CC BY
65
УДК 621.031.585
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СХЕМЫ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО СЛОЖЕНИЯ ДВУХ ЛАЗЕРНЫХ КАНАЛОВ. ЭФФЕКТЫ СЕЛЕКЦИИ ПРОДОЛЬНЫХ МОД
А.А. Пикулев
Институт ядерной и радиационной физики ФГУП «РФЯЦ-ВНИИЭФ», г. Саров Е-mail: pikulev@expd.vniief.ru
Представлены результаты расчетно-аналитического исследования схемы параллельного сложения двух лазерных каналов в приближении среднего «эффективного коэффициента отражения». На примере одинарного лазерного канала с поперечным выводом излучения исследован эффект селекции продольных мод. Выполнены расчеты мощности генерации в приближении равномерного распределения спектрального состава продольных мод излучения по волновому числу и проведено сравнение расчета с результатами экспериментов.
Ключевые слова:
Многоканальная лазерная система, лазеры с ядерной накачкой, параллельное сложение лазерных каналов, сложный резонатор, селекция продольных мод.
Key words:
Multichannel laser system, nuclear-pumped lasers, parallel composition of laser channels, complex cavity, selection of longitudinal modes.
Среди различных методов формирования излучения многоканальных лазерных установок с ядерной накачкой наиболее перспективным является метод параллельного сложения [1]. Результаты экспериментов [2] показывают, что при параллельном сложении не происходит аккумуляции оптических неоднородностей и выполняется закон масштабируемости: форма импульсов генерации не зависит от количества лазерных каналов, а мощность и энергия генерации пропорциональна их числу.
Метод расчета мощности и энергии генерации нескольких параллельно сложенных лазерных каналов в приближении усредненных значений интенсивности излучения изложен в работе [1]. Существенным недостатком данного метода является большой объем вычислений и сложность задания начального приближения.
В данной статье представлена методика расчета мощности генерации двух параллельно сложенных каналов с помощью решения нелинейного уравнения с одним неизвестным, спектр решений которого можно представить графически. Рассмотрены эффекты селекции продольных мод и изучено их влияние на параметры генерации лазерного канала с поперечным выводом излучения.
Оптическая схема параллельного сложения двух лазерных каналов и обозначения мощностей бегущих волн приведены на рис. 1. Для мощностей излучения Рт (/=1, 2; т=1-4) имеем следующую систему уравнений
(1)
где к - «эффективный коэффициент отражения»; Я, Т - коэффициенты отражения и пропускания зеркал [1]. Мощность генерации определяется по формуле Р0111=(1-г)Р„.
\р,1 = TP + RP ir1,^ JV2,2 î K2 P2,1 = T2 P2,4 + rR2 P2,3
P,2 = RP + TP 1,^Jr 2,2 î P2,2 = R2 P2,4 + rT2P2,3 >
P,3 = RP + TP 1 1,1 1 1,2 P.,3 = R2 P2,1 + T2 P1,3’
P,4 = TP + RP 1 1,1 1 1,2 P2,4 = T2 P2,1 + R2 P1,3.
Для Рц справедливы следующие приближенные соотношения [1, 3]:
P,i =
а
1~к! \Pi+p,
— 1
где Ь - длина активной среды; 3 - коэффициент сосредоточенных потерь; а0 - коэффициент начального усиления; Р - мощность насыщения.
Матрица линейной системы уравнений (1) имеет вид
А =
-K1 0 0 T 0 R1 0 0
0 -1 0 R1 0 T 0 0
R T -1 0 0 0 0 0
T1 R 0 -1 0 0 0 0
0 0 0 0 -K2 0 rR2 T2
0 0 0 0 0 -1 rT2 R2
0 0 T2 0 r2 0 -1 0
0 0 r2 0 T2 0 0 -1
(2)
Система (1) имеет нетривиальное решение при равенстве нулю ее определителя [4]
а12кк2 - а1к1 - а2к2 + а0 = 0,
\2,ai,а2,ао ^ 0,
а12 = det
а2 A дк1дк2
(aAr
[дА
а1 = -det <■
= -det < -
\ дк1 ао =det{ А=к,=<>}•
На рис. 2 представлены зависимости к2(к) для нескольких значений г при Д=Я2=0,4 и <5=0,01 (5=1-Я-Т - потери на поворотных зеркалах). Из рисунка видно, что графики зависимостей к2(к1) состоят из двух ветвей. Физический смысл имеет только верхняя ветвь, для которой а0>а1к1, а2>а12к.
