CC BY
39
УДК 621.311.2
А.А. Сандуляк
ФГБОУ ВПО «МГСУ»
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА РАЗМАГНИЧИВАНИЯ РАЗНОПОРИСТЫХ СЕРДЦЕВИН ЦЕПОЧЕК ГРАНУЛ ФИЛЬТР-МАТРИЦЫ МАГНИТНОГО
СЕПАРАТОРА
Исходя из оригинальной концепции о поканальном намагничивании гранулированных сред, в которых эффективными магнетиками-каналами являются цепочки контактирующих гранул, рассмотрен имеющий научную новизну вопрос о проявлении размагничивающего фактора N таких каналов. Приведены значения N для квазисплошных сердцевин цепочек различных длин ^ и диаметров dc, а также выражение для N с аргументом в виде радикала относительного габарита сердцевины V¿Уdc, что полностью согласуется с аналогичным выражением для образца гранулированной среды (состоящей из жгута каналов).
Ключевые слова: гранулированная среда, цепочка шаров, сердцевина цепочки, размагничивающий фактор, магнитный сепаратор.
Гранулированный магнетик (засыпка гранул) — жгут эффективных, ориентированных по цепочкам гранул, магнетиков-каналов
Одним из ключевых рабочих органов магнитных сепараторов, используемых для удаления ферропримесей из жидких и газообразных сред, в частности, суспензий керамического производства, пульп обогатительных фабрик, конденсатов в энергоустановках, является пористая матрица. Чаще всего она представляет собой засыпку ферромагнитных гранул, например, шаров. Подвергаясь в рабочей зоне сепаратора воздействию магнитного поля, эта матрица, в порах которой генерируется высокое и неоднородное магнитное поле, выполняет роль поглощающего экрана ферропримесей.
В [1—4] выявлена важная физическая особенность гранулированных, «плотно упакованных» сред (с контактирующими между собой гранулами-зернами): обнаружен и проанализирован механизм поканального (селективного) намагничивания этих сред, ответственными за намагничивание которых становятся цепочки гранул. Способствующие формированию в таких средах «элементарных» эффективных каналов намагничивания, они всегда проявляют себя (среди множества взаимно контактирующих гранул-звеньев разветвленной скелетной структуры) сообразно направлению намагничивания. Поэтому намагниченная гранулированная среда представляет собой своеобразный жгут эффективных магнетиков-каналов, пронизывающих эту среду [1—4].
Принципиальная роль контактов гранул и их цепочек, впервые отмеченная еще в [1] и впоследствии подробно раскрытая в исследованиях обнаруженного явления поканального намагничивания гранулированных сред [2—4], проявляет себя в самых разных физических эффектах [5—13].
К числу принципиальных достижений, касающихся именно механизма поканального намагничивания гранулированных сред, относится полученная
информация о ключевых параметрах элементарного квазисплошного канала [2—4]. Это, прежде всего, радиально убывающая магнитная проницаемость (имеет сильно выраженный колоколообразный профиль), средняя проницаемость той или иной сердцевины и всего канала (что выводит на аналитическую кривую намагничивания среды в целом) и пр. [2—4].
Столь же принципиальным представляется и желаемое получение информации о размагничивающем факторе N элементарного квазисплошного канала, предпочтительно (ввиду специфичного профиля проницаемости [2—4]) — его сердцевин различной длины L и различного диаметра ёс (радиуса г = й?у2). А ту или иную сердцевину можно «выделить» при помощи соответствующих потокоизмерительных петель радиуса г (рис. 1) [2—4, 14].
Рис. 1. Сердцевина радиуса г (выделено пунктиром) эффективного магнетика-канала в цепочке шаров
При этом стоит особо оговорить, что различным (по радиусу) сердцевинам соответствуют и различные значения объемной концентрации в них металла у (см. рис. 1); значения у для сердцевин, увеличиваясь по мере уменьшения г, находятся между значениями у для гранулированных (у = 0,6) и сплошных (у = 1) магнетиков. Тем самым при изучении, например, связи размагничивающего фактора N с его относительным габаритом «автоматически» изменяющимся становится параметр у.
