АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯОКОННЫХ ПРОФИЛЕЙ ПВХ ПРИ ДЕЙСТВИИ ТЕМПЕРАТУРНЫХ НАГРУЗОК Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

ПРОЕКТИРОВАНИЕ И КОНСТРУИРОВАНИЕ СТРОИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ.СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА. ОСНОВАНИЯ И ФУНДАМЕНТЫ, ПОДЗЕМНЫЕ СООРУЖЕНИЯ

НАУЧНАЯ СТАТЬЯ/RESEARCH PAPER

УДК 692.829

DOI: 10.22227/1997-0935.2021.11.1437-1451

Аналитический метод расчета напряженно-деформированного состояния оконных профилей ПВХ при действии температурных нагрузок

Иван Сергеевич Аксенов, Александр Петрович Константинов

Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет

(НИУ МГСУ); г. Москва, Россия

АННОТАЦИЯ

Введение. Опыт эксплуатации современных окон ПВХ в климатических условиях РФ показывает, что в зимнее время из-за температурных деформаций оконных профилей происходит продувание и промерзание подобных конструкций. В настоящий момент данное явление не учитывается при проектировании окон. Инженерная методика расчета температурных деформаций оконных конструкций еще не разработана. Одним из важных вопросов, который требует изучения для разработки этой методики, является учет температурных деформаций оконных ПВХ-профилей с учетом нелинейного распределения температуры по его сечению.

Материалы и методы. В программном комплексе COMSOL Multiphysics разработана трехмерная конечно-элемент- e J ная модель типовой конструкции ПВХ-окна и проведен расчет ее температурного поля. Анализ результатов расчета t 2 позволил определить характер распределения температуры в поперечных сечениях оконных ПВХ-профилей и пред- i X ложить методику его аналитического расчета. На основе использования базовых уравнений механики деформируе мого твердого тела и методов математического анализа описан изгиб оконных профилей ПВХ с учетом установлен

0 5

ного характера распределения температур по их сечению. S т

Результаты. Получены уравнения общего вида, описывающие изгиб оконных профилей ПВХ с учетом нелинейного ^ ч (ступенчатого) распределения температуры в их поперечном сечении. Методика проверена путем сопоставления ^ 1 полученных с ее помощью результатов с данными трехмерного конечно-элементного моделирования напряженно- n S

деформированного состояния оконных профилей ПВХ. l §

y i

Выводы. Полученные уравнения, описывающие температурные деформации отдельных оконных профилей, слу- _ eg

и и „ П Ш

жат отправной точкой для создания комплексной методики расчета механической работы оконных конструкций r — из ПВХ-профилей при действии температурных нагрузок. Дальнейшими этапами разработки данной методики явля- a g ются изучение влияния армирующего сердечника на механическую работу ПВХ-профилей и переход к рассмотре- п 5 нию механической работы всей оконной конструкции в целом. § р

C i

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: температурные деформации, окна, оконные блоки, оконные профили ПВХ, строительная ° t механика, конечно-элементное моделирование t11

Е S

ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ: Аксенов И.С., Константинов А.П. Аналитический метод расчета напряженно-деформи- i § рованного состояния оконных профилей ПВХ при действии температурных нагрузок // Вестник МГСУ. 2021. Т. 16. § з

Вып. 11. С. 1437-1451. DOI: 10.22227/1997-0935.2021.11.1437-1451 n 0

2 § |

Автор, ответственный за переписку: Александр Петрович Константинов, [email protected]. > 6

c 0

i§

An analytical method for calculating the stress-strain state Е i

of PVC window profiles under thermal loading ® )

Vo

Ivan S. Aksenov, Aleksandr P. Konstantinov u м

Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) 3 6

(MGSU); Moscow, Russian Federation 1 4

№ DO

1 T

ABSTRACT s У

С о

Introduction. The practical operation of modern PVC windows in the climate of the Russian Federation has proven that due to thermally induced deformations of window elements cold air enters premises and window frames freeze. Presently, there is no engineering method for calculating the temperature deformations of windows, that takes account of the key features of 22 their structure: the composite structure of window sections, the rigidity of insulating glass units, fittings, etc. An important task is to develop a method for calculating temperature deformations of PVC window elements, that takes account of nonlinear temperature distribution over their cross-sections.

о о to 10

© И.С. Аксенов, А.П. Константинов, 2021

Распространяется на основании Creative Commons Attribution Non-Commercial (CC BY-NC)

сч N о о сч N

К ш

U 3 > (Л

С И

m со

<0 щ

il

ф <и

О 8

со

(Л

.Е о

^ с Ю о

о Е

fe ° СП ^ т-

2: £

£

ю °

il

О (П

Materials and methods. A three-dimensional finite element model of a standard PVC window was developed using the COMSOL Multiphysics software, and its temperature field was calculated. The analysis of the calculation results allowed to identify the nature of the temperature distribution over the cross sections of PVC window profiles and propose a method for their analytical calculation. Using the basic equations of solid mechanics and methods of mathematical analysis, the bending of PVC window elements was described on the basis of their actual temperature fields.

Results. The obtained equations were tested by comparing the results of the manual calculation with the results of the finite element modeling.

Conclusions. The obtained equations, describing temperature deformations of individual window elements, serve as the starting point for an integrated method of calculating the structural behavior of PVC windows under thermal loading. The further development of the presented method will encompass the analysis of the influence of the reinforcing core on the structural behavior of PVC elements and the exploration of the structural behavior of the entire window structure.

KEYWORDS: temperature deformations, windows, PVC profiles, structural mechanics, finite element modeling FOR CITATION: Aksenov I.S., Konstantinov A.P. An analytical method for calculating the stress-strain state of PVC window profiles under thermal loading. Vestnik MGSU [Monthly Journal on Construction and Architecture]. 2021; 16(11):1437-1451. DOI: 10.22227/1997-0935.2021.11.1437-1451 (rus.).

Corresponding author: Aleksandr P. Konstantinov, [email protected].

