ь + 1

1 - Ь', [Ь, с - Ь - Ь'] с - а-Ь' + 1

х - 1 х - у

У У

у-х'у-1

х- 1 х- 1

х х-у

У-1 У-1

у - х у

а, [а - с + 1, Ь'] а - Ь + 1

а, [Ь, а - с + 1] а - Ь' + 1

I I

хх х 1

/У

и 10 = уЬ+Ь'-с(1 - у)с-а-1(у - х)1-Ь-Ь'

1 - Ь', [с - Ь - Ь', а - с + 1]

2 - Ь - Ь'

у - х у - х

и 11 = (1 - х)-Ь{1 - у)-Ь'Г1

и 12 = х-Ьу-Ь' Р1

с - а, [Ь, Ь'] с

у 'у- 1

х

у

Ь + Ь' - с + 1, [Ь, Ь'] а - с + Ь + Ь' + 1

х- 1 у - 1 х - 1 у - 1

и 13 = (х - 1)~Ь(у - 1)-Ь' ¥1

с - а, [Ь, Ь'] Ь + Ь' - а + 1

ху 11

и 14 = хЬ'-с+1 у-Ь'Г1 и 15 = уЬ-с+1 х~Ь¥1 и 16 = (1 - х)с-а-Ь(1 - у)-Ь¥1

и 1- = (1 - у)с-а-Ь' (1 - х)-Ь¥1

Ь + Ь' - с + 1, [а - с + 1, Ь']

Ь' с + 2

1 - х 1 - у х

х, ■

у

Ь + Ь' - с + 1, [Ь, а - с + 1] Ь — с + 2

с - а, [с - Ь - Ь', Ь'] с - а - Ь + 1

с - а, [Ь, с - Ь - Ь'] с - а - Ь' + 1

1 - х,

х- 1

у - '

х — 1

, 1 - у

и 18 = хЬ]-с+1(1 - х)с-а-1(у - х)-Ь'¥1

и 19 = уЬ-с+1(1 - у)с-а-1(у - х)-Ь¥1

с- а- 1

-Ь

1 - Ь, [а - с + 1, Ь'] а - Ь + 1

1 - Ь', [Ь, а - с + 1]

а Ь' + 1

1

у

1 - х у - х х 1 "

х - у 1 - у

и20 = хЬ+Ь'-с(1 - х)с-а-1(у - х)1-Ь-Ь'х

х¥1

1 - Ь, [с - Ь - Ь', а - с + 1] 2- Ь-Ь'

х - у х - у

х ' х - 1

хх

у

у

х

U21 = (1 - x)-aFl

a, [с - b - b', b']

x у - x

x - 1 ' 1 - x

U22 = x-aFl

a, [a - с + 1, b'] a — с + b + b' + 1

x - 1 x - у

Un = x-bу-b' (1 - 11 x)c-b-b-1F

Jb -c+1 /1 „\c-a-b v\-b'

b + b' - с + 1, [1 - a, b'] b + b' — a + 1

1

U24 = xb -c+1(1 - x)c- (у - x)-b Fl

1 - b, [1 - a, b'] b' - с + 2

__ x-y 1 -x' y(x- 1)

x^ - 1) "

X, ■

у - x

U25 = уЬ-с+1(1 - у)с-а-1(у - x)1-b-b' xb -1x

xFl

1 - b', [1 - a, a - с + 1] b — с + 2

у у^ -1)

x x^ - 1)

U26 = xb'-c+1(1 - xy-^^ - x)-b'Fi

1 - b, [1 - a, b'] с - a - b + 1

1 - x,

У(х - 1) ■К-У

U27 = уЬ+Ь -с(1 - у)с-а-Ь (у - x)1-b-b' (1 - x)b'-1 x

xFl

1 - b', [1 - a, с - b - b'] с - a - b' + 1

U28 = (1 - x)-aFl

a, [c - b - b', b'] a - b + 1

У-1 x(y-l)

X - 1 ' y(x - 1)

