CC BY
110
_________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
Том XX VIЇІ ' 1997
М 3-4
УДК 629.78.015.076.8:525.7
АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ПОЛУАНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ТРАЕКТОРИЙ ВХОДА В АТМОСФЕРУ
В. А. Ярошевский, Н. Вэн *, Леонардо де Оливе Феррейра **
Описываются приближенные аналитические методы расчета траекторий входа в атмосферу, иллюстрируется их точность.
1. Задачам о построении приближенных аналитических решений уравнений движения спускаемого аппарата (СА) на участке входа в атмосферу посвящено большое количество исследований, выполненных различными авторами. Ценность таких решений определяется следующими причинами.
Во-первых, аналитические решения позволяют получить наглядное представление о влиянии значений исходных параметров на режим полета. В качестве примера можно указать на достаточно парадоксальный вывод, полученный аналитически, о том, что при спуске в изотермической атмосфере максимальная перегрузка, действующая на СА, не зависит от его массы и размеров.
Во-вторых, решение ряда актуальных задач об оптимизации траекторий упрощается в очень большой степени при использовании приближенных уравнений движения.
В-третьих, появление бортовых ЦВМ привело к возможности и необходимости прогнозирования траекторий в процессе полета с целью использования данных прогноза при управлении траекторным движением СА. Например, аналитические и полуаналитические методы прогнозирования траекторий используются в алгоритме управления спуском космического корабля «Спейс Шаттл».
* Нгуен Вэн — США, Мичиганский университет.
** Леонардо де Оливе Феррейра — Бразилия, Национальный институт космических исследований.
Представленный обзор не может претендовать на исчерпывающую полноту освещения всех известных результатов в силу ограниченности объема статьи. Поэтому в обзоре в основном обсуждаются результаты расчета «продольного профиля» траектории (в плоскости «скорость — высота» или «скорость — перегрузка»), не затрагиваются задачи об оптимизации траектории, о расчете области достижимости и т. д.
При описании результатов исследований не соблюдался принцип хронологии опубликования тех или иных работ. Приближенные уравнения описываются в порядке возрастания их точности и сложности.
Одной из первых работ, в которой проанализирован профиль траектории входа в атмосферу баллистического СА, является работа Аллена и Эггерса [1]. Рассмотрим такую траекторию в предположении о постоянном угле наклона траектории 0 = const при начальных условиях, заданных на «границе атмосферы» А = А/ (р,- = р(А,-) — малая величина),
V = V;.
Примем экспоненциальную модель плотности атмосферы
Р-Р.е-«Л-Ч (1)
где А, — некоторая «опорная» высота, р — постоянный логарифмический градиент плотности. Тогда уравнение для изменения плотности можно записать в виде
^ = p|sine|pF. (2)
Пренебрежем влиянием гравитационной силы в уравнении для изменения скорости
где сх — постоянный коэффициент сопротивления СА. В результате, исключая из уравнений (2) и (3) время, получаем
dp _ 2mp|sin0|
dV ~ cxSV ’ ( '
2mp|sin0| Vj /сч
p—(5)
(ввиду малости p; ).
При этом перегрузка пх = определяется формулой
2 mg
g У
и достигает максимума, равного
пхтвх
(3|sin0|^2 2 ge
і
при 2 = 0,607^.
Как видно, значения ^|Ихяшх и пхтах не зависят от формы, массы и
размеров аппарата в отличие от высоты, на которой достигается максимальная перегрузка
Если скорость входа в атмосферу является первой космической,
(для Земли nxmaj( * 17O|sin0|).
