CC BY
39
УДК 519.86
АНАЛИТИЧЕСКИМ И КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНЫЙ АНАЛИЗ ПАРАМЕТРОВ КОЛЕБАНИЙ В СТЕРЖНЕ С ПОВРЕЖДЕНИЕМ
© 2010 г. В.А. Акопьян *, А.В. Черпаков **, А.Н.
*НИИ механики и прикладной математики им. И.И. Воровича ЮФУ, г. Ростов-на-Дону ** Ростовский государственный строительный университет ***Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт) ****Южный научный центр РАН, г. Ростов-на-Дону
Соловьев*, А.Н. Кабельков***, С.Н. Шевцов**** *Research Institute of Mechanics and Applied Mathematics of Southern Federal University **Rostovskiy State Building University ***South-Russian State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute) ****South Scientific Center RAS, Rostov-on-Don
На основе аналитической модели стержня с надрезом, смоделированным в виде упругого элемента, и конечно-элементного модального анализа его параметров и форм колебаний были получены частотные зависимости изгибных колебаний от местоположения и коэффициента жесткости упругого элемента, эквивалентного глубине надреза. Установлено, что максимальное падение значений собственных частот при увеличении глубины надреза, связанное с его местоположением в стержне, имеет место только для 1-й, 3-й и 4-й мод колебаний. Изломы на графиках форм колебаний этих мод подтвердили эту характерную особенность с высокой степенью достоверности. Этот фактор является надежным признаком идентификации местоположения повреждения в стержне, который может быть использован как базис для методики диагностики повреждений в стержневых ферменных конструкциях.
Ключевые слова: упругий элемент; коэффициент жесткости; повреждения; стержень; диагностика.
On the base of the analytic bar model with incision and finite element modal analysis its oscillation parameters and shapes, there have been obtained the frequency dependences of bending oscillations on location and rigidity coefficient of the elasticity element equivalent to the incision depth. It has been stated, that a maximal decrease of the eigenfrequencies at the increase of the incision depth connected with his location in the bar takes place only for 1st, 3th and 4th oscillations modes. The breaks at the graphs of the oscillation shapes of these modes have confirmed this characteristic feature with high degree of the reliability. This factor is reliable sign of location identification for the damage in the bar, which could be used as a basis for the diagnostic method of damage in the bar frame construction.
Keywords: elasticity element; rigidity coefficient; damage; bar; diagnostic.
Введение
Публикации последних лет, посвященные исследованию и моделированию процессов динамического деформирования и предразрушения в упругих системах, были посвящены моделированию как простых структур (балки, стержни, трубы и др.) [1], так и конструкций циклического типа (фермы, каркасы зданий гражданского назначения, башни и т.п.). При этом исследования колебательных процессов в таких структурах проводились, в основном, с целью создания надежных критериев предразрушения, а также базирующихся на них систем диагностики и мониторинга технического состояния.
В работах [2 - 6] трещина моделировалась сосредоточенным элементом с присущей ему изгибной жесткостью (аналог пружины). Использовался также метод конечных элементов (МКЭ). В качестве диагностического признака наличия повреждения и его местоположения принимался скачок на зависимостях «механический импеданс - местоположение повреждения конструкции». Авторы работ отмечают, что точность локализации трещин малой глубины при использовании такого подхода недостаточна и поэтому рекомендуют его только для грубой оценки местоположения трещин в балках. В работах В.В. Матвеева, А.П. Бовсуновского и др. [7, 8], посвященных иден-
тификации повреждений в стержнях, показано, что изменение собственной частоты стержня с трещиной существенно зависит от длины трещины, однако отмеченный выше признак локации повреждения (скачок на зависимостях механического импеданса) не был подтвержден экспериментально.
В более поздних работах этих и других авторов [9, 10] был предложен подход к идентификации повреждений в стержнях, основанный на корреляции пересечений на графиках зависимостей «резонансная частота - длина трещины» с местоположением трещины. В [11] был предложен аналитический метод расчета вибродиагностического параметра, полученного при колебаниях поврежденного упругого тела, базирующийся на регистрации его субгармонических резонансов.
