Аналитическое и численное исследование числа обусловленности квазитеплицевой трехдиагональной матрицы с неограниченной размерностью Текст научной статьи по специальности «Математика»

\df, ©3 ] = («3 - с + 2/а33 — ß — fat) , ©3 ] \db,©2 ] = —(al + bß + ßß )) [©^©t3 ]

[dal, ©2 ] + [dßl, ©3 ] = (2aß — «ß\ —a\ + 2a\ßl _ ß\al — bßt — aß — ßla\ ) [©2, ©3 ] [dal ,©2 ] + [dßl, ©3 ] = (1 + at + al (ßl — ß2 + ßl ) — ß\a\ ) [©2, ©3 ] [dat ,©2 ] + [d ßt, ©3 ] = (—at — atßl + atßt — 2a\ß\ — atß2 + aßl ) [©f, ©3 ] [dat© ] + \dßt,©3 ] = (—at —atß — ßl) — ßt(at —a^))\©2,©3 ]

откуда получаем, что произвол существования данного класса равен пяти функциям от двух аргументов. Аналогично подсчитывается произвол существования других частных классов.

Статья поступила 25.03.2015 г.

Библиографический список

1. Щербаков Р.Н. Курс аффинной и проективной дифференциальной геометрии. Томск, 1960. С. 2-5.

2. Матанов В.И. Перевертаева Т.Ф. Цилиндрические семейства плоскостей: материалы научной конференции по математике. Изд-во ТГУ, 1974. С. 120-125.

3. Лукина Р.А. О 2-семействах прямых в 4-мерном центроаффинном пространстве. Геом. сб., вып. 13, Томск, 1973 г. С. 54-63.

4. Каранетян С.Е. Проективно-дифференциальная геометрия двупараметрических семейств прямых и плоскостей четырехмерного пространства // Изв. АН Арм. ССР, сер. физ-мат. наук, 15 № 2, 1962. С. 18-22.

5. Скрыдлов В.Н. Центропроективная теория плоских кривых // Изв. Крымского нед. ин-та, 1955. С. 44-50.

6. Ивлев Е.Т. Проективно-дифференциальная геометрия пар линейчатых многообразий трехмерного пространства. Томск, 1961. С. 74-78.

7. Базылев Т.В. Геометрия. М., «Просвещение», 1975. Т. II. С. 96-101.

8. Лебедева Г.А., Перевертаева Т.Ф. Геометрия цилиндроидальных семейств плоскостей в центроаффинном четырехмерном пространстве // Вестник ИрГТУ, № 9 (68) 2012 г. С. 179-182.

УДК 519.612.2+519.876

АНАЛИТИЧЕСКОЕ И ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЧИСЛА ОБУСЛОВЛЕННОСТИ КВАЗИТЕПЛИЦЕВОЙ ТРЕХДИАГОНАЛЬНОЙ МАТРИЦЫ С НЕОГРАНИЧЕННОЙ РАЗМЕРНОСТЬЮ

1 9

© Т.А. Батагаева1, А.Л. Казаков2

Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

2Институт динамики систем и теории управления СО РАН им. В.М. Матросова, 664033, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 134, а/я 292.

Статья посвящена исследованию свойств числа обусловленности квазитеплицевой матрицы в случае, когда ее размерность неограниченно возрастает при сохранении структуры матрицы. Получены явные формулы для вычисления определителей таких матриц, доказаны теоремы о поведении последовательностей чисел обусловленности при различных значениях входящих параметров. Выполнен численный эксперимент, дополняющий и уточняющий результаты аналитического исследования. Полученные результаты могут быть использованы при решении задач механики, математической физики, инфраструктурной логистики и др.

Ключевые слова: трехдиагональная матрица; система линейных алгебраических уравнений; число обусловленности; математическое моделирование; численный эксперимент.

ANALYTICAL AND NUMERICAL STUDY OF CONDITION NUMBER OF QUASI-TOEPLITZ TRIDIAGONAL MATRIX WITH UNLIMITED DIMENSION T.A. Batagaeva, A.L. Kazakov

Irkutsk National Research Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.