Поскольку определитель системы (2) равен нулю, одно уравнение из системы (1) является следствием других и может быть опущено. В этом случае расширенная матрица системы уравнений имеет вид (опущено уравнение для Р21)
' 0 0 T 0 R 0 0 -к P,1 "
-1 0 R 0 T 0 0 0
T -1 0 0 0 0 0 R1 P,1
R 0 -1 0 0 0 0 ft?
0 0 0 0 -1 T R2 0
0 T2 0 r2 0 -1 0 0
V 0 0 t2 0 0 -1 0 ,
(3)
Рис. 2. Зависимость к2(к) для значений г: 1) 0; 2) 20; 3) 40; 4) 60; 5) 80 %
Мощности излучения Р21 и Р23 могут быть вычислены из расширенной матрицы системы (3) по формулам Крамера [4]:
Г> _ О О-1
P2,1 = B1B'
P2 = B2B '
где В - определитель матрицы системы (3), а определитель В1 (В2) получен из В заменой 4-го (6-го) столбца на 8-й столбец расширенной матрицы (3).
Определители В1 и В2 удобно представить в виде, в котором явно выделена линейная зависимость от к (bii, ¿21, bio, b20>0):
B1 _ P1,1 {K1b11 - b10 }, B2 _ p,1 {К1 b21 - b20 }•
Зависимости коэффициентов b11, b10, b21 и b20 от r являются линейными.
Для мощности излучения на входе во второй лазерный канал и на выходе из генератора имеем следующие соотношения (b0=—B>0):
P2,1 = p,1 {K1 b11 - b10 }b0 ,
Pout = (1 - Г)P,1 {Kb21 - b20 }b0_1.
Мощности Pu и P21 являются взаимно однозначными монотонно возрастающими функциями к1 и k2: Лд^/Кк) и P21=/2(k2). В результате имеем одно нелинейное уравнение с одним неизвестным к1:
/1{к} =
Kb11 - b10
a - а-,к
(4)
При проведении расчетов мы использовали следующие параметры лазерно-активной среды Не/Аг/Хе (380:380:1, давление 1 атм, длина волны 2,03 мкм) [5]: а0=1,1 м-1; р=0,01 м-1; Р-300 Вт; Х=2 м. Графическое решение уравнения (4) для ^1=^2=0,4, <5=0,01 представлено на рис. 3.
Расчетные и экспериментальные зависимости максимальной мощности генерации двух параллельно сложенных лазерных каналов для ^1=^2=0,15, 5=0,01, приведены на рис. 4. Из рисунка видно, что расхождение между расчетом и экспериментом для г>0,4 может превосходить 50 %. Причиной такого расхождения может служить эффект селекции продольных мод, который рассмотрен ниже.
Эффекты селекции продольных мод рассмотрим на примере одинарного лазерного канала с поперечным выводом излучения в приближении плоских волн.
Рис. 3. Графическое решение нелинейного уравнения (4): 1) левая часть. Правая часть для значений г: 2) 90; 3) 70; 4) 50; 5) 30; 6) 10; 7) 0 %
Рис. 4. Мощность генерации: 1,3) двух параллельно сложенных лазерных каналов и 2,4) одинарного лазерного канала с поперечным выводом излучения: 1,2) расчет; 3,4) эксперимент
Схема лазерного канала представлена на рис. 5 (обобщенный резонатор Фокса-Смита). Для электромагнитных волн имеем следующую систему уравнений
' к'Е+ ехр(-2/к(Ц + Ц) + рД} = Т%Е+ + Я%Е+,
Е2+ ехр(-2/к£2 + рЦ2} = ЯЩ Е+ + Т Я'2 Е+,
Е3+ ехр(-2/к£3 + рЬ3} = Т %Е+ + Я'Я'Е+,
Е4+ ехр(-2/к£4 + рЦ4} = г Я'Е+ + г Т Е+. (5)
где к - «эффективный коэффициент отражения» по полю; к - волновое число.
