CC BY
16
УДК 621.384.6
Аналитические исследования динамики заряженных
частиц в синхротронах
О. Е. Шишанин
Факультет прикладной математики и технической физики Московский государственный индустриальный университет Россия, 109280, Москва, ул. Автозаводская, 16
В рамках гладкого приближения проводится описание движения заряженных частиц в магнитных системах синхротронов. Найденные асимптотики адаптированы для изучения свойств синхротронного излучения в зависимости от бетатронных колебаний.
1. Введение
В отличие от индукционного режима ускорения частиц, изученного Я.П.Терлецким в работе [1], в данном случае сделана попытка применить асимптотические методы для описания движения заряженных частиц в современных ускорителях. Полученные автором решения могут быть применены, в частности, для изучения свойств синхротронного излучения. Впервые влияние бетатронных колебаний частиц собственно на само синхротронное излучение было рассмотрено в [2], где задача была решена для аксиально-симметричного магнитного поля. Затем был сделан переход к переменным магнитным системам с фокусировкой, дефокусировкой и прямолинейными промежутками [3-5].
В отличие от существующих методик, для данной задачи об излучении требуются непрерывные решения, описывающие движение частиц на всей замкнутой орбите. Для этой цели наиболее удобным оказывается способ разложения градиента или компонент магнитного поля в ряд Фурье. Такой подход дает возможность перейти от нескольких дифференциальных уравнений для отдельных участков орбиты к одному уравнению типа Хилла.
Следующий шаг заключается в разработке методов решения полученных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Здесь теория усреднения [6] дополняется до третьего и четвертого порядков, которые дают достаточную точность расчетов по излучению. Кроме того, с помощью других асимптотических методов [7] находится процедура, которая приводит к тем же результатам, что и теория усреднения.
2. Постановка задачи
В качестве начального примера рассмотрим следующую задачу. Пусть электрон движется в периодическом магнитном поле Н — br~n (b — const, п — градиент поля) по замкнутой орбите из N элементов, где один элемент состоит последовательно из фокусирующего участка длиной дуги а и с градиентом поля nit затем прямолинейного промежутка длиной 1\, дефокусирующего магнита с градиентом п2 и снова свободного промежутка длиной ¿2- Это один из вариантов модели FODO, где О означает участок без поля.
Обозначим радиусы кривизны магнитов за R. Тогда а = itR/N и длина всей орбиты
S = 2тгД + Nli + Nl2 = 27гДо,
где Д0 — так называемый средний радиус. Будем считать отношение длин свободных пробегов и магнитов к = (li + 12)/2а малым параметром. Тогда До ~ Д( 1 + к), а период системы по азимутальному углу ip определится как Т = 2n/N.
Градиент магнитного поля п(р) можно рассматривать как ступенчатую функцию с разрывами первого рода. Раскладывая ее в ряд Фурье, получим:
а{пх - п2) 2 ^
П{т) - --- + - > ди[П\ COS VT\ - П2 COS VT2), (1)
L IX i
У=\
где
sin 7г;/# . , тга За + 211
т = Nip, gv — -L-Za + li+l2, Ti — т--—, т2 = т - л---.
v L L
В конечном итоге уравнения малых бетатронных колебаний в линейном приближении примут вид:
^ + + = (2) d22 (1 + к)2 , .
^ + = 0. (3)
где р = г- Д0.
Что касается основного орбитального движения частицы, то здесь имеются особенности, связанные с переходом от вращения на прямолинейную траекторию и наоборот. В связи с этим сделаем ряд упрощений. Усредним ведущее магнитное поле Но по всему периоду системы и будем считать, что электрон вращается со средним радиусом Rq.
Угловую скорость после этого можно выразить следующим образом:
¡^о
if -
1 + к где и>о = сеНо/Е.
Р 3 р2 Г (zz рр
(4)
3. Способ усреднения
Согласно теории усреднения (б], например, уравнение (3) представим в стандартной форме как
^ = (5)
d т
где компоненты вектора Z равны z и (l/e)dz/dT, а
G=(_5°(r) J), д(т) = (l + к)Мт),
малый параметр е = I/7V.
Можно рассмотреть более общее матричное уравнение вида
Для функции У(т, Z) определяется операция усреднения как
г
(Y(r,Z))= lim ^ f Y(t, Z)dr (6)
oo 1 j
и вводится интегрирующий оператор
Вектор £ находится из системы
а первое приближение определяется как
г(т) = £(т) + еУ(т,£).