1Батагаева Татьяна Антоновна, аспирант, тел.: 89086679109, e-mail: tatyanabatagaeva@gmail.com Batagaeva Tatiana, Postgraduate, tel.: 89086679109, e-mail: tatyanabatagaeva@gmail.com

2Казаков Александр Леонидович, доктор физико-математических наук, доцент, заведующий лабораторией, тел.: (3952) 453033, e-mail: kazakov@icc.ru

Kazakov Aleksandr, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Head of the Laboratory, tel.: (3952) 453033, e-mail: kazakov@icc.ru

Matrosov Institute for System Dynamics and Control Theory SB RAS, 134 Lermontov St., PO Box 292, Irkutsk, 664033, Russia.

The article studies the properties of quasi-Toeplitz matrix condition number for the case when its dimension increases indefinitely while preserving the structure of the matrix. Explicit formulas for the computing of these matrices determinants are obtained. The theorems on the behavior of condition number sequences under the different values of input parameters are proved. The numerical experiment reinforcing and refining the results of analytical studies is performed. The results obtained can be used when solving the problems of mechanics, mathematical physics, infrastructure logistic and others.

Keywords: tridiagonal matrix; system of linear algebraic equations; condition number; mathematical modeling; numerical experiment.

Решение разнообразных инженерных и физических задач зачастую приводит к системам линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) [2], особое место среди которых занимают трехдиагональные системы [8]. К их решению, в частности, сводятся задачи теплопроводности и фильтрации [5; 6; 10], газовой динамики [1], построения разностных схем [3; 5] и сплайнов [8; 9], оценки качества аппроксимации [3] и т.д.. В свою очередь, например, задачи построения сплайнов встречаются в таких прикладных областях, как транспортная логистика [7], компьютерная графика и т.п. [8].

Особую популярность среди методов решения трехдиагональных систем имеют итерационные, в особенности - метод прогонки и его различные модификации [3; 8], поскольку они отличаются высокой скоростью при относительно низкой ресурсоемкости.

Перед использованием итерационных методов целесообразно провести анализ устойчивости системы в зависимости от входных данных (коэффициентов системы и правых частей) и ее размерности. Для этого обычно находят число обусловленности, которое определяется как произведение норм прямой и обратной матриц системы [2]. Его величина дает предварительную оценку сложности решения СЛАУ: при относительно небольшом значении система считается хорошо обусловленной, в частности, пригодной для решения с помощью итерационных методов, иначе - плохо обусловленной. В последнем случае систему не рекомендуется решать итерационными методами, поскольку алгоритм может оборваться или дать недостоверный результат; для того чтобы избежать этого, необходимо использовать специальные методы [3]. Несмотря на то что таких методов достаточно много, им присущ общий недостаток - это высокие требования к ресурсам вычислительной системы, которые растут с ростом размерности системы пропорционально ее кубу. Это ограничение существенно сужает круг решаемых задач с плохой обусловленностью, поэтому после получения неудовлетворительного значения числа обусловленности обычно прибегают к различным методам предобусловливания, которые должны улучшить показатель устойчивости.

На сегодня основным показателем устойчивости трехдиагональных СЛАУ считается выполнение условия диагонального преобладания (все элементы главной диагонали должны быть не меньше суммы двух соседних элементов, а хотя бы в одном случае - строго больше). При всем своем удобстве это условие имеет существенные недостатки: не обладает свойством необходимости и при неограниченно возрастающей размерности не всегда обеспечивает устойчивость решения [3; 4].

В этой связи предпринимались попытки ослабить и уточнить данное условие. В частности, в статье [4] было проведено исследование устойчивости квазитеплицевых трехдиагональных СЛАУ специального вида (в случае, когда равны между собой модули коэффициентов, стоящих на поддиагонали и наддиагонали).

