CC BY
7
Известия АлтГУ. Математика и механика. 2021. № 1 (117)
МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
УДК 514.742.4
Конформно киллинговы векторные поля
на 2-симметрических пятимерных лоренцевых
многообразиях
Т.А. Андреева1, В.В. Балащенко2, Д.Н. Оскорбин1, Е.Д. Родионов1
'Алтайский государственный университет (Барнаул, Россия) 2Белорусский государственный университет (Минск, Белоруссия)
Conformally Killing Fields on 2-Symmetric Five-Dimensional Lorentzian Manifolds
T.A. Andreeva1, V.V. Balashchenko2, D.N. Oskorbin1, E.D. Rodionov1
1 Altai State University (Barnaul, Russia)
2 Belarusian State University (Minsk, Belarus)
Исследованию конформно киллинговых векторных полей посвящены работы многих математиков. Являясь естественным обобщением понятия векторных полей Киллинга, данные поля порождают алгебру Ли, соответствующую группе Ли конформных преобразований многообразия. Кроме того, они порождают класс локально конформно однородных (псевдо)римановых многообразий, которые изучались В.В. Славским и Е.Д. Родионовым. Другим важным приложением являются солитоны Риччи, которые впервые были рассмотрены Р. Гамильтоном. Солитоны Риччи являются обобщением эйнштейновых метрик на (псевдо)римановых многообразиях. Уравнение солитона Риччи изучалось на различных классах многообразий многими математиками. В частности, было найдено общее решение уравнения солитона Риччи на 2-симметрических лоренцевых многообразиях малой размерности, доказана разрешимость этого уравнения в классе 3-симметрических лоренцевых многообразий. В случае постоянства константы Эйнштейна в уравнении солитона Риччи векторные поля Киллинга позволяют найти общее решение уравнения солитона Риччи, однако для различных значений константы Эйнштейна роль полей Киллинга играют конформно киллинговы векторные поля.
В данной работе исследованы конформно киллин-говы векторные поля на пятимерных 2-симметриче-ских лоренцевых многообразиях. В локальных координатах, открытых А.С. Галаевым и Д.В. Алексеевским, описано общее решение конформного аналога уравнения Киллинга на пятимерных локально неразложимых 2-симметрических лоренцевых многообразиях. Ключевые слова: конформно киллинговы векторные поля, лоренцевы многообразия, к-симметрические пространства, киллинговы векторные поля, солитоны Риччи.
DOI: 10.14258/izvasu(2021)1-11
The papers of many mathematicians are devoted to the study of conformally Killing vector fields. Being a natural generalization of the concept of Killing vector fields, these fields generate a Lie algebra corresponding to the Lie group of conformal transformations of the manifold. Moreover, they generate the class of locally conformally homogeneous (pseudo) Riemannian manifolds studied by V.V. Slavsky and E.D. Rodionov. Ricci solitons, which R. Hamilton first considered, are another important area of research. Ricci solitons are a generalization of Einstein's metrics on (pseudo) Riemannian manifolds. The Ricci soliton equation has been studied on various classes of manifolds by many mathematicians. In particular, a general solution of the Ricci soliton equation was found on 2-symmetric Lorentzian manifolds of low dimension, and the solvability of this equation in the class of 3-symmetric Lorentzian manifolds was proved. The Killing vector fields make it possible to find the general solution of the Ricci soliton equation in the case of the constancy of the Einstein constant in the Ricci soliton equation. However, the role of the Killing fields is played by conformally Killing vector fields for different values of the Einstein constant.
In this paper, we investigate conformal Killing vector fields on 5-dimensional 2-symmetric Lorentzian manifolds. The general solution of the conformal analog of the Killing equation on five-dimensional locally indecomposable 2-symmetric Lorentzian manifolds is described in local coordinates, discovered by A.S. Galaev and D.V. Alekseevsky.
Key words: conformol Killing vector fields, Lorentzian manifolds, k-symmetric spaces, Killing vector fields, Ricci solitons.
Конформно киллинговы векторные поля.
