Аналитические модели и динамические характеристики исполнительной системы малогабаритного роботизированного комплекса Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.313.333; 621.865

АНАЛИТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И ДИНАМИЧЕСКИЕ

ХАРАКТЕРИСТИКИ ИСПОЛНИТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ МАЛОГАБАРИТНОГО РОБОТИЗИРОВАННОГО КОМПЛЕКСА

А.В. Новиков, А. А. Столяров, С.И. Мельник

Рассмотрена исполнительная система малогабаритного роботизированного комплекса. Предложена математическая модель исполнительной системы, включающая в себя уравнения движения механизма манипулятора и приводов его степеней подвижности. Формализована линейная модель привода, справедливая для следящих систем на двигателях постоянного тока. Определены динамические характеристики исполнительной системы роботизированного комплекса.

Ключевые слова: роботизированный комплекс, двигатель постоянного тока, модель привода, динамические характеристики.

Исполнительная система малогабаритного роботизированного комплекса (МРК), как правило, представляет собой систему многомерных многосвязанных приводов, каждый из которых обеспечивает движение одной из степеней подвижности манипулятора.

Математическая модель исполнительной системы, включающая в себя уравнения движения механизма манипулятора и приводов его степеней подвижности, рассмотрена в ряде работ [1 - 3]. Однако исследование частотных характеристик и обобщенных показателей модели исполнительной системы МРК представляет определенный интерес.

Ограничимся рассмотрением приводов на базе электродвигателей постоянного тока. Методика составления и анализа математической модели исполнительной системы, в общих чертах, сохраняется для различных типов силовых агрегатов.

Рассмотрим математическую модель двигателя постоянного тока. Уравнения двигателя в операторной форме имеют следующий вид:

(Ьр + Шя ) = у - кю рх, р = 4, (1)

ш

2

1 др х = км^я -т /1. (2)

Здесь х - угол поворота вала двигателя; Ь, Я - индуктивность и сопротивление цепи якоря; ¡я - ток в цепи якоря; у - сигнал управления (управляющее напряжение); 1д - момент инерции ротора двигателя; ц - момент нагрузки; I - передаточное число редуктора; кю - коэффициент противо ЭДС; км - коэффициент пропорциональности, связывающий ток и развиваемый двигателем момент.

В свою очередь, момент на валу нагрузки определяется уравнением механизма передачи движения (редуктора)

1 = (с + %p )(х / i - q), где с и % - коэффициенты жесткости и потерь на деформацию соответственно; q - угол поворота вала нагрузки.

Управляющее напряжение у(^ формируется регулятором, на вход которого подаются сигналы управления приводом g(t) с верхнего уровня управления и сигнала обратной связи. Последние вырабатываются датчиками угла q, датчиками угловой скорости q, а также датчиками момента

При использовании пропорционально интегродифференциального регулятора соотношение для у(^ может быть записано в виде [4,5]

у = 1^0 + ^ p + p ),

где ) = g^)- x(t) - сигнал ошибки; ко, ^, k2 - коэффициенты регулятора, которые должны быть определены заранее при синтезе привода.

Для улучшения динамических свойств привода в его контур вводятся корректирующие устройства. При использовании последовательного и параллельного корректирующих устройств с передаточными функциями

П( p) = M1n (p) / 2 (p) = M 2п (p) / N2п получим следующее дифференциальное соотношение, связывающее сигнал управления у(^ с ошибкой е^) и сигналом обратной связи q(t)

N p) у = М1( p)e- М2( p)q, (3)

где N (p ) = Щп (p); М1 = МЫМ 2 г; М 2 = 2 г.

Это соотношение можно рассматривать в качестве обобщенного уравнения регулятора.

Используя уравнения двигателя (1), (2), механизма передачи (2) и регулятора (3), получаем уравнение привода в виде

N (p)l = Ме (p)e- Mq ((4)

где

N (P) = [/2 (/д p 2( Lp + Я) + kм kwP)+ (с + №№ + Я)]~ p); М е (p) = 1М 1( p)kм (с + ^);

Mq (p) = (с + %p) Рм М 2 (P) + 12 (Lp + Я) + ^м PN (P).