Но согласно данным [15, 16], полученным при исследованиях гранулированных сред с различными значениями у, при у > 0,4.. .0,45 наблюдается автомодельная, не зависящая от у, область значений размагничивающего фактора N. Не исключено, что это обстоятельство может оказаться справедливым и для магнетиков-сердцевин (обладающих, повторим, различной концентрацией металла у).
Легко показать (см. рис. 1), что значение у для той или иной сердцевины цепочки шаров радиуса Я изменяется от у = 0,66, когда г/Я^-1, до значения у ^1, когда г/Я^-0 (т.е. для утоняющейся сердцевины в окрестности межцентровой линии шаров). Так, то или иное значение у для сердцевины магнетика-канала (1 > у > 0,66) геометрически легко определить как долю объема металла (на рис. 1 затушевано) в объеме характерного для сердцевины «звена» длиной 2Я и сечением пг2 [14]. При этом следует учитывать, что объем металла в «зве-
(2 2\ R — г ) и удвоенный объем шарового сегмента nb (b2 + 3r2 3 высотой (см. рис. 1).
Коэффициент размагничивания разнопористых сердцевин цепочек гранул
Значения коэффициента размагничивания (размагничивающего фактора) N того или иного образца магнетика (имеющего определенные размеры и форму) определяются по известной классической формуле типа
„11 1 1
N =---=-7--7 , (1)
Xn X vn-1 V-1
справедливой как для сплошного [17, 18], так и квазисплошного магнетика.
В данном случае, т.е. для квазисплошной сердцевины цепочки шаров (как образца цилиндрической формы длиной L и диаметром d т.е. с присущим ему значением относительного габарита L/d): xN и |xN — магнитная восприимчивость и проницаемость сердцевины (образца). Значения же магнитной восприимчивости и проницаемости квазисплошного «материала» этого образца % и ц, т.е. потенциально возможные (предельные) значения %N ^ % и |xN ^ ц, можно получить, как известно, для этого же образца, но тороидального или достаточно длинного (L >> d), конечно, при условии, что намагничивание цепочки шаров производят в тороидальной или длинной катушке.
В [14] изложены результаты соответствующего исследования сердцевин цепочки шарикоподшипниковых шаров ШХ-15. Каждая из сердцевин цепочки, состоящей из четного числа шаров n = L/db (db = 2R — диаметр шаров), «выделялась» соответствующей потокоизмерительной петлей [3, 14]. При этом вся система концентричных петель различного радиуса r (r = dJ2) располагалась посреди цепочки между смежными шарами (см. рис. 1). Для обеспечения возможности исследования сердцевин сравнительно малого радиуса с как можно более высокими значениями у (и возможности соответствующего размещения петель) использовались шары повышенного радиуса R = 16,65 мм.
Число шаров n в цепочке составляло от 2 до 16, а значения относительного радиуса петли (относительного радиуса сердцевины) r/R — от 0,17 до 0,87; в таком диапазоне r/R концентрация металла у в сердцевине (см. рис. 1), как это легко показать, составляла от 0,993 до 0,78. Диапазон напряженности намагничивающего поля, создаваемого соленоидом: Н = 18...175 кА/м.
Для определения в соответствии с формулой (1) значений коэффициента размагничивания N различных сердцевин значения проницаемости ^ квазисплошных сердцевин брались из семейства полевых зависимостей проницаемости, получаемых при различных значениях n, r/R, а следовательно, и L/d . При этом, подобно опытам с образцами гранулированной среды [3, 14], получению этих зависимостей предшествовало получение исходных полевых зависимостей (семейств) магнитного микропотока (измеряемого при помощи упомянутой системы концентричных петель): по этим данным проводился расчет средних значений индукции в той или иной сердцевине, а затем уже — ее проницаемости.
А что касается одновременно используемых там же, в формуле (1), значений проницаемости ц «материала» каждой из квазисплошных сердцевин, то это потенциальные (предельные) значения проницаемости, а именно ^ ц для достаточно длинной сердцевины ^ >> й) и соответственно достаточно длинной ^ >> йь) цепочки шаров. Как было установлено из предельных полевых характеристик, соответствующие значения ц достигаются при п > 8...10 [14].