Проблемы идентификации состояния предразру-шения при колебаниях сложных структур, в частности, конструкций циклического типа, привлекли внимание исследователей только в последнее десятилетие. Так, В.А. Постновым [11] было получено аналитическое решение задачи о связи повреждений с параметрами спектров колебаний упругой системы типа балки, которое можно использовать для более сложных структур. К сожалению, предложенный метод, использующий итерационный алгоритм при расчетах, требует получения большого объема данных о спектре
колебаний конкретных структур, получаемых в весьма трудоемких экспериментах, и не является достаточно общим. Несмотря на это, полученное в [12] аналитическое решение для сложных структур может быть применимо при грубых оценках параметров повреж-денности. Известен ряд других работ, посвященных идентификации повреждений в ферменных конструкциях и в их отдельных элементах на основе конечно-элементной модели структурного элемента и его модального анализа. В частности, M. Dado and O. Shpli [13] предложили новый подход, связанный с сокращением числа модальных данных при использовании метода предсказания значений собственных частот (eigenvector projection method). К этому необходимо добавить, что в [13] используется соотношение для податливости, отличающееся от известной функции локальной податливости (S. Paipets and A.D. Dima-rogonas [2]) только численным значением коэффициентов. Причина расхождений коэффициентов в [13] не была рассмотрена.
Ранее была опубликована другая работа [14], посвященная решению задачи идентификации повреждений в связанной пространственной ферменной конструкции, в которой был предложен двухстадийный диагностический подход, включающий в себя метод детектирования с помощью изменений форм мод колебаний MBDD (a mode shape - based damage detection) и анализ чувствительности к повреждениям собственных частот. Перспективность такого подхода была подтверждена сравнением результатов аналитического расчета и экспериментальных данных. Несмотря на это, предложенная методика имеет ограничение, связанное с идентификацией трещин малого размера.
К публикациям, связанным с моделированием повреждений и разработкой параметров оценки степени поврежденности вплотную примыкают работы по технической диагностике объектов, в состав которых входят несущие конструкции ферменного и смешанного типов. В частности, в обзоре A. Del. Grosso и F. Lanato [15] отмечено развитие исследований последних лет, направленных на определение надежности, остаточного срока службы зданий и сооружений и их мониторинга. Это направление получило название Structure Health Monitoring (SHM). В проблеме SHM ключевое место занимает решение задач по моделированию колебаний поврежденных сложных составных систем, идентификации трещин и их локации. Причем такие задачи рассматриваются как для составных систем, так и отдельных элементов конструкций. В обзоре [15] особо выделено, что наиболее эффективные результаты получены при идентификации повреждений на основе модальных динамических характеристик: собственных частот и форм колебаний исследуемых структур.
Анализ перечисленных работ приводит к неизбежному выводу о необходимости исследования по-врежденности конструкций комплексным методом, включающим аналитический и конечно-элементный анализы, основывающиеся на результатах экспериментальных исследований параметров колебаний.
Цель работы заключается в определении частот и форм наиболее значимых мод колебаний, в оценке влияния на них степени и местоположения повреждения в стержне, причем параметры этих мод колебаний могут быть приняты в качестве диагностического признака идентификации повреждений в стержневых конструкциях. А также в построении метода реконструкции поперечной трещины, выходящей на поверхность несущего элемента, на основе аналитического решения для его балочной модели. Дополнительной информацией в этом методе идентификации повреждения является набор собственных частот, измеренный для поврежденного элемента. Достоверность такого подхода подтверждается сходимостью результатов аналитического и конечно-элементного анализа параметров колебаний.
Модель консольной балки с надрезом
Рассматривается консольная балка длины L прямоугольного поперечного сечения (высота h, ширина Ь) с поперечным надрезом глубиной t, расположенным на расстоянии Lc от заделки (рис. 1).
uit Я b
, Lc .. L
Рис. 1. Схема консольной балки с повреждением в виде надреза
Аналитическое моделирование поврежденной конструкции осуществлялось на основе составной балки, в которой надрез заменяли упругим элементом (пружиной) с изгибной константой жесткости К (рис. 2).