ВВЕДЕНИЕ

Оконные конструкции из ПВХ-профилей в настоящее время являются наиболее распространенным типом светопрозрачных конструкций, используемым в массовом гражданском строительстве [1, 2]. Опыт эксплуатации подобных конструкций в климатических условиях РФ показал, что в зимний период их воздухопроницаемость может значительно повышаться, что приводит к появлению сквозняков в помещениях, а также нарушению температурно-влажностного режима вблизи окон [3-9]. Указанное явление обусловлено температурными деформациями профильных элементов окна. Данные проведенных экспериментальных исследований демонстрируют, что прогиб оконного импоста от действия только температурной нагрузки может быть сопоставим с прогибом от ветровой нагрузки [10-12]. Решение описанной проблемы сопряжено с изучением статической работы элементов окна при действии ветровых и температурных нагрузок. На сегодняшний день научные исследования по этому вопросу представлены в ограниченном объеме. Так, оценка влияния температурных воздействий на напряженно-деформированное состояние (НДС) оконных конструкций была выполнена средствами программного комплекса ANSYS в работе [13]. В публикации [14] представлена упрощенная модель, которая позволяет определить чистый прогиб ПВХ-импоста от линейного перепада температуры между внутренней и наружной его поверхностью. Эта модель учитывает наличие в импосте армирующего сердечника [15]. Авторы в труде [16] рассматривают проблему моделирования механической работы уплотнителя в системе окна. Ни в одной из существующих работ не была сделана попытка разработать комплексный инженерный метод расчета механической работы оконной конструкции из ПВХ при действии температурной нагрузки. В нормативной документации описан метод расчета механической работы окон только на действие ветровых нагрузок, а действие температурных нагрузок не принимается во внимание. Однако он является достаточно упрощенным, не учитывает многокомпонентную структуру окна, не отражает ее

реальной работы под нагрузкой [17]. В настоящей статье рассматривается один из вопросов, затрагиваемых в рамках создания комплексной инженерной методики расчета температурных деформаций оконных конструкций из ПВХ-профилей. Он связан с разработкой метода аналитического расчета температурных деформаций профильных элементов ПВХ.

МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ

Анализ поля температур

В программном комплексе COMSOL Ми1-tiphysics была разработана трехмерная конечно-элементная модель двухстворчатого ПВХ-окна размером 1400 х 1200 мм профильной системы Veka Softline (с монтажной шириной 70 мм), установленного в проем наружной стены. Проведен расчет температурного поля созданной модели для зимних условий эксплуатации при следующих исходных данных: t = -20 °С; ^ = 20 °С; а = 8,7 Вт/м2/°С;

ех 7 т 7 ех 7 7

ат = 23 Вт/м2/°С (рис. 1). Теплообмен в воздушных камерах профильных элементов рассчитывался упрощенно, с использованием эквивалентного сопротивления теплопередаче.

Анализ механической работы ПВХ-профиля

при действии температурной нагрузки

Оконный профиль ПВХ представляет собой протяженный элемент постоянного поперечного сечения, который воспринимает в основном только поперечные механические и температурные нагрузки, т.е. с точки зрения строительной механики работает как балка. В инженерной практике широко применяются формулы расчета механической работы балочных элементов на действие температурных нагрузок. Однако они получены исходя из предположения о том, что температура изменяется в поперечном сечении балки линейно [18]. Анализ результатов расчета температурного поля ПВХ-окна показал (см. Результаты исследования), что распределение температуры в поперечных сечениях его профильных элементов отличается от классического случая и является ступенчатым (рис. 2).

z

л.

л

20 15 10 5 0

-5 -10 -15 -20

Рис. 1. Трехмерная модель окна ПВХ и результат расчета поля температур (легенда в °С) Fig. 1. The 3D PVC window model and the temperature field calculation result, °С

Классические формулы, описывающие изгиб балки, не дают возможности рассчитать деформации балочного элемента при нелинейном (ступенчатом) распределении температур по сечению балки. Для того чтобы получить уравнения, описывающие рассматриваемый случай изгиба, авторы использовали основы теории упругости деформируемого твердого тела [19]. Изучили линейные преобразования элементарного куба, выделенного в произвольном месте сечения балки, при воздействии на балку температурной нагрузки и изгиба. На основе композиции этих линейных преобразований были получены уравнения для главных напряжений в поперечном сечении изогнутой балки при ступенчатом профиле температуры. Путем интегрирования этих уравнений найдены функции, связывающие продольные деформации и кривизну изгиба балки

Л

щ

9

Рис. 2. Распределение температуры по сечению балочного элемента. Отличие рассматриваемого случая (справа) от классического (слева)

Fig. 2. The temperature distribution over a beam element section. The difference between the case in question (on the right) and the classical one (on the left)

с характеристиками ступенчатого профиля температуры и величинами приложенных к балке нагрузок (момента и продольной силы). Справедливость полученных уравнений проверена их сравнением с результатами конечно-элементного моделирования.

РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

Характер распределения температур по оконному профилю ПВХ

Анализ результатов расчета температурного поля модели ПВХ-окна показал, что характер распределения температуры в поперечном сечении его профильных элементов может быть упрощенно представлен в виде графика, изображенного на рис. 3. В центре ПВХ-профиля находится металлический сердечник, имеющий почти нулевое термическое сопротивление, поэтому в зоне сердечника температурное поле остается практически полностью однородным. Участок сечения ПВХ-профиля, непосредственно прилегающий к сердечнику, также приобретает постоянную температуру.

С учетом полученного характера распределения температуры по сечению ПВХ-профиля возможно говорить, что расчет его температурного поля можно вести как для однородной трехслойной ограждающей конструкции. Разделим для этого поперечное сечение ПВХ-профиля на три части (I, II и III на рис. 3), в пределах которых распределение температур остается линейным. Как уже было сказано, термическое сопротивление средней части будет мало, поэтому примем RIÍ = 0. Полное термическое сопротивление профиля в таком случае будет равно:

^0 = *1 + . (1) Значение R0 может быть определено расчетами или в ходе лабораторных испытаний по стандартным методикам и обычно сообщается производителями оконных профилей в своей технической документации. Проведя дополнительные исследования, выясним соотношение величин RI и R В первом приближении (для рассматриваемого на рис. 3 окон-

< ■

(D ID

t О

kK

o СО n СО

< ->■ j to

И

n о

a <о

< w o <

О i

n )

(Л ^ о —

с W о W

n

< 0 <66 Со ° 2 i <

!§ r n < )

¡1

o> m

I T s 3

s У с о e к

ю ю о о м м

T

l 14,8

10

-10

-15

расхождения объясняются тем, что в реальности ПВХ-профиль является неоднородным элементом (вследствие сложной геометрии, наличия воздушных камер, теплообмена с примыкающими элементами оконной конструкции), и точный расчет его температурного поля не может быть выполнен аналитическим путем. Между тем можно сказать, что предложенная методика ручного расчета при своей простоте дает приемлемый результат и отражает качественный характер температурного поля, возникающего в профильных элементах ПВХ-окна при реальной эксплуатации. Очевидно, что данный метод расчета возможно использовать для построения графика распределения температур по сечению оконных профилей ПВХ с иным соотношением количества наружных и внутренних воздушных камер.