Данная работа является продолжением [4]. В ней представлены результаты исследования поведения чисел обусловленности квазитеплицевых трехдиагональных СЛАУ в условиях неограниченного роста размерности при сохранении структуры матрицы. Доказана соответствующая теорема, в которой рассмотрены все возможные случаи, возникающие при различных значениях входных параметров. Для регулярных случаев получены верхняя и нижняя оценки числа обусловленности, а для некоторых плохо обусловленных матриц установлена скорость роста числа обусловленности при увеличении размерности. Завершающей частью работы является описание серии численных экспериментов, которые подтверждают и дополняют теоретические результаты.

Постановка задачи

Будем рассматривать последовательность квазитеплицевых (т.е. «почти теплицевых») трехдиагональных матриц вида

(хЬ с 0^

A =

a

b

a b c a b

(1)

J

имеем

где х, а,Ь, с - действительные числа, хаЬс Ф 0; п - размерность матрицы. Отметим, что при х = 1 случай теплицевой трехдиагональной матрицы.

Как известно, число обусловленности матрицы Аи вычисляется по формуле

М„ =!! А II • II А-;1 II. (2)

Норму матрицы в данном случае можно вводить различными способами. Мы примем, что

К!!= max j ! 1

Л

a..

Л

An 1 ||= max"=1 I ^| atj 1 | , т.е. будем использовать норму, которая иногда име-

нуется первой.

Целью дальнейшей работы будет являться исследование поведения последовательности чисел обусловленности } при п для различных входных параметров x,a,Ьс. Прежде чем формулировать и доказывать основную теорему, сформулируем и докажем несколько вспомогательных утверждений, которые будут нам необходимы в ходе дальнейшего исследования. Вспомогательные утверждения

Вначале введем некоторые обозначения. Пусть Дп(х) = ёе! Ап. Определители Ди(х) различных порядков связаны следующими известными рекуррентными соотношениями [8]:

Дп+1 (х) = ЬДп (х) - асДп_! (х), (3)

где Д0(х) = 1, \(х) = хЬ. Формулы (3) не вполне удобны для дальнейшего исследования, поэтому заменим

их явными соотношениями.

Лемма 1. Справедливы следующие равенства: 1. Если Б Ф 0, то

где

„ 1 4D ч 1

=2'ß(х)=2± 24d '

Д„ (х) = bn [ß+ (х)Л+п + ß (x)Än ], n = 0,1,2,..., 2x-1

(4)

D = 1 - 40,0 = ac/b2.

2. Если Б = 0, то Д(х) = (Ь/2)п(2пх-п + 1), п = 0,1,2,.... Доказательство обеих утверждений леммы 1 проводится индукцией по п.

Соотношения (4) весьма удобны в случае Б > 0, однако при отрицательных значениях дискриминанта Я±, Р±(х) становятся комплексно-сопряженными, хотя определители Д (х), очевидно, являются действительными. Поэтому представим их в другой (тригонометрической) форме. Лемма 2. Пусть Б < 0. Тогда справедливы равенства

Д (х) = 2ЬпгпЯ ■ соъ(пф+ у), п = 0,1,2,..., (5)

где r = 4®, R =,

I х^_х + ® I Ж

'-—-; <Р = arctg Ц\ D!), 0 <Р<—; ¥ = arctg

Г Л о ^

1 - 2 х

VTDj

ж ж

— <w < —. 2 2

Для доказательства леммы 2 необходимо в соотношениях (4) записать комплексно-сопряженные числа Я± в тригонометрической форме, возвести комплексные числа в степень по формуле Муавра и привести подобные слагаемые. Отметим, что под корнем в выражениях для г и Я находятся положительные числа.

Лемма 3. Пусть 0 <р < ж /2, — ж / 2 <у < ж /2. Тогда 0 и 1 являются предельными точками множества (ео8(п^ + у) I п е Щ}.

Это утверждение является наиболее тонким из всех сформулированных в данном разделе. Доказательство его опирается на тот факт, что множество рациональных чисел является всюду плотным в Я , и здесь не приводится из-за громоздкости. Представление о возникающих в ходе проведения доказательства трудностях можно получить, познакомившись с работой [4].