I
1
1 I ~
X
jw
3 ■
X= -L1
X= 0
X= Lf
x= l2
Рис. 2. Модель составного консольного стержня с упругим элементом: 1, 2, 3 - номера условной разбивки участков
Изгибные колебания стержня рассматривали в рамках модели Эйлера - Бернулли
_д_
дх2
EJ (х)-
д 2u
дх
+ m( х)-
д 2u
Иг
- + p( х, t) = 0,
(1)
где ui (х,t),i = 1,2,3 - смещения точек оси балки, где
нижний индекс указывает номер участка балки, как это изображено на рис. 2.; Е - модуль упругости; J (х) - момент инерции сечения; т (х) - погонная
плотность; р (х, t) - распределенная нагрузка.
Решение уравнения (1) в случае установившихся колебаний при отсутствии распределенной нагрузки и постоянных J и т, выраженное через функции Крылова (Хвх), i = 1,...4, записывается в виде:
h
Щ(х) = Спк1 (Х вх) + СпК 2 (Х вх) +
+CiзKз(k вх) + К вх)
где С^,] = 1,...4 - константы, определяющиеся граничными условиями; XВ = ю2р А14 / (Ю); ю - угловая частота гармонических колебаний; р, А, I - плотность материала, площадь сечения, длина участка балки соответственно. В точке х = LF действует гармоническая сосредоточенная нагрузка ^ = в*"'.
Начало координат системы принимается в точке расположения упругого элемента (рис. 2). Граничные условия для рассматриваемой составной балки имеют вид
x = -L1: u1 = 0; u1 = 0;
и tt in HI tt t t
x = 0: u1 = u2;u1 = u2 ;u1 = u2 ;-EJu1 = Kt[u1 -u2 ];
I I и и hi HI
X - Lp : U2 - U^; U2 - U^ ; U2 - U^ ; U2 U^ - F0 / EJ ;
X - L2 : U3
= 0; u3 = 0.
(2)
Если поврежденное состояние балки неизвестно, то краевая задача (1), (2) содержит два неизвестных параметра: изгибную жесткость поврежденного участка Kt и расстояние от заделки до точки расположения этого участка LQ. Таким образом, определение поврежденного состояния балки может рассматриваться как обратная геометрическая и коэффициентная задача идентификации двух неизвестных параметров модельной динамической системы. Для решения этой обратной задачи в качестве дополнительной информации выбирается отрезок спектра, включающий k собственных частот [ro1,...rok ] составной балки. На этапе численного исследования поврежденный стержень с надрезом моделировался как трехмерное упругое тело методом конечных элементов в ANSYS (рис. 3). При изменении глубины и расположения надреза модальный анализ позволял получать значения собственных частот.
Первым этапом задачи реконструкции повреждения является построение зависимости между глубиной трещины t и коэффициентом жесткости Kt, которая находится на основе сопоставления динамической эквивалентности аналитической модели с упругим элементом и конечно-элементной трехмерной моделью в ANSYS.
Следующим шагом является нахождение параметров Kt и Lc, которое осуществляется подстановкой найденных из эксперимента (в численном примере работы это измерение моделируется конечно-элементным расчетом) собственных частот юг- в частотный определитель А задачи (1), (2) и дальнейшей минимизации взвешенной суммы
min £k=i h |ДК-, K, Lc)|.
Kt ,LC
б
Рис. 3. Конечно-элементное разбиение модели балки с надрезом: а - общий вид; б - разбиение на конечные элементы в зоне расположения надреза
Такого рода геометрические и коэффициентные обратные задачи могут быть решены, например, с применением эволюционных алгоритмов [16, 17]. Однако возможен и другой подход, основанный на непосредственном решении системы трансцендентных уравнений
Д(<в,, Kt,Lc) - 0, i - 1...k .