Интересно отметить, что линейная система (5) оказалась системой дифференциальных уравнений Каратеодори [8,9]. Действительно, матрица С(т) определена и непрерывна при почти всех т, кроме точек, образующих множество меры нуль; кроме того, видим, что она ограничена. Таким образом, элементы матрицы суммируемы на каждом отрезке, содержащемся в интервале (0,2л). Тогда, согласно теореме 3 гл.1 из [10], решение системы (5) с любым начальным условием 2(то) = существует на всем интервале (0,2л). Так как здесь
|У(т, - У(т, 21Ж
т.е. условие Липшица выполняется, то данное решение будет и единственным. Это объясняет, почему произвольный выбор начальной точки можно использовать и при матричном способе расчета траектории, где перемножаются матрицы каждой структуры и происходит возврат в начальную точку.
Вернемся к общему методу, который в [11] был разработан до второго приближения. Используя способ итерации, когда последовательно добавляется новая поправка, можно описать любое приближение.
Если взять первые четыре порядка, то получим, что
4
= £ + (7)
¿=1
где
Согласно [6], погрешность данного приближения будет еь. Положим теперь
Тогда из (7) найдем, что
г—1
где
Процедуру дифференцирования по вектору £ можно проиллюстрировать следующим примером:
у(т + 5126) + 312&)\ =
^ {^(921^1 + 922^2) ¿(921Ь+922&))
Матрицы примут вид:
С2 = ССх - Сг (С),
С3 = СС2-Сх(ОСх)-С2(С),
= Ж - <Гг (<ЭД - в2 <СС1> - Сз (С) . Через функцию д{т) они выразятся следующим образом:
°1 = {~9 о)' =)'
С3
0
2 9
(
\99 + 11x9 О
\
99 + 37\хд \ 0 -2дд - дд - 7~гАд)
Здесь 7^ = (п 1 - п2)( 1 + к)/2, причем
. , 2 2(1 + А;)2 ~ , 9{т) = Тг\ +- X 9ы{П1 соэ УТ1 - п2 соэ ит2),
7Г
и=1
(.д(т)> = 7гЪ 9(т) = + ^ V —("1 эт^Г! - гг2 втг^) и т.д.
7Г —, V
Из (9) получим, что с!2^ ___1_
аТ2 ~ "л^
7*1 - (59) + (999 + Нх99^
Обозначим в последнем выражении квадратную скобку через и2. Тогда
где В и ф — произвольные константы, а квадрат частоты
2 щ- п2 7Г2 Ых 7Г4 (щ - П2)Л^2 = -;-(1 + «) + —— +
где
2 ^ ' ' А^2 48 5 • 48(1 + к)' = {п\ + п2)(1 + 2к)2 + 2п\п2(1 + 4к + 4кхк2 - к2 - к2),
М2 = (П1 + П2)2 + 6А: + ^/с2(19 + 16/с + 4/с2)^ + пща^, Я 2
ЛГ3 =--/с2(1 + 4к + к2) + ЮЛцА^О +4к + к1к2),
3
(Ю)
a ki = li/a, /с2 = h/a-
Подробная формула (10) может служить иллюстрацией эффективности метода. Подставляя G, в матричное равенство (8), найдем решение исходного уравнения (3) в виде:
г =
1
1
1 - Jp9+^[99 + ^19
2 =
Окончательно асимптотика запишется с точностью 1/N4 как
г = В eos
+ v) (1 + Si + 7^2 + S3) +В sin (£т + ф) 7zi54, (11)
где
2(1 +
¿1 = ---C0Siy7"l _ 77^2 COS ,
52 =
txN2
8(1+ fc) nN4
v-l
2
i/=l
У^ —^-(tIi COS Z^Ti - n2 COS UT2),
(1 + fe)4 í °°
5з = 2тг2 I S^/^K cos 2i/T, + «2 COS 2¡/r2 - 2гц n2 eos 2z/r3) + U=i
00 00
M=1 ^ „ = 1
2 / COS^ + Ti COS (¿-Ti \ 2 I COS jl + T2 COS^_T2
n 4
+
M-
+ n
4 /4
+
M-
O + /1 COS/i-Гз
2niTl2 COS/i + 7Г-Г—1 • -^-1:1 +COS/Í-7T
\ ¿ MÍ
a + ¿I соп/л+тз\
S
1--У2
Q 4(1 + . .
= ^дгз L ("1 sm ^ ~ sm UT2 ),
v—l
2 a + h
7-3 = Г - 7Г—-—, + /¿_=¿¿-i/.
Перейдем к уравнению (2). Здесь будут свои особенности. В частности, 7pi
2
гЪ
G
о)< * - G 0)' G2-(o
G,=
0 ^ -2g1 \9д-{ l + 7pi)^ 0
, G4
0 (3 + 7^)1-25^-35/
Уравнение для £ будет иметь вид:
d2£
d т2 ÍV2
+ ^£ = 0, где £ = Acosf^T + x),
а квадрат частоты
= 7pi ~ - (555 ~ (1 + 37pi)55
или после усреднения
2 711 - П2
р ' 2 В общем виде решение
7Г2 Nx тг4 (2-(1 + k)(rh-n2))Ni 1 j N2 48 iV4 5 ■ 48(1 + k)2
(12)
P =
1
1 ++ (1+37U)9
N
e 2 2 dC
или
/J = л cos {^T + x) (l - sx - 72pis2 + S3) - A sin (^т + x) 7pi54.