Лемма 4. Элементы обратной матрицы А—1 представимы формулой

a( n) =

(_ g ) _!Д

n-max{i, j}

(1)Дтъ*,,Ь1( X )

Дп (X)

(6)

где g = с, если г < у ; g = а, если г > у.

Доказательство соотношений (6) проводится с использованием стандартных теорем линейной алгебры, при этом числители дробей в правой части представляют собой соответствующие алгебраические дополнения, где

А, (1) = \ (*>и.

Для получения оценок нормы обратной матрицы и поиска значений входных параметров, при которых матрица будет хорошо обусловлена, потребуется две следующие леммы.

Лемма 5. Пусть О > 0, х фЯ, д(х)Я+ п + д(х)Я_п Ф 0, п = 0,1,2,.... Тогда справедливы неравенства

М, А г (1)А у (х) М„

к -¡к

<

| ъкя

А,

<

kk

I ъкя

(7)

Аг +у+к (Х)

где 0 <Мх <М2 - величины, не зависящие от г,у,к.

Для доказательства леммы 5 воспользуемся соотношениями (4) и (6). Разделив числитель и знаменатель на , получим тождество

Я ' +J +к

Аг (1)А, (х)

А+]+к(х)

\ß+ (i)+ß_ (1)аг / я; )][ß+ (х)+ß_ (х)я / я+ j)]

Я кък

г+j+k

(8)

Д+ (х) + Д_ (х)(Я_....../ Я+г+у+к)

из которого (с учетом того, что в данном случае | Я_ /Я+ |< 1 и х Ф Я_) следует справедливость оценки (7). Отметим, что в случае х = Я (Д (Я) = 0) имеем равенство

А г (1)А у (х)

А..

\ (1)(Я+ / Я_ )г+к + ß (1)(Я / Я_ )к ]

Я къ

т.е. (7) не выполняется.

Аг+у+к ( х)

Лемма 6. Если О > 0, | Ь |>| а + с |, Д (х)Я+ п + Д (х)Я_" Ф 0, п = 0,1,2,..., то последовательность

|| А_ || ограничена при п, стремящемся к бесконечности.

Для доказательства леммы 6 сначала получим верхнюю оценку элемента матрицы (леммы 4; 5):

К1 <

max{a, c}

ЪЯ,

|j"г| \ß+ (1)+ß (1)(Я / Я Г"j} | |ß+ (х) + ß- (х)(Я / Я rn{i',jh11

(9)

|ЬЯ+|Д+ (х) + Д (х)(Я_ / Я+ )п| ■

Из неравенства (9) и леммы 5 следует, что ограниченность || А_ || можно гарантировать только, если й < |ЬЯ+|, где й = тах{| а |,| с |}. В свою очередь, последнее неравенство справедливо тогда и только тогда, когда | Ь |>| а + с | (для доказательства этого достаточно провести элементарные преобразования неравенства й < |ЬЯ+ | с учетом условий леммы).

В заключение раздела, чтобы оценить скорость роста числа обусловленности с увеличением размерности в случаях, когда последовательность стремится к бесконечности, сформулируем лемму.

Лемма 7. Если О > 0, | Ь |<| а + с |, то тах{| а |,| с |} >| ЬЯ+ |, тт{| а|,| с|} < ЬЯ+1 . Если же

| Ь |=| а + с | и | а |=| с |, то \а\ = |с| = |ЬЯ+1.

Для доказательства леммы достаточно провести ряд элементарных алгебраических преобразований неравенств тах{| а |,| с |} >| ЬЯ+ | и тт{| а |,| с |} >| ЬЯ+ | с учетом условий леммы. В результате получим систему неравенств: | а |>| с | и | а |<| с |, которая имеет единственное решение | а |=| с |.

Основная теорема

В данном разделе приводятся формулировка и краткое доказательство теоремы о свойствах чисел обусловленности рассматриваемой матричной последовательности.

Теорема 1

Пусть Аи (х) Ф 0, п = 1,2,.... Тогда последовательность чисел обусловленности квазитеплицевых трехдиагональных матриц вида (1) обладает следующими свойствами:

1. Если \ b !>! a + c \ и х Ф Я_, то (р} ограничена по n.