На рис. 2, а видно, что значения коэффициента размагничивания той или иной сердцевины N снижаются с увеличением ее относительного габарита L/dc. При этом в принятом диапазоне напряженности намагничивающего поля Н разброс значений N оказался сравнительно небольшим. А это, как и в случае с подобными исследованиями для гранулированной среды-засыпки [4, 14], свидетельствует о слабой зависимости N от Н и дает основание для усреднения (по Н) значений N.
Рис. 2. Данные размагничивающего фактора сердцевины магнетика-канала в цепочке шаров: в зависимости от относительного габарита сердцевины (а, б) и радикала этого габарита (в); о — г/Я = 0,17; ◊ — 0,42; А — 0,59; □ — 0,87. Здесь же данные (затемненные) для гранулированного образца [4, 14]
Примечательным (и вполне ожидаемым) оказался следующий факт (рис. 2, а). В таких координатах N от L/d) все полученные значения Nдоста-точно хорошо обобщаются единой зависимостью (комбинации значений диаметра сердцевины-магнетика йс и его длины L, разумеется, различны), несмотря на существенные отличия изучаемого и весьма специфичного магнетика (сердцевины цепочки шаров) от тривиального магнетика: сплошного или квазисплошного. Так, во-первых, изучаемая сердцевина не традиционно рассматриваемый «обособленный» магнетик, а его часть (что само по себе является оригинальной попыткой развития задач подобного рода). Во-вторых, значения концентрации у металла в сердцевине того или иного диаметра йс (см. рис. 1), как уже говорилось, различны.
Научный и практический интерес представляет, конечно же, установление функционального вида зависимости N от L/dс (рис. 2, а). Однако обычные в подобных случаях приемы поиска феноменологических связей путем, например, искусственной линеаризации в логарифмических или полулогарифмических координатах для выявления, в частности, степенной или экспоненциальной связи, результата не дают. Последнее иллюстрируется в полулогарифмических координатах на рис. 2, б.
Вместе с тем, если тот же массив данных N (рис. 2, а) представить в полулогарифмических координатах, но абсциссой в них сделать не относительный
габарит сердцевины L/d, а его радикал, т.е. , то в таких координатах данные N линеаризуются (рис. 2, в). Тогда с учетом, конечно же, неявной контрольной точки, а именно N^1 при L/dc^■0, зависимость N от L/dc опишется выражением
N = ехр
1.5 И"
(2)
Обратим внимание, это выражение — аналогичное, как и для гранулированной среды [4, 14].
Взаимное же согласие полученных на основании экспериментальных данных выражений для размагничивающего фактора образца гранулированной среды (у = 0,6), состоящей из жгута магнетиков-каналов, самоорганизующихся по цепочкам гранул, и разнопористых сердцевин магнетика-канала (по меньшей мере, в диапазоне 0,78 < у < 0,993), подтверждает общность характера размагничивающего фактора для магнетиков с «повышенной и высокой» концентрацией у ферромагнитного материала.
Библиографический список
1. Сандуляк А.В. Модель намагничивания пористой среды // Журнал технической физики. 1982. Т. 52. Вып. 11. С. 2267—2269.
2. Сандуляк А.В., Сандуляк А.А., Ершова В.А. Кривая намагничивания гранулированной среды с позиций модели поканального намагничивания (новый подход) // Доклады Академии наук. 2007. Т. 413. № 4. С. 469—471.
3. СандулякА.В., СандулякА.А., Ершова В.А. К вопросу о модели поканального намагничивания гранулированной среды (с радиальным профилем проницаемости квазисплошного канала) // Журнал технической физики. 2009. Т. 79. Вып. 5. С. 140—143.
4. О свойствах «коротких» гранулированных магнетиков с неупорядоченными цепочками гранул: поле между гранулами / А.А. Сандуляк, В.А. Ершова, Д.В. Ершов, А.В. Сандуляк // Физика твердого тела. 2010. Т. 52. Вып. 10. С. 1967—1974.
5. Мейлихов Е.З., Фарзетдинова Р.М. Обобщенная теория среднего поля для решеточных магнитных систем и ферромагнетизм полупроводников с магнитными примесями // Физика твердого тела. 2005. Т. 47. Вып. 6. С. 1085—1091.
