CC BY
23
3/2006
АНАЛИТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАБОТЫ ФУНДАМЕНТНОЙ ПЛИТЫ, РАСПОЛОЖЕННОЙ НАД КАРСТОВОЙ ПОЛОСТЬЮ
Е роблемы расчета зданий и сооружений, возводящихся на основаниях, в который имеются карстовые полости и провалы, являются все более актуальными в связи со значительным увеличением объема строительнык работ в многочисленных регионах России, где существует карстовая опасность.
Настоящая работа посвящена построению аналитической модели работы бесконечной фундаментной плиты, расположенной над карстовым провалом. Наряду с широким использованием численных методов, применяемых к расчету сооружений с учетом их взаимодействия с грунтом, использование аналитических методов в ряде случаев представляется весьма интересным, поскольку позволяет произвести качественный анализ и установить особенности работы конструкции.
Аналитическая методика для расчета подобных конструкций была впервые применена в работе [1]-[3]. В вышеуказанных публикациях изучалась работа бесконечных фундаментных плит, расположенных над карстовыми провалами. Свойства упругого основания описывались моделью коэффициента постели. В [1] и [3] часть плиты, расположенная над карстовым провалом, рассматривалась как кольцевая пластина, лежащая на основании, свойства которого описываются моделью Винклера. В области, примыкающей к карстовому провалу, коэффициент постели имеет переменную величину. В [2] изучалась бесконечная фундаментная плита, расположенная над карстовым провалом; в этой работе был при-
Е.Б.Коренева
менен метод компенсирующих нагрузок, учет переменности коэффициента постели в зоне, примыкающей к провалу, не производился. Решения, полученные в упомянутый выше работах, были получены в функциях Бесселя и родственных им функциям.
В настоящей работе рассматривается методика расчета бесконечной фундаментной плиты, лежащей на упругом основании, в котором имеется карстовая полость. Свойства упругого основания описываются моделью Винклера. Будем считать, что полость находится под центральной частью плиты и имеет круглую в плане форму (рис. 1).
Часть фундамента, лежащую над полостью, будем рассматривать как круглую пластину с радиусом 1, лежащую на винклеровском основании. Коэффициент постели в этой центральной части к0 будем рассматривать как пониженный по сравнению с коэффициентом постели к основной части плиты. На участке в1 < х < а коэффициент постели будем считать переменным и изменяющимся в пределах ко < к < к^
Практически влияние переменности коэффициента постели является заметным в зоне, примыкающей к карстовой полости, с шириной, равной примерно [2] Ы + 1,5ё, где ё - диаметр карстовой полости. «Внешняя» часть фундамента Е, > а рассчитывается по формулам для бесконечной плиты, лежащей на упругом основании. При этом при значениях аргумента Е, = Р1 и Е, = а приходится удовлетворять условиям сопряжения участков плиты.
Е.Б.Коренева
3/2006
Рис. 1.
Рассмотрим сначала расчет центральной части фундаментной плиты, расположенной над карстовой полостью. Как известно, дифференциальное уравнение, описывающее осесимметричную деформацию круглой плиты, лежащей на упругом винклеровском основании, имеет вид:
В АгА н + к0н = д; А г =
где д - активные силы; р - реактивные, р = к(Н.
й2 1 й
■ + — ■
йг г йг
(1)
Введем безразмерную координату ^ = — ; тогда уравнение (10) можно запи-
сать в виде:
£
С й2 1 й ^2
----н + н =
й^2
В
(2)
где £ = 4 ■
Однородное уравнение, соответствующее (2), сводится к системе двух дифференциальных уравнений второго порядка, каждое из которых является уравнением Бесселя:
й2н 1 йн
—- +---± гл> = 0
йЬ2 \ й\
(3)
Интеграл этой системы, как это следует из теории бесселевых функций, может быть записан в виде:
н =
А J0 (^)+ А2 Jo (^)+ Аз J0l) (^)+ а4/о(1) Ц^уП)
(4)
где J0 (;>//) - функция Бесселя нулевого порядка аргумента ^л/7 ; Н0 (;>//) -
функция Ганкеля первого рода нулевого порядка от того же аргумента.