N N О О N N

К ш

U 3 > (Л

С И

m со

<0 щ

il

ф ф

О 8

со ел

.Е о с

Ю о

о Е

fe ° СП ^ т-

£ £

со °

il

О (П

▼ -19,2

Рис. 3. Характер распределения температур в поперечном сечении ПВХ-профиля, полученный в результате расчета температурного поля для трехмерной модели окна (легенда в °С) Fig. 3. The temperature distribution in a cross-section of a PVC profile, obtained as a result of the temperature field calculation for a 3D model, °С

ного профиля с практически симметричным расположением армирующего сердечника относительно ПВХ-профиля и одинаковым количеством воздушных камер по его сторонам) примем Rl = R тогда:

T

ri - riii - r0.

15,05 °С

(2)

153 мм / nm

Рис. 4. Результат ручного расчета распределения температуры по сечению профиля ПВХ

Fig. 4. The result of manual calculation of temperature distribution over the section of a PVC element

9,04

Далее, зная расчетные значения температуры наружного и внутреннего воздуха, а также коэффициенты теплоотдачи наружной и внутренней поверхности оконного профиля, можно построить график распределения температуры.

Проведем проверку предлагаемого метода расчета температурного поля для показанного на рис. 3 профиля (пятикамерный профиль рамы Veka Soft-line шириной 70 мм). Условия расчета: t = -20 °С; t = 20 °С; а = 8,7 Вт/м2/°С; а = 23 Вт/м2/°С. Для

т 7 в 7 7 н

рассматриваемого профиля известно его термическое сопротивление R0 = 0,77 м2°С/Вт. Таким образом, Rl = 0,385 м2°С/Вт; R = 0; Rm = 0,385 м2°С/Вт. Путем стандартного теплотехнического расчета определим график распределения температуры (рис. 4).

Для сравнения результатов, полученных ручным расчетом и компьютерным моделированием, была найдена разница между температурными полями, изображенными на рис. 3 и 4 (см. рис. 5).

Как видно, большая часть сечения профиля находится в зеленой зоне (где разница составляет не более 2 °С). Отдельные участки (два красных и один синий), где результаты ручного расчета значительно расходятся с результатами моделирования, имеют небольшие размеры. Наблюдаемые

I

▼- 4,73

Рис. 5. Разница между ручным расчетом и результатом компьютерного моделирования, °С

Fig. 5. The discrepancy between the manual calculation and the result of computer modeling, °С

T

5

0

8

6

4

2

0

Методика расчета механической работы ПВХ-профиля на действие температурной нагрузки

Температурные напряжения в профиле

Определим напряжения, возникающие в поперечном сечении ПВХ-профиля от действия температурной нагрузки. Зададим функцию распределения температуры общего вида Т(хоЬ., у z ), где 0хоЬ. уоЬ. zob. — материальная (лагранжевая) система координат профиля, ось хоЬ. которой направлена вдоль его продольной оси (см. рис. 6).

Вырежем из профиля в произвольной точке (х УоЬ], zoЬ) элементарный куб со стороной da, грани которого параллельны выбранным осям координат (рис. 7). Изначально температура элементарного куба (как и всех точек профиля) была равна Тге. В результате температурных воздействий она изменилась и приняла значение Т(х ,, у ,, z ,). Таким

А у оЬ] ^ оЬ] оЬ]'

образом, выделенный элементарный объем нагрелся

на ДТ = Т(хоЬ.,уоЬ zoЬ.) — ТгеГ Позволим ему свободно

ref '

1z

obj

Рис. 6. Система координат для ПВХ-профиля Fig. 6. A coordinate system for a PVC profile

размеру (переход 2 на рис. 7), необходимо к каждой его грани приложить сжимающие усилия. Матрица линейного преобразования, выражающая переход 2, будет иметь вид:

п

1

4 =

l+a- AT (xobj, yobJ,zobJ)

0 l

(3)

деформироваться. В результате нагрева на величину ДТ, длина каждой из его граней увеличится (рассматривается случай изотропного материала) и станет равна da(1 + аДТ) (переход 1 на рис. 7). В этом новом состоянии в кубе отсутствуют какие-либо напряжения. Теперь, чтобы вернуть куб к исходному

На основе матрицы А1 можно найти тензор напряжений с (он будет шаровым) для любой точки ПВХ-профиля. Эти напряжения будут соответствовать случаю, когда функция перемещений и(хоЬ], уоЬ], zoЬj) = 0, т.е. все точки профиля жестко зафиксированы в своих положениях, а профиль находится в своем исходном состоянии. При этом, определяемые через А1 напряжения будут показывать внутренние усилия, возникающие в профиле в результате мгновенного изменения температуры в самый первый момент процесса деформирования.

Изгиб профиля

Пусть задана параметрическая функция иах(хоЬ]), отображающая ось хоЬ] балки в изогнутую кривую а в трехмерном пространстве (рис. 8). Воспользуемся гипотезой о плоских сечениях [18]. Постулируем, что в каждой точке изогнутой оси балки ее сечение

obj

yobj

zobj

Л5\

J a

ITU

II

Рис. 7. Преобразования элементарного куба Fig. 7. Transformations of an elementary cube

< П

8 8 i H

G Г

S 2

О сл

n CO

z z

У ->■

J to

u -

^ I

n °

^^ 3

0 ^

01 n

CO CO

n

Ш 0

r 6

• )

Ü i ®

л ' 0> 00 ■ T

s У с о <D *

ax^ obj

Рис. 8. Изгиб оси балки

Fig. 8. The bending of the beam axis

остается плоским и ориентировано перпендикулярно вектору т, являющемуся касательным к оси.

В каждой точке кривой введем локальный орто-нормированный правый базис (т, ny, nz), где:

N N О О N N

К ш U 3

> (Л

с и

m со

<0 <U

¡1

Ф Ф

о ё —■

о

О О CD >

от* от ЕЕ

— -ь^

^ сл .Е § cl"

^ с Ю о

о Е

fe ° СП ^ т- ^

£

от °

■S

О (О

-1

d^obj 5

d^ax

dxobj

(4)

и, = " . " . " , (5)

», = «Л- (6)

Для удобства предположим, что кривая а целиком лежит, например, в плоскости 0xz, тогда:

т =

<4*1

dXotj

dx,-V У

¿й„

(7)

¿XT,

obj

dx.

= a

У-L

obj

dx,

- = а

>-L

obj

dx„,

n =

du„.

