CC BY
4
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No. 2
Научная статья УДК 514.764.2
doi: 10.18522/1026-2237-2022-2-21-27
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ ЛОКАЛЬНО ОДНОРОДНОГО И НЕОДНОРОДНОГО РИМАНОВА МНОГООБРАЗИЯ
Владимир Александрович Попов
Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации, Москва, Россия vlapopovv@gmail.com
Аннотация Рассматривается алгебра Ли g всех векторных полей Киллинга риманова аналитического многообразия, ее стационарная подалгебра fy, односвязная группа Ли G, соответствующая алгебре Ли д, и подгруппа Н, соответствующая подалгебре Ли fy. Множество левых смежных классов G/H образует однородное многообразие тогда и только тогда, когда Н замкнута в G. Изучаются условия замкнутости Н в G на основе свойств алгебры Ли д и ее подалгебры fy.
Изучается также категория римановых аналитических многообразий, объектами которой являются ориентированные римановы аналитические многообразия, имеющие изометричные друг другу открытые подмножества и, следовательно, одну и ту же алгебру векторных полей Киллинга д. Предполагается, что алгебра д не имеет центра. Морфизмами данной категории являются сохраняющие ориентацию и векторные поля Киллинга локально изометрические отображения f.M —> N. Они определены на всем многообразии М, за исключением множества S коразмерности не менее двух, состоящего из неподвижных точек, сохраняющих ориентацию изометрий между открытыми подмножествами многообразия М. Эта категория имеет универсально притягивающий объект - так называемое квазиполное многообразие, которое по определению является непродолжаемым, не допускающим нетривиальных сохраняющих ориентацию и векторные поля Киллинга изометрий между своими открытыми подмножествами. Для произвольной римано-вой аналитической метрики определяется псевдополное риманово аналитическое многообразие - односвяз-ное многообразие М, для которого не существует сохраняющего ориентацию локально изометрического отображения f.M —> N, где N - односвязное риманово аналитическое многообразие, отличное от М.
Ключевые слова: риманово аналитическое многообразие, алгебра Ли, группа Ли, векторное поле Кил-линга, аналитическое продолжение
Для цитирования: Попов В.А. Аналитическое продолжение локально однородного и неоднородного риманова аналитического многообразия // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2022. № 2. С. 21-27.
Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY 4.0). Original article
ANALYTIC EXTENSION OF LOCALLY GIVEN RIEMANNIAN MANIFOLD TO GLOBAL SPACE
Vladimir A. Popov
Financial University under the Government of Russian Federation, Moscow, Russia vlapopov@gmail.com
Abstract. Let's consider the Lie algebra g of all Killing vector fields of a Riemannian analytic manifold, its stationary subalgebra fy, the simply connected Lie group G corresponding to the Lie algebra g and the subgroup H corresponding to the Lie subalgebra fy. The set of left adjacent classes G/H forms a homogeneous manifold if and only If H is closed in G. We study the properties of the Lie algebra g and its subalgebra fy under which H is closed in G.
© Попов В.А., 2022
The following category of Riemannian analytic manifolds is also studied. The objects of this category are oriented Riemannian analytic manifolds having open subsets isometric to each other and, consequently, the same algebra g of Killing vector fields. It is assumed that the algebra g has no center. Morphisms of this category are locally isometric maps f.M —> N preserving orientation and Killing vector fields. Moreover, the maps f are defined on the entire manifold M with the exception of the set S of codimension at least two, consisting of fixed points of orientation-preserving isometries between open subsets of the manifold M. This category has a universally attractive object. This is a so-called quasi-complete manifold, which by definition is unextendable manifold that does not admit nontrivial orientation-preserving and vector Killing fields isometries between its open subsets. For an arbitrary Riemannian analytic metric, a pseudo-field Riemannian analytic manifold is defined. This is a simply connected manifold M for which there is no locally isometric map f.M —> N define on the whole M and preserving orientation and killing vector fields. Where N is a simply connected Riemannian analytic manifold other than M.
