Аналитическое исследование охлаждения молочной сыворотки в потоке Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПЕРЕРАБОТКА СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННОЙ ПРОДУКЦИИ

Известия ТСХА, выпуск 4, 2013 год

УДК 637.1/3.(045)

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ОХЛАЖДЕНИЯ МОЛОЧНОЙ СЫВОРОТКИ В ПОТОКЕ

В.В. ЧЕРВЕЦОВ1, А.С. БРЕДИХИН1, С.А. БРЕДИХИН2 (1 ГНУ ВНИИ молочной промышленности; 2 РГАУ-МСХА имени К.А. Тимирязева)

Статья посвящена исследованию теплопередачи при охлаждении молочной сыворотки. Определено изменение температуры во взаимосвязи с реологическими свойствами молочной сыворотки. Получены результаты для практического использования.

Ключевые слова: молочная сыворотка, охлаждение, реологические свойства, кристаллизация лактозы, теплообменник непрерывного действия.

Охлаждение молочной сыворотки является одним из основных процессов, влияющих на кристаллизацию в ней лактозы. Кристаллизация лактозы развивается в сложных гидродинамических условиях, в широком температурном диапазоне, изменяющейся вязкости молочной сыворотки и т.п. [1, 5, 6]. Авторами проведено аналитическое исследование изменения температуры молочной сыворотки во взаимосвязи с ее вязкостными свойствами при охлаждении в пластинчатом скребковом теплообменнике непрерывного действия.

Скребковый теплообменник представляет собой набор чередующихся тепло-обменных и так называемых продуктовых пластин, установленных и зажатых на специальных штангах. При этом внутри продуктовых пластин расположены подвижные диски, закрепленные на валу. С обеих сторон этих дисков подвижно закреплены полиамидные ножи специальной формы. При вращении дисков эти ножи счищают с поверхности теплообменных пластин пристенный слой обрабатываемого продукта, при этом происходит его перемешивание. Основные элементы скребкового теплообменника показаны на рисунке 1.

Целью данного исследования является определение изменения температуры продукта и хладоносителя молочной сыворотки при ее охлаждении в скребковом аппарате. Поскольку канал для течения молочной сыворотки имеет довольно сложную форму (рис. 2), для аналитического исследования сделаем ряд упрощений, не сильно искажающих реальную картину.

Распределение температуры продукта в охлаждающем элементе будем изучать с помощью дифференциальных уравнений теплопереноса в движущихся жидких средах, записанных в цилиндрической системе координат при осесимметричном распределении температуры, без учета диссипации энергии:

дТ дТ (д Т 1 дТ д Т ^

- + Уг — = а дг дг

2 +--+ 2

дг г дг дг у

(1)

V

119

Рис. 1. Элементы пластинчатого скребкового теплообменника: 1 — продуктовая пластина; 2 — уплотнительное кольцо; 3 — скребок-мешалка

Рис. 2. Расчетная схема: 1 — продуктовые пластины; 2 — центральное отверстие; 3 — периферийные отверстия; 4 — линии тока

продукта

где Т — температура в точках продукта, оС; г и г — цилиндрические координаты точки продукта; vг и vг — проекции скорости точек продукта на оси г и г; а — коэффициент температуропроводности.

120

Полагаем, что осевая скорость продукта vг значительно меньше радиальной V,.

дТ

и окружной vф скоростей, поэтому в уравнении (1) положим -« 0 . Для опреде-

дг

ления радиальной скорости V, воспользуемся дифференциальным уравнением стационарного осесимметричного стационарного течения сплошной среды в напряжениях [2] в проекции на радиальное направление г, полагая в нем реологические константы и плотность продукта р не зависящими от температуры для данной пары продуктовых пластин.

V Ъ + у Ъ -\ = р + ++

дг дг г

1+т-

р I дг дг

(2)

где тгг, хфф — нормальные напряжения на площадках, перпендикулярных соответственно радиальной г и окружной ф осям; тгг — касательное напряжение на площадках, перпендикулярных осям г и г.