(3)
Именно этот подход к анализу исследуемой системы использовался на данном этапе работы, так как давал возможность установить некоторые закономерности изменения собственных частот балки при изменении жесткости и локализации повреждения. Решение нелинейной системы (3) выполнялось в системе Maple 11.
Численные результаты
Рассматривалась обратная задача о реконструкции степени поврежденности t и его местоположения La, дополнительной информацией для решения этой обратной задачи служит спектр частот поврежденного элемента. В работе процесс измерения собственных частот моделировался решением задачи модального анализа в комплексе ANSYS, для 3D модели элемента. Алгоритм решения обратной задачи состоит из следующих шагов; вначале по «измеренным» собствен-
а
п
ным частотам восстанавливались параметры Kt и Lс с помощью решения системы (3). Была построена зависимости степени поврежденности t от жесткости К упругого элемента t (К,) на основе динамической эквивалентности аналитической и трехмерной конечно-элементной моделей поврежденного элемента. Полиномиальная аппроксимация этой зависимости представлена соотношением (4), ее графический вид представлен на рис. 4.
Т = 0,9241- 11,1К+ 152,3К2-1309,6К3 + 6815,8К 4 -
- 22247,9K5 + 46593,1K6 - 62528,8K7 +
+51961,6K8 - 24331,7K9 + 4905,7K10, (4)
где K =:
0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0
10000
-Kt
2000
4000
6000
8000 К,
ANSYS ю* =102 Гц, ю2=624 Гц, ю3=1796 Гц,
*
ю4=3599 Гц. На основе полученных частот решалась система уравнений (3) для нахождения коэффициента жесткости Kt (и тем самым степени повреждения t ) и его локации Lс. Графическая интерпретация построения зависимостей Д(ю*,К,,Lс) = 0 представлена на рис. 5 для ранее оговоренного образца. На рис. 5 в кружочке выделена точка - общее решение, удовлетворяющее всем четырем уравнениям частотных определителей. С определенной степенью достоверности можно предположить, что точка пересечения кривых 1, 2, 3 и 4 на зависимости К( Lс) (рис. 5) окрестности координаты (К=957, Lс =0,4) соответствует местоположению повреждения (надреза). Приближенная оценка влияния жесткости заделки на резонансные частоты была ранее дана в [18] и составляет ~2 %.
К
3000
2000
1000
Рис. 4. Зависимость между относительной глубиной надреза t и коэффициентом жесткости упругого элемента К (усредненная для различных местоположений упругого
элемента)
График зависимости t (К,) (рис. 4) имеет нелинейный характер, разделяющийся на два участка. Первый из них (интервал изменения глубины надреза от 0,9 до 0,5, показанный пунктирной линией) соответствует значительным повреждениям, которые на практике не совместимы с работоспособным состоянием конструкции и в настоящей работе детально не рассматривался. На втором участке 0,5 > t > 0,1 зависимость t (К,) имеет слабонелинейный характер -с уменьшением t коэффициент жесткости К( растет, т.е. податливость стержня уменьшается. В интервале 0,4 > t > 0,1 зависимость становится практически линейной.
В качестве примера определения локации и жесткости повреждения расчетным путем рассмотрена модель с повреждением t = 0,5 и его локацией Lс = = 0,4. Вычислены первые четыре собственные частоты на основе модального анализа в КЭ комплексе
0,2 0,4 0,6 0,8
1,0 L„
Рис. 5. Кривые частотных определителей системы: 1 -Д(ю1*,К,,Гс) = 0; 2-Д(ю2*,К,Хс) = 0 ; 3 - Д(ю3*,К,,4) = 0 ; 4 - Д(ю4*,К,,Гс) = 0
Для выявления степени чувствительности частот при различном расположении упругого элемента в численных расчетах принимали коэффициент жесткости равным К = 1; 250; 1000; 10000; 50000. Местоположение упругого элемента изменялось с шагом, равным 0,1 общей длины стержня Lс = (0:0.1:1) L .