Коэффициент оперативных полиномов Щф), М^), М^) описывающих разомкнутый привод, обуславливаются характеристиками двигателя и механизма передачи движений, которые определяются в результате энергетического расчета манипулятора на предполагаемую нагрузку и режимы движения, а также параметрами регулятора. Последние выбираются из регулировочного расчета привода, обеспечивающего его устойчивость и заданные параметры качества переходных процессов. Эти параметры могут корректироваться с учетом динамики манипуляционного механизма.

488

Уравнение /-го привода (4) при е/ (I) = gj ) - qj ) необходимо

решать совместно с уравнениями динамики механизма манипулятора. В соответствии с этими уравнениями момент ц нагрузки на валу /-го двигателя зависит как от изменения соответствующей ему обобщенной координаты так и от обобщенных координат других степеней подвижности манипулятора.

Таким образом, математическая модель исполнительной системы МРК включает в себя уравнения динамики манипуляционного механизма и уравнения привода степеней подвижности манипулятора, которые можно записать в виде одного матричного уравнения:

N(Р)| = Ме(Р)е -Мч(Р^, где N (р), Ме(р), Mq (р) - матрицы следующего вида: N (р ) = diagN|jj (р), Ме(р) = diagM(р), Mq(р) = diagMqj(р), причем / =1, ..., N- номера

степеней подвижности.

Тогда уравнения исполнительной системы можно записать в виде следующей системы дифференциальных уравнений:

А(р)р q = В^, pq)pq + СГв + |

N(р)| = Ме(р)е -Mq(р)q

е = g - q

Если задан вектор управляющих сигналов g(t), то полученная система дифференциальных уравнений определяет изменение вектора обобщенных координат q(t) в степенях подвижности манипулятора. Движение его схвата в рабочем пространстве может быть определено в функции от обобщенных координат путем решения прямой кинематической задачи.

В данном случае ограничимся рассмотрением линейной модели привода, которая вполне приемлема для следящих систем на двигателях постоянного тока с учетом малости отклонений е(^. В дальнейшем необходимо провести линеаризацию уравнений механизма с тем, чтобы использовать аппарат анализа и синтеза линейных автоматических систем.

Рассмотрение линейной модели привода заключается в линеаризации уравнений динамики манипуляционного механизма относительно некоторой опорной траектории q*(t) в пространстве обобщенных координат, обеспечивающей требуемое движение схвата (оборудования) манипулятора МРК в рабочем пространстве [2].

Для опорной траектории нелинейные матричные коэффициенты уравнения динамики становятся известными функциями времени, и это уравнение приобретает вид

А*^ В*($ ^ *+ С )^В+|1*, (5)

где А* ^) = А^* ($)), В* ^) = В^* ^), qq* (t)), С * ^) = С ($)).

Здесь индексом «*» обозначены значения коэффициентов и пере

г-* * • * • • *

менных, соответствующие опорной траектории. Значения д , д и д определяют на этапе кинематического планирования траектории. Предпо

лагается, что вектор внешних сил и моментов Г} = \FfiMв] вдоль заданной траектории также известен; в частном случае свободного движения компонентами вектора Г} являются силы тяжести звеньев, а М} = 0.

Из уравнения (5) может быть определен вектор сил и моментов который должен быть развит приводами степеней подвижности для движения по опорной траектории.

Для возмущенного движения дв (/ ) = д ^ )+Дд(/), где Ад^) - малое отклонение от опорного движения, из уравнения (5) получим Л* (д* + Дд)(д + Ад) = В(д* + Ад, д* + Ад )(д* + Ад) + С (д* + Ад) Г} + ц* + Ац.

Разложим нелинейные матричные коэффициенты А, В, С в ряд Тейлора и отбросим слагаемые, имеющие порядок малости выше первого. Тогда с учетом (5) уравнение в приращениях будет иметь вид

Л*Ад + (Лд*Ад)д* = (ВдАд)д* + (ВдАд)д* + В*Ад + С*АГ} + (С* Ад)Г} + Ац (6)

Здесь приняты следующие обозначения:

* N *

A*Dq = X Л* Dqi, i=1

* N * BqAq = X В* Dqi, i=1

* N * B*Dq = X B*i Dqi,

i=1

* N *

C*Dq = X C*i Dqi, i=1

гДе A*i =

'ЭЛл

Эq■

i Jq=

Bqi =

'ЭВЛ

q=q

3q,

1

q=q ,

. *

q=q

B*i

АЭВЛ

Эд

q=q

. *

q=q

Z~1* _

Cqi =

'ЭСЛ

Эq

i / q=,

q=q

i = 1, 2, ..., N.