6. Комогорцев С.В., Исхаков Р.С. Кривая намагничивания и магнитные коррелля-ции в наноцепочке ферромагнитных зерен со случайной анизотропией // Физика твердого тела. 2005. Т. 47. Вып. 3. С. 480—486.
7. Инверсное магнитосопротивление в магнитных гранулированных композитах ^еСоВ)-(А1203) / А.С. Андреенко, В.А. Березовец, А.Б. Грановский и др. // Физика твердого тела. 2003. Т. 45. Вып. 8. С. 1446—1449.
8. Зубарев А.Ю. Реологические свойства полидисперсных магнитных жидкостей. Влияние цепочечных агрегатов // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2001. Т. 120. Вып. 1 (7). С. 94—103.
9. Магниторефрактивный эффект в магнитных нанокомпозитах / А.Б. Грановский, И.В. Быков, Е.А. Ганьшина и др. // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2003. Т. 123. Вып. 6. С. 1256—1265.
10. Кашевский Б.Э., Прохоров И.В. Магнитофоретический потенциал цепочки ферромагнитных шаров в однородном поле // Инженерно-физический журнал. 2003. Т. 76. № 4. С. 30—35.
11. Мейлихов Е.З., Фарзетдинова Р.М. Основное состояние решеток ферромагнитных гранул с магнитодипольным взаимодействием // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2002. Т. 121. Вып. 4. С. 875—883.
12. Зубарев А.Ю., Искакова Л.Ю. К теории физических свойств магнитных жидкостей с цепочечными агрегатами // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 1995. Т. 107. Вып. 5. С. 1534—1551.
13. Юрищев М.А. Магнитная восприимчивость квазиодномерных суперантифер-ромагнетиков Изинга. Аппроксимации цепочечными кластерами // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2005. Т. 128. Вып. 6 (12). С. 1227—1242.
14. Сандуляк А.В., Сандуляк А.А., Ершова В.А. Размагничивающий фактор гранулированного магнетика (фильтрующей матрицы) как жгута каналов намагничивания // Известия МГТУ «МАМИ». 2011. № 1 (11). С. 210—216.
15. Jean-Luc Mattei, Marcel Le Floc'h. Percolative behaviour and demagnetizing effects in disordered heterostructures // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. 257 (2003). Pp. 335—345.
16. InternalDemagnetizationFactorforPorousFerromagnetsinRemagnetizationProcess/ E.S. Gorkunov, VA. Zakharov, A.A. Chulkina, and A.I. Ul'yanov // Russian Journal of Nondestructive Testing. Vol. 40. No. 1. 2004. Pp. 1—7.
17. Кифер И.И. Испытания ферромагнитных материалов. М. : Энергия, 1969. 360 с.
18. Chen D.-X., Pardo E., Sanchez A. Fluxmetric and magnetometric demagnetizing factors for cylinders // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. 306 (2006). Pp. 135—146.
Поступило в редакцию в июле 2013 г.
Об авторе: Сандуляк Анна Александровна — кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры строительных материалов, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129332, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, (499)183-32-29, a.sandulyak@mail.ru.
Для цитирования: СандулякА.А. Аналитическое описание коэффициента размагничивания разнопористых сердцевин цепочек гранул фильтр-матрицы магнитного сепаратора // Вестник МГСУ 2013. № 9. С. 62—69.
A.A. Sandulyak
ANALYTICAL DESCRIPTION OF THE COEFFICIENT OF DEMAGNETIZATION FOR CHAINS OF CORES OF GRANULES IN THE FILTER MATRIX OF A MAGNETIC
SEPARATOR
Particle capturing efficiency inside the filter matrix of a magnetic separator used in the treatment of ceramic suspensions, minerals, condensates, other liquids and gas depends immediately on the intensity of its magnetization capacity. Chains of granules of a filter matrix represent effective magnetization channels. Demagnetization intensity influences the magnetization intensity of the whole filter matrix and its separate chains that are also considered as magnetization channels. The pattern of calculation of demagnetization factor N (coefficient of demagnetization) for such channel magnets is of utmost academic interest, and this pattern is provided in this article.
The author provides values for demagnetization factor N for quasi solid cores of chains of granules having with various lengths L and diameters dc (metal concentration 0.78—0.99), if magnetized by the field having the intensity of H=18-175 kA/m. It is proven that the values of N and VL/dc have an exponential relation.