Результаты расчетов представлены на графиках зависимостей приведенных собственных частот колебаний Ю1 (Lс ) = юг- (Lс ^юг0 (рис. 6), где ю0 - собственные частоты неповрежденной балки, для соответствующей 1-й моды колебаний.
Анализ полученных результатов
Анализ частотных зависимостей ю1 (Lс) для 4-х собственных частот (рис. 6) показал следующее. Исследованные собственные частоты колебаний сложным образом зависят от местоположения упругого элемента (МУЭ) и его коэффициента жесткости К,.
1
0
В частности, в одних интервалах МУЭ значения частотных зависимостей (рис. 6) видно, что МУЭ Lс
собственных частот падают при уменьшении коэффи- по разному влияет на различные собственные часто-
циента жесткости К этого элемента. В ряде других ты. Для количественной оценки этой особенности
точек МУЭ жесткость упругого элемента не влияет на графики этих зависимостей были обработаны. Резуль-
значения собственных частот. Кроме того, из характера таты этой обработки приведены в табл. 1
ю-,
Рис. 6. Зависимость относительного изменения собственных частот изгибных колебаний стержня от локации Ьс и коэффициента жесткости К, упругого элемента: а - г - соответственно для 1-й, 2-й, 3-й, 4-й собственных частот
б
а
в
г
Таблица 1
Местоположение упругого элемента при наибольшем изменении частоты для различных собственных частот
№ собственной частоты Границы интервала местоположения упругого элемента Ьс (величина относительного уменьшения собственной частоты в соответствующем интервале)
1 0,01 / (0,96 Sj) 0,2-0,3 / (0,93 S1) - -
2 0,02-0,06 / (0,27 S2) - - 0,57- 0,85 / (0,78 S2)
3 0-0,05 / (0,17 ю3) 0,28-0,31 / (0,29 ю3) - 0,73-0,92 / (0,58 ю3)
4 0-0,03/ (0,10 ю4) 0,20-0,23 / (0,22 ю4) 0,5 / (0,26 ю4) 0,81-0,95 / (0,45 ю4)
Примечание. Уменьшение собственных частот определено относительно исходного значения соответствующей собственной частоты неповрежденного стержня (на рис. 6 показано двойной линией).
Анализ табличных данных позволил выявить ряд особенностей в характере частотных зависимостей
<Ю (4):
- наибольшее падение собственных частот колебаний имеет место для трех обособленных интервалов разброса МУЭ: первого, достаточно узкого (Lс = = 0,20 ... 0,31) и двух широких (Ьс = 0,45 - 0,55; Ьс = = 0,73 ... 0,95), причем в узком интервале первая собственная частота падает на значительную величину (0,93 Ю1), а 3-я и 4-я уменьшаются на 0,29 ю3 и 0,22 ю4 соответственно. Во втором широком интервале наблюдается падение 4-й собственной частоты на 0,26 ю4. В 3-м широком интервале разброса
(Lс =0,73 ... 0,95) значения всех четырех собственных
частот в разной степени падают.
- кроме упомянутых выше особенностей вблизи защемления стержня (Lс = 0,02.0,05) зарегистрировано небольшое падение (0,1 ...0,27 ю1) для 2-4-й собственных частот, в то время как для 1-й моды частота падает до 0,96 Ю1.
Таким образом, из обработанных данных следует, что наиболее чувствительными к местоположению упругого элемента (т.е. повреждения) являются 1-я, 3-я и 4-я моды колебаний. Это следует из того, что в первом узком интервале падение 1-й собственной частоты достигает 0,92 Ю1 (относительно частоты
стержня без повреждения, для которого коэффициент упругости Кгн > 50000). В этом же интервале МУЭ 3-я и 4-я собственные частоты мод колебаний уменьшаются на 0,29 ю3 и 0,22 ю4 соответственно. В отличие от этого в 3-м интервале МУЭ (Lс =0,73 - 0,95) частоты 3-й и 4-й мод колебаний падают в два раза больше: 0,58 ю3 и 0,45 ю4. Из этого следует, что наиболее чувствительными к МУЭ к местоположению повреждения являются 1-я, 3-я и 4-я моды колебаний.