Реологические исследования молочной сыворотки позволяют с большой точностью принять в качестве ее реологической модели степенную модель Оствальда — Де Виля. [3]. Для такой модели компоненты тензора напряжений, входящие в уравнение (1), при сделанных ранее предположениях имеют вид [4]:

,,1„|в-1 ду |тт| п-1 V , |тт| п-1 ду

т = -р + 2кИ , т = -р + 2к И , т = к\И\ , (3)

гт х^ ' ф г 'г /«,? V/

дг г дг

где к и п — реологические константы молочной сыворотки; И — интенсивность скоростей деформации, равная

И=

ду _

дг

- -I +("

г I I г

+1 -

ду

_г

дг

+1 (дг

41 дг

(4)

Величина к\И\п-1 может рассматриваться как некоторая кажущаяся (эффективная) вязкость.

Уравнение неразрывности (несжимаемости), справедливое для любой жидкой среды, при сделанных предположениях имеет вид:

д(уг ) = 0

дг

Интегрируя уравнение (5), находим:

V =1 / (г ).

(5)

(6)

дТ п

Температуру в продукте определяем по уравнению (1) с учетом -« 0. Для

дг

этого подставим в левую часть данного уравнения выражение радиальной скоро-

2

2

2

сти (6) и разделим его левую и правую части на коэффициент температуропроводности а. После этого получим:

/ (г) 1 дТ д Т 1 дТ д Т

4 7--=--1----1--

г а дг дг2 г дг дг2

(7)

Поскольку точного аналитического решения данного уравнения получить нельзя, воспользуемся приближенным решением, заключающимся в частичном осреднении его конвективной части (левая часть уравнения) по толщине зазора между дисками и использовании метода последовательных приближений. Для этого в левой

части равенства (7) положим /(г)« /(г) = — ^/(г~)<3г . Функция /(г), учитывающая

разность давления и вязкостные свойства молочной сыворотки, получена авторами ранее при исследовании гидродинамики пластинчатого скребкового теплообменника. Она имеет вид:

/ (г )=-

(рх-РМ-^)

к (я\-п — Д1—п)

п +1

— — г

(8)

Проинтегрировав функцию Дг) (8) в пределах от 0 до —, находим:

т=

2 п ( к

2 п +11 2

(Рх — Р2 )(1 — п) к — п)

(9)

Таким образом, уравнение (7) заменится приближенным уравнением, приведенным к стандартной форме:

+1 дТ (1—в)+дТ = о,

дг г дг дг

где через В обозначена величина /(г) из (9), деленная на а, т.е.

В=Ж).

а

Данное уравнение решаем при следующих граничных условиях: г = rl, t = тъ г = 0, t = Tз, г = h, t = T4,

(10)

(11)

(12)

где Т3 и Т4 — температуры продукта на стенках дисков.

Решение линейного уравнения (10) найдем методом разделения переменных, добавив к его общему решению частное решение специального вида. Для этого положим

к

к

к

п

п

п

п

2

п

п

122

T(r,z) = R(r) • Z(z) + T3 + z(T4 -T3). (13)

h

Подстановкой этого выражения T в (10) и разделения переменных получим для функций R(r) и Z(z) обыкновенные дифференциальные уравнения:

Z " + X2 Z = 0, (14)

rR" + R' (1 - B)-X2 rR = 0. (15)

где X2 - константа разделения.

Решение уравнения (14) имеет вид:

Z(z) = C1 cos X z + C2 sin X z. (16)

В силу двух последних граничных условий (12) и выражения (13) функция Z(z) должна обращаться в ноль при z = 0 и z = h. Отсюда следует:

k п

C = 0, X =-, k = 1,2,... ю , (17)

h

т.е. общее решение уравнения (10) будет представлено рядом Фурье по синусам.

Уравнение (15) является уравнением Бесселя произвольного порядка, зависящего от константы B. Поскольку такие функции не табулированы, дальше будем решать уравнение (10) методом последовательных приближений. Для этого проведем оценку порядка слагаемых в этом уравнении, приведя его к безразмерному виду. Напишем соотношения между размерными и безразмерными величинами:

T = T0 T, r = R2 r, z = hz, (18)

где T0 — характерная размерная величина искомой функции; T — безразмерная искомая функция; r — безразмерная радиальная координата; R2 — характерный радиальный размер; z — безразмерная осевая координата. В качестве характерной осевой координаты взято расстояние h между дисками.