2. Если 0 < 1/4 и либо ! b < a + c!, либо х = Я_ , то (р} стремится к бесконечности.

3. Если 0 = 1/4, то (р} стремится к бесконечности.

4. Если 0 > 1/4, то (р} не имеет предела, но существует ее подпоследовательность (р }, стремящаяся к бесконечности.

Доказательство. Несложно убедиться, что норма матрицы A вычисляется как !! A !!= max{! a ! + ! хЬ !,! a! +! b ! +! c!,! b! +! c!}, т.е. является константой, которая от n не зависит. Таким образом, поведение последовательности (р} при больших n определяется свойствами нормы обратной матрицы. Рассмотрим !! A-1 Ц во всех случаях и подслучаях, указанных в условии теоремы.

1. ! b !>! a + c ! и х Ф Я_. В этом случае первое из условий обеспечивает выполнение неравенства d = max(! a !,! c!} <! ЬЯ+ !, а второе - неравенства ß Ф 0, что позволяет получить для произвольного элемента обратной матрицы A-1 оценку ! a(n) !<M3q>'_Jj (лемма 6), где М3 > 0,0 < q = d / Я+ < 1, из которой следует справедливость первого утверждения теоремы.

2.1. 0 < 1/4,! b! <! a + c!. Тогда, с учетом (9) и леммы 7, получаем для произвольного элемента обратной

матрицы A_ оценку ! a(n)! >M3, где M3 > 0 не зависит от n. Таким образом, установлено, что !! A-1!!> пМъ, т.е. limр = .

1 2Я _ 1 1 1 _ J1 _ 40 _ 1 2.2. 0 < 1/4, х = Я_ . Тогда ß=1 + ,_ ' =1 + 1 V) 40 1 = 0; ß = 1 _ß+= 1.

2 2л/'1_40 2 2ЛД_40

Отсюда имеем, что !a[n)!=

Д п_ 1(1)Д 0( х)

Дп (х)

ß+ (1)Я+п _1 +ß_ (1)Я

п _1

ья

так как при D > 0 справедливо

неравенство Я+ >| Я_ |, то из последнего соотношения имеем, что lim | а^ |=ю, откуда следует справедли-

вость утверждения теоремы в данном подслучае.

3. 0 = 1/4. Тогда Б = 0. Из леммы 4 и второй части леммы 1 имеем, что

(Ь / 2)п- [(2х — 1)(п — 0 + 1](Ь / 2)'—1/

! a(i ") !=

[(2 х _ 1)(п _ i) + 1]i

(b / 2)[(2 х _ 1)п +1]

(Ь / 2)п[(2 х — 1)п +1]

Приняв / = [п /2], получим, что знаменатель правой части будет иметь более высокий порядок по п, чем числитель. Последнее доказывает справедливость третьего утверждения теоремы.

4. 0 > 1/4. Справедливость утверждения теоремы в данном случае непосредственно следует из лемм 2, 3

и 4.

Таким образом, все возможные случаи рассмотрены, теорема доказана. Проверка условий теоремы

Все условия теоремы, доказанной в предыдущем разделе, просты и удобны для проверки за исключением

условия Д (х) Ф 0, п = 1,2,..., поскольку в данном случае приходится рассматривать бесконечную числовую

последовательность. Тем не менее, при ближайшем рассмотрении выясняется, что и здесь особых проблем не возникает.

При Б > 0 элементы последовательности Д (х) обращаются в нуль не более одного раза, при этом для случая Б = 0 необходимым и достаточным условием отличия от нуля всех Д(х) является выполнение неравенства 1/(1 — 2х)ФиеП . В случае Б> 0 ситуация несколько сложнее, однако и здесь, приравняв правую часть (4) к нулю, перенеся одно из слагаемых в левую часть и прологарифмировав, получим следующее простое достаточное условие отличия от нуля всех Д (х):

ln ß (х) /ln Я+ Ф п eD ,

ß+ (х) / Я

причем для 0 < О < 1, х е (0;Я_) , а для О > 1: при х е — О) / 4;Я_) в нуль обращаются только четные Лп(х), при х е(Я,0)- только нечетные. В остальных случаях все Лп(х) заведомо не равны нулю.