'0^ 1

Л

(8)

dx.

obj

¿«ax 1 obj у

(9)

Заметим, что и = а ±т, где а^ — матрица поворота на 90° вокруг оси у.

Теперь запишем функцию преобразования, которая каждой точке в системе координат хл., у zobj поставит в соответствие ее положение х, у, z в деформированном состоянии

* = Йох ) + К2оЦ + «„Я*, (10)

Запишем матрицу Якоби функции преобразования Я:

Jr =

dUax1 dXobj

dUax 3 dXobj

dn

"У*

>1

dx.

obj

dn.

'Уobj

у з

dXobj

"у1 0

ny 3

(11)

Найдем метрический тензор:

T= J I =

du

""ax

dx...

Уоы

-Уobj

dn„

dn,

>

\2

\

dnv _

УоЬ1-г-пу 0

_-

1 0

. (12)

Определим, чему равна производная вектора n :

-Л

= а

f d^ \

^об/ \ dxobJ У

dx.

'obj

(13)

dxobJ

du„.

dx,.

du

\2

dx.. V obJ

du„

V2

dx,,

\ obJ У

du

V

dx,,

\ obJ у

du , d и , du ^ d и , i/м , d и ,

2 flrl arl 2 a*2 axl 2 дхЗ ^ахЗ

du,., d u.

1 dx,,hj dxobj

dx,, dx.

dx,; dx„.

( , Л 2 / \ 2 ( i A 2

dKa + <4*2 + du** з

i dx V "b] dX,;

dxobj dx 2

dUa,

dxobJ

Таким образом:

du„, d й

dny dx,,

= а

d2K d»ax dii dx,; dx,2 ""ax obj obj

^ob/ <Kbj Max obj

■у-L

d2U„.

dx,,,

du„, du,

dx,, dx.

= а

obj

du,„

dx.

obj

¿¿„hi du„ d2u,

(15)

dXotj dxob?

\

7 _ dXobj

•y-L

du„

- = a

d Й du„

dXobj2 dxotj

teob/ obj

d»a* dX„,;

С учетом этого перепишем:

d»y Г

dx

На рис. 9 видно, что повернутый на 90 граду-1Г л

сов вектор ——л будет перпендикулярен вектору

obj

Т =

41

y^obj

V

"Я*

dny dx ...

+>v

й?Й„

teobj

du dn„

+ 2yol aU- "

y0bj

dx,. dx,,

obj

du /dx K

ax obj

/dx

ax obj

Рис. 9. К выводу компонент метрического тензора Fig. 9. The derivation of the metric tensor component

■y-l

dXobj

Введем вектор К, который будет сонаправлен вектору п2 и равен по модулю кривизне рассматриваемой параметрической кривой а:

d2й„ dй„

d"ax 3

dXobj

dny dXobj = du -" К dXobj = Max dXobj

(19)

(векторы перпендикулярны друг другу);

(16)

du„„ dn

obj dxob,

- = ±

dii dnt dii

= +

dXobj foobj

-8".

(векторы коллинеарные друг другу).

(20)

(17)

Окончательно:

2

Уоы

т =

■41

dii,.

dx.

obj

+ У J к2

du,.

dXobj

±2УobjK

dn

dXobj

пу, поэтому Т12 = Т21 = 0.

Также перепишем значение Т с учетом всех полученных соотношений:

dXobj

(!±f

(21)

где К — кривизна оси профиля в точке хоЬ..

Метрический тензор при этом получит вид:

(18)

f 2 du.

Т — JR J R

dx.

obj

(1+Уо»к)2 о о

1 0 0 1

(22)

Здесь предполагается, что кривизна К может иметь как положительное, так и отрицательное значение. Правило выбора знака при этом показано на рис. 10.

Глядя на метрический тензор, можно сделать следующие выводы: оси системы координат 0хоЬуоЬт,оЬ. являются главными осями тензора деформаций при изгибе профиля. Если выделить в точке (х 20ь) профиля элементарный куб, грани которого будут параллельны системе координат 0хоЬуоЬхоЬ. (по аналогии с рис. 7), то в результате изгиба грани этого куба подвергнутся следующему линейному преобразованию:

< п

8 8 iH

Ч

G Г

О сл

n S

У ->■

J со

u-

^ I

n °

S> 3

0 s

П )) (f) t —

1 N

П 2 S 0

r 6 t °

• )

ii

i ®

л *

0> 00

■ T

s 3

s У с о <D Ж

z

у

obj

obj

obj

N N О О N N

К ш

U 3 > (Л

С И

m со <о щ

¡1

<u ф

О 8

ОТ "

от ЕЕ

— -ь^

^ сл .Е § CL"

^ с Ю о

о Е

fe ° СП ^ т-

Z £ £ 02 °

>> А

2 3 ■S

О (П

Рис. 10. Правило выбора знака кривизны профиля

Fig. 10. The rule governing the selection of the character for the profile curvature

du„

dx.

'obj

(l + yobjK) 0 0

0 0

1 0 0 1

(23)

Изгиб профиля при температурной нагрузке Если профиль одновременно подвергается температурной нагрузке и изгибу, то любой элементарный куб, выделенный в нем в точке (х^, уоЬ., zob) (с гранями, параллельными системе координат 0хоЬуоЬ]2оЬ), будет подвергаться композиции линейных преобразований А1 и А4:

А = А,АЬ = du„

l + a AT(xobj,yobJ,zobj)

dXobj

(l + yob]K) 0 0

1 0 0 1

dx.

'obj

--1.

" l + a AT(xobJ,yobJ,zobi) В нем будут возникать напряжения:

Г E £ XX 0 0

ст= 0 0 0 0 0 0

где Е — модуль упругости материала.

Данные формулы являются универсальными и позволяют исследовать внутренние напряжения в изогнутом профиле при действии произвольной (не только линейной) температурной нагрузки.

Определение внутреннихусилий

Внутренние усилия определяются следующим образом (далее предполагается, что поперечные деформации, которые испытывает сечение профиля, являются пренебрежимо малыми по сравнению с размерами самого профиля):

N = \\vJA,

(27)

(28) (29)

(24)

Введем кусочно-заданную функцию распределения температуры в поперечном сечении профиля, соответствующую результатам моделирования из раздела 1 (рис. 11):

При этом тензор деформаций (в главных осях) будет иметь вид D = А - Е.