Пользуясь допущением 0 = const, удобно проверить, в какой степени некоторые из других принятых при выводе формулы (8) допущений искажают результат. Так, если учесть в уравнении для изменения скорости влияние гравитационного ускорения g, которое можно принять постоянным,
ускорения для предельного начального условия р,- = 0, Ъг — малый поправочный член, который при малых щ можно записать в виде
і ffi(3|sin0|
Нидгтад _ cxS
(7)
V? ~ gr0 (в этом случае допущение 0 = const при отсутствии подъемной силы наиболее близко к истине), то
(9)
то, исключая время, нетрудно получить
(10)
Примем, что V? = grQ, и представим функцию z(u) в виде
Z = Z+ 5Z,
5z * и^іц) + \l,32 + lniMf
l «/ J Pe
(11)
(второй член в (11) получается при асимптотическом разложении интегральной показательной функции). бг(1)
Если
т
в «1, то уточненная максимальная перегрузка до-
стигается прй и = 1 + 0(e) и равняется
Их max
Нетрудно видеть, что
... Рг0 2е
sin
е|
1 +
5^(1)
т]
+ 0(вг).
Ъп
хтах
2|
Р/
Р «V
(12)
где р|ихтах и Ь\„хтах определяются соотношением (7).
Если принять, например, что в случае входа в атмосферу Земли
СГ.У ,„_2 2
'' Ми . іи п\
дгшах
= 100 км, |0| = 45°, р = 1 / 7 км, = 10 м /кг, то ЦПхтах = 50 км,
5 и
хтах
‘хтах
»0,02, т. е. погрешность, вносимая допущениями и* >>|sin0|,
р, «0, достаточно мала.
Очевидно, что такой вывод справедлив и для других планет, если рг0 »1.
Рассмотрим, как может повлиять на значение nxmsx вращение Земли. Очевидно, что для участка траектории малой протяженности достаточно представить в уравнении (3) скоростной напор в виде
р (V + W)2 Т„ U/r t
q = ——-——, где W = ^max coscp cos r| » const, — максималь-
ная окружная скорость Земли на экваторе (~ 463 м/с), <р * const и г| ® const — широта и угол курса, отсчитываемый от местной параллели. В этом случае зависимости плотности и перегрузки от скорости в отличие от (5) и (6) определяются соотношениями
2ff»p|sin0|
CXS
, 1+ W 1п-=-
V + W (1 + W)(V+W)
(13)
рМП2Г+(Р)2
g
In
l + W
W(l-V)
V+W (1 + W)(V +W)
(14)
¡7 V = ж где V = —, .
Рассуждая аналогично предыдущему, получаем в случае V? = gr0
я 2(2 - . 0,7Ж,
яхшах
т. е. максимальная по1решность в оценке максимальной перегрузки может достигать ±4% (если ср « 0, т| * 0).
Рассмотрим, наконец, насколько существенным является допущение об экспоненциальной модели плотности атмосферы.
Решая уравнение движения
уйУ г сх8Угр(К) сИг 2/я|вт0|
(15)
совместно с уравнениями гидростатики и газового состояния
= -p(h)g>
ап
/;(Л) = р(А)ЛгГ(А),
(16)
где р(Н) и Г(А) — давление и температура атмосферы, Ит — газовая постоянная, получаем при р,- я 0
У(р)*^ехр
сх3р
2/и#|8т0|
(17)
Выражения для перегрузки и для тепловых потоков пропорциональны функции
к
/(р,Г) = р ка(У) =
Р(К)
Лт Т(И)
а{У[рШ},
(18)
здесь в качестве функции а(У) часто используется степенная функция.
Допущение (1) практически эквивалентно допущению об изотер-мичности атмосферы: для Земли среднему значению |3 « (7 км)-1 соответствует средняя температура Т я 240° К. Обозначим максимум функции (18), вычисленный при использовании этого допущения, через /шах и будем считать, что в действительности температура медленно изменяется в зависимости от высоты, т. е. Т = 7’(еЛ), где 8 — малый параметр (см. п. 6). Тогда нетрудно показать, что уточненное значение максимума функции (18) составляет
к
/тах -
шах
т(*К)
где ки — высота, на которой он достигается.
+ 0(е2),
(19)
Например, уточненное значение максимальной перегрузки составляет
17o|sm0|y~у, (20)
где h„ определяется соотношением
т
p|sin0|
Поскольку температура атмосферы Земли варьируется в пределах ±16% при 10 < Л < 80 км, то и значение ихпих варьируется в пределах
с S
±16% в зависимости от параметра —— (при во=0, К= 0 значение
т
1
пх max оказывается пропорциональным , т. е. варьируется в
л/г(4и)
пределах ±8%, см. п. 2).