При О < 0 (в силу периодичности функции со8^) имеем, что Лп (х) могут обращаться в нуль более одного раза (см. также [4]), однако, как следует из лемм 2 и 3, этот случай вообще является «плохим» (нерегулярным), а в чем источник этой нерегулярности (в вырожденности или плохой обусловленности систем) - не столь уж принципиально.

Оценки нормы обратной матрицы при неограниченном росте размерности

При решении прикладных задач иногда бывает важно иметь возможность оценить устойчивость системы линейных алгебраических уравнений при любом п . C этой целью были получены нижняя и верхняя оценки числа обусловленности.

Как известно, норма прямой матрицы ||Аи|| не зависит от п при п > 3, поэтому, исследуя скорость роста

числа обусловленности, можно перейти к рассмотрению нормы обратной матрицы.

Сформулируем и докажем теорему о поведении нормы обратной матрицы в случае, когда ее размерность стремится к бесконечности.

Теорема 2

1. Если выполняются условия: Лп(х) Ф 0, п = 1,2,..., | Ь |>| а + с | и х Ф Я—, то для предела нормы обратной матрицы справедлива оценка

(

тах

(

V1

1 -

(

|ъя+| { \ъя+\) '\ъ(x-Ä-)\ { \ъя

1 -1

| a |

\

1

<

<

ß+ (1) г 1+ ß (1) ß+ (1) 1+ ß (X) ß+ (x)

ъя+ 1 - V c ъя 1 - a ъя )

.(10)

2. Если | Ь |<| а + с | или х = Я_ , то норма обратной матрицы с увеличением п растет как геометрическая

Я,

Я

при x = Я_.

тах{ а\, с } | ь |<| а + с | прогрессия со знаменателем q > 1, где д =-. . , при 1 |Н q =

\ЬЯ+\

Получение нижней оценки нормы обратной матрицы основано на леммах 1 и 4.

Для получения верхней оценки используем формулу вычисления нормы обратной матрицы, которая следует из (6) и (8):

II II п I n

IKII=max I

g

ъя,

u-i |ß+ (1)+ß (1)(Я /Я)n-—J]\|ß+(X) + ß(x)(Я /я)min{'^'}-11

(11)

|ЬЯ+||р+ (х) + Р— (х)(Я— / Я+ )п\

где ^ = с, при I < ] и ^ = а , при I > ].

Затем применим формулу суммы конечного числа элементов геометрической прогрессии и определим величины Я, Р± (1), Р± (х) (см. лемму 1). С учетом того, что при любых значениях 0 выполняются неравенства:

|Я / Я < 1, \Р- (1)/ Р+ (1)| < 1, получим искомую оценку.

Вторая часть теоремы о скорости нормы обратной матрицы (числа обусловленности) доказывается с использованием формулы (11) и леммы 7. Вычислительный эксперимент

Для проверки и уточнения теоретических результатов авторами был проведен цикл численных расчетов. Пример 1. Рассмотрим случай, когда | Ь |>| а + с |: коэффициенты а = 50, Ь = 150, с = 60. Нетрудно увидеть, что в этом случае матрица Аи обладает свойством строгого диагонального преобладания, в общем случае, если |х| > |с / Ь = 0.4.

Здесь и далее на рисунках представлены результаты расчетов в виде зависимости числа обусловленности от х (см. рис. 1-3). Сплошной линией отражены предельные значения числа обусловленности при таком п, что

|| А—11|=|| А—\ ||, пунктиром - верхняя оценка числа обусловленности, пунктиром с точкой - нижняя оценка. Пунктирная прямая, параллельная оси ординат, является асимптотой х = Я_.