Перейдя в уравнении (10) к безразмерным величинам, получим:

h2 д2T (1 - B)h2 1 dT д2T п

--+ ------+-= 0 (19)

R22 dr2 R¡ r dr dz2

Таким образом, в безразмерном уравнении (19) порядки слагаемых будут определяться только порядками коэффициентов в этих слагаемых. Для оценки порядка этих коэффициентов примем следующие порядки конструктивных параметров охладителя и параметров обрабатываемого продукта: h ~ 0,01 м, R1 ~ 0,01 м, R2 ~ 0,1 м, q ~ 10-4 м3/с, а ~ 10-6 м2/с, k ~ 10 Па ■ с, n ~ 1. Коэффициент B во втором слагаемом, согласно (9) и (11), будет иметь порядок 104, т.е. 5>>1 . Коэффициент в последнем сла-

h2 Bh

гаемом уравнения (19) имеет порядок 1. Принимая во внимание, что —j < —2— 1,

R2 R2

оставим в уравнении (19), а значит и в уравнении (10), два последних слагаемых.

На этом основании уравнение (10) для нулевого приближения при условии 5>>1 примет вид:

_BK+ÍL= о. (20)

r dr д z

Решим уравнение (20) методом разделения переменных, представив его решение в виде (13). После разделения переменных для функций R(r) и Z(z) получим обыкновенные дифференциальные уравнения:

R X2

— =--r (21)

R B

и (14), решением которого будет функция (16) при значениях констант (17). Решение уравнения первого порядка с разделяющимися переменными (21) запишется в виде

л2 2

--Г

R(r) = C3 e 2B , (22)

где C3 — постоянная интегрирования. Таким образом, на основании (13), (16), (17) и (22) получим решение уравнения (20) в виде ряда:

• 2 _2 ! П 2

да __¿_r •

T(r,z)=£C e 2Bh2 sinhz + T3 + hT _T), (23)

где CK = C2C3 и индекс j показывает, что эта константа будет зависеть от номера j собственных чисел X из (17).

Найдем постоянные интегрирования С, используя первое граничное условие (12), т.е. T(R1, z) = T1. На основании этого условия и соотношения (23) получим уравнение для определения Cj: ^

.2 2

ю j П R2 ■

T _T3_ z (T4 _T3 )=Y С, e 2 Bh 1 sin ^ z . (24)

h Л j h

Используя формулу для определения коэффициентов ряда Фурье на интервале 0 < z < h, найдем:

2 ^R?

Cj = — [T _T3 _T4)cos jn]e2Bh2 . (25)

j j n

Таким образом, распределение температуры в пространстве между продуктовыми пластинами в нулевом приближении на основании (23) и (25) примет следующий вид:

■ 2 _2

(R12 _r2) '

T(r,z)=~^1[T _T3 _T4)cos jn]e2Bh2 sin z +

П j h (26)

+ T3 + z(T4 _T3) h

124

Для нахождения первого приближения решения уравнения (10) подставим

д2Т

найденное решение нулевого приближения в ранее отброшенное слагаемое_это-

дг2

го уравнения. После этого придем к неоднородному линейному уравнению в частных производных

B дТ д T

---+ —2

г дг д z

2п

Bh

2 j Т1 - Т3 -Т - Т4)°0S j п]

j=1

1-^ г2

Bh

.2 2

Л ¿^(А2-г2)

(27)

• j п sm—z. h

Будем искать решение этого уравнения в таком же виде, как и решение уравнения (20) нулевого приближения, т.е.

Т(г, z) = 2Fj (r)sin¿Пz + Т - Z(Тз - Т4),

h h

(28)

j=i

где F(r) — неизвестная пока функция, зависящая от координаты г и номера j соб-

ственных чисел X из (17). Подстановкой выражения Т(г, г) из (28) в левую часть урав-

] п

нения (27) и приравниванием коэффициентов при sin — г в левой и правой частях

к

уравнения (27) получим обыкновенное линейное уравнение первого порядка относительно функции ^(г)

В с1Ек ]2 п2

- + -г йг h

2 * k

F =

2п j

В '

[Т1 - Т3 -(Т1 - Т4 )c0S j п]

• 2 2

2п2 Л I П-(R2-г2)

1 - ^ г2

(29)

Решением этого уравнения является функция

Fk (г")=-Bh Т1 - Тз -Т - Т4>os j п]

f г2 j2п2 4 Л ^(А?-г2) г

2 4Bh

-¿л! г 2

+ Cje 2Bh2

, (30)

С*

j — постоянная интегрирования. На основании (28) и (30) имеем

тг

Т (г, z )=—Пт 2 V 7 B2 h2 j-i

j [Т1 - Т3 -(Т1 - Т4 )c0S j п]

2 j П 4

г --—Г г

2П2 Л ¿-ПУ(А12 -Г2)

2Bh

+

■2„2 j п г 2

+ C je

™ j п,

Sin

^z + Т3-±(Г3 -Т4).