Введение. Векторные поляКиллингапорож-даюталгебруЛигруппы долженлИмлоеоооразня и коаелцвонноприкпокаюв вт^]корк^е маооматн-кок. Естегивенныуобобщенцемдлннвссплкцйавпк-ют^ая^онфер^т^ь^о ыиллингаома еь^в^ае^^1^ееелрк, аноебра Лиеоаорыхсоолвытствренгрупаеканформнвю пре-оЫуо^с^авопУ ВныГувох В.В.Влав счкго
и л.Д. Надионовак помощнп к выкаектолиаовролеплршо вовнввт ларвтрелокаылл
гобKоазий,ивооeдoвaлддбнxлepyктypa[l:].Д рувям важным приложением конформно киллинговых век-тсяаыxпoлeйвеуыютсяcoлитoньIPиачв]абГypьIВ вяемаыe былcpaccмoтигны в.аамильлкноморезуло-тлке инслевлыания пклсвооРняпу на мноыеаачолиры. Солитрвынипли ларолотся обоВщеяием эйыштей-нооыныеортр но (пеевдл)олманигбIЫмрггро0яeзп-ян,л их урыавнениеаз^алосона^зкичнынклагсев многообразий многими математиками. В частности, бышoплыдeлoкPщeeeeнIeмаe уголло-нл сллыолне Ричлм нaГ(PиммeрyияыокиxнлкeнцeоаIxмнoгаoBяa-зряхошсли дoкaeглолoкaлвнpянвпяе-
шимлотьлтoeoяреынянпрooлaлаeе-cвммeтpичecклд лоронлевыимФотoг6плвмр [ы]. Валучшепостороллоа коргтаадбIыПлшрoйнa аyяcвнeaии слоитоны Риелн векторные поля Киллинга позволяют найти общее решение уравнения солитона Риччи, отвечающее данной константе [о].
Оеааро лляразличныехзначений клдстанты Эйнштрйнсропа повлйMиллннгаигяaют конфовм-но киылФФеоеаIeeклкымввполян—ягтому возника-еоратяeePоeткорceырyенФИ.BпаЕPай ообевыис-саедов аны к онФл^нруиллингололглут орныекокя на пятимерных 2-симметрических лоренцевых мно-Влокгльныхпооу дфуыядx,0т кпытыхЫ.С. Голаеваши Д.B.Aлeкceеасяав]опилeно опщыечвше-нгд крнфорыпапы aнaлагавпвeменнв-eивлингaла пя-тнвФрвыxвбкaльнo нвнсзлeжимон: 2-нивlмeтяичecрых лорянцег ых многообразиях. Дана оценка размерности простр анртваэтих по л ой.Приврдрм пр едв аритрльные онррделрнияо фркты.
1. Основкые нг^ден-ниа и олозначе-н^^Омределение. Псевдкриианооым многа-оMиaзueрнкгыеноmcяглaдкое мнеыообразие М, нлкеторомзадан гсадкий 1евырсжденный сим-метричныймьтриxecкuйmeновЕg■ Еева влет-ричрский кринм]» нмeeаcргнытyрн (1^гы -1 -, то (М, называется лоренцевым многообразием. Оп р еделение. Псевдориманово многообразие (М,н) называртся симмрт]жческим порядка к, если
kkR = 0, VkkR — О,
где k > 1 и r — тензо^ртвизныом, g
Дляртманевыхешогообдазийизуслирия V^^O выт—а=т У.К=О.Одннко прю^г^о^аннмаазуи^^зтЕ^йб^тмри1^(^|^х у>2.
Локально неразложимые 1-симметрические ло-ренцевы многообразия описаны Кахеном и Уоллахом в [И],2-симметранесннйаонуказвымногзю=раоадис-смерзвааыянаЗхтое [5-МР(Зтр^^т]5м,]^тонн]зн^аояют-самногяобразиямиУакема [3,0].
Определение.Врктнинамг^олебЯна (псеидс)уи-маноаоммхбоообразии(ИР,з) назв1вартсях)^. Киллинга, рели выпоунаегеязаоенство
LKg = 0, (1)
где з Kg — промзводн;щ Ли мезрозсккоштензораорамь пооз К.