Амплитуду генерации можно найти по формуле
Eout = t'(rE4+ exp {-ikL3 - pL4 / 2}.
(6)
Учитывая равенство нулю определителя однородной системы А (5) имеем следующее уравнение для определения «эффективного коэффициента отражения» к
к' = -Л„=о
d Л dK
Рис. 5. Схема лазерного канала с поперечным выводом излучения
Спектральный «эффективный коэффициент отражения» к(к) определяется по формуле
к(к) =|к' |2, ф( Ф) = а^(к'}.
При р(к)=0 наблюдается полное воспроизведение поля при обходе резонатора.
На рис. 6 представлены результаты расчетов для к(к) при использовании в качестве поворотного зеркала плоскопараллельной пластинки с толщиной 2 мм.
Рис. 6. «Эффективный коэффициент отражения» к(к): 1) г=0; 2) 30; 3) 60; 4) 90 %; 5) нули фазы поля
Если период к(к) существенно меньше, чем ширина линии излучения, можно ввести среднее значение «эффективного коэффициента отражения»
1
к =---- Г x(k)dk = lim ^ [ x(k)dk l, (7)
ЛК оО 2 A -A J
где Лк, - период функции к(к).
Значение к можно получить из системы уравнений для интенсивностей бегущих электромагнитных волн (1), в которых фазовые соотношения не учитываются.
Мощность излучения на выходе из лазерно-активной среды для фиксированного волнового числа к можно найти по приближенной формуле
P+ (k ) =
P(k)L0Ps | a0(k)
1 -K(k )
P(k ) =
1
P(k ) + P(k ) ln 1
2L0 K(k )
где P1+(k)=E1+(k){E1+}'‘=\E1+\2 (E* - комплексно-сопряженное значение).
Мощность генерации можно найти из соотношения (6), которое после умножения на комплексно-сопряженное выражение принимает вид
Paat(k) = r-'tE+4 (k){E4+ (k)}* = r 1tP4+ (k)•
На рис. 7 приведена спектральная мощность генерации при использовании в качестве поворотного зеркала плоскопараллельной пластинки с толщиной 2 мм.
Обратимся к вопросу о вычислении мощности генерации в сложном резонаторе. Если вариации длин плеч сложного резонатора в течение всего лазерного импульса много меньше длины волны излучения, а модами резонатора являются плоские волны, то генерация будет происходить на длинах волн, имеющих максимальный Kmax:
Pout = Pout (kmax X Vk ^ K(k max ) > K(k)•
Вышеописанный режим генерации достигается в лазерах, генерация в которых происходит на одной поперечной моде и имеющих согласованный сложный резонатор [6]. В случае, если генерация происходит на нескольких поперечных модах или зеркала резонатора являются несогласованными, данный режим не реализуется.
Рис. 7. Относительная мощность генерации в зависимости от к: 1) г=0 %; 2) 30 %; 3) 60 %; 4) 90 %; 5) нули фазы поля
В многомодовом режиме генерация имеет вид конкуренции продольных мод, которые постоянно
сменяют друг друга - режим перемешивания продольных мод.
Для определения мощности генерации в таком режиме можно использовать приближения: 1) среднего «эффективного коэффициента отражения»; 2) равномерного распределения спектра генерации по волновому числу.
1. В первом приближении для мощности генерации справедливо соотношение
<Pout >= Pout(K)
где к - среднее (по спектру) значение «эффективного коэффициента отражения» (7).