На рис. 1 можно видеть, что в области —0.4 < х < 0.4, где отсутствует диагональное преобладание, наблюдается взрывной рост числа обусловленности (асимптота проходит через точку х0 = 2_ « 0.16). При

х |> 1 + |с / Ь\ число обусловленности растет пропорционально |х|, так как || А !!=! Ьх | +1 а |.

Пример 2. На данном примере проиллюстрировано влияние выбора нормы на значение числа обусловленности. Коэффициенты матрицы: а = —99,Ь = 100,с = 0.1. Для расчета ¡л использовались две нормы: ||-|^

(рис. 2, а) и ||-||ш(рис 2 б). Очевидно, что использование бесконечной нормы дает лучшие значения ¡л и более точные оценки по сравнению с первой нормой при | а |>| с |.

И

ч г

V \ \ i f / f

V У г

ч. т **

5 t 1 < г -10 т \ 1 ;

Рис. 1. Зависимость числа обусловленности отх в примере 1

Пример 3. В данном примере условие диагонального преобладания не соблюдается: а = —60, Ь = 5, с = 61, при этом заданные значения не противоречат условиям сходимости последовательности {л } теоремы 1, что, в свою очередь, подтверждает график (рис. 3).

-

i

\ /

\ v_ f

-9—1 ->

б)

Рис. 2. Зависимость числа обусловленности от выбора нормы. Пример 2

Пример 4. Следующим этапом тестирования является класс рассматриваемых трехдиагональных матриц, когда {л} стремится к бесконечности, при 0 < 1/4 и | Ь |<| а + с |, х = 2 . Поскольку этот случай подпада-

ет под действие второй части теоремы 2, рассмотрим отношения /(х)/ /п1(х). Результаты расчетов для двух различных случаев из второй части теоремы 2 представлены в табл. 1 и 2 соответственно.

—

Л

1

1 Ьп

ч V i /J \

/ 4 м ь у

V ■ н ■ V „ '

0 -< о 0 С 100 ' 2 0 А

Рис. 3. Зависимость числа обусловленности от х в примере 3

Таблица 1

Результаты численного эксперимента при | Ь |<| а + с |

а = 9, b = 9, с =1 , x = 5, а / b\\ = 1.1459

n = 5 n = 10 n = 20 n =3 0 n = 40 n = 50 n = 100 n = 150 n = 200 n = 250

Vn (x V ^п-l(x) 1,4509 1,2219 1,1599 1,1493 1,1467 1,1461 1,1459 1,1459 1,1459 1,1459

Отметим, что отношение /(х)/(х) с ростом п достаточно быстро выходит на полученный теоретически стационарный режим. При этом можно видеть, что во втором случае этот режим достигается уже при п = 10.

Таким образом, доказанные теоремы подтверждены результатами численных расчетов. Кроме того, тестирование показало, что полученные верхняя и нижняя оценки достаточно точны, и что нижняя оценка обычно ближе или даже совпадает (при | с |>>| а |) с фактическим значением числа обусловленности матрицы при неограниченном росте размерности.

Таблица 2

Результаты численного эксперимента при х «Я

a= -10, b=30, с=15, x»-0.1455 , \Л+ /Л_\ = 7.8730

n = 5 n = 8 n = 10 n = 50 n = 100

( x V Я-1( x ) 7,9051 7,8738 7,8730 7,8730 7,8730

Подводя итог проведенному исследованию, отметим, что авторами получены простые и удобные для проверки условия, которые гарантируют ограниченность чисел обусловленности квазитеплицевых трехдиагональ-ных матриц в случае неограниченного возрастания размерности при сохранении структуры матриц. Кроме того, получены верхняя и нижняя оценки значений числа обусловленности. При этом установлено, что последовательность чисел обусловленности при определенных условиях может стремиться к бесконечности, для таких случаев получена оценка скорости роста указанной последовательности.

Заключительным этапом в исследовании рассматриваемых квазитеплицевых матриц стала проверка теоретических результатов с помощью численных расчетов. В ходе проведенных экспериментов проиллюстрирована справедливость полученных теоретических выводов. Таким образом, представленные в работе результаты позволят улучшить качество предобусловливания и предфильтрации матриц, что, в свою очередь, позволит разработать новые эффективные методы решения трехдиагональных систем линейных алгебраических уравнений.