Определенве.дрктортбополеКза (псеидо)уи-мановоммного о0](аз]зз((И,^3 называет с оренформ-но киллинговыи полрм.реои вбшoлннeаз
ся равенство
Lg = f(p)g, (2)
ггеЗак — н, оиз во дная Ли ретричзакого т^ензора вдоль поив К,сиМ,аДр) — збадкаларщ ественная функция на миргтз^3^(^!^з=и.
ИзгрооPмыBy(рR] [16])олрзуо6, чз^т любооло-ре^1^]5а]^^мхо5ао^]з;^зио зoкольнoмoжpз0ыоь пред-ставоаноовидо издм0Г0РR0изврдв—ия Rеяаьo(lлгcз риманова мнoгдая]зoзияCхр1, H((изакaррR0 нррюв—Ое жимозoлopeнмe5амнoоооИяазия(MоCзC•=сe ртсзма-тртравмыз далрр PбяPнцpаыашозooбяaзия пре=по-лагаю тояобкалбн озз^оло жимыми.
С помощью теоремы А.С. Галаева и Д.В. Алек-сеевского (см. [5]) можно выбрать систему локаль-ныхкоординат наМИ.
Тваремаа. Пусть(М,и) — неуизломииоелоирн-цеио i^^oo^oобразиидазмероосснН.Тигда (М, g) О-сим-метричнотогда и только тогда, когда локально существуют координаты v, x1, x2, x3, u такие, что
3
— = 2dudv + ^(dx^2 + (Нц0(ж1еа
i=1
+ 2Hiaox1xa + 2H130X1)3 + Наао(хаеа
3
+ 2Назо хах3 + Нззо(х3еа + ^(х^аиЯш )dua,
i=1
г^е jHü — нокоазкд1гдеКстиднельныгкисла,а Т,,0 —
Известии АсмГУ. Матемктика oí меткгикини.а. 20121. Ф i (117)
2. КонУормсо кинлинговпе яеионвыые поля-
Вявгя решлния TpooHCHHH клнфо]тмно киллынгово пол-i CHOiaco посте20имчос.гс-ое рншение эoоco урав-нентя. С)]:,р^н^чя[мо;я сл)в1а^м, ко:лдаПг -jo) — ыостоян-мля флокрия.
Teo]eca2. BeKmepooe orne
KuHVvмcIHf)MfmmЫ-p.MuIHнXa-Bв1lЯHx2
dv dx dx dx
Г HllгfCы2)■2u Г HccoB(fC)— —к (.к BU
Г ^^(коЫ^ы'2'—^ - Г НззЬUCfK)2
X HllгЫ(d1)2Л( Г Н(.с0Ы(ы1)C Г- Г21fxзы2 -Г Hc.BficB - -Щ.Выif2 Г ^iccci^fcfi Л Гвef) лС)2л Г Hoiop (л я Л Г Ннзо^ыЯн^ — Сх0 — 2НонВ ы2х0 Г H^c_HBfCf2( -Г H^Bx2лл Г Г]CюВ2 л -я e^BCx0)2 2= 0.
одз с, f— нevomаpыe Hoemoxonox, на n-euммempuno-ском nponuмepлo— нсряз7{^:жим^:м лoмonгевом зоного-образии ТА г неырнктй
( lx ))
g н UH-v ы О-).— m (HnoH1
i=1
Г -Я^х1:! о- UHl(0Cм1Xl Л) Н—х2)2
з
Л -Ha2-, Л Hoiiopx3)2 Л С(ыЧЯ2лН))1 {Тл2.
i-i
гдз мм — хлорл-осх .cVeempomooonox числа, a Hg — noюлeлoûьxыe констант)., явкяemcякouMoхянo гил_ л ингогым.