Для выяснения причины различного характера зависимостей ю1 (Lс) для 2-й собственной частоты от таких же зависимостей для большинства других собственных частот был проведен модальный анализ колебаний исследуемой модели, по результатам которого были получены формы колебаний для всех четырех собственных частот этой модели (рис. 7).
Сопоставление интервалов, в которых наблюдается наибольшее изменение собственных частот с местоположением пучностей на соответствующих частотах, приведено в табл. 2.
Анализ форм колебаний (рис. 7) показал, что пучность колебаний у 2-й собственной частоты расположена в точке Lс(2) = 0,48, а у 3-й - при Lс(3) = 0,28 и
Lс(3) = 0,7. У 4-й собственной частоты пучности расположены при Lс(4) = 0,22, Lс(4) = 0,5, L(.,V) = 0,78.
а б в г
Рис. 7. Формы различных мод колебаний стержня с упругим элементом с коэффициентом жесткости К, = 10000 (условно не поврежденный, изображен сплошной линией) и К, = 10 (поврежденный, изображен пунктиром). Местоположение упругого элемента Ьс = 0,25: а - первая [<»1(К,= 10000) = 107,2 Гц; ю^К, = 10) = 21,3 Гц]; б - вторая [ю2(К, = 10000) = 676,2 Гц; ю2(К, = 10) = 139,4 Гц]; в - третья [ю3(К, = 10000) = 1875 Гц; ю3(К, = 10) = 1394 Гц]; г - четвертая [ю4(К, = 10000) = 3672 Гц;
ю4(К, = 10) = 3114 Гц]
Таблица 2
Интервалы местоположения упругого элемента при наибольшем изменении частоты и соответствующих точек пучности при прогибе балки
№ собственной частоты Границы интервала местоположения упругого элемента / (величина относительного уменьшения значений собственных частот в первом узком интервале) Расположение пучностей вдоль длины стержня Ьс (к)
3 0,28 - 0,31/(0,71 - 0,92) 0,28; 0,7
4 0,20 - 0,23/ (0) 0,22; 0,5; 0,8
Другая особенность - наличие изломов на кривых форм колебаний именно в интервале МУЭ Lс =0,20 -- 0,31, отчетливо наблюдаемая на 1-й, 3-й, 4-й модах колебаний. На формах колебаний стержня без повреждений таких изломов нет (показаны сплошной линией на рис. 7).
Сопоставление интервала МУЭ, в котором наблюдается как существенное падение сразу трех собственных частот 1-й, 3-й и 4-й мод колебаний, так и изломы на кривых графиков форм колебаний (рис. 7), дают основание для предположения о том, что это максимальное падение собственных частот этих мод является признаком идентификации местоположения повреждения в стержне.
Для дополнительной проверки этого предположения были сравнены значения резонансных частот, полученные двумя методами для случаев местоположения надреза (повреждения) Lс =0,1 и 0,31 и глубиной надреза 7 = 0,5.
Оценка сходимости результатов расчета резонансных частот колебаний аналитическим и конечно-элементным методами показало, что при расположении надреза (повреждения) Lс =0,1; 0,3 и его глубине t =0,5 наименьшее расхождение наблюдается у 1-й, 2-й и 3-й мод колебаний, в то время как у остальных мод колебаний имеется существенное расхождение рассчитанных значений частот. Это следует из сравнительных данных, приведенных в табл. 3 и 4
Аналогичные данные для Lc =0,1; 0,3 и глубин t = = 0,1 - 0,4 не приведены, так как величины расхождений значений частот, полученных разными методами мало отличаются от приведенных в табл. 3, 4.
Таким образом, приведенная выше оценка дает основание считать, что надежным признаком идентификации местоположения повреждения в стержне является существенное падение 1-й, 3-й и 4-й частот колебаний. Факт падения собственной частоты 2-й моды не может быть принят в качестве признака идентификации из-за того, что как на зависимостях
юi (L.), так и на графиках форм колебаний особенность, связанная с МУЭ не проявилась.