1 у - 1

1 - x x - 1

U29 = (у - x)-aF1

a, [с - b - b', a - с + 1]

a b' + 1

x x — 1

x - у x - у Що = уЬ-с+1(1 - у)с-а-1(у - x)1-b-b' xb -1x

xF1

1 - b', [1 - a, a - с + 1]

2 - b - b'

x - у x- у

x 'x(1 - у)

^l = (1 - у)-^1

a, [b, с - b - b']

у - x у

Щ2 = у-а^

a, [b, a - с + 1] a - с + b + b' + 1

у - 1 у - 1

У- 1 У ' У

^з = x~yb' (1 - 1|у)с-ь-ь'-1 Fl

b + b' - с + 1, [b, 1 - a] b + b' a + 1

у - x

x^ - 1)' 1 - у

U^ = xb'-c+1(1 - xf-"-1^ - x)1-b-b'уb-1X

Uз5 = уЬ-с+1(1 - у)с-а-ь (у - x)-bFl

xF1

c-a-b'

1 - b, [a - с + 1, 1 - a] b' - с + 2

x(у - 1) x

y{x - 1У y

-b

1 - b', [b, 1 - a] b — с + 2

y(x - 1)

с

с

1

у

изб = хЬ+Ь -с(1 - х)с-а-ь(у - ху~ (1 - у) х

Х¥1

1 - Ь, [с - Ь - Ь', 1 - а] с - а - Ь + 1

У(х ~ 1) х- 1 х(у-1Уу-1

и37 = уЬ-С+!(1 - у)С-а-Ь'(у - х)-Ь¥! и38 = (у - х)-а¥! из9 = (1 - У)-ар1

1 - Ь', [Ь, 1 - а] с - а-Ь' + 1

х(у - 1)

а, [а - с + !, с - Ь - Ь'] а-Ь+!

у - х

у - 1 у

,! - у

а, [Ь, с - Ь - Ь'] а Ь' + !

у- х у - х х- 1 1

у--у

и40 = уЬ+Ь -с(! - у)с-а-Ь(у - х)!-Ь-Ь'(1 - х)Ь -!Х

1 - Ь', [с - Ь - Ь', 1 - а] 2- Ь -Ь'

х - у х - у

у(х - х - 1

и41 = (1 - х)с-а-Ь(1 - у)-Ь' ¥1

с - а, [с - Ь - Ь', Ь'] с

х,

х-У 1-У

и42 = хЬ' -с+!у-Ь'Г1

Ь + Ь' - с + 1, [а - с + 1, Ь'] а - с + Ь + Ь' + 1

и43 = ха-с(1 - х)с-а-Ь(1 - у)-Ь'¥1

с - а, [1 - а, Ь'] Ь + Ь' - а + 1

1-х,

у

1 х - у

и44 = хЬ-с+1(1 - х)с-Ь-Ь'-1у-Ь'¥1

Ь + Ь' - с + 1, [1 - а, Ь'] Ь' с + 2

х х(1 - у)

х х(у - 1) X - 1' У(х - 1)

и45 = уЬ-с+1(1 - у)с-а+Ь'-1(у - х)с-Ь-Ь -1 хЬ'-с+1Х

х¥1

Ь + Ь' - с + 1, [1 - а, а - с + 1] Ь — с + 2

у у(х - 1)

и4б = ха-с(1 - х)с-а-Ь(1 - у)-Ь' ¥1

с - а, [1 - а, Ь'] с - а - Ь + 1

у - х х- у х - 1 у(х - 1)

х х(у - 1)

и47 = уЬ+2Ь'-с(1 - у)с-а-Ь{у - х)а-с(1 - х)с-а-ЬХ

Х¥1

с - а, [1 - а, с - Ь - Ь'] с а Ь' + 1

и48 = хЬ+Ь -с(1 - х)с-а-Ь(у - х)-Ь'¥1

1 - Ь, [с - Ь - Ь', Ь'] а - Ь + 1

У-1 х(у-1) у-х' у-х

1 у-1

х' у-х

и49 = уЬ+2Ь'-а-1(1 - у)-Ь(у - х)