Подставим теперь последние выражения в уравнение в приращениях (6) и преобразуем соответствующие слагаемые таким образом, чтобы получить произведение матричных коэффициентов и приращений Aq, Aq,

Ag . Для слагаемого в левой части уравнения получим

* * л *

(AqAq)q = Л Aq,

где Л * - матрица: Л * = A^q* Л^д* ... Aq^Nq?*)

Аналогично для остальных слагаемых будем иметь

(BqAq)q* = B*Aq,

где

*

*

7"~> * I 7"~> * • * * • * * • *

В1 = \Bq1H Bq2q ... BqNq ( в<а< )<* = В|А<,

т-» * I т-» * . * т-» * , * т-» * • *

В2 = \в<1< в<2е! ...

(С<А<& ) р* = С *А<,

л ф / ^ .л, ^ \

С Т' /О^ 1—' ; ; р^ I

= С<1РВ С!2РВ ... CqNРB } С учетом введенных обозначений уравнение в приращениях (6) можно записать следующим образом:

А*А< + А*А< = В*А< + В*А< + в2а<& + С *АРВ + С *А< + А|. Далее, группируя слагаемые при А< , А< , А< , нетрудно записать это уравнение в виде

а *А< + Ъ*А< + с*А< = А| + А| в, (7)

где а* = А*; Ъ* = - В* - в2; с* = А* - В* - С *; А| в = С *АРВ.

Таким образом, получена система линейных дифференциальных уравнений (7) 2^порядка, описывающая движение манипуляторного механизма в окрестности опорной траектории.

Запишем теперь уравнения линеаризованной модели исполнительной системы с учетом уравнений приводов, в которой опустим знак А, обозначающий отклонения соответствующих переменных. В этом случае получим систему уравнений

* 2 7 * *

а р < + Ъ р< + с < = || + |1в N (р )|= М £( р )е- М< (р) <, е = £ - <.

(8)

Обозначая

7*/\ * 2 7* *

п (р) = а р + Ъ р + с ,

можно представить исполнительную систему в виде многозвенной линейной следящей системы. Дифференциальное уравнение такой системы в матричной форме имеет вид

N (р)И* (р) + М< (р) < = М е (р)е + N (р)| в. (9)

Добавляя к нему условия замыкания е = £ - <, получаем уравнение относительно обобщенных координат манипулятора

N (р)П* (р) + М< (р) + Ме (р) < = Ме (р) £ + N (р)| в.

Заметим, что при выборе другой опорной траектории изменяются только коэффициенты матричного трехчлена П* (р), которые зависят от геометрических и инерционных характеристик манипулятора, а также от параметров А<, А<&, А< опорной траектории. Поскольку эта траектория

предполагается известной, то коэффициенты h (p) являются известными функциями времени. Коэффициенты матричных полиномов N(p), Mq(p) и M8(p) зависят только от параметров приводов степеней подвижности манипулятора.

Следует также иметь в виду, что коэффициенты a, b*, c* полинома

h*( p) изменяются медленно по сравнению с длительностью переходных процессов в электромеханических приводах, описываемых вторым уравнением системы (8). Это позволяет воспользоваться методом замороженных параметров [5] при приближенном анализе динамики исполнительной системы.

Опорную траекторию можно при этом считать заданной в 3*N -пространстве обобщенных координат и их производных q = [q, q, q]. В малой окрестности точки ~* этой траектории матричные коэффициенты a*, b*, c полагаем постоянными. Тогда в этой же окрестности может быть введена в соответствии с (9) матричная передаточная функция разомкнутой исполнительной системы W(p), т.е. (при ^ = 0)

q = W (p )e,

* —1 —1 где W(p)e = (h (p) + Wq (p)) We (p), причем Wq = N (p)Wq (p) - передаточная матрица местных обратных связей, а We = N _1( p)We (p) - передаточная матрица приводов по каналу ошибки.