Статья поступила 29.12.2014 г.

Библиографический список

1. Баутин С.П., Казаков А.Л. Обобщенная задача Коши и ее приложения. Новосибирск: Наука. 2006. 397 с.

2. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Физматлит, 2004. 560 с.

3. Годунов С.К., Рябенький В.С. Разностные схемы (введение в теорию). М.: Наука, 1977. 440 с.

4. Ильин В.П., Кузнецов Ю.И. Трехдиагональные матрицы и их приложения. М.: Наука, 1985. 208 с.

5. Казаков А.Л., Батагаева Т.А. Исследование устойчивости простейших квазитеплицевых трехдиагональных систем с неограниченной размерностью // Известия ИГУ. Математика. 2013. С. 25-37.

6. Казаков А.Л., Лемперт А.А. Аналитическое и численное исследование одной краевой задачи нелинейной фильтрации с вырождением // Вычислительные технологии. 2012. Т. 17. № 1. С. 57-68.

7. Казаков А.Л., Лемперт А.А. О существовании и единственности решения краевой задачи для параболического уравнения нестационарной фильтрации // Прикладная механика и техническая физика. 2013. № 2. С. 97-105.

8. Казаков А.Л., Лемперт А.А., Бухаров Д.С. Об одном численном методе решения некоторых задач оптимизации, возникающих в транспортной логистике // Вестник ИрГТУ. 2011. № 6 (53). С. 6-12.

9. Родионова Н.В. Точные формулы для коэффициентов и невязки оптимального аппроксимирующего сплайна простейшего волнового уравнения // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. 2012. № 1. С. 144154.

10. Kazakov A.L., Spevak L.F. Numerical and Analytical Studies of a Nonlinear Parabolic Equation with Boundary Conditions of a Special Form // Applied Mathematical Modelling. 2013. V. 37. Iss. 10-11. P. 6918-6928.

УДК 514.763.8

КЛАССИФИКАЦИЯ НОРМАЛЬНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА В СЛУЧАЕ ПРОСТРАНСТВА Kv

Л

© В.А. Труппова1

Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

В данной статье проводится построение дифференциально-геометрических объектов методом охвата, а также решается задача классификации. Охваты строятся с использованием внутреннего фундаментального объекта

d2Xa -a _a dXe

системы дифференциальных уравнений второго порядка = f ( x ,—). Эти уравнения являются уравнениями

(dx )2 dx

секущей поверхности V2n+1 в многообразии одномерных касательных элементов второго порядка. Проведена классификация нормальной системы дифференциальных уравнений второго порядка пространства Аn+1. Для большинства выделенных классов получено выражение правых частей рассматриваемой системы. Ключевые слова: система дифференциальных уравнений; метод охвата; задача классификации; дифференциально-геометрические объекты; внутренний фундаментальный объект.

CLASSIFICATION OF NORMAL SYSTEMS OF SECOND ORDER DIFFERENTIAL EQUATIONS FOR THE CASE OF SPACE V.A. Truppova

Irkutsk National Research Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.

The paper introduces the construction of differential geometric objects using the method of coverage and solves the classification problem. Coverage is built with the use of the internal fundamental object of the system of second order

d2Xa _ ,a —a dx^

(dxV T ( X , dx0

differential equations = f ( x ,—). These are the equations of an intersecting surface V2n+1 in a variety of one-

(dx )2 dx

dimensional second-order tangent elements. The normal system of second order differential equations of An+1 space is classified. The expression of the right parts of the system under investigation has been obtained for the majority of the distinguished classes.

Keywords: system of differential equations; method of coverage; classification problem; differential geometric objects; internal fundamental object.

1Труппова Валентина Алексеевна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики, тел.: (3952) 405176, e-mail: tinatrup@rambler.ru

Truppova Valentina, Candidate of Physico-Mathematical Sciences, Associate Professor of the Department of Mathematics, tel.: (3952) 405176, e-mail: tinatrup@rambler.ru