1-Ь-Ь' 77 ¥1

1 - Ь', [с - Ь - Ь', а - с + 1] а-Ь' + 1

х х 1

у' у - 1

и50 = уЬ-\1 - у)с-а-1+Ь'(у - х)1-Ь-Ь'хЬ'-с+1(1 - х)-Ь'х

1 - Ь, [1 - а, а - с + 1]

2 - Ь-Ь'

У - х х - у

У ' У(х - 1)

и51 = (1 - х)-Ь(1 - у)с-Ь-Ь'^

с - а, [Ь, с - Ь - Ь'] с

х- У

и52 = УЬ-С+ Х-Ь^1

Ь + Ь' - с + 1, [Ь, а - с + 1] а — с + Ь + Ь' + 1

х- 1 х- У

,У

и5з = У-Ь' (1 - 1/у)с-а-Ь (х - 1)-^1

с-а-Ь',

-Ь

с - а, [Ь, 1 - а] Ь + Ь' — а + 1

, 1 - У

х~у 1

Х*" !)' У

и54 = ХЬ'-с+1(1 - х)с-а-1+Ь(У - х)с-Ь-Ь'-1УЬ-с+1 Х

Ь + Ь' - с + 1, [а - с + 1,1 - а] Ь' - с + 2

х(У - 1) х

У - х х- У

и55 = уь-с+1(1 - у)с-ь-ь -1 х-^1

Ь + Ь' - с + 1, [Ь, 1 - а] Ь-с+2

У(х - 1) У

х(У - 1) У - 1

и56 = х2Ь+Ь'-с(1 - х)с-а-Ь(1 - У)с-а-Ь'(У - х)а-сХ

Х^1

с - а, [с - Ь - Ь', 1 - а] с — а — Ь+1

У(х - 1) х - 1

х - У х - У )

иц = Уа-с(1 - У)с-а-Ь' (1 - х)-^1 и58 = Х2Ь+Ь'-а-1(1 - х)-Ь(У - х)1-Ь-Ь'

и59 = УЬ+Ь'-с(1 - У)с-а-Ь'(У - х)-Ь^

с - а, [Ь, 1 - а] с а Ь' + 1

х(У - 1) У - 1

У(х - 1)' У

1 - Ь, [а - с + 1, с - Ь - Ь'] а - Ь + 1

У - 1 У

1 - Ь', [Ь, с - Ь - Ь'] а Ь' + 1

х- 1 х х - 1 1"

х- У У

ибо = У2Ь+Ь -с(1 - У)Ь-1(У - х)1-Ь-Ь' (1 - х)с-а-Ьх~Ь

Fl

1 - Ь, [с - Ь - Ь', 1 - а]

2 - Ь - Ь'

х- У х- У

х(1 - УГ 1 - У

Вторая половина решений строится по формуле

ибо+к = ик ^

а, [в, в']

У

Ч, П

а, [в', в]

У

п, Ч

к = 1... 60.

Здесь преобразование рассматривается как внешнее над ик (см. ниже). Все 120 решений, рассматриваемые как двойные ряды, сходятся в бикруговых областях 1-Ы, !^2| < 1, где ц, 12 — соответствующие аргументы решений. Первые 10 решений соответствуют следующим путям интегрирования:

и1 &

и6 &

1

I у

0

1/х

1 у

иг &

и7 &

со

Iу

0

1/у

1 у

и3 & J , и4 &

1

1/х

и 8 &

и-и&!-

1 1/х 1/у

1/х 1/у 1/у

^ и9 и 10

(2.1)

Мы предлагаем далее не совсем стандартный подход. Риманова поверхность, на котрой следует рассматривать решения, имеет достаточно сложную структуру (произведение двух поверхностей с пятью точками ветвления на каждой плюс еще диагональное ветвление относительно поверхности у = х). Поэтому мы рассмотрим символическую проекцию пространства С2ху = Сх ® Су на вещественную плоскость Яхуу, которую мы будем рассматривать как произведение двух проективных прямых Яхуу = Ях<8>Щ. Естественно полагать, что бесконечная точка проективной прямой Ях соответствует бесконечной точке комплексной плоскости Сх. Таким образом, в отличие от классической проективной плоскости, имеющей одну бесконечную прямую, наша плоскость Яху имеет две бесконечных прямых х = с и у = с. Теперь множество особых точек содержит 7 прямых:

Таблица 1

Множество особых точек

ы Ь2 ¿3 Ы Ь5 Ь6 Ы

х = 0 х= 1 у = о У= 1 у = х X = оо У = СО

На каждой особой прямой существуют три точки пересечения с другими особыми прямыми. Среди точек пересечения существуют три точки — Мо[0,0], М1[1,1] и Мс[с, с], в которых пересекаются 3 особые прямые. Обозначим множество, состоящее из указанных 7 прямых и 3 точек, через ЬМ (всего 10 объектов!). Может показаться странным, что объединяются разнородные объекты. Однако это множество играет важнейшую роль в теории ряда Аппеля р1. Просто преобразования аргументов в решениях5 переставляют элементы множества ЬМ. Поясним, что при отображении прямой в точку множество точек прямой превращается во множество направлений, выодяших из точки ("сдутие" прямой в точку). Обратно, при отображении точки на прямую направлениям,выходящим из точки, соответствуют точки прямой ("раздутие" окрестности). Отметим,что предлагаемая достаточно простая конструкция при всем ее примитивизме позволяет построить аналог схемы Римана для двойных рядов, принципиально отличающийся от классической схемы Римана(см. [4]).

Рассмотрим в качестве примера решение и-, аргументы которого суть ^ = х/(х - 1), п = х/(х - у). Цепочки переходов для и4 следуюие:

Ь1 м М0 м Ь1, Ьг м Ь6 м М1 м Мс м Ьг, Ь4 м Ь^ м Ь7 м Ь3 м Ь4

Отметим, что попутно вычисляется порядок элемента.

5 В [4] на стр. 113 описка в таблице 1 — в столбце Т- в 6-ом ряду вместо Мо надо М1

Таблица 2

Цепочки переходов для и ...ию, (вместо Ьк стоит к).

Тх Т2 Т3 ТА т5 т6 Тп г8 Т9 Тхо

и 1 2 6 Мо 2 6 5 Мео 1 2

¿2 2 1 2 6 5 Мо 2 2 5 4

и 3 4 7 4 Мо 5 7 3 Мео 6

и 4 3 4 5 7 4 Мо 5 4 7

и 5 5 5 7 6 7 6 4 2 М0

и 6 6 1 Мг 1 Мх 1 Мо 6 Мео

и 7 7 3 3 Мх 3 Мх 1 М0 М!

Мо М0 Мг Мсо 1 3 Мсо Мсо 6 7 3

Мг Мх М0 Мг Мсо Мсо 1 3 М! М! 1

Мсо Мсо Мсо М0 2 4 2 4 1 3 5

Указанные преобразования принадлежат к группе квадратичных преобразований на проективной плоскости [3], изучаемых в алгебраической геометрии6.

Каждое решение ик можно рассматривать как преобразование на множестве решений. Следует отличать внутренние преобразования(когда преобразуются буквы (переменные и параметры) во всем решении, включая множители перед символом функции и внешние преобразования (когда преобразуются только аргументы функции (2 координатных и 3 параметрических аргумента). Мы рассматриваем здесь только внешние преобразования. Обозначим через Тк преобразование и1 ^ ик. Нетрудно убедиться, что и10к+^ = Т10к+1(и^), 0 ^ к ^ 11, 1 ^ ] ^ 10. Эта формула использовалась при построении решений.

Группа преобразований содержит 20 циклических подгрупп 6 порядка, 24 — 5 порядка, 30 — 4 порядка, 20 — 3 порядка, 25 — 2 порядка, 1 — 1 порядка.

Таблица 3

Суперпозиция преобразований F1...