Так как функции J0 (;л/±7) Н((1) (^>/±7) являются комплексными, а прогиб w
должен быть действительным, то, очевидно, постоянные А1, А2, А3, А4 должны быть комплексными числами. Для того, чтобы решение было действительным, нам удобно переписать (4), вводя следующие обозначения:
„0 (,)= ке J0 (^ )= ^М^М)
3/2006
Е.Б.Коренева
(£) = Мо
(£ ^)= ^0 (И>./0 ^У-7)
/0 (£) = Но(1) (£^)
£ (£) = МНо(1) (£л/7)
Н 01) (£7/ > Н 01) (£У-7) 2
Н 0:) (^л/7)+ Н 01) (£7-7)
27
Тогда (4) можно переписать в следующем виде:
* = (0+ ^0 (0+ В/0 (£) + ^0 (£).
(5)
Здесь, так как функции и0, /0, £0 действительны, то действительными будут и постоянные В1, В2, В3, В4.
Применим к построению аналитической модели решения известный метод компенсирующих нагрузок. Приведем основное решение задачи об осесиммет-ричной деформации неограниченной плиты. Пусть плита загружена в центре при £ = 0 сосредоточенной силой Р. в этом случае уравнение упругой поверхности имеет вид:
Р/2
* = ^/0 (О
(6)
Рассмотрим случай действия на плиту нагрузки д, равномерно распределенной по окружности, приведенный радиус которой равен 1 (1 < 1). В этом случае имеем решение:
кда1£3
при £ < а1 при £ > а1
* = ■
2В
* =
ща/3 2В
-[/0 (а1 )и0 (£)+ £0 (а1 )^0 (£)]
[и0 (а1 )/0 (£)- V (а1 )£0 (£)] .
(7)
Согласно методу компенсирующих нагрузок на основное решение, удовлетворяющее уравнению с правой частью, накладывают такое решение, которое совместно с основным удовлетворяют граничным условиям. Указанное решение носит название компенсирующего решения.
Представим решением в виде
* = *0 + *к
(8)
где *0 - основное решение, определяемое по формулам (6) или (7), *к - компенсирующее решение, которое имеет вид:
*к = ^0 (£)+ (£) (9)
Очевидно, что в этом случае в компенсирующее решение не могут входить функции /0(£), £0(£), имеющие особенности при £ = 0.
Обозначим через *1, фь Мь Ql соответственно прогиб, угол поворота, радиальный изгибающий момент и поперечную силу при £ = Р1.
Далее рассмотрим участок Р1 < £ < а, на котором коэффициент постели является переменным. Здесь эпюра реактивного давления является наклонной и не-
Е.Б.Коренева 3/2006 М ВЕСГ1НИК
прерывной. Для расчета этого участка плиты предлагается процедура, предложенная в работе [3]. Наклонную эпюру реактивного давления заменим ступенчатой. При этом разделим изучаемый участок на 3-4 кольца одинаковой ширины. Каждая из составляющих кольцевых пластин рассчитывается с использованием фундаментальных функций, обладающих известными свойствами. К внутреннему контуру при Е, = |31 первой из кольцевых пластин приложим усилия равные и'|, ср |, М}, 0\. Расчет этого участка производим постепенно, рассматривая каждую из упомянутых кольцевых пластин, начиная от внутренней. Условиями сопряжения этих участков будет являться равенство между собой прогибов, углов поворота, изгибающих моментов и поперечных сил на концентрических окружностях, представляющих собой линии соединения участков.
При рассмотрении части плиты при Е, > а можно воспользоваться решением задачи о бесконечной плите с круговым отверстием Е, = а, лежащей на упругом винклеровском основании. Возможен и другой вариант, при котором будет более удобно составить условия соединения участков. Внешний участок (см. рис. 1) будем рассматривать как кольцевую плиту на упругом основании, внутренний радиус которой равен , а наружный р2—• Неизвестные А и В (9) и усилия взаимодействия находятся из решения системы уравнений, представляющих собой условия сочленения участков и условия при р2~•
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Коренева Е.Б. Расчет фундаментной плиты, расположенной над карстовым провалом // Сб. трудов международной научно-практической конференции «Актуальные проблемы проектирования и устройства оснований и фундаментов зданий и сооружений». Пенза, сентябрь 2004.
2. Коренева Е.Б. Напряженно-деформированное состояние бесконечной фундаментной плиты, расположенной над карстовым провалом // Сб. трудов международной конфедерации «Взаимодействие сооружений и оснований. Методы расчета и инженерная практика». Санкт-Петербург, май, 2005.
3. Коренева Е.Б. Изучение работы фундаментных плит, лежащих на соновани-ях, в которых имеются карстовые провалы // Сб. «Вопросы прикладной математики и вычислительной механики». М.: МГСУ, № 8, 2005.