Изложенный выше подход к решению задач идентификации и реструктуризации повреждений в стержнях отличается от известных решений, предложенных ранее S.A. Paipetis и A.D. Dimaragonas [2], Y. Bamnios et al [5], В.В. Матвеевым и О.А. Бовсуновским [10] тем, что здесь в основу предлагаемого способа заложен не только амплитудно-частотный критерий, но и модальный, в частности изломы на графиках форм колебаний , а также повторяемость некоторых особенностей - наибольшее падение значений 1-й, 3-й и 4-й собственных частот колебаний в одном и том же узком интервале локализации повреждения.
Это означает, что предложенный подход может быть важным дополнением к известным с целью повышения степени достоверности результатов идентификации повреждений на ранних стадиях предразру-шения при глубине надреза менее t <0,5.
Таблица 3
Резонансные частоты колебаний стержня с надрезом при его местоположении Ьс = 0,1 и глубиной t = 0,5
Метод решения Частоты резонансов различных мод, Гц
1 2 3 4 5 6 7
Конечно-элементное решение 91,5 642 1857 3625 5861 8403 11345
Аналитическое решение 91,8 644 1877 3709 6039 8774 12068
Расхождение значений частот, % -0,3 -0,3 -1,1 -2,3 -3,0 -4,4 -6,4
Таблица 4
Резонансные частоты колебаний стержня с надрезом при его местоположении Ьс = 0,3 и глубиной ? = 0,5
Метод решения Частоты резонансов различных мод, Гц
1 2 3 4 5 6 7
Конечно-элементное решение 99,7 659 1729 3538 5874 8198 11567
Аналитическое решение 99,3 662 1740 3611 6077 8487 12275
Расхождение значений частот, % 0,4 -0,5 -0,6 -2,1 -3,5 -3,5 -6,1
В известных моделях [3 - 6, 9] на этой стадии по-врежденности можно получить только приближенные грубые оценки. При t >0,5 исследованная нами модель некорректна, это ясно из физической интерпретации колебаний стержня с надрезами большой глубины.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проекты № 10-08-00093а, 10-08-13300-РТ.ОМИ)
Литература
1. Doebling S.W., Farmer C.R., Prime H.B. A summary review of vibration-based damage igentification methods // The Snock and vibration Digest. 1998. Vol. 30(2). P. 91 - 100.
2. Paipetis S.A., Dimarogonac A.D. Analytic Methods in Rotor Dynamics. London, Elsevier Applied Science. 1986.
3. Gounaris G., Dimarogonac A.D. A finite element of a cracked prismatic beam for structural analysis // Computer and structures. 1988. Vol. 28. P. 309 - 313.
4. Chondros T.G., Dimarogonac A.D. Identification of cracks in welded joints of complex structures// J. of Sound and Vibration. 1980. Vol. 69. P. 531 - 538.
5. Bamnios Y., Douka E., Trochidis. Crack identification in beam structures using mechanical impedance // J. of Sound and Vibration. 2002. Vol. 256(2). P. 287 - 297.
6. Матвеев В.В. К анализу эффективности метода спектральной вибродиагностики усталостного повреждения элементов конструкций. Сообщение 1: Продольные колебания, аналитическое решение // Проблемы прочности. 1997. № 6. C. 5 - 20.
7. Матвеев В.В., Бовсуновский А.П. К анализу эффективно-
сти метода спектральной вибродиагностики усталостного повреждения элементов конструкций. Сообщение 2: Из-гибные колебания. Аналитическое решение // Проблемы прочности. 1998. № 6. C. 9 - 22.
8. Matveev V.V., Bovsunovsky A.P. Vibration-based diagnostics
of fatigue damage of beam-like structures // J. Sound Vibration. 2002. Vol. 249, № 1. P. 23 - 40.
9. Акопьян В.А. Деформационный критерий предразрушаю-
щего состояния элементов ферменных конструкций и
Поступила в редакцию
акустоэмиссионно-резонансная методика на его основе// Дефектоскопия. 2009. № 3. С. 24 - 31.