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12

2 1 12 18 19 48 59 22 32 49 13 3

3 13 1 22 32 21 31 14 15 98 12 11

4 6 18 41 118 42 58 13 64 52 24 26

5 7 19 109 51 49 52 65 13 111 35 37

6 4 26 43 94 23 96 16 20 114 48 18

7 5 37 85 53 87 33 70 17 56 59 19

8 28 14 6 10 4 70 1 68 5 46 44

9 39 15 80 7 20 5 69 1 67 57 55

10 70 30 27 116 25 114 67 16 ИЗ 40 90

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 2

12 И 2 8 9 28 39 42 52 29 3 13

Например, Т4(и5) = и118 или Т4 о Т5 = Т118.

Важную роль играют решения июк+1, к = 0,..., 11. Они образуют 12 автоморфизмов основного ряда ^ и как преобразования составляют стационарную подгруппу точки М0(0,0). Итак, и = и 11 = и21 = ... = ищ. Аналогично, и2 = и 12 = и22 = ••• = иц2(стационарная погруппа точки Ы\). В этих равенствах предполагается, что степени х и У принимают вещественные значения. Так-

6 Не путать с квадратичными преобразованиями гипергеометрической функции — различие принципиальное.

же из = и 13 = и23 = ■■■ = и 113 (Стационарная подгруппа точки И здесь все

множители должны принимать вещественные значения, а точку (х, у) желательно брать в первом квадранте х > 0, у > 0. В точках Мо и Ы\ соответствующие ряды имеют общую область сходимости.

Естественно предполагать, что каждое из решений и4,...,ию также имеет 12 автоморфизмов. Вообще говоря,это так. Однако наличие точек ветвления добавляет некоторые нюансы в эту картину. Рассмотрим,например, решения и4 и и34. Ряды обоих решений сходятся в окрестности точек прямой х = 0 (исключая окрестности точек Мо и М\), но сами решения имеют точку ветвления на прямой х = 0. При этом вблизи прямой сходимости и4 к и34 к хь -с+1у-Ь , если выходить на прямую х = 0 на интервале 0 < х < 1 из первого квадранта х, у > 0. Так как оба решения получаются из одного и того же комплексного интеграла с помощью дробно-линейных преобразовний переменной интегрирования, то, следовательно, и4 = и34 ( при указанных ограничениях). Короче говоря, при манипулированиями различными решениями следует обращать внимание на возможное появление комплексных множителей. Если используются 2 из 12 представлений одного решения, то однозначные ветви множителей следует выбирать так, чтобы соответствующие решения совпадали в общей области сходимости соответствующих рядов.

Таблица 4

Характеристики решений и4 ...ию. Каждому решению и^ соответствует прямая сходимости Ь. В нижней строке — множитель ветвления у решения и^, соответствующий прямой Ь^.

и4 и5 и6 и7 и% и9 и 10

и и ¿2 и и ¿7 ¿5

1 уЬ-с+1 (1 - хУ~а~ь (1 _уу-а-Ь' х~а у-а (у - х)1-^'

Таблицы 1-4 отражают основные характеристики решения.

3. Аналитическое продолжение ряда

Наличие одномерного интегрального представления (1.2) позволяет найти формулы аналитического продолжения. Для треугольника Г = [0,1/х, 1/у] на комплексной плоскости и дифференциальной формы из (1.4) можно записать интегральную формулу Коши:

1/х 1/у 0

0 = (|) ю = ^ ю + ^ ю + ^ ю. (3.1)

Г 0 1/х 1/у

Полученное равенство есть соотношение между тремя решениями и справедлива

Теорема 4. Любые 3 решения из 10 линейно независимы при комплексных значениях аргументов. Всего существует 10 соотношений, подобных (3.1).

К сожалению, практическая польза от этой теоремы ничтожна, так как при переходе к вещественным значениям х и у треугольник [0,1/х, 1/у] сплющивается, а само равенство становится тривиальным.

Пусть теперь х и у вещественны и 0 < х < у < 1, а дифференциальная форма ю принимает вещественные значения при 0 < I < 1. Используя интегральную теорему

Коши для верхней полуплоскости, получаем тоджество7:

0 _ — gKiaj^ + j^ — gKi(—c+a) j^ — gKii-c+a+b') — gKi(—c+a+b+b') j^

где

0

1

1/y

1/x

/1 = ^ М, 12 = ^ М, 1з = § М, 14 = ^ М, 15 = ^ |Ш|.