2. Второе приближение предполагает, что в спектре генерации попеременно присутствуют все продольные моды, для которых выполнены условия по порогу генерации, причем среднее время генерации на каждой моде не зависит от волнового числа к. В данном случае мощность генерации можно найти по формуле
(Pou, > = vÎPo»t(k )dk, Sk = \h{P^(k )}dk,
Sk 0 0
где h - единичная функция Хевисайда [7].
На рис. 8 приведена мощность генерации, вычисленная в приближениях № 1 и 2 при использовании в качестве делительных зеркал плоскопараллельной пластинки с толщиной 2 мм (параметры лазерно-активной среды He/Ar/Xe приведены выше).
Рис. 8. Мощность генерации лазерного канала с поперечным выводом излучения: 1-3) приближение № 1; 4-6) приближение № 2; 7) эксперимент. Потери на пластинке: 1,4) 0; 2,5) 1; 3,6) 2 %
Из рис. 8 видно, что экспериментальная зависимость лежит между приближением среднего «эффективного коэффициента отражения» (№ 1) и приближением равномерного распределения спектра генерации по волновым числам (№ 2). Приближение № 2 достаточно хорошо описывает поведение генерации в области г«0; при увеличении коэффициента отражения выходного зеркала экспериментальная кривая идет выше, чем расчетная.
Отсюда следует, что при увеличении r некоторая селекция по волновому числу все-таки наблюдается, и генерация в основном происходит на продольных модах, имеющих большее значение «эффективного коэффициента отражения».
Выводы
Предложен аналитический метод определения мощности генерации двух параллельно сложенных лазерных каналов в приближении среднего «эффективного коэффициента отражения». Метод позволяет редуцировать нелинейную систему 10 уравнений с 10 неизвестными, которая ранее нами решалась численно [1], к одному нелинейному уравнению. Сравнение результатов экспериментов и расчетов показывает достаточно значительное расхождение, которое может быть связано с влиянием эффекта селекции продольных мод в сложном резонаторе.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Pikulev A.A., Abramov A.A. The numerical investigation efficiency of parallel and successive laser cells composition // Proc. of SPIIE. - 2006. - V. 6263. - P. 186-196.
2. Pikulev A.A., Patyanin S.V., Sinyanskii A.A., Sosnin P.V, Turu-tin S.L., Tsvetkov V.M. Forming of optical radiation of multi-channel nuclear-pumped lasers // Proc. of SPIE. - 2008. - V. 6938. -P. 69380D-69389D.
3. Rigrod W.W Homogeneously broadened CW lasers with uniform distributed loss // Journal of Quantum Electronics. - 1978. -V.QE-14. - № 5. - P. 377-381.
4. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - М.: Физматлит, 1963. -432 с.
Эффект селекции продольных мод исследован на примере одинарного лазерного канала с поперечным выводом излучения. Выполнены расчеты мощности генерации в приближении равномерного распределения спектрального состава продольных мод излучения по волновому числу. Сравнение результатов расчета с экспериментом показывает, что использованное приближение достаточно хорошо описывает поведение генерации в области r«0, но при увеличении коэффициента отражения выходного зеркала экспериментальная кривая идет выше расчетной. По-видимому, при увеличении r происходит некоторая селекция по волновому числу, и генерация в основном происходит на продольных модах, имеющих минимальные потери.
Материалы статьи доложены и обсуждены на Международной конференции Atomic and Molecular Pulsed Lasers, Томск, 14-18 сентября, 2009 г.
5. Abramov A.A., Melnikov S.P., Mukhamatullin A.Kh., Pikulev A.A., Sinyanskii A.A., Tsvetkov V.M. Study of fission-fragment excited xenon laser in He-Xe, Ar-Xe, and He-Ar-Xe mixtures // Proc. of SPIE. - 2004. - V. 5483. - P. 1-13.
6. Быков В.П., Силичев О.О. Лазерные резонаторы. - М.: Физ-матлит, 2004. - 320 с.
7. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука, 1984. - 832 с.
Поступила 12.01.2010 г.