Наконец, в рамках допущения 0 = const легко проследить за влиянием переменности коэффициента сопротивления сх на максимальные значения перегрузки. Так, в случае сх~ V”
*Ьс max
я+2
_Pro|sin0|^ 2 п 2 1« + 2,
(21)
(В. Я. Нейланд, 1958).
В ряде последующих работ движение СА на участке входа в атмосферу исследовалось без использования допущения 0 = const. Для этого использовались различные варианты приближенных уравнений движения, полученные при различных допущениях.
Приближенные уравнения, выведенные в [2], [3] и [4], очень близки. Ниже дается краткое описание результатов, полученных при решении этих уравнений и представленных в [4] и [5]. К ним добавлены некоторые новые результаты.
2. При выводе уравнений плоского движения СА в атмосфере невращающейся Земли (или другой планеты) можно использовать следующие допущения:
1) Р = Ро«_рА> Р = const, (22)
2) w*»|sine|, (23)
3) 02 «1, (24)
4) ДА «го_ (25)
Изменение высоты полета на основном участке входа в атмосферу пренебрежимо мало по сравнению со средним расстоянием от СА до
центра планеты, которое во многих случаях можно принять равным радиусу планеты. Поэтому можно считать постоянными значения г, g и Гхр =у[Цг-
Следовательно, уравнения плоского движения могут быть упрощены:
¿V схЯРУ2 . . . а схБрУ2
~ " - ^(г)8Ш0 и---¿-=---, (26)
dd _ CySpV2
dt 2т 2т
g(r)~
V2
cvSpV2 у2
cose «------------g+ — , (27)
2m го
-~?r - sin0 « -p0Fp. (28)
dt dh
Если рассматривается пространственное движение СА, то выписанные уравнения остаются справедливы с единственным дополнением: первый член в правой части уравнения (27) умножается на cosy, где у — «силовой» угол крена — угол поворота вектора подъемной силы относительно вектора скорости.
Исключая из упрощенных уравнений время и используя еще одно
допущение сх -ф) , где V = - ^ , можно ввести безразмерную мо-
Jgrb
нотонно возрастающую независимую переменную
(29)
и зависимую переменную — безразмерную плотность
<30>
после чего уравнения (26) — (28) сводятся к одному уравнению второго порядка:
d2y Г-2(х)-1
—т т' +->
dx У
где зависимость V (х) определяется из (29),
Q
Ч = у[ргЪ—774COSY- (32)
СХ W
Здесь г) — параметр, пропорциональный «эффективному» аэроди-
v ^У
намическому качеству Лэфф = —cosy .
сх
В простейшем случае сх = const уравнение (31) приобретает вид
Найдя решение уравнения (33) при заданных начальных условиях, можно определить остальные переменные из соотношений:
здесь 5 — пройденный путь, измеряемый в единицах планетоцентрического угла, или в случае плоского движения угловая дальность;
В случае спуска СА в атмосферу с низкой околокруговой орбиты после выполнения тормозного импульса используется упрощенное понятие о «границе атмосферы», расположенной на высоте А,- (для Земли обычно принимается А,- = 90 +100 км). Считается, что при А > А,- влиянием аэродинамических сил можно пренебречь и использовать для расчета движения СА формулы кеплерова движения.
В простейшем случае, когда исходная орбита является круговой и спуск инициируется тормозным импульсом, направленным противоположно скорости, угол наклона траектории на границе атмосферы 0,— V-
(«угол входа») и безразмерная скорость входа V, = —.-1--. связаны со-
Угол входа по ряду соображений выбирается в пределах от нескольких десятых долей градуса до 1*2 1радусов. Поэтому для типичных случаев (г <1,1) скорость входа V,- может лишь очень незначи-
(33)
где X = In .