Предположим, что в поперечном направлении сечение профиля имеет возможность свободно деформироваться, т.е. напряжения в направлении осей уоЬ. и zobj имеют возможность к полной релаксации (что почти соответствует действительности), тогда любой элементарный куб, выделенный в профиле, будет находиться в одноосном напряженном состоянии, испытывая центральное растяжение в направлении оси хоЬ. с относительной деформацией:

dй„

T = \

T-T

T2 +

T3 +

У2 1 "Ух

T з

Уз

T -Tз

Ул~ Уз

{УоьГУ2) при УощЬ(У2.Уз); (30) {УоъГУз) "Ри Уоь е[Ул.Уз]-

Пока будем игнорировать тот факт, что Т3 = Т, чтобы получить более универсальные уравнения. Функция напряжений при этом также будет иметь кусочно-заданный вид:

(1 + УоьК

(25)

(26)

du,„

dx

obj

l + a T+R'^j-У t)-Tf) при У obj[y,> У i+i]>

l

(31)

где К — производная графика температуры на 1-м участке.

Данная функция не является линейной относительно материальных координат профиля и потому

XX

оконных профилей ПВХ при действии температурных нагрузок

'obj

T.

У1

Рис. 11. Кусочно-заданная функция температуры Fig. 11. Piecewise temperature function

она трудно интегрируема, тем не менее ее изучение на конкретных примерах показало, что в пределах каждого из трех участков она имеет вид, близкий к линейному (вследствие малого поперечного размера ПВХ-профиля и его малой кривизны, которую можно оценить по результатам реальных испытаний ПВХ-окон на температурную нагрузку, а также малого значения коэффициента линейного температурного расширения ПВХ, равного 7 10-5 1/K [20]). Поэтому возможно без потери точности представить функцию с в виде, аналогичном функции T:

ст —ст

»<+1

[Уоу-У<)

упрощения выражении величину

dx.

obj

символом

k, приводим результат:

N=EkJ\Yi(a'A,+b,Si) + K^id'A' + c'S^-EA, (33) M^EkJj^^Si+UI^+KYjd'S: + Щ-ES^ (34)

,1 _ y,Jv, -у,/9i+i ij _ Уф,41 -Уф,

U ) О я

с =

Ум-Ух Ум!Ум "И/ф/

к... =

от радиуса кривизны К стержня (именно в этом смысле говорят, что сечение при изгибе поворачивается вокруг нейтральной оси), потому ее положение может быть найдено из условия:

= (37)

Используя формулы перехода от одной системы координат к другой, получаем:

= (38)

Далее будем предполагать, что сечение рассматривается относительно нейтральной оси.

Перепишем выражение для ^

, N А

Е^(а'А'+Ъ'Б[) £(«i'A'+b'Sl)"

(39)

Ум~У

при^ е[у„ум], (32)

где четыре величины охх будут определяться по формуле (26).

Это уравнение — линейное и может быть проинтегрировано для нахождения внутренних усилий. Опуская промежуточные выкладки и обозначив для

dй

Второе слагаемое в этой формуле соответствует коэффициенту продольной деформации оси профиля при свободной температурной деформации N = 0):

А

(40)

кТ =

Yia'A'+b'Sl)'

Сравнивая первое слагаемое с классическим выражением для продольной деформации балки при центрально приложенной нагрузке, можно заключить, что величина ^¡(а А' +Ь'выступает в качестве эквивалентной площади всего сечения: (а1 А'+Ь^). (41)

С учетом этого, запишем:

N

k - + kсв " - EA " .

(42)

Определим кривизну профиля, выразив ее из уравнения для M:

К =

M+ES,

Ум-у d' =-УмУМ, (35)

Ek^d'si+c'ii) Е^'Х+с/;)

■ (43)

Ум ~У

где А', S'z, Sy, Р, !'уг — площадь, статический момент и момент инерции -го участка поперечного сечения профиля соответственно (геометрические параметры участков сечения рассчитываются относительно одной общей оси, которая может быть выбрана произвольно).

Определим величину kax, выразив ее из уравнения для N:

Ы/Е + А

Ввиду большого значения модуля упругости ПВХ и малого значения его коэффициента продольного температурного расширения, величина kax, характеризующая продольную деформацию оси профиля, будет во всех практически значимых случаях близка к 1. Учитывая это, перепишем выражение для К:

к =

м.

- +

E^d'Si+c'li) ^{d'Si+с'Г)

-. (44)

(36)

Из этого выражения понятно, где должна проходить нейтральная ось всего сечения. Продольная деформация нейтральной оси не должна зависеть

Второе слагаемое в этой формуле соответствует кривизне профиля при свободной температурной деформации (М = 0):

К„ =

Сравнивая первое слагаемое с классическим выражением для К, можно заключить, что величина

< п

I*

i н

4

G Г

5 3

О сл

n S

У ->■

J со

^ I

n 0

S> 3

0 s

01 П ))

(Л

t — & N

П 2

H> 0

r 6 t °

• )

ii

® ®

i

e> n

■ T

s □

s У с о <D X

(45) ii

T

T

T

T

2

сч сч о о сч сч

К Ф

О 3

> (Л

Е (Л

2 "

СО <0

. ^

Ф ф

I I»

s if

---"К

о ^ о о

CD jf cd ^

w 13 « £

^ (Й .1 Si

CL °

С

ю о

Sg ° §

£ ° CD ^

z £

05 О

L. W

О (Л ф ф

со >

+ С ^ выступает в качестве эквивалентного момента инерции всего сечения:

^=1 Г). (46)

С учетом этого, запишем:

M

K=ET+K-

(47)

Используя данные формулы, можно производить расчет профиля на изгиб при произвольном трехчастном ступенчатом распределении температуры в его поперечном сечении.

Проверочныорасйет

Продолжим расчет профиля, рассмотренного в разделе 1, и определим его кривизну и НДС при свободной температурной деформации от действия температурного поля, изображенного на рис. 4. Исследуя профиль в произвольно выбранной системе координат (рис. 12), определяем положение его

Уо

<г

\/

да

z V

Рис. 12. К определению положения нейтральной оси Fig. 12. About the identification of the position of the neutral axis

нейтральной оси. Для удобства все расчеты велись в программе Excel в табличной форме (рис. 13).

Таким образом, уно = 38,422 мм.

Переносим ось y в новое положение y0 и заново определяем все необходимые геометрические параметры сечения (рис. 14).

Определим коэффициент продольной деформации оси профиля в свободном состоянии (рис. 15).

Таким образом, к™ = 0,998348, что очень близко к 1 и оправдывает упрощение, сделанное при выводе формул.

Найдем кривизну профиля при свободной температурной деформации (рис. 16).

Таким образом, Кв = -0,02567 1/м. Отрицательный знак свидетельствует о том, что под действием рассматриваемой температурной нагрузки профиль выгибается против направления оси y (рис. 10), что соответствует интуитивным представлениям: выгиб происходит в сторону теплого края.