Keywords: Riemannian analytic manifold, Lie algebra, Lie group, Killing vector field, analytic extension
For citation: Popov V.A. Analytic Extension of Locally Given Riemannian Manifold to Global Space. Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2022;(2):21-27. (In Russ.).
This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY 4.0).
Введение
Топологическое пространство левых смежных классов G/H группы Ли G по ее подгруппе Ли Н является многообразием тогда и только тогда, когда Н замкнута в G. Однако Н может быть не замкнута даже в случае односвязности группы G. Вопрос замкнутости подгруппы Ли Н в одно-связной группе Ли G тесно связан с продолжением локально заданной римановой аналитической метрики до метрики однородного риманова пространства, исходя из свойств алгебры Ли векторных полей Киллинга g и ее стационарной подалгебры fy. Характеристика незамкнутых подгрупп Ли содержится в классической работе А.И. Мальцева [1]. Если подгруппа Ли Н группы Ли G не является замкнутой в G, то группа Н содержит однопараметрическую подгруппу у, замыкание которой не содержится в Н. Однако указанное свойство невозможно проверить исходя из свойств алгебр Ли g и fy.
Известны следующие результаты по вопросу замкнутости подгруппы Ли Н в группе Ли G, вытекающие из свойств их алгебр Ли g и fy:
1. Пусть G односвязна. Если fy является идеалом в g или полупроста, то Н замкнута в G [2, 3].
2. Пусть G компактна. Если fy полупроста, то Н замкнута в G [3].
3. Пусть G разрешима и полупроста. Тогда Н замкнута в G [3].
4. Пусть G полупроста и dimq — dimfy < 5. Тогда Н замкнута в G [3].
Исследуем вопрос о замкнутости подгруппы Н в односвязной группе G в случае, когда алгебра g является алгеброй всех векторных полей Киллинга риманова аналитического многообразия. Он эквивалентен вопросу о возможности аналитического продолжения локально заданной метрики риманова локально однородного пространства до однородного пространства. Изучение аналитического продолжения произвольного локально заданного риманова аналитического многообразия связано с замкнутостью подгруппы Н в G. Приведем достаточное условие замкнутости Н в G, выраженное в виде свойств алгебры g и подалгебры fy.
Для начала дадим некоторые определения и утверждения, касающиеся аналитического продолжения локально заданного риманова аналитического многообразия.
Определение 1. Аналитическим продолжением связного риманова аналитического многообразия М назовём связное риманово аналитическое многообразие N, такое что М аналитически вкладывается в N как собственное открытое подмножество. Многообразие, не допускающее аналитического продолжения, называется непродолжаемым.
Определение 2. Локальной изометрией между двумя римановыми аналитическими многообразиями М и N называется изометрия ф-.U ^ V между открытыми подмножествами U сМ, V с N. Многообразия, между которыми существует локальная изометрия, называются локально изомет-ричными.
Определение 3. Риманово аналитическое многообразие М называется локально однородным, если dirnq — dimfy = dimM.
Лемма 1. Пусть М - аналитическое многообразие аффинной связности; X - инфинитези-мальное аффинное преобразование, заданное в области U с М; y(t), 0 < t < 1, такая непрерывная кривая в М, что у(0) Е U. Тогда векторное поле X аналитически продолжаемо вдоль у. Если кривые y(t) и S(t), 0 < t < 1, 7(0) = 5(0), у(1) = 5(1) = х1, гомотопны, то продолжения векторных полей в точку х1 вдоль этих кривых совпадают [4, 5].
Из леммы 1 следует, что все локально изометричные римановы аналитические многообразия имеют одну и ту же алгебру Ли векторных полей Киллинга. Таким образом, можно говорить об алгебре Ли векторных полей Киллинга локально заданной римановой аналитической метрики. Римановы аналитические многообразия, алгебра Ли векторных полей Киллинга которых не имеет центра, изучались в [4, 5].
