CC BY
74
УДК 624+539. 3/6
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ДИАГРАММЫ ДЕФОРМИРОВАНИЯ МАТЕРИАЛА В РАСЧЁТАХ НА ПРОЧНОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ
© 2012 Л. М. Савельев
Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королёва (национальный исследовательский университет)
Для материала, не имеющего площадки текучести, предлагается явное представление зависимости напряжения от деформации при одноосном деформировании, опирающееся на стандартные характеристики материала. Данная аппроксимация диаграммы деформирования позволяет находить в замкнутой форме критические напряжения стержней и пластин за пределом пропорциональности.
Диаграмма деформирования, аппроксимация, касательный модуль, устойчивость, стержень, пластина.
Расчёты элементов конструкций за пределом пропорциональности требуют знания диаграмм деформирования соответствующих материалов. Для практических целей желательно иметь аналитическое представление зависимости напряжения от деформации. Это тем более необходимо, когда экспериментальная диаграмма отсутствует, а в распоряжении расчётчика имеются лишь некоторые характерные величины. Для материала, не имеющего площадки текучести, к ним могут относиться модуль упругости E , предел пропорциональности ащ , условный предел
текучести а02 , предел прочности ав . Для
построения по этим данным диаграммы деформирования можно воспользоваться следующими соотношениями:
а = Бе при а < (1)
" а + аАг при а > апц. (2)
а = а -
1 —
е - а.
Здесь а1... а4 — параметры аппроксимации; а , е — напряжение и деформация:
а = а/апц , е = е/епц , епц = апц/Е . (3)
Касательный модуль Б на участке
упрочнения определяется следующим образом:
Б = Бк = 1 dа = dа к Б Б ds ds
при
этом
а.
(е - аз)
- + а4. (4)
Достоинством предлагаемой
аппроксимации является явный вид
зависимости а = а(е) в отличие от тех
работ, где она строится в неявной форме
е = е(а) (например, [1]). Участок
упрочнения представлен здесь единым
выражением (2), что удобно при
практических расчётах. Параметры
аппроксимации связаны между собой
условиями непрерывности функций а(е) и Бк (е) в точке е = епц (точка А на рис. 1). Полагая а = 1 и Бк = 1 при е = 1, получаем согласно (2), (4) равенства
а
а1 -
1 - а.
- + а4 = 1;
а
(1 - аз)
2 + а4 = 1.
Отсюда можно получить соотношения
где
а3 = 2-а , а2 = (а-1) (1 -а4). а = ах! (1 - а4).
(5)
(6)
Потребуем далее, чтобы
аппроксимирующая кривая проходила через точку В (рис. 1), в которой
а = а
г/Б + 0,002
или, иначе,
а = а
е0,2 = а0,2 + К ,
где обозначено
0*0,2 = а апц; ^ = 0,002Б/ащ. (7) Подставив эти значения а и е в выражение (2), после тождественных преобразований можно прийти к равенству
= (1 - 2а4 )°0,2 +(1 - а4 )(°0,2 -1)Ук +
+аА (2-к). (8)
а
2
а
Ч
0,002,
а(£
8
ав/Е
уравнению относительно а4 которого можно записать в виде
ал
=( с - с0)/(А - А),
решение
(9)
где
С0 = а0,2 + (°0,2 -1) /К \=(а0,2+к-1)7к; с1 = а1+(°-1)7к1;
а =(а1+щ -1)7к.
(10)
(11)
Если, в частности, в качестве а1 взять ав (точка С на рис. 1), то в этом случае в выражениях (11) следует положить
а1 = ав/ апц; к=8Е/ ашi, (12)
где 8 - остаточная деформация, соответствующая ав.
Формулы (5) и (7) - (11) совместно с равенством
а1 = «(1-а4), (13)
вытекающим из (6), дают искомые значения параметров аппроксимации.
Рис. 1.
Наконец, последнее соотношение между параметрами получим, потребовав, чтобы аппроксимирующая кривая проходила через ещё одну точку, для которой известны экспериментальные значения £ = £ и а = а1 , то есть известны относительные величины ££ и а1. Положив
£ = а1 + щ,
из равенства (2) получим выражение, аналогичное (8): а =(1 - 2а4 О +(1 - а4 )(а -1)2/щ + а4 (2 - щ ) .