0 1 1/у 1/х

Выделяя вещественную и мнимую части,получим 2 соотношения; далее, исключая /4, имеем:

J2 _

— sin[n(c — b')]j1 + sin(nb')J3 — sin(nb)j5

(3.2)

8т[я(-с + а + Ь')]

Выразим интегралы /к через соответствующие решения, выбирая любое из 12 представлений для каждого решения. Имеем:

а, Ь + Ь' - с + 1

J2 _ P1U1, Ji _ P2U1, J3 _ P17U17, J5 _ P14U14, где p2 _Г

a — c + b + b' + 1

P1 _r

a, c — a

, P14 _Г

c

P17 _ Г

c — a, 1 — b' c - a- b' + 1

0 < x < y < 1.

Ь + Ь' - с + 1 , 1 - Ь Ь' - с + 2

Итак, формула аналитического продолжения получена:

- 8т[я(с - Ь')]р2и2 + б1п(лЬ')р17и17 - 8т(яЬ)р14и14

и 1 =-

р1 б1п[л(-с + а + Ь')]

Для получения других формул аналитического продолжения необходимо повторить вычисления в следующих случаях:

[1 < х < у], [х < у < 0], [х < 0 < у < 1], [0 < х < 1 < у], [х < 0 < 1 < у].

Аналогичные 6 случаев возникают при у < х. Это дает уже 12 формул. В каждой из формул можно брать различные представления каждого решения (правда, не все 12 ввиду расходимости некоторых рядов, но, как правило, 3 или 4 находятся). Всего получается 12 ■ 34/4! да 40 формул. Повторное применение аналитического продолжения проблематично, поскольку придется продолжать одновременно уже 3 решения, но не исключено, что это возможно. Если обращаться к интегральным представлениям решений, то области допустимых значений аргументов значительно расширяются.

Литература

[1] Appell, Paul Fonctions hypergeometriques et hyperspheriques. Polynomes d'Hermite / Paul Appell, Kampe de Feriet // M.J. -Gautchier-Villars, 1926

[2] Бэйтмен, Г. Высшие трансцендентные функции. Т. 3, Эллиптические и авто-морфные функции. Функции Ламе и Матье / Г. Бэйтмен, А. Эрдейи. - М.: Наука, 1967. - 300 с.

[3] Голубева, В.А. Гипергеометрические функции двух переменных Аппеля и Кампе де Ферье / В.А. Голубева // Сиб. мат. журн. - 1979. - Т. 20. - №5. -С. 997-1014.

7Разумеется, для существования интегралов требуются ограничения на параметры, коиорые

могут быть выполнены.

[4] Чиханов, Х.А. Двойной ряд Аппеля ^^ , разрешение особенностей и схема Римана / Х.А. Чиханов //Аналитические методы теории дифференциальных и интегральных уравнений. - Куйбышев: Изд-во. - Куйбышевского гос. ун-та, 1990. - С. 107-124.

[5] Чиханов, Х.А. Преобразование Ландена обобщенных эллиптических функций Якоби и ряды Аппеля / Х.А. Чиханов // Вестник Самарского госуниверситета. - 2003, Второй спец. выпуск. - С. 49-57.

[6] Чиханов, Х.А. Гипергеометрические ряды и фуксовы системы / Х.А. Чиханов // Дифференциальные уравнения. - 1989. - Т. 25. - №10. -С. 1727-1730.

Поступила в редакцию 28/Д/2008; в окончательном варианте — 28/Л/2008.

ANALYTICAL CONTINUATION OF THE APPEL ROW F18

© 2008 Ch.A. Chikanov9

In the paper the problem of analytical continuation of the Appel row Fi is studied.

Paper received 28/Я/2008. Paper accepted 28/Я/2008.

8Communicated by Dr. Sci. (Phys. & Math.) Prof. Yu.N. Radayev.

9 Chikanov Chamit Alexandrovich, Dept. of Partial Differential Equation, Samara State University, Samara, 443011, Russia.