Аналитические поверхности с синусоидальной образующей Текст научной статьи по специальности «Нанотехнологии»

УДК 5)4.75

АНАЛИТИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ С СИНУСОИДАЛЬНОЙ ОБРАЗУЮЩЕЙ С.Н.Кривошапко, С.М. Халаби, Се Цзян

В настоящее время на кафедре сопротивления материалов РУДН ведется научная работа по сбору материалов для энциклопедии аналитических поверхностей, где будут собраны сведения по геометрии всех известных аналитических поверхностей и даны рекомендации по применению этих поверхностей в строительстве, машиностроении и других отраслях народного хозяйства.

Для расчета на прочность пространственных тонкостенных конструкций, спроектированных на основе поверхностей, вошедших в энциклопедию, будут предложены хорошо зарекомендовавшие себя аналитические и численные методы расчета или предложены новые методы расчета, разработанные научнопедагогическим коллективом кафедры. Уже имеются сведения о 300 поверхностях, которые можно объединить в 25 классов.

При исследовании поверхностей установлено, что мало внимания уделяется поверхностям с синусоидальной образующей, хотя они могут быть приняты за основу при проектировании различных сооружений и могут дать интересные архитектурные образы.

Например, вращая общую синусоиду г = а%т(пкх/К + ж/2) = асо&(ппх/Н) вокруг оси Ог, получаем поверхность вращения, показанную на рис. 1.

Эта поверхность вращения может быть задана в явном виде

с коэффициентами основных квадратичных форм поверхности и ее главными кривизнами:

Кафедра сопротивления материалов Российский университет дружбы народов, 117 ¡98 Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6

Рис. 1

х = x(r,fi) = г cos/?, y = y(r,{3) = r sin/?, z = z(r) = a sin

пяг

R

А2 =1 +

R2

N =

ап л

ппг

ап2л2 . nw

ап к . пж

апп ппг

reos

R

rAR R ’

eos

AR

Параллели ¡3 и меридианы г поверхности вращения общей синусоиды совпадают с линиями главных кривизн. Поверхность вращения общей синусоиды имеет кольцевые участки как положительной гауссовой кривизны, так и отрицательной. Общая образующая синусоида по сравнению с обыкновенной синусоидой (z = siroc) вытянута вдоль оси Oz в |а| раз и

сжата вдоль оси Ох R/{nn) раз, где п - целое число, R - размер, в который укладывается целое число п полуволн синусоиды. Период функции Т = 2R/'n, точки пересечения функции с осью Ох имеют координаты [kR/n. 0].

Гофрированная поверхность вращения общей синусоиды X = a sin(плг /b)+ с вокруг оси Oz содержит также участки как положительной, так и отрицательной гауссовой кривизны (рис. 2). Синусоида по сравнению с обыкновенной синусоидой (х =sinz) вытянута вдоль

оси Ох в |о| раз и сжата вдоль оси Oz Ы(пж) раз, где п - целое число, Ъ - размер, в который укладывается целое число п полуволн синусоиды.

Период функции Т = 2Ь/п. Получаемую поверхность вращения можно задать в явной

Криволинейная координатная сеть поверхности отнесена к линиям главных кривизн Д г. На рис. 2 показана гофрированная поверхность вращения обычной синусоиды при а < с, на рис. 3 - при а > с, на рис. 4 - при с = 0, а на рис. 5 показана поверхность вращения при а = с. Поверхности вращения, показанные на рис. 2; 3 и 5, имеют участки положительной и отрицательной гауссовой кривизны. Поверхность вращения, представленная на рис. 4, - поверхность положительной гауссовой кривизны.

рической форме задания:

х = x(z, /З) = r(z) cos jв, у = y(z, ¡З) = r{z) sin у3, z(z) = z,

где г = r(z) = a sin-----1-с. Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности

Ь

(рис. 2) и ее главные кривизны можно записать в виде:

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Можно построить прямой синусоидальный коноид, который образовывается движением прямой, пересекающей неподвижную прямую и неподвижную направляющую синусоиду (рис. 6). Образующая прямая остается параллельной фиксированной плоскости (плоскости параллелизма). Причем фиксированная плоскость перпендикулярна плоскости, в которой находится направляющая синусоида и перпендикулярна фиксированной прямой (оси коноида). В этом случае поверхность будет иметь явную форму задания в виде:

z = •

1-х

I

asm

fл пяул

2+~Г

+ с

I — х ( плу л a cos--------------+ с

I

\

/

где а - амплитуда синусоиды; п - число целых полуволн синусоиды, помещающихся на отрезке длиной Ъ\ I - расстояние от оси коноида до плоскости с направляющей синусоидой. Направляющая синусоида расположена в плоскости х = О, ось коноида совпадает с координатной линией х = I. В сечении прямого синусоидального коноида плоскостью х = d ~ const лежит синусоида с амплитудой а{1- d)/l, которая в сечении х ~ d = / вырождается в прямую - ось коноида. Плоскость параллелизма задается уравнением у = у о = const.

Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности i \2 /,

А2=1+\

Iі

плу a cos-------+ с

/

г _ (1-х)апл плу

уч ~ sin

l2b b

с+a cos

плу

\

п2 , Q-X) а п л ,2 плу В =1+---------------sin ——,

2 7.2

ГЪ

A2B2-Fl^Ai+Bl-\, Z = О, М =

-ап л (1-х) плу N =------- _ - cos-

апл

sm

плу

ІЬлІА2 +В2 - I Ъ

ь2Ыа2+в2- 1 ь

показывают, что криволинейные координатные линии у = const совпадают с прямолинейными, образующими поверхности, а координатные линии у = 0 + ib/n,

Рис. 6 Рис. 7

где / - целые числа, являются также и линиями кривизны поверхности коноида. Ось прямого синусоидального коноида пересекает все криволинейные координатные линии х под прямым углом, но она не является линией кривизны. На рис. 6 показан прямой синусоидальный коноид, который накрывает прямоугольный план 2Ь х 2. с торцов поверхность ограничена осью коноида и направляющей синусоидой: с > а, п = 3; 0 < X < I. На рис. 7 коноид имеет с = 0.

Поверхности переноса - еще один интересный класс поверхностей, где можно в качестве образующей кривой принять синусоиду. Рассмотрим поверхность переноса синусоиды г = -с%т(ср + птгу/сГ) + сыщ, где п - число целых полуволн, содержащихся на участке длиной с1, по плоской параболе 2 = -а{х - Ь)2 + аЬ2. Синусоида и парабола должны лежать во взаимно перпендикулярных плоскостях.

Поверхность переноса синусоиды по параболе содержит участки как положительной, так и отрицательной гауссовой кривизны.

В явной форме поверхность задается уравнением (рис. 8):

Рис. 9

Рис. 10

Рис. 8

ту 2 ■с cos—- + ab +с. d

г = г(х,у) = -а( х-Ь)

Если принять, что 0 < X < 2Ъ, а

0 <у<с1, то поверхность будет перекрывать прямоугольный план 2Ь х

г < аЪ2 + 2с.

В сечении поверхности переноса плоскостью г = /г будут лежать две кривые

h

(

1-cos

птсу

V

У

х = Ь±1Ьл-~ + -Ч а а{

Например, если принять г = к = аЬ2, то уравнение линий пересечения плоскости с поверхностью переноса будет иметь вид:

х = Ь± л/2~сТа эт [плу /(2бГ)], ( рис. 9). На рис. 10 показаны линии пересечения

поверхности переноса с плоскостью г = /г = 0. Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности принимают вид:

А2 =1 + 4а2{х-Ъ)г, F =-2аспп

х~ Ь плУ

~7~

sm-

„2 . Сгп2К2 . 2 ппу

В =1 +--------Г— SU1 —

L =

-2а

л/А2+В2 -1

, М = 0, JV =

сп2 л2

d2^A2+B2-\

cos

d2

ппу

К =

2асп2п2

d (А + В -1 у

-cos

ппу

Поверхность переноса отнесена к неортогональ-ной сопряженной системе криволинейных координат х, у. Только координатные линии у - 0 + кс!/п (к = 0; п) пересекают линии у под прямыми углами. Координатная линия х = Ъ тоже пересекает линии х под прямым углом. В качестве разновидности поверхности переноса синусоиды по параболе можно рассмотреть поверхность, показанную на рис. 11. Ее явное уравнение имеет вид:

Рис. 11

1

z — z(x,y) ~ -а{х-

,ч2 • ПЩ/ ,2

■b) + csin------------н ab

Рис. 12

Синусоиды можно использовать в, так называемых, велароидальных поверхностях, которые характеризуются тем, что их прямоугольный контур лежит на плоском прямоугольном плане. Синусоидальный велароид, очерченный по поверхности (рис. 12)

пх Tty

z = / sm—sin—-, a b

имеет максимальную стрелу подъема / в точке с координатами х = а/2; у = Ы2. В сечениях синусоидального велароида плоскостями у = с = const получаются синусоиды с амплитудами fc = fsm{nc/b), причем fc<f а в сечениях у = 0 и у = Ъ имеем f = 0. Аналогично в сечениях велароида плоскостями х = d = const получаются синусоиды с амплитудами f¡¡ = fsin(7td/a), причем fd <f а в сечениях х = 0 и х = а имеем f¿¡ = 0. Возможно применение этого типа поверхностей для мягких надувных оболочек.