1 dy 0 _---L-rL-
(34)
= л[Ръуе~2х;
(35)
(36)
1 г eXl dx
(37)
Гкр (Jh)
отношением
(38)
где
f r0 + Aolb ^ t rQ +hj
тельно отличаться от круговой. Учитывая сделанное выше допущение о невращающейся Земле, можно принять для уравнения (33) следующие начальные условия:
Ъвг=С1. (39)
В случае баллистического СА (г\ = 0) решения уравнения (33) при начальных условиях (39) можно попытаться построить в виде степенных рядов.
При сх = 0 получаем
(40)
где 04 = 1/6, а2 = 1/24, аз » 0,0099, 014 » 0,0021,...
Коэффициенты а* определяются из рекуррентных соотношений.
Можно доказать, что |а*| й
не меньше 1,5.
При ^ * 0
'2Лк 1
3) (к + 1)
у, т. е. радиус сходимости ряда
у = сгх + с2х2 + с3х3 +...,
(41)
где
с:
V 1 у
3^1 ’
с4 =
г \
1 2 2 1 2+~4
С1 С1 у
1
9 сГ
, 10 17 14
3--Г+-Т---Г с с с
1-1 ^ J
1
90С1
Сопоставление результатов численного интегрирования уравнения (33) с выражениями (40) и (41) при использовании пяти членов ряда дано на рис. 1.
Сохраняя только два члена ряда в (41), нетрудно получить приближенную формулу для максимальной перегрузки
\xmax
2Сл
ехр
4 1+ С2
(42)
При больших С1 > 4 достаточно сохранить один член ряда, что приводит к формуле (8).
Радиус сходимости рада (41) близок к 0,7с2, поэтому его нельзя применять при малых сг <1. В последнем случае приближенное решение можно найти путем склейки. Это решение записывается при малых х «1 в виде
У =
с}
1 У
(43)
Рис. 1. Изменение продольной перегрузки в зависимости от скорости в процессе спуска баллистического СА:
------численный расчет по уравнению (33);
•-пять членов ряда (40); ГДв фуНКЦИЯ g(u) удовлетворяет
. - пять членов ряд. (41) уравнению
8
йи2
= 2 и
(44)
при начальных условиях я(0) = 0, -р-(0) = 1.
аи .
По мере увеличения и функция g(u) приближается к ^ и^2, тогда решение может быть представлено в форме
У = Уо + 5У> (45)
где функция 5у(х) является решением линейного уравнения
5у"+/(х)5у = 0, (46)
/(*) =
е2х -1
Уо(х)
Принимая во внимание, что / (х)»
4х2
при малых х, / (х) * 1
при больших х, можно выписать приближенное решение уравнения (46) в форме ([6]):
5у * л/ 008 [ч» (х0у1/(х1) ^1»
(47)
л ( м
где ф (х) = 1 * /~4
<Ьс Ч У
/_3/4, ф(х)
при малых х, ф(х) * 1 при
больших х.
Склеивая решения (43) и (45) при х = 0,6с2^5у »получаем
0,191с2 хг ,_________________
8У ~ '¡1У(ху соэ ]ч>(х1)^/(х1)сіх1.
(48)
0,4с?
При сх = 0 максимальная перегрузка достигается при х = 0,835 (V = 0,434), у = 1,45 и составляет 0,277 ^/¡3/^ * 8,3 (для Земли), а при малых сх, согласно (35), может быть выражена в форме:
6у(0,835)
8,3
1 + -
= 8,3 + 0,11с2 сое (о, 735 - >/21псі). (49)
1,45
Минимальное значение пхтах » 8,3(1 - 0,008) достигается при сх = 0,36
(90 = -0,65е для Земли). На рис. 2 результаты расчетов по формулам (42) и (49) сопоставляются с численными результатами решения уравнения (33).