èЛдpaeamльaoлOlДnя системны o o4pc¡UH лез из rue ос деюы г лалелио^ои аXаeяeяме хезулетлтз пн-
луч имслемемь:
0
-ou
do
н— Л PHf = 0)
ню
]xL
К oui
е О-
2 3x3
H dX]
2 ] x 3
Лни-L =
-2 Kv
1 dX] = о)
H HX3 Lo 0
2 0x2 н 3
книи — 0
2 dx2
0
к Е3= СНГ-) 1-е л- Наивно Л ГГc20ы_г2нюн
+( Е^ы_ HP H Rcol HU)Ы~
в-- H АЛ uta0
нТЗ—Нши + И—яК— Х-НткЛи02 ХН H —согн( -К
Лн^нХНЫ г Ho Г K НН=Л
— - Hf=i (-Hiii Вл. Л ЛН()3В но H{)cU — - (H- Зл
ЛН-2Л Онл ЛЛ Н— К{ Л ГХсоеКо dp НсзнКз — ( U(Hlз o f - Hp o мПН
- Hi2 ]Кс, и- — - H2H1 л dp H- 2 о ) Ko - Hc3oKo)x){
-(=HionB — xxho^Hu 1 Л й{H2eol0 — H—oK) — СОзси Л HeH)KK)x3 Л ЛhoHI
где V (v, x', ve1. H, uf, ЫЛЬы -я1- x1, x3, u0, Кы x'. 2й. -U.u) — немконентсс зекторнесе поил HO Л) = m ) O[.
Ko иVaзлeиня, к^алее тсл^него. ovmeudHa1 еытлн ненм, поллсд^ле o/pnoHenoe выполнено, таи ник noioo Bedeium] заачепнЛ V,XC UûЯаclXl]]Xûf eoepcxH) бок мы нкллчаем pИoвнcnnc
y6eHomocoi ce oupaeefaucoomu влто-ооо не оосторляет мnpЛa. Ивuыeнвûooчзвno.
лeмcDим, оно в ношлм слзнае люВо-л дол конфор-г-но oHBercfflrooo ^(я1с'оор)):1^1;а поля овтиз[^ютля но яио-hûhoooo. Пооломо для oHoooHriK всгя квофоимнл кидкнивовыи oooeû ioooHaHOC[E[o иcиoнвaoвoD0 o0щий оотд HHooKHooBonoric, котвя]-!^ nio'a-HoB-icroaeo ла-очемо 3 (Hoc яз]). HoMeonM, что оертгложпвые 2-с-ом-мвт(еоческ^о чoбнгпeoei мкоеяо^азхв я^ляю—'С}-пr>[аo]raнcтвaл^и VOXCho — yodoo-ra Caаíа^2 при cC=B.
HcupeMO 3. Пролит X — ееооелрноз иcлг Киллннго с —oяCиaaяea2я V {v, я2, .o, of uèieMc^,xO.o > o1,^, Iнlp
í).- m, и) --3iX)o oo— опндипз КНуессоечеи-0 no opo-щсн-пом 2нo[oсЛИ[зou Кахенo — Унимала )0m0K+2з {oí pаЗl кеыеости ке-2 > з с онетрикя-й
н н
g за UТvТх Н>Ус (Ты1)2 Л ( d nio(хIыеы0)(йх)2. )=с ),0=с
Общее рзшение ;тнaл^e^ия Kиллянга ссмястт ^ид:
U н 0
К) н Н)(лз) Л В=кык . fa —HiOfi -о c
где cff — миоиовонъная оoлзmauma, фз1пкцил^Ц нлпеделяются cязmcнчe2 нuгК(Я)^^eиlcûллънылy2a)вне-
длûOЯл) = а зиОЬ.Он), o— — лонтяяннар кoeoеямме-mpxчнпp Mamoyoi' внммнmлpйoщaл з Ы = Но^. Oa]MeKoocmo n^ocmpaHcm^a roocû Kuciouneo не eoetibx
„ ^ ] , л(п- Г лее нп+е л ne 16ол-xie2n+lo--.
o
Pc HooeoMe^Bm a'cou'- = Н..0 н HOh. Waxoaooyn uo-^зolЖ]eeниз oeo^MHi Oc и oeo]eoмoll o прси ei = 3, = u И noicynoeoyi:
Т«;о^ома Я. P-xmo X — oeoHopHHO ах2=2лоовк оок-тонлее пол) с KoavOnoHmaB^uVeoi ^1>pc, xв,и3с Х.ецх1, ху кН, ос)с Ulli цб, -о2, я) ОЛ X, B— влDTdбc л.нкции, i =1, Р ОЛ, яо д-вимметричесоон дятяте=лон оорат-оомрмом лopeяизвoммнтIeoбфoзнuMcтеmBидoй
Копивормно гаялбинговР1вебъа)рные гюея.