И, наконец, синусоиду можно принять как направляющую кривую для прямой или наклонной цилиндрической поверхности. Синусоидальная цилиндрическая

поверхность образовывается движением прямой, пересекающей заданную плоскую

i синусоиду (рис. 13), Причем прямолинейные образующие в своем движении все время остаются перпендикулярными к плоскости, в которой расположена синусоида. Рис. 14 Явная форма задания:

Рис. 13

- - у = asin(nnx / b),

где п - число целых полуволн синусоиды, помещающихся на участке шириной Ъ\ а ~ амплитуда синусоиды. Направляющая синусоида имеет период Т =2Ып.

Коэффициенты основных квадратичных форм поверхности и ее главные кривизны:

.2 , а1п1пг 2пл „ _ п - г апгл2 . пл ~ '

А = 1-)----- —cos —х, F = 0, В = 1, L-----------------sin-—х, M = N = 0,

b2 Ъ АЬ Ъ

ап2л2 . пл . .

кг - к =—г-т-sin—х, к=к-,= 0, К- 0.

1 А3Ь2 Ъ 1 2

Поверхность задана в линиях кривизн х и z. В сечениях синусоидальной цилиндрической поверхности плоскостями z = xtgtp + с будут синусоиды с увеличенным по сравнению с направляющей синусоидой периодом Т9 = T/cosp. Амплитуда синусоид в сечениях останется прежней и равной а. В сечениях цилиндрической поверхности плоскостями z = const будут направляющие синусоиды. Линии пересечений цилиндрической поверхности с плоскостями х = const будут совпадать с прямолинейными образующими этой поверхности.

Эта поверхность может использоваться в качестве ограждающих конструкций сооружений (рис. 13) или в качестве покрытий (рис. 14).

ANALYTICAL SURFACES WITH SINUSOIDAL GENERATRIX

S.N.Krivoshapko, S.M.Halabi, Xie Jiang

Department of Strength of Materials,

Peoples’ Friendship University of Russia,

Miklukho-Maklaya Sir., Moscow, 117198, Russia

Six types of analytical surfaces with sinusoidal generatrixes are presented in the paper. The Gaussian quantities of the first and second order in the theory of surfaces and principal curvatures of the surfaces are calculated. The presented will be a part of contents of an encyclopaedia of analytical surfaces.

Кривошапко Сергей Николаевич (1948 г. рожд.) окончил РУДН в 1972 году. Докт. техн. наук, профессор, зав. кафедрой сопротивления материалов. Автор более 100 научных работ, в том числе монографии, 2 справочников, учебника и 11 учебно-методических пособий.

S.N.Krivoshapko (b. 1948) received his Dipl-Eng in Civil and Industrial Engineering from the Peoples’ Friendship University of Russia in 1972. He is DSc (Eng), Professor of Engineering Mechanics, Head of Department of Strength of Materials. He is the author of approximately 100 publications including monograph, two reference books, one textbook, 11 manuals of strength of materials and of shell theory.

Халаби Салем Махмуд (1963 г. рожд.) окончил РУДН в 1992 году. Магистр техн. наук, старший преподаватель кафедры сопротивления материалов. Автор более 16 научных работ.

S.M.Halabi (b. 1963) received his Dipl-Eng in Civil and Industrial Engineering from the Peoples’ Friendship University of Russia in 1992. He is MSc (Eng) senior teacher of Strength of Materials. He is the author of approximately 16 publications.

Се Цзян (Китайская Народная Республика) (1982 г. рожд.) - студент 2 курса инженерного факультета РУДН. Принимает участие в деятельности студенческого научного общества по секции «Теория оболочек».

Xie Jiang (China) (b. 1982) is a second-year student of Engineering Faculty of the Peoples’ Friendship University of Russia. He takes part in the work of Student Scientific Society of the University in the section “Shell Theory”.