Рис. 2. Зависимость максимальной перегрузки от аэродинамического качества и угла входа:
------численный расчет;
□ — формула (42);
Д — формула (49); х — формула (59); о — формула (63)
По мере увеличения х все решения приближаются к «гладкому» решению уравнения (33):
2 40
у = е~ с " + —е +.... (50)
Склеивая решения (40) и (50) при х— 1,8, получаем, что при х > 1,8
у » у + 5у « ех + 0,8соз(х - 3,37). (51)
Вариации 8у(х) возрастают или, по крайней мере, не убывают по амплитуде с ростом х, однако вариации высоты 5А(К), пропорциональные —, уменьшаются, поэтому можно говорить об устойчивости
решений в плоскости Л (V).
Траектории входа в атмосферу СА с положительной подъемной силой (г| > 0) принято условно классифицировать как траектории «скользящего» спуска, траектории квазистационарного планирования и траектории с отражениями. ■ . ,
Траектории первого типа соответствуют СА с «малым» эффективным аэродинамическим качеством АГэфф = 0,2 + 0,3, т. е. СА по-лубаллистического типа («Джемини», «Союз», «Аполлон»). В случае спуска в атмосферу Земли использование даже столь малой подъемной силы резко уменьшает максимальные значения перегрузок. Результаты численных расчетов по уравнению (33) приведены на рис. 2. Построение решений в виде степенных рядов в данном случае оказывается эффективным ЛИШЬ при Т1 2 3, поскольку радиусы сходимости этих рядов при больших т| оказываются очень малыми ([4]). Можно отметить, что уравнение (33) точно интегрируется в случае г| = 1 (для Земли
Траектории квазистационарного планирования соответствуют слу-
что такое допущение не эквивалентно допущению 0 = const). Эти траектории реализуются при малых значениях q и больших значениях tj.
Уо
Я'эфф = С1 - 1 (Д™ Земли 0,- = -1,91е):
у = ех -1.
(52)
чаю, когда производной — (или ^—¥г) можно пренебречь (отметим,
Л (¡х1
d2y
Пренебрегая в уравнении (33) членом ——
dx
, получаем:
Утт *
(53)
или
1-V?
п “------
(54)
Отсюда следует, что
Подобные траектории часто применяются на практике. На основе формулы (53) легко вычислить угловую дальность полета в диапазоне изменения скорости от до V
2
(56)
определить функции влияния отклонений высоты и угла наклона траектории на эту дальность. Гипотезу о квазистационарном планировании удобно использовать при решении некоторых вариационных задач, например при определении границ области достижимости [7].
Непосредственная проверка гипотезы о малом значении у" показывает, что она справедлива, если
4в2Х =1=2«
Таким образом, сделанное допущение нарушается при малых скоростях или при умеренных значениях эффективного аэродинамического качества. Попытки уточнения решения (53) сделаны в [4], [5]. Уточненное решение находится в виде
Упл
1
ті),
где г =
Функция /(г, т|) при не очень малых z оказывается близкой к
1
1 + г’
поэтому в первом приближении (считая формулу (53) нулевым приближением)
,(1) * £—1 .И" <?*+тГ
(57)
Для последующего уточнения результатов в [5] предложен по-луэмпирический метод, и с его помощью найдено второе приближение
>(2)
,2х
1
1 +,1+
4е
2х (
1 + -
1 (л - 1)(т] - е*) (л + е*)3
(58)
Формула первого приближения (57) может использоваться при
т| > 1, при этом максимальная относительная погрешность в определе-
/ ^ \
-1
нии функции у(х) составляет около -0,07
и достигается при
— 4 5
V * ——. При использовании второго приближения максимальная от-
Рис. 3. Изменение продольной перегрузки в зависимости от скорости на траекториях квазистационарного планирования:
7-Х = 0,1; 2-К = 0,2; 3-К = 0,3; 4- К = 0,5; 5-К = 1,0; 6-К = 1,5;
7-К = 2,0;
------численный расчет;
------формула (53);
------— формула (57);
......— формула (58)
носительная погрешность не превышает -0,02 (см. рис. 3). Используя формулу (57), можно показать, что максимальная перегрузка достигается при
3Л
и составляет
^тах;
(59)
если ц £ 6 (см. рис. 2).