Передаточная матрица замкнутой системы Ф(^), связывающая вектор управления g(p) и вектор обобщенных координат q(t):

q = F( p) g,

имеет следующий вид:

Ф (p) = (h* (p) + Wq (p) + We (p))—1 We (p). (10)

Заметим, что матричное выражение (10) нетрудно представить в виде уравнения

ф( p) = (E + W (p))—1W (p), аналогичного уравнению, связывающему передаточные функции разомкнутой и замкнутой систем в теории автоматического регулирования.

В частном случае линеаризации в окрестности стационарной точки

q* = const, q* = &* = 0 выражение для h* (p) упрощается и принимает вид

7 * / \ * 2 *

h (p) = a p + c , или, в случае отсутствия внешних сил,

h* (p) = a* p 2.

Таким образом, получена линеаризованная математическая модель исполнительной системы манипуляционного робота. Для ее исследования и синтеза можно применять методы теории линейных систем автоматического управления.

Определим динамические характеристики исполнительной системы МРК. Матрица к*(р), характеризующая динамику манипуляционного механизма, не является диагональной, поэтому не диагональна и передаточная матрица Ж(р). Ее диагональные элементы Жу(р) характеризуют преобразование сигнала ошибки ¿-го привода в движение ¡-й степени подвижности qi(t). Недиагональные же элементы Ж^(р) определяют перекрестные связи, т. е. влияние перемещения по координате qk на движение ¡-й степени подвижности.

Введем матрицу амплитудно-фазовых частотных характеристик исполнительной системы

Ж (уш) = (к* (уш) + Wq (7Ю))_1Ге (/ш). (11)

Здесь матрица

к* 0«) = а* (/Ш)2 + Ъ* (/Ш) + С* (12)

характеризует динамику манипулятора в окрестности исследуемой точки опорной траектории.

Матрица частотных характеристик Ж(/ю) описывает работу исполнительной системы в целом. Вид ее диагональных элементов Жу(/ю) позволяет судить о точности слежения ¡-й подсистемы на рабочих частотах и качестве ее переходных процессов.

Недиагональные элементы позволяют определить уровень

взаимовлияния и диапазон частот, в которых оно существенно. Выводы о характере взаимовлияния можно получить непосредственно из формулы (12), построив амплитудные и фазовые частотные характеристики для исполнительной системы.

Матрица частотных характеристик исполнительной системы имеет

вид

Ф(/Ш) = (к* (/Ш) + Жч (/Ш) + Же (/ю^Ч (/Ш). (13)

Взаимовлияние каналов управления характеризуется прежде всего недиагональными членами матрицы Ф(/ю).

Диагональную передаточную матрицу комплекса отдельно взятых приводов можно представить в виде

Ф о( р) = (к* (р) + Wq (р) + Же (р))-1 Же (р). (14)

Передаточную матрицу исполнительной системы с учетом взаимовлияния можно выразить через передаточную матрицу Ф0(р) в соответствии с соотношением

Ф(р) = Ф( р)Ф о( р). (15)

Здесь

Ф( р) =

(ко* (р) + Wq (р) + Же (р) I-1 к( р) + Е

~ к (р) = к (р) - ко (p),

где к (р) - матрица, характеризующая влияние перекрестных связей.

493

Из выражения (14) следует, что матрица частотных характеристик

равна

фе (ую) = (риф* (у®)+^ Ою)]гЧ (ую).

Определены логарифмические амплитудно-частотные характеристики и фазочастотные характеристики канала управления МРК. Исследование характеристик проводилось в окрестности рабочей точки, заданной вектором обобщенных координат д* = 0. Так, на рис. 1 показаны логарифмические амплитудно-частотные характеристики и фазочастотные характеристики системы управления по координате д2.

1 10 100 1000 ю, с'

град

-90

-180

-270 -360

-20

-40

-60

-90

\ \

\ у . аге \У220 ^ \ Ьт \V220

аг£ \У2з \\ \ \Ьт ^21 \ \

\ \\

Рис. 1. Логарифмические амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики системы управления МРК по координате д2

Здесь сплошной линией показаны логарифмические амплитудно-частотные характеристики и фазочастотные характеристики канала управления, построенные без учета динамического взаимовлияния. В этом случае частотная характеристика Ж220(/'ю) является одним из диагональных

элементов матрицы (11) при И* (/ю) - И** (/ю).