10. Матвеев В.В., Бовсуновский О.А. Приближенное аналитическое определение вибродиагностических параметров упругого тела с трещиной при субгармоническом резонансе. Сообщение 1: Слабый резонанс // Проблемы прочности. 2008. № 2. C. 26 - 40.
11. Постнов В.А. Определение повреждений упругих систем путем математической обработки частотных спектров, полученных из эксперимента // Изв. РАН. Механика твердого тела, 2000. № 6. С. 155 - 160.
12. Mohammad R., Banan, Yousef Mehdi - Pour. Detection assessment of damage in 2D structures using measured modal response// J. of Sound and Vibration. 2007. Vol. 306. № 3 - 5. P. 803 - 817.
13. Mohammad H.F. Dado, Omar A. Shpli. Crack parameter estimation in structures using finite element modeling // Intern. Journ. Solid and Structures. 2003. Vol. 40. P. 5389 -5406.
14. Jiaru Qian, Xiaodeng Ji, Youlin Xu. Two-stage damage diagnostic approach for steel braced space frame structures// Engineering structures. 2007. Vol. 29, № 12. P. 3277 -3292.
15. Grosso A. Del., Lanato F. A critical review of recent advances in monitoring data analysis and interpretation for civil structures// Proc. Of Four European Conf. of Struct. Control. Saint-Peterburg. 2008. Vol. 1. P. 320 - 327.
16. Harmonical and Modal Analysis to Determine the Anisot-ropic Properties of Aviation Composite Materials/ V. Acop-yan [et al.] // Journal of KONES (Warszawa). Vol. 14, № 3. P. 11 - 18.
17. Application of Genetic Algorithms to Resolving of Inverse Coefficient Problems for Deformable Bodies with Complicated Structural, Physical and Mechanical Properties / A.N. Soloviev [et al.] //Proc. on the 2nd International Conference on Experiments/Process/System Modeling/Simulation & Optimization, (Athens, Greece), 2007. P. 314 - 319.
18. Сафина Г.Ф., Зарипова Л.И. Сохранение заданного диапазона частот асимметричных колебаний цилиндрической оболочки // Контроль. Диагностика. 2009. № 8 (134). С. 29 - 35.
4 июня 2010 г.
Акопьян Владимир Акопович - канд. техн. наук, ведущий научный сотрудник, НИИ механики и прикладной математики Южного федерального университета. Тел. (863) 297-52-25. E-mail: akop@ms.math.rsu.ru Черпаков Александр Владимирович - ассистент, Ростовский государственный строительный университет. Тел. (86350) 57059. E-mail: alex837@yandex.ru
Соловьев Аркадий Николаевич - докт. физ.- мат. наук, зав. кафедрой, Донской государственный технический университет. Тел. (863) 2381509. E-mail: soloviev@math.rsu.ru
Кабельков Александр Николаевич - зав. кафедрой, Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт). Тел. (863)525-54-44. E-mail: prof_kan@mail.ru Шевцов Сергей Николаевич - д-р техн. наук, профессор, Южный научный центр РАН. Тел (863) 273-85-96. E-mail: aerondstu@list.ru
Akopyan Vladimir Akopovich - leading earch assistant, Research Institute of Mechanics and Applied Mathematics of Southern Federal University. Ph. (863) 297-52-25. E-mail: akop@ms.math.rsu.ru
Cherpakov Aleksandr Vladimirovich - assistant, Rostov State Building University. Ph. (863)505-70-59. E-mail: alex837@yandex.ru
Solovev Arkadiy Nikolaevich - head of department, Donskoy State Technical University. Ph. (863) 238-15-09. E-mail: soloviev@math.rsu.ru
Kabelkov Aleksandr Nikolaevich - head of department, South-Russian State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute). Ph. (863)525-54-44. E-mail: prof_kan@mail.ru
Shevtsov Sergey Nikolayevich - Doctor of Technical Sciences, professor, South Scientific Center RAS. Ph. (863) 273-85-96. E-mail: aerondstu@list.