Локально однородные римановы аналитические многообразия
Исследуем случай, когда алгебра g имеет ненулевой центр %. Укажем свойства алгебр g, fy и %, обеспечивающие замкнутость подгруппы H в G.
Определим локальную группу локальных изометрий. Рассмотрим произвольное риманово аналитическое многообразие M, алгебру Ли д, состоящую из векторных полей Киллинга на нём, и группу Ли G с алгеброй Ли д. Под локальной группой (chunk of a group) будем подразумевать малую окрестность единицы группы U с G. Она состоит из локальных изометрий многообразия M. Рассмотрим нормальный шар B2S радиусом 28 с центром в р Е М. Окрестность единицы U в группе G состоит из элементов g Е G, определяющих изометрии из шара Вд радиусом S с центром в отмеченной точке р Е М в шар B2S радиусом 28 с центром в р Е М. Отметим, что Н с U. Алгебра Ли д, как правило, не порождает группы изометрий многообразия M, но порождает псевдогруппу U локальных изометрий. Орбита локальной группы локальных изометрий многообразия M является локально однородным многообразием N. Заметим также, что подгруппа H, порожденная стационарной подалгеброй fy, образует группу изометрий шара В$ с центром в отмеченной точке многообразия M.
Изучим сначала некоторые свойства локальной группы локальных изометрий с точки зрения абстрактных групп преобразований. Рассмотрим локальную группу U с G как подгруппу группы локальных диффеоморфизмов многообразия М с отмеченной точкой р, G с DiffM. Назовем элемент п Е G с DiffM умножением справа, если существует такой элемент п Е G, что для всех х Е М, х = д(р), п(х) = дп(р). Так как Vh Е Н gh(p) = д(р) = х, то п(х) = дп(р) = ghn(p). Следовательно, п(р) = hn(p) ^ р = n-1hn(p) ^ n-1hn Е Н. Таким образом, умножение справа на элемент п определено корректно, если Vh Е Н 3h1 Е Н такой, что для любой локальной изометрии д Е G выполняется равенство ghn = gnh1. Другими словами, п принадлежит нормализатору N(H) группы Н в G. Обозначим через N локальную группу, состоящую из элементов п Е G, умножение справа на которые в группе G порождает локальные изометрии многообразия М, через п - её алгебру Ли. Тогда fy < п с д. Заметим, что сами умножения справа, т.е. элементы п, а также элементы центра Z локальной группы G, принадлежат N. Обозначим через V орбиту отмеченной точки р локальной группы N на М. Присоединенное действие элементов п Е N, д I—> п-1дп, задает локальные изометрии на V.
Рассмотрим отображение f из группы G, заданной как группа преобразований множества G в себя, определённое по формуле f(g) = д(е) = де, где е - тождественная локальная изометрия. Так как п(е) = пе = еп = п, будем считать, что f(n) = п. Строго говоря, f(n) - это класс смежности пН, но все элементы nh, h Е Н, определяют одну и ту же локальную изометрию многообразия М. На множестве f(G) определим умножение g-ig-2, = д1(е>)д2(е). Так определённое умножение превращает f(G) в подгруппу G0 с G. Элементы д Е G0 назовем левыми умножениями. Они дополняются правыми умножениями п, т.е. любой элемент д с G с DiffG, д(х) = 9х Vx Е G представим в виде д = д0п, д0п(х) = д0хп Vx Е G. Так как элементы п, hn и nh, п Е N, h Е Н, определяют с помощью умножений справа в группе G одну и ту же локальную изометрию на М, то группа умножений справа отождествляется с фактор-группой N = N/H,
а алгебра Ли этой группы отождествляется с фактор-алгеброй tt/fy. Следовательно, G = G0N, 9 = 9о + it.
Рассмотрим V с B2S - орбиту отмеченной точки р группы локальных изометрий N. Группа левых умножений N с G о (точнее, её окрестность единицы) действует на V , причем элементы п, hn и nh, п Е N, h Е Н, определяют с помощью умножений слева в группе N одну и ту же локальную изометрию на V. Тогда группа умножений слева в группе N также отождествляется с фактор-группой N = N/H, а алгебра Ли it этой группы отождествляется с фактор-алгеброй tt/fy.