Теперь найдем внутренние напряжения в профиле при свободной температурной деформации по формуле:

= E

К (1 + УЛ )

- 1

(48)

V Ф/ У

Отметим, что поскольку мы рассматриваем свободную температурную деформацию, то к^ = к^ и К = Кга. Расчет приведен на рис. 17.

По результатам ручного расчета при свободной температурной деформации внутри рассматриваемого ПВХ-профиля будут возникать напряжения, изображенные на рис. 18.

Как видно, характер распределения внутренних напряжений в поперечном сечении профиля при ступенчато изменяющейся по сечению температуре действительно не соответствует классическому случаю.

Для проверки правильности полученного решения в программе COMSOL Multiphysics была поставлена трехмерная задача, аналогично описанной выше: в поперечном сечении ПВХ-профиля длиной 1 м установлено поле температур, соответствующее рис. 4 (см. рис. 19), после чего были рассчитаны деформации и внутренние напряжения, возникающие

Л A В С D E F G H 1 i

1 Szi, cmA3 Ai, cmA2 Tl, degC yi, cm p h 1_i ci bl, 1/m di, m di*Ai+ci*Szi, mA3 ci*Ai, mA2

2 1,4972 2,6148 15,05 0 0,9996535 1,00151 0,076042927 0 l,49946E-06 0,000261875

3 6,7907 2,2034 -1,54 1,53 0,9984922 1,00151 0 0 6,80095E-06 0,000220673

4 26,319 4,2183 -1,54 4,81 0,9984922 1,005238 0,053249601 0,0001793 2,65325E-05 0,000424039

5 -18,13 7 0,9973309 сумма= 3,48329E-05 0,000906587

6

7 a If a 0,00007 1/K

8 Tref 20 degC

9 у_но 38,422 mm

Рис. 13. Расчет положения нейтральной оси профиля Fig. 13. The calculation of the position of the neutral axis

XX

но

z

U

Рис. 14. Геометрические параметры сечения относительно нейтральной оси

Fig. 14. Geometric parameters of a section relative to the neutral axis

в профиле при его свободном изгибе под действием этой температурной нагрузки.

На рис. 20 показаны продольные напряжения в поперченном сечении ПВХ-профиля по результатам расчета в COMSOL Multiphysics. Для того чтобы более наглядно сравнить результаты ручного расчета и моделирования, на рис. 21 показаны продольные напряжения вдоль линии А-А.

Как видно, распределение нормальных напряжений, полученное при полноценном моделировании, полностью соответствует результатам предлагаемых в настоящей статье теоретических расчетов.

Ä А В С D E F G H 1

1 Szi, стЛ3 Ai, стл2 Ti, degC yi, cm phii ai bi, 1/cm ai*Ai+bi*Szi, стл2

2 -8,549 2,6148 15,05 -3,842 0,999654 1,003268 0,00076 2,616845151

3 -1,675 2,2034 -1,54 -2,312 0,998492 1,00151 0 2,206727303

4 10,111 4,2183 -1,54 0,968 0,998492 1,000995 0,000532 4,227880128

5 -18,13 3,158 0,997331

6 Сумма= -0,113 9,0365 9,051452582

7 alfa= 0,00007 1/K

8 Tref= 20 degC

9 ках_св= 0,998348046

Рис. 15. Определение величины k™ Fig. 15. The identification of the k08 value

° ax

Ä А В С D E F G H 1 J К L

l Izi, стл4 Szi, стл3 Ai, стл2 Ti, degC yi, cm phi_i ai ci bi, 1/cm di, cm di*Szi+ci*lzi, стл4 ai*Szi+bi*lzi, стл3

2 28,561 -8,549 2,6148 15,05 -3,8422 0,999654 1,003268 0,998588 0,00076 -0,00676 28,57843568 -8,555222431

3 4,157 -1,675 2,2034 1,54 -2,3122 0,998492 1,00151 1,00151 0 0 4,16327739 -1,677529379

4 25,809 10,111 4,2183 -1,54 0,9678 0,998492 1,000995 1,003192 0,000532 -0,00163 25,87491747 10,13480088

5 -18,13 3,1578 0,997331

6 Сум ма= -0,113 9,0365 сумма = 58,61663054 -0,097950933

7 S 9 alfa= 0,00007 1/K

Tref= 20 degC

Ксв= -0,02567 1/m

< П

8 8 i H

G Г

S 2

0 сл

n CO

1 ш

У ->■

J to

u -

^ I

n °

о ш

n )

СЛ '

Рис. 16. Определение величины Кв Fig. 16. The identification of the K value

° св

0,563 МП;

Ä А В С

1 phi_i yi, cm sigma i, MPa

2 0,999654 -3,8422 -0,86655912

3 0,998492 -2,3122 1,212403326

4 0,998492 0,9678 -1,06060356

5 0,997331 3,1578 0,562647794

6 E= 2/70E+09 Pa

7 kax= 0,998348

8 K= -0,02567 1/m

0,867 МПа MPa

Рис. 17. Определение внутренних напряжений Fig. 17. The identification of internal stresses

Рис. 18. Результат ручного расчета Fig. 18. The result of the manual calculation

со со

n ш 0

Ш 6

r 6 SO

• ) ® ®

л *

o> n ■ j

s □

s У с о <D *

х 103 мм / mm 0,5

v

0 : 60 з 40 i 20 3 z 0 Л

-10

-15

60 40 20 0 мм / mm

Рис. 19. Трехмерная модель ПВХ-профиля в программе COMSOL Multiphysics и заданное распределение температуры, °С

Fig. 19. A three-dimensional model of a PVC profile made using in the COMSOL Multiphysics software and the pre-set temperature distribution, °С

-КУ

0,5

-0,5

Рис. 20. Результаты расчета в COMSOL Multiphysics. Нормальные напряжения в поперечном сечении профиля, МПа

Fig. 20. Calculation results obtained in COMSOL Multiphysics. Normal stresses in the profile cross section, MPa

1

0

0

N (V О О N (У

a ф

0 з > «л с и

1 "!