Пунктирной линией обозначены логарифмические амплитудно-частотные характеристики и фазочастотные характеристики для этого же канала управления с учетом взаимовлияния, т. е. частотные характеристики диагонального элемента Ж22(/ю) матрицы частотных характеристик (11). Связь между передаточными матрицами отдельно взятых приводов и с учетом взаимовлияния определяется, как было показано выше, формулой (15).

Из рис. 1 видно, что до частоты ю = 10 с 1 взаимовлияние практически отсутствует. После частоты ю = 1000 с-1 логарифмические амплитудно-частотные характеристики различаются между собой на постоянную величину, а фазочастотные характеристики практически совпадают, т.е. взаимовлияние несущественно на низких и высоких частотах.

494

В области средних частот взаимовлияние приводит лишь к небольшому снижению запасов устойчивости. При этом показатели колебательности и динамической точности в рабочем диапазоне частот ю < 10 с-1 остаются практически неизменными.

На рис. 2 показаны графики логарифмические амплитудно-частотные характеристики и фазочастотные характеристики, соответствующие элементу Ж23(/ю), матрицы частотных характеристик исполнительной системы Ж(/ю) (13).

arg W.

град

-90

-180

-270

-360

Lm W, I дБ

-20

10

100

1000 со, с

-40

-60

-90

А

\ / \ / / \ Lm /

\ ^ \ arg W13 /

\ У \ \

Рис. 2. Логарифмические амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики, соответствующие элементу w23(jm)

Они характеризуют влияние процессов управления по третьему каналу на процесс управления во втором канале. Видно, что влияние проявляется только в среднем диапазоне частот 10 с-1 < ю < 100 с-1. Взаимовлияние носит резонансный характер и достигает максимума для Ж23(/ю) при ю ~ 12 с-1. На этих частотах взаимовлияние третьего канала на второй будет заметным, однако в диапазоне рабочих частот ю <10 с-1 им можно пренебречь.

Список литературы

1. Ющенко А.С., Подураев Ю.В. Адаптивные робототехнологические комплексы для механической обработки и сборки. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. 323 с.

2. Фу К., Гонсалес Р., Ли К. Робототехника / пер. с англ.; под ред. В.Г. Градецкого. М.: Мир, 1989. 276 с.

3. Неразрушающий контроль и диагностика систем / под ред. В.В. Клюева. М.: Машиностроение, 1995. 367 с.

4. Новые функциональные возможности и "интеллектуальные" свойства электроприводов серии ЭПВ/ А.Б. Виноградов, В. Л. Чистосердов, А.Н. Сибирцев // Силовая электроника. № 3. 2008. С. 53-56.

495

5. Toliat F.A. DSP-based electromechanical motion control / F.A. Toliat, S.G. Campbell. CRC Press, 2004. P. 186-196.

Новиков Александр Владимирович, начальник отдела, cdbaeacdbae.ru, Россия, Тула, АО «Центральное конструкторское бюро аппаратостроения»,

Столяров Артем Анатольевич, преподаватель, n. baranovskiy a mail.ru, Россия, Тюмень, Тюменский филиал Военно-инженерного университета,

Мельник Сергей Иванович, преподаватель, n.baranovskiv a mail.ru, Россия, Тюмень, Тюменский филиал Военно-инженерного университета

ANALYTICAL MODELS AND DYNAMIC CHARACTERISTICS OF A SMALL-SIZED ROBOTIC COMPLEX PERFORMING SYSTEM

A. V. Novikov, A.A. Stolyarov, S.I. Melnik

The performing system of small-sized robotic complex is considered. A mathematical model of the performing system is proposed, which includes the equations of motion of the manipulator mechanism and drives of its degrees of mobility. Formalized linear model of the drive, just for tracking systems on DC motors. The dynamic characteristics of the robotic complex Executive system are determined.

Key words: robotic complex, DC motor, drive model, dynamic characteristics.

Novikov Alexander, head of department, cdhae a cdhae. ru, Russia, Tula, JSC «Central Design Bureau of Apparatus Engineering»

Stolyarov Artem Anatolievich, lecturer, n. baranovskiy@mail. ru, Russia, Tyumen, Tyumen branch of Military engineering University,

Melnik Sergey Ivanovich, lecturer, n. baranovskiya mail.ru, Russia, Tyumen, Tyumen branch of Military engineering University