В том случае, когда СА обладает достаточно большим аэродинамическим качеством (ц > 0) и входит в атмосферу с не слишком малым углом входа, возникает так называемая траектория с отражениями. Для расчета траектории на участке первого погружения в атмосферу можно воспользоваться разложением функции у(х) в степенной ряд:
у = с^х + с2х2 + с3х3 +...,
(60)
и определить точку
С1
Х~Хта 2с2
Зсзс?
8с3
16с2
9с£ с2
- 4 Сл
(61)
соответствующую максимуму у = ут функции (60).
Если л » 1 и С]Х1» 1, то достаточно ограничиться двумя членами:
у * схх
г\х
Е1.
л
Ут *
Л
2 Л ’
(62)
при этом максимальная перегрузка, достигаемая на участке первого погружения, определяется формулой
‘шах
■¿-^Эфф
1-
210,-1
А"
эфф
(63)
Для описания последующего участка траектории, включающего колебания функции у(х) относительно траектории квазистационарного планирования (53), можно применить закон сохранения адиабатического инварианта — интеграла действия [4]
Ушах
I
(х, у)йу * сог^, (64)
ах
1 Угтп
где ~(х, у) — зависимость положительной ветви производной — от у сЬс (¡х
при «замороженном» значении х:
¿У_
(¡X
= ^ЫУтах ~у)~2(е2х (65)
утах (х) — огибающая максимальных значений функции у (х), которая и определяется с помощью соотношения (64).
Основанием к использованию этого соотношения является тот факт, что при больших т| период колебаний функции у(х) является
малым и функция е2х -1 изменяется незначительно на протяжении одного периода колебаний (за исключением, разумеется, участка первого погружения в атмосферу).
Вводя обозначения и = ^тах = > 1 и «„щ, = <1 и
Уш с — 1 в — 1
используя формулы (64) и (65), нетрудно получить соотношение
И-1г
----------h(u) = const, (66)
где А (и) = J Ju-z+ln^dz,
umin(u)
Формула (66) справедлива и в том случае, когда параметр л не является постоянным, а медленно изменяется в зависимости от х. В качестве начальных условий для расчета огибающей утах (х) можно взять значения х = хт, у = ут, определяемые для участка первого погружения формулой (61).
«Мгновенный» период колебаний функции у(х) определяется формулой
2п^ в2х — 1 —
----1Т(и)} (67)
Л
. 1 г Лг ^2ик'(и)
где Т (и) = —¿=г -..........= —-—^£1.
лл/2 , г *(»-!)..
"лип Ju-Z+1п-
Из последнего соотношения следует, что число полных колебаний траектории не превосходит . Можно отметить, что
71 / i\2 1 2^2 ("_ > ’ “min * и
h (“) * Т7г (“ “ > Mmin ~ 77 (68)
при малых и <2,
А (и) * | (и - 1)3/2, мтШ * ие~и (69)
при больших и ^ 5.
Используя соотношения (69) на начальном участке траектории,
где ^гпах. = м » 1, находим
Упл
2
Ушах (*) * -----------:---— • (70)
Огибающая пиковых значений максимальной перегрузки определяется формулой
‘шах
(П*
VI
К cosy
“ ( 2 > ’
1 + V2
V )
(71)
Отсюда следует, что максимальная перегрузка достигается при малой скорости, если < V2 (для Земли |в, | < 2,7°), и близка к максимальной перегрузке, достигаемой на траектории квазистационарного планирования (59), или, в противном случае, при большой скорости На участке первого погружения в атмосферу (63), что подтверждается рис. 2.
Уравнение (33) удобно для решения обратной задачи об определении требуемого закона изменения эффективного_аэродинамического качества по заданному профилю траектории V (/г), V (пх) или у(х):
е2х-1 У(х)
-у"(х)
(72)
Соотношения подобного типа используются в законе управления траекторией спуска СА «Спейс Шаттл». Кроме того, оптимальные траектории, найденные при решении некоторых вариационных задач с учетом фазовых ограничений, содержат участки полета вдоль этих ограничений.