Ш «О ■ р

<0 о

ij

CD

О g о

О Р

(О ^

8 « "о

о5 «

со е

.Е о

CL ° ^ с Ю О

о Е £ о

СП ^

т- ^

w £ со о

L_ w

i =

О (Л ф ф

to >

а ф

о

I

ы а

лП о

иМ П

n

o p

X X

X

т

«

о р

орт

m

и

la iol

Pi nd

1,2 1

0,8 0,6 0,4 0,2

-0,2

-0,4

-0,6

-0,8

-1

0

10

60

70

20 30 40 50

Длина обратной дуги, мм / Reversed arc length, mm

Рис. 21. Нормальные напряжения вдоль линии А-А, МПа. Черной линией показан результат расчета в COMSOL Multiphysics, красными квадратами — результат ручного расчета

Fig. 21. Normal stresses along the A-A line, MPa. The black line shows the result of the calculation made using COMSOL Multiphysics; red squares show the result of the manual calculation

ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ОБСУЖДЕНИЕ

В настоящей работе:

• проведен расчет трехмерного температурного поля для модели двухстворчатого ПВХ-окна. Результаты расчета показали, что ввиду наличия в центре его профильных элементов армирующего сердечника, распределение температуры в их по-

перечном сечении имеет ступенчатый характер, отличающийся от «классического» вида;

• предложена методика аналитического расчета температурного поля в поперечном сечении оконных профилей ПВХ. Также получены уравнения общего вида, описывающие изгиб оконных профилей с учетом ступенчатого распределения температуры в их поперечном сечении. Справедливость полу-

0

ченных уравнений была проверена путем сравнения результатов проведенного на их основе расчета с результатами трехмерного конечно-элементного моделирования.

Данная работа является одним из этапов по созданию инженерной методики расчета механической работы оконных конструкций при действии температурных нагрузок, в рамках которой авторы также рассматривают следующие вопросы:

• косой изгиб ПВХ-профиля (этот пункт актуален для ПВХ-профилей с повышенными теплотехническими характеристиками, для которых на-

блюдается значительная асимметрия поперечного сечения);

• учет наличия армирующего сердечника и его влияния на температурные деформации ПВХ-профиля;

• статическую работу узлов соединений профильных элементов между собой;

• влияние жесткости светопрозрачного заполнения (стеклопакетов) и раскрепления элементами фурнитуры на температурные деформации профильных элементов окна.

Эти вопросы станут предметом исследования в последующих публикациях авторов.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ

1. Плотников А.А. Архитектурно-конструктивные принципы и инновации в строительстве стеклянных зданий // Вестник МГСУ. 2015. № 11. С. 7-15.

2. KonstantinovA., MukhinA. Architectural possibilities of using PVC window units in historical buildings // MATEC Web of Conferences. 2018. Vol. 193. P. 04018. DOI: 10.1051/matecconf/201819304018

3. Bursey T., Green G.H. Combined thermal and air leakage performance of double hung windows // ASHRAE Transactions. 1970. Vol. 76. Issue 2. Pp. 215-226.

4. Fleury G., Thomas M. Variation to window air permeability according to outside temperature // Cahiers Du Centre Scientifique et Technique Du Batiment. 1972. Issue 132.

5. Elmahdy A.H. Air leakage characteristics of windows subjected to simultaneous temperature and pressure differentials // Conf. Proc. Window Innovations. 1995. Pp. 146-163.

6. Henry R., Patenaude A. Measurements of window air leakage at cold temperatures and impact on annual energy performance of a house // ASHRAE Transactions. 1998. Vol. 104. Issue 1b. Pp. 1254-1260.

7. Шеховцов А.В. Воздухопроницаемость оконного блока из ПВХ профилей при действии отрицательных температур // Вестник МГСУ. 2011. № 3-1. С. 263-269.

8. Верховский А.А., Зимин А.Н., Потапов С.С. Применимость современных светопрозрачных ограждающих конструкций для климатических регионов России // Жилищное строительство. 2015. № 6. С. 16-19.

9. Konstantinov A., Verkhovsky A. Assessment of the negative temperatures influence on the PVC windows air permeability // IOP Conference Series Materials Science and Engineering. 2020. Vol. 753. Issue 2. P. 022092. DOI: 10.1088/1757-899X/753/2/022092

10. Verkhovskiy A., Bryzgalin V., Lyubakova E. Thermal deformation of window for climatic conditions of Russia // IOP Conference Series Materials Science and Engineering. 2018. Vol. 463. Issue 3. P. 032048. DOI: 10.1088/1757-899X/463/3/032048

11. Konstantinov A., Verkhovsky A. Assessment of the wind and temperature loads influence on the PVC windows deformation // IOP Conference Series Materials Science and Engineering. 2020. Vol. 753. Issue 3. P. 032022. DOI: 10.1088/1757-899X/753/3/032022

12. Елдашов Ю.А., Сесюнин С.Г., Ковров В.Н. Экспериментальное исследование типовых оконных блоков на геометрическую стабильность и приведенное сопротивление теплопередаче от действия тепловых нагрузок // Вестник МГСУ. 2009. № 3. С. 146-149.

13. Сесюнин С.Г., Елдашов Ю.А. Моделирование сопряженной задачи термоупругости на примере анализа вариантов конструктивного оформления оконного блока зданий // Светопрозрачные конструкции. 2005. № 4.

14. Власенко Д.В. Почему коробит окно. Кто виноват и что делать? // Оконное производство. 2014. № 39. С. 42-44.

15. Калабин В.А. Оценка величины тепловой деформации ПВХ-профиля. Ч. 1. Зимние поперечные деформации // Светопрозрачные конструкции. 2013. № 1-2. С. 6-9.

16. Аксёнов И.С., Константинов А.П. Упрощенный подход к моделированию уплотнителя для прочностного расчета оконных конструкций // Вестник МГСУ. 2021. Т. 16. № 3. С. 317-330. DOI: 10.22227/1997-0935.2021.3.317-330

17. Константинов А.П. Вопросы расчета оконных блоков из ПВХ на ветровую нагрузку // Перспективы науки. 2018. № 1 (100). С. 26-30.

18. Биргер И.А., Мавлютов Р.Р. Сопротивление материалов: учебное пособие. М. : Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. 560 с.

19. Лурье А.И. Теория упругости. М. : Наука, 1970. 940 с.

20. Борискина И.В., Шведов Н.В., Плотников А.А. Современные светопрозрачные конструкции гражданских зданий. Справочник проектировщика. Том II. Оконные конструкции из ПВХ. СПб. : НИУПЦ «Межрегиональный институт окна», 2005. 320 с.

< п

iH

4

G Г

5 2

0 œ

n СО

1 s

y ->■ J со

u-

^ I

n °

S 3

о s

o7 n

Q.

co co

n S 0

S 6

r 6 t °

• )

ft

® ®

f

o> n

■ T

s У с о <D X

Поступила в редакцию 28 сентября 2021 г. Принята в доработанном виде 22 ноября 2021 г. Одобрена для публикации 22 ноября 2021 г.