Таким образом, внутренние автоморфизмы группы N являются изометриями V. Они порождают присоединенное представление группы N в алгебре it и образуют присоединенную группу Int(tt) алгебры it. Так как N = N/H действует на V транзитивно, то it можно отождествить с касательным пространством TpV, и Int(tt) является замкнутой подгруппой группы GL,(TpV) линейных преобразований пространства TpV. Так как Int(tt) сохраняет невырожденную положительно определенную риманову форму на TpV, то Int(tt) является замкнутой подгруппой компактной группы ортогональных преобразований SO(TpV) и поэтому компактна.
Группа Int(tt) изоморфна группе N/Z(N), где Z(N~) - центр группы N. Поэтому группа N/Z(N) компактна, алгебра Ли it - компактная алгебра [6], it разлагается в прямую сумму своего центра 3 и коммутанта [it; it], it = 3©[й; tt]. Так как все правые умножения коммутируют со всеми левыми умножениями, то % совпадает с центром всей алгебры векторных полей Киллинга д. Таким образом, имеет место разложение в прямую сумму g = g 0®3©[tt;i4. Коммутант [it;it] порождает чисто правые умножения, не совпадающие с левыми.
Теорема 1. Пусть g - алгебра Ли всех векторных полей Киллинга на локально однородном псевдоримановом аналитическом многообразии M; fy - её стационарная подалгебра; % - центр алгебры g; G - односвязная подгруппа, порождённая алгеброй g; H - её подгруппа, порождённая подалгеброй fy. Если fy П (^ + [g, g ]) = ï) П [g, g ], то H замкнута в G.
Доказательство. Предположим противное. Рассмотрим замыкание H группы H в G и подалгебру fy с g подгруппы H с G. Подалгебра fy является нормальной подалгеброй алгебры fy [2]. Будем считать, перейдя, если нужно, к сопряженной группе д-1Нд, что для отмеченной точки р Е M X ЕЪ) ^ X(p) = 0. Рассмотрим однопараметрическую подгруппу ht Е H,ht g. H, определяемую векторным полем X Е fy , X g fy. Как доказано в [3], существует тор Т в простой компактной подгруппе Р Е G, такой что H ПТ является всюду плотной обмоткой тора Т. Поэтому можно утверждать, что ht Е Т с Р. Тогда векторное поле Киллинга X касательных векторов к орбитам локальной однопараметрической группы ht принадлежит алгебре t группы Т и, следовательно, X Е t с р, где р - алгебра Ли группы Р. Рассмотрим окрестность единицы U в группе G и шар В$ радиусом S с центром в отмеченной точке р Е M такие, что все элементы д Е U группы G определяют локальные изометрии из шара В$ в шар B2S радиусом 25 с центром в р Е M. Отметим, что H с U. Так как элементы ht принадлежат замыканию H группы H в G, то для каждого малого t внутренний автоморфизм х ^ hfxh-1 группы G является пределом последовательности внутренних автоморфизмов х ^ Е H. При малых t и больших n эти автоморфизмы определяют локальные изометрии шара Bs в шар B2S.
Внутренние автоморфизмы х ^ h^h—1, порождающие те же локальные изометрии, что и умножение на hn, определяют изометрии шара Вд. Так как элементы ht принадлежат нормализатору группы Н, то внутренние автоморфизмы х ^ hj-xh—1 определяют отображения на шаре Вд, которые являются пределами изометрий. Они также задают изометрию шара Вд в шар В$. Так как для всех достаточно малых t определена локальная изометрия х ^ htx шара Вд в шар B2S, то определена и локальная изометрия х ^ хh—1 = хЛ-1:, и тем самым локальная однопара-метрическая группа изометрий, порождённая умножениями справа на элементы h t.