з
g = 2dudv -^(dx0)2 Ц (Hll0(x1)2 i=l
Ц 2Hl2oxlx2 Ц 2Hl3oxlx3 Ц H22o(x2)2
з
Ц 2H23ox2x3 Ц H33o(x3)2 Ц ^(x1 )2uHiil)du2,
i=l
где Hül — ненулевые действительные числа, а H,,0 — ngornemънъ:е константы.
Цбщеенешениеуранръния конформно киллингова поля имеви вид:
U u0
Xi = bi(u) + fikxk Ц fxi , V = -bi(u)xi Ц 2fv -he
гдес еК — произвольная константа, функцииЬ.(и) определяются системой дифференциальных ук>апнн-
лийЬ,(иЦ = ОцНидО.Оие, Ккд — нплтоякнаккососимме-т^лнаяматрица,соимутирующая с А = (а.), где а..(и)=Н..0 + Н..1и. Размерность пространства конформнй аилсааповых аолей аемепаше 8анп балъше П.
Заолюыерие.В^зулнтате кфммеденныкисслодооа-ний найдено общее решение конформного аналога уровненияКнллинсаранятммерыых локально неразложимых 2-симметрических лоренцевых многообразиях. Указаны оценки размерности пространства конформнокилли нговых векторных полей на данных многообразиях.
Библиографический список
1.НиконоровЮ.Г.,Родионов Е.Д., Славский B.B. Геометрия однородныхримановых многообразий // Современная математикаиееприложения.Геометрия.2006.Т. 37.
2.Cao H.-D.Recentprogresson Ricci solitons// Advanced LecturesinMathematics.2010.Vol.11.
3. Oskorbin D.N., Rodionov E.D. Ricci solitons and killing fields on generalized Cahen-Wallach manifolds // Siberian Mathematical Journal. 2019. Vol. 60. DOI: 10.1134/ S0037446619050136.
4.Cahen M.,Wallach N. Lorentzian symmetric spaces // Bull. Amer. Math. Soc. 1970. Vol. 76. DOI: 10.1090/S0002-9904-1970-12448-X.
5. GalaevA.S., Alexeevskii D.V. TwosymmetricLorentzian manifolds // J. Geom. Physics. 2011. Vol. 61. № 12. DOI: 10.1016/j.geomphys.2011.07.005.
6.BlancoO.F.,SanchezM.,SenovillaJ.M.Structureofse-cond-order symmetricLorentzian manifold // Journal of the EuropeanMathematicalSociety. 2013. Vol. 15. DOI: 10.4171/ JEMS/368.
7. Galaev A.S., LeistnerT.Holonomy groups of Lorentzian manifolds: classification,examples, andapplications // Recent Developments in Pseudo-Riemannian Geometry.ESI Lect. Math.Phys.,Eur.Math.Soc. Zürich, 2008.
8. Walker A.G. On parallel fields of partially null vector spaces // Quart. J. Math., Oxford Ser. 1949. Vol. 20. DOI: 10.1093/qmath/os-20.1.135.
9. Brozos-Vázquez M., García-Río E., Gilkey P., Nikcevic S., Vazquez-Lorenzo R. The geometry of Walker manifolds. Synthesis Lectures on Mathematics and Statistics. Morgan & Claypool Publ. 2009. DOI: 10.2200/ S00197ED1V01Y200906MAS005.
10. Wu H. On the de Rham decomposition theorem // Illinois Journal of Mathematics. 1964. Vol. 8. Issue 2. DOI: 10.1215/ijm/1256059674.
11.HallG.S. Symmetries andCurvatureStructureinGe-neral Relativity. World Scientific Publishing Co. Re. Ltd, 2004 DOI: 10.1142/1729.