Приравнивание правых частей этого выражения и выражения (8) приводит к
В случае, когда возникающие деформации не слишком велики, можно воспользоваться более простым
представлением диаграммы а - £ . Оно получится, если опустить в выражении (2) слагаемое а4£ и, соответственно, отказаться от требования, чтобы кривая проходила через дополнительную точку с координатами £1 , а1 . Остальные условия сохраняются неизменными. В итоге вместо (2), (4) можно получить соотношения вида
а = Ь - —
Е =-
£ -
V - (£ - Ь3 )2
где
(14)
(15)
(16)
Эти соотношения могут быть представлены в более удобной форме
Ь1 =а 0,2+(а0,2-1)7к;
Ь2 =( Ь -1)2; Ьз = 2 -
а = а --
К = Е
где
Ка )2 .
* 5
Е£+ а - 2апц
К -апц )2 ,
(Е£ + а* - 2апц )2 '
(а0,2 -апц )2
* (а0,2 -апц;
а = а0,2 +"
(17)
(18)
0,002Е
В качестве иллюстрации рассмотрим материал Д16, имеющий характеристики: Е = 7-104 МПа; апц = 190 МПа; а0,2 = 280
МПа; ав = 440МПа ; 8 = 0,12 .
Согласно (7), (12) находим для него
о0,2 = 1,474 ; к = 0,7368 ; а1 = 2,316 ;
щ = 44,21. Параметры аппроксимации (2) имеют значения
а = 1,730; а3 = 0,2474;
а2 = 0,5592; а = 0,01285,
а параметры аппроксимации (14) - значения Ь = 1,778; Ь2 = 0,6056; Ь3 = 0,2218.
С
/ \
/ \ 0 ПП5Р
/ —к-ь-
При О0, > о-пц
для определения
критического напряжения используем формулу Энгессера - Шенли [2]
ЕкI/(12А) = оКр Ек/Е . (20) Значения напряжения о
0кр = СЛ ~ к
и
касательного
модуля
Е
кр
должны
определяться в одной и той же точке диаграммы деформирования материала. Считая, что эта диаграмма описывается в нелинейной области выражениями (14), и подставляя последние в равенство (20), приходим к уравнению относительно критической деформации ек :
кр
¿2 -0 ¿2 - Ь
ь -
кр
Рис. 2.
На рис. 2 зависимости о и Ек от г ,
вытекающие из соотношений (2) и (4), даны для этого материала сплошными линиями, а из соотношений (14) - штриховыми. Для сравнительно небольших значений г обе аппроксимации дают близкие результаты. Так, при г = 0,01 (что соответствует величине г = 3,68) по формуле (2) находим О = 1,62 (то есть о = 307 МПа), а по первой из формул (14) имеем О = 1,60, что меньше более строгого значения на 0,7%. Для касательного модуля упрощённый вариант при той же деформации даёт значение Ек = 3,54 -103 МПа , что на 16% меньше величины Ек = 4,21 -103МПа , вытекающей из выражения (4).
Упрощённый вариант диаграммы деформирования особенно удобен в расчётах на устойчивость, где он позволяет во многих случаях находить критические напряжения для стержней и пластин в виде относительно простых формул. Рассмотрим, например, сжатый стержень, для которого критическое напряжение изгибной потери устойчивости в предположении о справедливости закона Гука даётся формулой Эйлера
00 = сл2 Ы/ (12 А), (19)
где I, А , I - длина стержня, площадь и момент инерции сечения, соответственно; с - коэффициент, зависящий от условий закрепления стержня на концах.
(г - ¿3)'
где
г = г /г
кр кр / п
-0
О = О0 О
кр кр I пц
Отсюда вытекает квадратное уравнение относительно (гкр - Ь3) . Отбросив посторонний корень, находим
г -¿3 = ¿2(5 + !)/(2Ь):
где
5 = .
л/1 + 4О0 м¿2 .
Подстановка этого результата в первую из формул (14) позволяет прийти к выражению
Окр =0шр1 (5-1)/(5 +1) .
С учётом соотношений (15), (16) и (18) расчётным формулам можно придать вид
о = О
кр
5-1 5 +1
5 =
1 + -
4оо
(о* - 20пц )2
(21)
Таким образом, расчёт сводится здесь
предварительному
вычислению
напряжения 0°, по формуле Эйлера
(19).