Об авторах: Иван Сергеевич Аксенов — преподаватель кафедры проектирования зданий и сооружений; Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ); 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26; РИНЦ ID: 1037239, Scopus: 57209195917, ResearcherlD: AAF-6118-2021, ORCID: 0000-0003-0689-3498; [email protected];

Александр Петрович Константинов — кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры проектирования зданий и сооружений; Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ); 129337, г Москва, Ярославское шоссе, д. 26; РИНЦ ID: 955350, Scopus: 57201183847, ResearcherlD: V-2172-2018, ORCID: 0000-0001-6093-8496; [email protected].

Вклад авторов:

И.С. Аксенов — разработка методологии, написание исходного текста, итоговые выводы. А.П. Константинов — идея, научное руководство, итоговые выводы, доработка текста.

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

REFERENCES

1. Plotnikov A.A. Architectural and engineering principles and innovations in the construction of glass-facade buildings. Vestnik MGSU [Proceedings of the Moscow State University of Civil Engineering].

g g 2015; 11:7-15. (rus.).

2. Konstantinov A., Mukhin A. Architectural pos-£ £ sibilities of using PVC window units in historical buil-g ® dings. MATEC Web of Conferences. 2018; 193:04018. j? $ DOI: 10.1051/matecconf/201819304018

3. Bursey T., Green G.H. Combined thermal and ^ air leakage performance of double hung windows.

£ ASHRAE Transactions. 1970; 76(2):215-226.

o -2 4. Fleury G., Thomas M. Variation to window air ^ o

T > permeability according to outside temperature. Cahiers

^ <u Du Centre Scientifique et Technique Du Batiment. 1972;

j| 132.

^^ 5. Elmahdy A.H. Air leakage characteristics

g E of windows subjected to simultaneous temperature and

^ "o pressure differentials. Conf. Proc. Window Innovations.

° ^ 1995; 146-163.

cm ^

z 6. Henry R., Patenaude A. Measurements of win-co ^

w E dow air leakage at cold temperatures and impact on an-

i? £= nual energy performance of a House. ASHRAE Transac-

£ O tions. 1998; 104(1b):1254-1260.

lo o 7. Shekhovtsov A. Air permeabillity of an PVC

g | window when exposed to freezing temperatures. Vest-

fj nikMGSU [Proceedings of the Moscow State University

? Z of Civil Engineering]. 2011; 3-1:263-269. (rus.).

ot H 8. Verkhovsky A.A., Zimin A.N., Potapov S.S.

^ 2 The applicability of modern translucent walling for

>» 3 the climatic regions of Russia. Housing Construction.

" g 2015; 6:16-19. (rus.).

^ EE 9. Konstantinov A., Verkhovsky A. Assessment

| s£ of the negative temperatures influence on the PVC win-

¡3 -g dows air permeability. IOP Conference Series Materials

£ £ Science and Engineering. 2020; 753(2):022092. DOI: 10.1088/1757-899X/753/2/022092

10. Verkhovskiy A., Bryzgalin V., Lyubakova E. Thermal deformation of window for climatic conditions of Russia. IOP Conference Series Materials Science and Engineering. 2018; 463(3):032048. DOI: 10.1088/1757-899X463/3/032048

11. Konstantinov A., Verkhovsky A. Assessment of the wind and temperature loads influence on the PVC windows deformation. IOP Conference Series Materials Science and Engineering. 2020; 753(3):032022. DOI: 10.1088/1757-899X/753/3/032022

12. Eldashov Y.A., Sesyunin S.G., Kovrov V.N. Experimental study of typical window blocks on geometric stability and reduced resistance to heat transfer from the action of thermal loads. Vestnik MGSU [Proceedings of the Moscow State University of Civil Engineering]. 2009; 3:146-149. (rus.).

13. Sesyunin S.G., Eldashov Yu.A. Modeling of a thermo elasticity conjugate problem on the example of various variants of window block structural design. Translucent Structures. 2005; 4. (rus.).

14. Vlasenko D.V. Why it warps the windows. Who is to blame and what to do? Window Production. 2014; 39:42-44. (rus.).

15. Kalabin V.A. Assessment of PVC profile thermal deformation. Part 1. Winter transverse deformations. Translucent Structures. 2013; 1-2:6-9. (rus.).

16. Aksenov I.S., Konstantinov A.P. A simplified approach to the window gasket modeling for window strength calculation. Vestnik MGSU [Monthly Journal on Construction and Architecture]. 2021; 16(3):317-330. DOI: 10.22227/19970935.2021.3.317-330 (rus.).

17. Konstantinov A.P. Calculation of PVC window blocks for wind load. Prospects of Science. 2018; 1(100):26-30. (rus.).

18. Birger I.A., Mavlyutov R.R. Material resistance. Moscow, Nauka, 1986; 560. (rus.).

Аналитический метод расчета напряженно-деформированного состояния _

С. 1437—1451

оконных профилей ПВХ при действии температурных нагрузок

19. Lur'e A.I. Solid mechanics. Moscow, Nauka, The designer's reference book. Volume II. PVC win-

1970; 940. (rus.). , 0 . „ . , T .

T„T , t™4 . . dow structures. Saint-Petersburg, Interregional Insti-

20. Boriskina I.V., Shvedov N.V., Plotnikov A.A. 6 6

Modern translucent structures of civil buildings. tute of the Window, 2005; 320. (rus.).

Received September 28, 2021.

Adopted in revised form on November 22, 2021.

Approved for publication on November 22, 2021.

Bionotes: Ivan S. Aksenov — lecturer of the Department of Design of Buildings and Structures; Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU); 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; ID RISC: 1037239, Scopus: 57209195917, ResearcherID: AAF-6118-2021, ORCID: 0000-0003-0689-3498; [email protected];

Aleksandr P. Konstantinov — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Associate Professor of the Department of Design of Buildings and Structures; Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU); 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; ID RISC: 955350, Scopus: 57201183847, ResearcherID: V-2172-2018, ORCID: 0000-0001-6093-8496; [email protected].

Contribution of the authors:

Ivan S. Aksenov — development of the methodology, writing the source text, final conclusions. A.P. Konstantinov — conceptualization, scientific guidance, final conclusions, revision of the text.

The authors declare that they have no conflicts of interest.

< П

iH G Г

S 2

0 w

n CO

1 s

У ->■

J to

^ I

n °

S> 3

0 S

01

n)

(f) t -

E w

i N

П 2 S 0

s

r 6 t °

• )

ii

i ®

л *

e> n

■ т

s □

(Л У

с о <D X