Если, например, желаемый профиль траектории задается соотношением p°Vb = const, которое эквивалентно условию
Ьх
у = Се а = Серх,
то
К cos у =
yf&O
е2х-1
СеРх
- р1СеРх
(73)
(74)
Поэтому максимальное значение К сое у, требуемое для полета с по-
„ „ 14
стояннои перегрузкой пх, составляет-----7== и достигается при
V =
2пх
\у[&Ъ
Обратная задача может быть решена и в более точной постановке, без использования перечисленных выше допущений ([4], [5]).
Анализ полученных решений показывает, что уравнение (33) неприменимо для расчета траекторий входа в атмосферу на верхнем и нижнем_ участках, находящихся за пределами «основного» участка (0,99 >У> 0,08). Здесь следует использовать другие уравнения, в которых часть допущений, перечисленных выше, не вводится.
На верхнем («переходном») участке при малых углах наклона траектории и околокруговых скоростях полета справедливо приближенное уравнение
іі2у
2х
сіх
где в отличие ОТ (33) X - 1п
-Т1+-
^кр (Ь)г.
±1п У-Э*___У*
(75)
^совО
ременная, К = г„ - г0 — выбранная характерная высота,
монотонно возрастающая пе-
Исследование решений уравнения (75) в случае входа баллистического СА в атмосферу после затухания околокруговой орбиты показало, что значения х и у связаны приближенным соотношением ([6]):
х *
о У
3\
2/3
1
ІП-
1 +
2р г.
3 , 2рг* у.
или
- 1 і У
X = X--------------------1п —
рг. У*
,л1/3
3 ' V2/3
1 +
2Р/-ДУ
2/3
1 +
^2/3
2рг,
1
2рг,
(76)
Ролью последнего члена в правой части (76) на основном участке можно пренебречь, а сомножитель в фигурной скобке заменить на 1, поэтому соотношение (76) приводит к решению (40).
В случае входа в атмосферу с околокруговой орбиты после дачи тормозного импульса представляет интерес определение начальных условий к моменту, когда допущение (23) становится справедливым,
т. е. когда отношение и =
вшЭ
достигает большого значения (и = 5
или 10). Показано, что значения 0,- и , определяемые кеплеровыми соотношениями, могут быть скорректированы:
Д0,- *
2 п (Р^)2е,-
ДК,-
(77)
Как видно, понятие «угол входа в атмосферу» достаточно четко определено при не слишком малых |0,-|.
При анализе движения СА на нижнем участке траектории приходится отказаться от допущений (23) и (24). С учетом условий У2 « 1, у = 0 уравнения движения на нижнем участке можно записать в виде
¡¡г 2
(пх -я) г
(78)
¿^ Кп^-ь2 -(1-*2)
2(пх -.О-г
где г =
я = - вт 0,
и наити квазистационарное решение в виде
П-г =
+ К* 1
1 +
у1\ + К:
2(1 + к2)
К2г 2(1 + к2)
■ОН.
(79)
(80)
(81)
Склеивая решения (57) и (80), находим полуэмпирическую формулу для пх(У), пригодную при V <0,99:
Иу а
ахУ2 +(1 + ЛГ2)
(82)
где
о = (Зг0, Ь = 2Кл[ргъ, а1 = к2рг0> ь1 = 2к(1 + к2)у[&ъ.
Результаты численного интегрирования уравнений движения КЛА в атмосфере невращающейся
плотности (при начальных услови- Рис 4 Изменение продольной пере1руз. ЯХ, соответствующих траекториям ки в зависимости от скорости на траекто-квазистационарного планирования) риях квазистационарного планирования:
сопоставляются на рис. 4 С резуль- численный расчет
татами расчета по формуле (82). Совпадение является удовлетворительным при К >0,1.
Для расчета траектории баллистического СА на нижнем участке можно воспользоваться модифицированным уравнением Чепмена:
Приближенное решение этого уравнения, удовлетворяющее условиям склейки с решением (51), запишем в виде
при у >40. Погрешность решений (84) и (85) Ах (у) не превосходит 0,05.