Earlier, the author identified that the values of N for the porous media having a cylindrical form depend on the ratio of the length of magnet L to its diameter D. It is proven that the values of N and those of VL/D also have an exponential relation.
Therefore, this reciprocal conformity of relations in respect of the demagnetization factor for samples of the granulated medium (consisting of chains of magnets-channels) and for cores of magnets-channels (having different porosity values) has confirmed the similarity of the demagnetization factor for magnets having substantial and high concentration of the ferromagnetic material. The analytical description (the formula) of the coefficient of demagnetization of channel cores is provided in the article.
Key words: granulated ferromagnetic media, filter matrix, granule chain, demagnetization factor, magnetic separator.
References
1. Sandulyak A.V. Model' namagnichivaniya poristoy sredy [Model of Magnetization of the Porous Medium]. Zhurnal tekhnicheskoy fiziki [Journal of Applied Physics]. 1982, vol. 52, no. 11, pp. 2267—2269.
2. Sandulyak A.V., Sandulyak A.A., Ershova V.A. Krivaya namagnichivaniya granu-lirovannoy sredy s pozitsiy modeli pokanal'nogo namagnichivaniya (novyy podkhod) [Granulated Media Magnetization Curve Simulated Using the Channel-by-channel Magnetization Model (a New Approach)]. Doklady Akademii nauk [Reports of the Academy of Sciences]. 2007, vol. 413, no. 4, pp. 469—471.
3. Sandulyak A.V., Sandulyak A.A., Ershova V.A. K voprosu o modeli pokanal'nogo namagnichivaniya granulirovannoy sredy (s radial'nym profilem pronitsaemosti kvazisploshnogo kanala) [On the Issue of the Model of Channel-by-channel Magnetization of the Granulated Media (Having a Radial Profile of Permeability of the Quasi-continuous Channel)]. Zhurnal tekhnicheskoy fiziki [Journal of Applied Physics]. 2009, vol. 79, no. 5, pp. 140—143.
4. Sandulyak A.A., Ershova V.A., Ershov D.V., Sandulyak A.V. O svoystvakh «korotkikh» granulirovannykh magnetikov s neuporyadochennymi tsepochkami granul: pole mezhdu granulami [On the Properties of "Short" Granulated Magnets Having Irregular Chains of Granules: Field between Granules]. Fizika tverdogo tela [Physics of Solids]. 2010, vol. 52, no. 10, pp. 1967—1974.
5. Meylikhov E.Z., Farzetdinova R.M. Obobshchennaya teoriya srednego polya dlya reshetochnykh magnitnykh sistem i ferromagnetizm poluprovodnikov s magnitnymi primesya-mi [Generalized Theory of the Mean Field for Latticed Magnetic Systems of Ferromagnetism of Semiconductors Having Magnetic Admixtures]. Fizika tverdogo tela [Physics of Solids]. 2005, vol. 47, no. 6, pp. 1085—1091.
6. Komogortsev S.V., Iskhakov R.S. Krivaya namagnichivaniya i magnitnye korreyatsii v nanotsepochke ferromagnitnykh zeren so sluchaynoy anizotropiey [Magnetization Curve and Magnetic Correlations in the Nano-scale Chain of Ferromagnetic Grains Having Random Anisotropy]. Fizika tverdogo tela [Physics of Solids]. 2005, vol. 47, no. 3, pp. 480—486.
7. Andreenko A.S., Berezovets V.A., Granovskiy A.B. Inversnoe magnitosoprotivlenie v magnitnykh granulirovannykh kompozitakh (FeCoB)-(Al2O3) [Inverse Resistance to Magnetization inside Magnetic Granulated Composites (FeCoB)-(Al2O3)]. Fizika tverdogo tela [Physics of Solids]. 2003, vol. 45, no. 8, pp. 1446—1449.
8. Zubarev A.Yu. Reologicheskie svoystva polidispersnykh magnitnykh zhidkostey. Vli-yanie tsepochechnykh agregatov. [Rheological Properties of Polydisperse Magnetic Liquids. Influence of Chain Aggregates]. Zhurnal eksperimental'noy i teoreticheskoy fiziki [Journal of Experimental and Theoretical Physics]. 2001, vol. 120, no. 1(7), pp. 94—103.