(13)
Если в асимптотических выражениях (11), (13) провести усреднение по быстрым осцилляциям, то останутся только первые слагаемые. Следовательно, А и В можно трактовать как амплитуды основных косинусоидальных колебаний, а \ и ф как их начальные фазы. Однако дополнительные члены показывают насколько это движение частицы является сложным.
Заметим, что все полученные результаты верны и для протона, только в (4) справа нужно изменить знак.
В формулах (11), (13) отсутствуют расходящиеся гиперболические функции, что находится в соответствии с принципом сильной фокусировки об устойчивости движения в целом.
Имеющиеся здесь ряды или выражаются через многочлены Бернулли В^х) или являются настолько быстросходящимися, что могут быть найдены численно.
Например, в первом случае
COS VT\ — п2 cos ит2) = —
//=i
Щ [B3
+ n2[B3[--
2тг
2 а +1} L
(т а \ N
\2тг
-в3 ( Т а + 1
V 2тг L
Здесь для аргументов многочленов х £ [0, 2ж]\ если это условие не выполняется, то нужно переходить к другому периоду. Таким образом, вопрос о сходимости отдельных слагаемых в асимптотиках не вызывает сомнений.
Для изучения этого вопроса в целом нужно снова обратиться к уравнению (5), где G Z = Y{t,Z).
Вектор-функция Y(t,Z) удовлетворяет условиям Каратеодори существования непрерывного решения, так как она измерима по т при каждом фиксированном Z и непрерывна по Z при каждом фиксированном т. Для этой функции и ее усредненного значения
выполняется условие Липшица. Кроме того, можно показать, что
т
lim ^ / У{т, Z)dr = 0. X—oo T J
О
Таким образом, все условия теоремы 1.1 из монографии [10] выполняются, а это говорит о близости решений г и £ начальной и усредненной систем.
4. Комбинация способа Уиттекера и растянутых
параметров
Попытаемся теперь найти, например, выражение (11) другим способом. Будем искать решение уравнения (3) в виде л = ехр(г7гт) • <рг(т), где <рг(т) — периодическая функция. Поскольку нас интересует движение только внутри стабильной области, называемой "галстуком"устойчивости, то будем считать, что = 0.
Аналогичное условие нужно добавить и для 7р. Рассматриваемый подход близок к методам Уиттекера и растянутых параметров для уравнения Матье в монографии [7].
Для функции ¡рг(т) получим новое дифференциальное уравнение
dV* + 2г7 — +
d т2 d г
(1 + fc)2n(r) 2
ДГ2 ^
= 0,
решение которого определим в виде следующих асимптотических рядов:
г=1 г=1
Роль малого параметра по-прежнему играет величина 1/N.
Приравнивая нулю коэффициенты при одинаковых степенях параметра, приходим к следующей цепочке уравнений:
</30 = 0, (fi + 2г7г1<ро = 0, <Р2 + Н1г\ф\ + 7*2Фо) + ((1 + к)2п{т) - 721)!р0 = о, Фз + 2г(-уг 1 <,¿2 +7г201. + 7г3^о) + ((1 + к)2п{т) - 7^! - 27217г2^о = о и т.д.
Согласно [6,7], в решениях этих уравнений нужно исключать секулярные члены. В теории усреднения это соответствует тому, что предел справа в (6) существует.
Тогда из первых двух уравнений получим, что <р0 = Ь, <рг = Ь\, где b,b\ - const. Из третьего выражения вытекает равенство: 7^ — (ni-n2)(l + fc)/2. Само решение запишется как
\2
2(1 +кУ^д
ip2 = Ь-- У —Х\П] COS UT\ - Tl2 COS VT2).
7Г ' V1
v=\
Затем последовательно найдем:
7,2 - о,
. 4(1 + fc)2 ^ ди . . Ы тг
<РЗ = -гЪ1 Ь- > Sini/Ti - п2 Sin 1/72) + ~ГЧ>2, 7z3 = ¡^7"
7Г ' I/J 0 967
1J— 1 1
„=1 " "
= 7?1^252 - + Ь^Б3, 7,4 = О и т.д.
Квадрат частоты иг = N72 определится как
2 2 , 27г17г3 ^ =7,1 + -^--
Подставляя сюда 7*1 и 7гз, получим формулу (10) с точностью до 1/М2. Если в выражении для иг положить п\ = п2 и — 12, то набег фазы ц2 = 2-пиг/М совпадет с формулой (6.17) из [12].
Общее решение можно построить в виде:
z = С exp(ijzr) ■ ipz{r) 4- С* ехр(-гугт) ■ р*г{т).