(31)

e

e

e

125

Постоянную интегрирования С* находим так же, как и постоянную Сдля нулевого приближения, т.е. из условия Т(Яг, г) = Т1. Точно так же, как и в равенстве (24), получим разложение функции, стоящей в левой части этого равенства, в ряд Фурье по синусам. Из формулы для определения коэффициентов этого ряда находим:

С] = -j\fl - Т3 -(Т1 - Т4 )c0s7n]

(

2B2 h2

■2 2 j п

+ R - 2

1 2Bh

22 jn R4

(32)

■2^2 j п

R

2

e

Подставив данное выражение С]* в правую часть равенства (31), приведем его к виду:

п " I

T (r, z)=-—Y\j Ti - Тз-T - T4 )cosj п]

j=1

•2 „2

(Rl2-r2) j п 2Bh2 • J 'L

x e sin-— z

2Bh

+ T3 - Z (Г3 - T4). h

' П2( r4 - R4) - Щ h 2

r2 -R,2 - j п 4 "4

22 j п

(33)

x

Таким образом, формула (33) применена для расчета температуры продукта как при центральном способе его подачи, так и при периферийном способе подачи в пространство между дисками. Полученные формулы позволяют проводить расчет процесса охлаждения при кристаллизации лактозы в молочной сыворотке в потоке и определять основные параметры пластинчатых скребковых теплообменных аппаратов.

Библиографический список

1. Бредихин С.А. Технологическое оборудование предприятий молочной промышленности. М.: Колос, 2010. 408 с.

2. Кулаков А.В., Чесноков В.М. Элементы механики пищевых сред. М.: МГУПБ, 2004. 301 с.

3. Чеботарёв Е.А., Нестеренко П.Г., Давыдянц Л.Е. и др. Вязкость молочной сыворотки и продуктов из нее // Молочная промышленность. 1983. № 2. С. 26-27.

4. Шульман З.П. Конвективный теплоперенос реологически сложных жидкостей. М.: Энергия, 1975. 352 с.

5. Broun D.J., Bousan F. Crystal grouth measurement and modeling of fluid flow in a crysta-llizer // Zuckerindustrie. 1992. V. 117. № 1. P. 35-39.

6. Spreer E. Technologie der Milchverarbeitung. Hamburg: Behr's Verlag, 1995. 517 s.

126

INVESTIGATIONAL ANALYSIS OF COOLING OF A MILK WHEY FLOW

V.V. CHERVETSOV1, A.S. BREDIKHIN1, S.A. BREDIKHIN2

(1 GNU All-Russia Dairy Research Institute; 2 RSAU-MAA named after K.A. Timiryazev)

The article is devoted to the research of heat transfer during the process of milk whey cooling. The temperature change correlating to rheological properties of whey has been determined. Some practically useful results were obtained.

Key words: milk whey, cooling, rheological properties, lactose crystallization, continuous heat exchanger.

Бредихин Алексей Сергеевич — аспирант ГНУ ВНИИ молочной промышленности (г. Москва, ул. Люблинская, д. 35; e-mail Breds24@yandex.ru).

Червецов Виктор Владимирович — д. т. н. ГНУ ВНИИ молочной промышленности (г. Москва, ул. Люблинская, д. 35; e-mail-Cherry10@mail.ru).

Бредихин Сергей Алексеевич — д. т. н., проф., заведующий кафедрой процессов и аппаратов перерабатывающих производств РГАУ-МСХА имени К.А. Тимирязева (127550, г. Москва, ул. Верхняя аллея, д. 4а, тел.: (499) 977-92-73; e-mail: bredihin2006@yandex.ru).

127