Все умножения справа коммутируют с умножениями слева, т.е. с элементами группы Go. Однако могут не коммутировать друг с другом. Докажем, что локальная изометрия h t коммутирует со всеми правыми умножениями. Для этого покажем, что действие элемента ht в группе внутренних автоморфизмов группы G, д ——> h'—1gJit, задает тождественное отображение на орбите V отмеченной точки р группы N. Рассмотрим последовательность hn Е Н, сходящуюся к ht.
Так как H является нормальным делителем в N, то nhn = hn nh'n, h'n 6 H, nH = h—1nhnH. Следовательно, внутренние автоморфизмы g ——> h--1ghn индуцируют тождественное отображение на V. Переходя к пределу, получим, что внутренний автоморфизм g ——> h-1ght индуцирует тождественное отображение на V.
Так как векторное поле X, порождающее локальную однопараметрическую группу ht, принадлежит компактной подалгебре алгебры g, то X 6 [g; g] алгебры g.
Векторное поле Z касательных векторов к орбитам локальной однопараметрической группы zt умножений справа на ht является векторным полем Киллинга и принадлежит центру алгебры всех векторных полей Киллинга на M, Z 6 Из разложения g = g0®3®[it;it] следует, что Z g [g; g]. Следовательно, X + Z g [g; g], но X + Z 6 fy. Это доказывает теорему от противного.
Теорема 2. Пусть g - алгебра Ли всех векторных полей Киллинга на локально однородном псевдоримановом аналитическом многообразии M; fy - её стационарная подалгебра; % - центр алгебры g; х - её радикал; G - односвязная подгруппа, порождённая алгеброй g; H - её подгруппа, порождённая подалгеброй fy. Если для любой полупростой алгебры pcg, р + х = д, имеет место равенство (р + д) П fy = р П fy, то H замкнута в G.
Доказательство. Предположим противное и рассмотрим замыкание H группы H в G, а также однопараметрическую подгруппу zt, порождённую умножением справа на элементы однопараметрической группы локальных изометрий ht в группе G. Пусть X - векторное поле Киллинга касательных векторов к орбитам локальной однопараметрической группы локальных изометрий h-1; Z - векторное поле Киллинга локальной однопараметрической группы локальных изометрий zt; р - полупростая подалгебра алгебры g, содержащая векторное поле X, X 6 р c g. Докажем, что Z + X 6 fy и Z + X g р. В односвязной группе Ли G рассмотрим радикал R (подгруппу, соответствующую подалгебре г) и полупростую подгруппу Р, соответствующую подалгебре р. Тогда R - нормальный делитель группы G; г - нормальный делитель алгебры g, R П Р = е, х П р = 0, и имеет место разложение Леви - Мальцева G = RP.
Группа G содержит открытую окрестность единицы (chunk of a group), действующую как локальная группа локальных изометрий в окрестности отмеченной точки р 6 М. Так как zt принадлежит центру группы G, то zt 6 R. Поскольку подгруппа H является нормальным делителем группы H [3], то ïi'-1ztH = Ji'-1H ht = H. Следовательно, локальные изометрии 'h'-1zt оставляют точку р неподвижной и поэтому принадлежат стационарной подгруппе H. Если учесть, что X 6 р, а Z g р, то (Z + X) g р. А так как (Z + X) 6 fy, то доказанное означает, что для выбранной максимальной полупростой алгебры р справедливо утверждение (р + з) П fy ^ р П fy, что и доказывает теорему от противного.
Неоднородные римановы аналитические многообразия
Поставим задачу найти наиболее естественное аналитическое продолжение локально заданной римановой аналитической метрики. Естественным требованием является свойство непродолжаемости искомого многообразия, введённого ещё в классической монографии C. Хелгасона [6] и Ш. Кобаяси, К. Номидзу [7]. Однако непродолжаемые многообразия могут быть весьма неестественными. Например, односвязная накрывающая правой полуплоскости с выколотыми точками k,n 6 N. В исследованиях по геометрии римановых пространств в целом, как правило, существенным требованием является полнота рассматриваемого многообразия. Однако в общем случае шар U риманова аналитического многообразия нельзя изометрически вложить в полное риманово аналитическое многообразие, т. е., вообще говоря, локально заданная риманова метрика аналитически не продолжается до метрики полного риманова многообразия. Возникает вопрос об обобщении понятия полноты.