Переобозначив произвольные постоянные как
С-{Ь + Ьг/Ы) = (В/2)-ехр(#),
снова придем к выражению (11).
Частоту (12) и асимптотику (13) можно получить аналогичным образом, если решение уравнения (2) искать в виде: р = ехр(г7рт) ■ <рр{т).
Оказывается, параметром разложения в формулах (11), (13) является n/N2. Для синхротронов он равен ~ 0.15. Поправка следующего порядка будет около 2%.
Если квадрат полной скорости усреднить по периоду, то получим,что
(V2) = Ко (
^о 2 Л 2 Л2 2 В
l + K-^ + v
l + kj v pRl ZR%
В соответствии с [13] угловая частота обращения uiq становится меньше в 1 + fc раз из-за влияния прямолинейных промежутков.
Таким образом, приближенные решения, найденные для уравнений (2) и (3) методом усреднения и способом возмущений, предложенном в этом параграфе, для всех порядков приводят к одинаковому результату.
Используя, в частности, рассмотренный метод теории возмущений, можно исследовать движение и в таких системах, как FOFDOD и слабая фокусировка.
В первом случае пусть длины дуг магнитов равны а, а длины прямолинейных промежутков — 1\ и /2- Здесь к = (^ + ¿2)/4а и по-прежнему Rq — R( 1 + к). Показатель спадания магнитного поля после разложения имеет вид:
щ - п2 ,4 ^ ( 2а+ 1
п{т) = 2(ТТк) + * ¿5cos u v ~ п zT~
где L — 4а + h + 12,
sinirva/L ( а +1\ 3а + 1
Ри — —- Til COS 7TU----П2 COS 7TU---
и \ L L
Проведенные расчеты показали, что
2 Щ - П2, . , = —2-^ + +
TT
+
2 Г 2,1/ \2 , - h 2 , 2/l - l2 2
48 N2 где
{щ + п2) + ki{ni - n2) Н--—-rij Н---—-п2 + 2п1п2к
I2 + l2 - hh
к 1 =
4а2
При щ = п2 эти результаты совпадут с данными работы [14].
Заключение
Прежде всего нужно подчеркнуть, что выше был проведен подробный анализ для одного периода. Однако при переходе заряженной частицы в другой магнитный период те же условия повторяются и, таким образом, можно сделать обобщение на
всю замкнутую траекторию. Более того, нас интересует только устойчивое движение частицы внутри огибающих, когда она проходит тысячи оборотов. Рассматривая всю проблему о движении частицы в ускорителе в целом, нужно отметить, что и в этом случае условия Каратеодори выполняются, поскольку здесь множество точек разрыва для градиента велико, но счетно.
Найденные решения были применены для изучения характеристик синхротрон-ного света в соответствующих магнитных структурах. Полученные при этом результаты согласуются с опытными данными.
Литература
1. Терлецкий Я. П. // ЖЭТФ. - Т. 11, вып. 1. - 1941. - С. 96-99.
2. Жуковский В. Ч., Шишанин О. Е. // ЖЭТФ. - Т. 61, вып. 4. - 1971. -С. 1371-1378.
3. Шишанин О. Е. // ЖЭТФ. - Т. 103, вып. 4. - 1993. - С. 1117-1126.
4. Shishanin О. Е. // Proceedings of the High Energy Accelerators Conference HEACC'98 / JINR. - Dubna: 1998. - Pp. 193-195.
5. Шишанин О. E. // ЖЭТФ. - Т. 117, вып. 5. - 2000. - С. 835-843.
6. Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. — М.: Наука, 1974.
7. Найфэ А. Введение в методы возмущений. — М.: Мир, 1984.
8. Сансоне Д. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: ИЛ, 1954. — Т. II.
9. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой правой частью. — М.: Наука, 1985.
10. Хапавв М. М. Усреднение в теории устойчивости. — М.: Наука, 1986.
11. Коломенский А. А., Лебедев А. Н. Теория циклических ускорителей. — М.: Физматгиз, 1962.
12. Брук Г. Циклические ускорители заряженных частиц. — М.: Атомиздат, 1970.
13. Сб. под ред. Яблокова Б. Н. Ускорители. — 1962.
14. Шишанин О. Е. Письма в ЖТФ. - Т. 20, вып. 20. - 1994. - С. 4-9.
UDC 621.384.6
Analytical Study of Charged Particle Dynamics for Synchrotrons
О. E. Shishanin
Faculty of Applied Mathematics and Technical Physics Moscow State Industrial University 16, Avtozavodskaya str,, Moscow, 109280, Russia
The description of charged particle motion in the magnetic systems of synchrotrons is obtained in the iramework of smooth approximation. Asymptotics are adapted for consideration of synchrotron radiation properties depending on the betatron oscillations.