9. Granovskiy A.B., Bykov I.V., Gan'shina E.A. Magnitorefraktivnyy effekt v magnitnykh nanokompozitakh [Magnetorefractive Effect in Magnetic Nano-scale Composites]. Zhurnal eksperimental'noy i teoreticheskoy fiziki [Journal of Experimental and Theoretical Physics]. 2003, vol. 123, no. 6, pp. 1256—1265.
10. Kashevskiy B.E., Prokhorov I.V. Magnitoforeticheskiy potentsial tsepochki ferromagnitnykh sharov v odnorodnom pole [Magnitophoresis Potential of a Chain of Ferromagnetic Balls in the Homogeneous Field]. Inzhenerno-fizicheskiy zhurnal [Journal of Engineering and Physics]. 2003, vol. 76, no. 4, pp. 30—35.
11. Meylikhov E.Z., Farzetdinova R.M. Osnovnoe sostoyanie reshetok ferromagnitnykh granul s magnitodipol'nym vzaimodeystviem [Principal State of Lattices of Ferromagnetic Granules Exposed to Magnetic Dipolar Interaction]. Zhurnal eksperimental'noy i teo-reticheskoy fiziki [Journal of Experimental and Theoretical Physics]. 2002, vol. 121, no. 4, pp. 875—883.
12. Zubarev A.Yu., Iskakova L.Yu. K teorii fizicheskikh svoystv magnitnykh zhidkostey s tsepochechnymi agregatami [On the Theory of Physical Properties of Magnetic Liquids Having Chain Aggregates]. Zhurnal eksperimental'noy i teoreticheskoy fiziki [Journal of Experimental and Theoretical Physics]. 1995, vol. 107, no. 5, pp. 1534—1551.
13. Yurishchev M.A. Magnitnaya vospriimchivost' kvaziodnomernykh superantiferromag-netikov Izinga. Approksimatsii tsepochechnymi klasterami. [Magnetic Susceptibility of Ising Quazi-one-dimensional Super Ferrous Magnets. Approximations by Chain Clusters]. Zhurnal eksperimental'noy i teoreticheskoy fiziki [Journal of Experimental and Theoretical Physics]. 2005, vol. 128, no. 6 (12), pp. 1227—1242.
14. Sandulyak A.V., Sandulyak A.A., Ershova V.A. Razmagnichivayushchiy faktor granu-lirovannogo magnetika (fil'truyushchey matritsy) kak zhguta kanalov namagnichivaniya [Demagnetization Factor of the Granulated Magnet (Filter Matrix) as the Strap of Magnetization Channels]. Izvestiya MGTU «MAMI» [News of Moscow State Technical University "MAMI"]. 2011, no. 1(11), pp. 210—216.
15. Mattei J.-L., Le Floc'h M. Percolative Behaviour and Demagnetizing Effects in Disordered Heterostructures. Journal of Magnetism and Magnetic Materials. 2003, no. 257, pp. 335—345.
16. Gorkunov E.S., Zakharov V.A., Chulkina A.A., and Ul'yanov A.I. Internal Demagnetization Factor for Porous Ferromagnets in Remagnetization Process. Russian Journal of Nondestructive Testing. 2004, vol. 40, no.1, pp. 1—7.
17. Kifer I.I. Ispytaniya ferromagnitnykh materialov [Testing of Ferromagnetic Materials]. Moscow, Energiya Publ., 1969, 360 p.
18. Chen D.-X., Pardo E., Sanchez A. Fluxmetric and Magnetometric Demagnetizing Factors for Cylinders. Journal of Magnetism and Magnetic Materials. 2006, no. 306, pp. 135—146.
About the author: Sandulyak Anna Aleksandrovna — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Associate Professor, Department of Construction Materials, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoye shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; a.sandulyak@mail.ru.
For citation: Sandulyak A.A. Analiticheskoe opisanie koeffitsienta razmagnichivaniya raznoporistykh serdtsevin tsepochek granul fiTtr-matritsy magnitnogo separatora [Analytical Description of the Coefficient of Demagnetization For Chains of Cores of Granules in the Filter Matrix of a Magnetic Separator]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 9, pp. 62—69.