Если окажется, что эта величина превышает опц, то она должна быть скорректирована согласно выражениям (18) и (21).
В качестве другого примера рассмотрим прямоугольную пластину, равномерно сжатую в продольном направлении. В предположении о справедливости закона Гука критическое напряжение определяется по формуле [3]
0к0р = кЕ (h|Ь )2, (22)
а. К„. МПа
0
0
0,4
0,8
1,2
1,6
к
стк„, МПа
sb
400 -
200 -
\э м
2 \
к
\
60 Рис. 3.
к0ГДа % > Ощ
для нахождения а
\ \
\ V
2 ч \
\ ч
Ч
где Ь, h - ширина и толщина пластины, k - коэффициент устойчивости, зависящий от характера граничных условий и соотношения сторон пластины. В случае,
воспользуемся концепцией Блейха [4], согласно которой
а = а0 ,/Е /Е .
кр кр \ к /
Учитывая первое равенство (16), на основании (14) можно получить в этом случае следующее выражение для £кр:
^ -Ьз = (Ъ -1 + акр)(Ъ -1)/V
Первое из соотношений (14) позволяет далее вывести расчётную формулу для ак . С учётом (15), (16) и (18) можно
представить её в виде
акр = оакр/« + а*-апц ). (23)
Как видим, и в этом случае дело сводится к предварительному расчёту критического напряжения по формуле (22) и, при необходимости, последующему уточнению результата согласно (23).
На рис. 3 представлена зависимость
акр от параметра гибкости Л = Цг (I = л] 1/А
— радиус инерции сечения) для сжатого стержня, шарнирно опёртого на концах. Стержень изготовлен из рассмотренного материала. Кривая 1 представляет гиперболу
Эйлера а0, = л2е! Л2 , вытекающую из
формулы (19) при с = 1, а кривая 2 получена в соответствии с выражениями (18), (21). Кривая 3 даёт для сравнения результаты итерационного расчёта акр с
использованием аппроксимации (2), (4). В
Рис.4.
наиболее существенном для практики диапазоне X кривые (2) и (3) совпадают.
Аналогично на рис. 4 представлены результаты расчёта критического напряжения для случая равномерного одноосного сжатия прямоугольной пластины, шарнирно опёртой по всем сторонам. Коэффициент к в выражении (22) принят равным 3,6. Как следует из рисунка, формула (23), представленная кривой 2, даёт хорошие результаты для b/h > 10. Для более толстых пластин использование простейшей аппроксимации приводит, как и в случае коротких стержней, к заниженным значениям критических напряжений; возникающая погрешность идёт, очевидно, в запас прочности.
Библиографический список
1. Моссаковский, В.И. Прочность ракетных конструкций [Текст] /В.И. Моссаковский, А.Г. Макаренков, П.И. Никитин и др.; Под ред. В.И. Моссаковского. - М.: Высш. шк., 1990. - 359 с.
2. Работнов, Ю.Н. Механика деформируемого твёрдого тела [Текст] / Ю.Н. Работнов - М.: Наука, 1988. - 712 с.
3. Вольмир, А.С. Устойчивость деформируемых систем [Текст] / А.С. Вольмир - М.: Наука, 1967. - 984 с. Блейх, Ф. Устойчивость металлических конструкций [Текст] / Ф. Блейх - М.: 1959. -544 с.
а„„, МПа
s
100
0
0
0
0
100
ANALYTICAL DESCRIPTION OF STRESS-STRAIN DIAGRAM IN STRESS AND
STABILITY ANALYSIS
© 2012 L. M. Saveljev
Samara State Aerospace University named after academician S.P. Korolyov (National Research University)
A simple approximation of stress-strain diagram in direct form is proposed. The dependence permit to obtain bars and plates critical stresses beyond proportional limit as closed formulas.
Deformation curve, approximation, tangent modulus, stability, beam, plate.
Информация об авторе
Савельев Леонид Макарович, кандидат технических наук, доцент кафедры прочности летательных аппаратов, Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королёва (национальный исследовательский университет). E-mail: [email protected]. Область научных интересов: прочность конструкций летательных аппаратов.
Saveljev Leonid Makarovich, Candidate of Technical Science, Associate Professor of Aircraft Strength Department, Samara State Aerospace University named after academician S.P. Korolyov (National Research University). E-mail: [email protected]. Area of research: Strength of Vehicle Structures.