Аналитическое продолжение римановой метрики, не допускающей векторных полей Кил-линга, рассмотрено в [8, 9]. Метрики, для которых алгебра всех векторных полей Киллинга не имеет центра, изучались в [10]. Для произвольной метрики предложим следующее обобщение понятия полноты.
Определение 4. Риманово аналитическое односвязное многообразие M называется псевдополным, если оно:
1. M непродолжаемо.
2. Не существует локально изометрического накрывающего отображения f:M^N, где N -односвязное риманово аналитическое многообразие; f(M) - открытое подмножество в N, фЫ.
Если локально заданная риманова аналитическая метрика допускает аналитическое продолжение до полного риманова многообразия, то таковым будет определенное выше псевдополное многообразие.
Рассмотрим локально заданную риманову аналитическую метрику, алгебра Ли векторных полей Киллинга которого не имеет центра. То есть рассмотрим категорию, объектами которой являются локально изометричные ориентированные римановы аналитические многообразия, алгебра Ли векторных полей Киллинга которых не имеет центра. Морфизмами этой категории являются локально изометричные сохраняющие ориентацию накрывающие отображения f: M\S ^ N, где S - множество неподвижных точек всевозможных локальных изометрий M в себя.
Обозначим через Z(M) псевдогруппу всех сохраняющих ориентацию и векторные поля Киллинга, локальных изометрий риманова аналитического многообразия M, р Е Z(M) ^VXЕQ <p(X) = X.
Лемма 2. Пусть M - риманово аналитическое многообразие, удовлетворяющее свойству однозначного продолжения векторных полей Киллинга и алгебра Ли всех векторных полей Киллинга которого не имеет центра. Тогда множество S с M, состоящее из неподвижных точек всевозможных изометрий р Е Z(M), является аналитическим подмножеством коразмерности не меньше 2.
Доказательство. Докажем, что для любого открытого множества U с M с компактным замыканием имеется только конечное число локальных изометрий из U в себя, принадлежащих псевдогруппе Z(M). Предположим противное и рассмотрим бесконечную последовательность локальных изометрий (i Е Z(M), область определения и множество значений которых лежат в U. В [9, лемма 3] по бесконечной последовательности локальных изометрий (i на некотором открытом множестве V с U было построено векторное поле Киллинга X, которое при переходе к подпоследовательности удовлетворяет условию: V t, |t|<1, Vi ЕМ,Зк(()ЕМ, такое что k(i)
lim pt = ExptX, где ExptX - локальная однопараметрическая группа изометрий, порождён-
i—>œ i
ная векторным полем X. Следовательно, для любого векторного поля Y на V 3i Е N такое, что выполняется неравенство
l(ExptX)*Y -Yl< \pk(0Y -Y\ + \(ExptX)*Y - p^Y
<
<0+
У - (Ехр(—Х))р?}* V] < 1ЦЕхр1Х),У - П Следовательно, УУ е д (ЕхрЬХ)^У = У, т.е. [Х,У] = 0. Но это противоречит отсутствию центра в алгебре д.
Полученное противоречие доказывает существование только конечного числа локальных изометрий из и в и, принадлежащих псевдогруппе Z(M). А отсюда, как было показано в [10], уже легко следует тот факт, что множество 5 является аналитическим подмножеством коразмерности не меньше 2.
В силу леммы 2 многообразие М\Б связно.
Определение 5. Ориентированное риманово аналитическое многообразие, алгебра Ли всех векторных полей которого имеет нулевой центр, называется квазиполным, если оно непродол-жаемо и не допускает нетривиальных сохраняющих ориентацию и все векторные поля Киллинга локальных изометрий в себя.
Теорема 3. В любой категории локально изометричных римановых аналитических многообразий, алгебра Ли векторных полей Киллинга которых не имеет центра, существует квазиполное многообразие, и это многообразие является универсально притягивающим объектом в данной категории.
Доказательство теоремы 3 аналогично доказательству [10, теоремы 2, 3].
Следствие. Пусть р - локальная изометрия из квазиполного многообразия М в квазиполное многообразие N. Тогда р продолжается до изометрии р: М ~ N.
Таким образом, если квазиполное многообразие локально однородно, то оно является однородным многообразием, а его односвязная накрывающая является квазиполным многообразием.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2022. No. 2
Список источников
1. MalcevA. On the theory of Lie groups in the large // Мат. сб. 1945. Т. 16 (38). С. 163-190.
2. Шевалле С. Теория групп Ли. М.: Гос. изд-во иностр. лит-ры, 1948. 316 с.
3. Mostow G.D. Extensibility of Local Lie Groups of Transformations and Groups on Surfaces // Ann. Math. 1950. Vol. 52. P. 606-636.
4. Popov V.A. On the Extendability of Locally Defined isometries of a Pseudo-Riemannian Manifolds // J. of Mathematical Sciences. 2016. Vol. 217, № 5. P. 624-627.
5. Popov V.A. On Closeness of Stationary Subgroup of Affine Transformation Groups // Lobachevskii J. of Mathematics. 2017. Vol. 38, № 4. P. 724-729.
6. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства. М.: Мир, 1964. 534 c.
7. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основания дифференциальной геометрии. Т. 1. М.: Наука, 1981.
8. Smith G.H. Analytic extension of Riemannian manifolds // Bull. Austral. Math. Soc. 1978. Vol. 18. Р. 147148.
9. Попов В.А. Аналитическое продолжение локально заданных римановых многообразий // Мат. заметки. 1984. Т. 36, вып. 4. С. 559-570.
10. Попов В.А. Продолжаемость локальных групп изометрий // Мат. сб. 1988. Т. 135 (177), № 1. С. 4564.
References
1. Malcev A. On the theory of Lie groups in the large. Math. Sb. = Rec. Math. 1945;16(2):163-190.
2. Chevalley S. Theory of groups Li. Moscow: State Publishing House of Foreign Literature; 1948. 316 p. (In Russ.).
3. Mostow G. D. The Extensibility of Local Lie Groups of Transformations and Groups on Surfaces. Ann. Math. 1950;52:606-636.
4. Popov V.A. On the Extendibility of Locally Defined isometries of a Pseudo-Riemannian Manifolds. Journal of Mathematical Sciences. 2016;217(5):624-627.
5. Popov V.A. On Closeness of Stationary Subgroup of Affine Transformation Groups. Lobachevskii Journal of Mathematics. 2017;38(4):724-729.
6. Helgason S. Differential geometry and symmetric spaces. Moscow: Mir Publ.; 1964. 534 p. (In Russ.).
7. Kobayashi Sh., Nomizu K. Foundations of differential geometry. Vol. 1. Moscow: Nauka Publ.; 1981. (In Russ.).
8. Smith G.H. Analytic extension of Riemannian manifolds. Bull. Austral. Math. Soc. 1978;18:147-148.
9. Popov V.A. Analytic extension of locally given Riemannian manifolds. Mat. zametki = Mathematical Notes. 1984;38(4):559-570. (In Russ.).
10. Popov V.A. Extendability of locally defined isometries of a pseudo-Riemannian manifold. Math. Sb. = Rec. Math. 1988;135(1):45-64. (In Russ.).
Информация об авторе
В.А. Попов - кандидат физико-математических наук, доцент, департамент математики. Information about the author
V.A. Popov - Candidate of Science (Physics and Mathematics), Associate Professor, Department of Mathematics.
Статья поступила в редакцию 24.03.2022; одобрена после рецензирования 01.04.2022; принята к публикации 16.05.2022. The article was submitted 24.03.2022; approved after reviewing 01.04.2022; accepted for publication 16.05.2022.