В том случае, когда скорость входа СА в атмосферу заметно превышает круговую скорость, например при возвращении СА из полета к Луне или к некоторой планете, условия входа в атмосферу, следуя Чепмену [8], [9], удобно задать через высоту условного перицентра Нр и скорость в условном перицентре Ур, которые вычисляются без учета влияния аэродинамических сил. Начальные условия для уравнения (33) могут быть записаны в следующем виде:
(83)
1
Р'о
а2у2 0,8 / ч
х « 1пу + —¿г--------— совцпу - 3,37)
5 у
(84)
при 10 < у < 40,
х * ау + Ь + 5х(>0,
(85)
где
-1
сбх
+ Аае2Ь\Ш{2ау) - Е1(2ау0)]г > (86)
ёу
I <*У )о
г «« Л
Ь = 2,76, 5х0 = -0,046, =£- = 0,0094, у0 = 40,45
I ЛУ Л>
х = х,- = 1п-~, у = у,- > 0 — малая величина, Ур
где ур = %—«/—р(А») — так называемый параметр перицентра.
2/и у Р
Согласно (87) у} -» оо при у,--> 0, поэтому построить решение у(х) в окрестности точки Х{ в виде степенного ряда не удается. Вместо этого можно использовать интегральные соотношения [10], [4], которые позволяют приближенно определить значения хт и ут, соответствующие моменту достижения минимальной высоты при первом погружении КЛА в атмосферу.
Умножая уравнение (33) на у' и интегрируя его в пределах от х,-до хт, с учетом (87) получаем:
-ЧУт
-(<
,2 Хі
і)іп — +
Ут
Ур
У?е 2х
I
-¿у.
(88)
Используя допущение О ТОМ, ЧТО разность хт - X; невелика, что справедливо при умеренных значениях ур и положительных значениях л, соотношение (88) можно приближенно представить в виде
Ур
птах.
ехр
Ц +
■уі2п (1 + ц) у
И*
(89)
где итах — максимальная перегрузка,
'»пт*СОвУ (со8у>0),
(у2-і)уі1 + К2
(90)
у =-----^. ”тах . . (91)
,1&ЪУ^У2-1у11 + К2
Если значение лтах совпадает с предельно допустимой для данного СА перегрузкой, то соотношение (89) определяет при у = 0 значение Уртах или так называемую нижнюю границу коридора входа в атмосферу (понятие, введенное Чепменом, [9]). В случае ур > уртях предельно допустимое значение перегрузки будет превышено.
В [9] было введено также понятие о верхней границе коридора входа в атмосферу, или «границе захвата». Если значение ур слишком мало, то даже при использовании минимального располагаемого эффективного аэродинамического качества (у =180°) траектория у(х), определяемая по уравнению (33), не достигает положительных значений х (V < 1), а заканчивается при некотором Ху < 0, у = 0. Очевидно,
что предельный случай (ур = Уртт) соответствует случаю, когда траек-
(IV
тория заканчивается в точке х= 0, у = 0, — (0) < 0.
ёх
Анализ поведения таких траекторий позволяет сделать вывод о том, что при не слишком малых значениях |г|| > 6 участки этих траекторий, на которых функция у(х) убывает, располагаются вблизи (снизу) от предельного решения
Уг(х) =
1
Лх
N
4е2х 16е'гх (5е^х -1)
2х/е„2х
1-
(92)
1
обладающего свойствами у/(х) -»т—г при х -> -да. В случае Ы = 1 такое
: ы
решение является точным (в рамках уравнения (33)), у/ = 1 - ех.
Исходя из этого, удается найти приближенную формулу
1-
Уртт
N
1
V2
(93)
Отметим тот парадоксальный факт, что понятие о верхней границе коридора теряет точный смысл, если обратиться к исходным уравнениям движения, поскольку точно зафиксировать скорость вылета из атмосферы не удается из-за неопределенности понятия о границе атмосферы.
Для определения ширины коридора входа АИр следует учесть, что значениям уртах и урт±п отвечают значения Ир 1П;П и Нр тах соответственно, поэтому, согласно формулам (89) и (93),
л 1 I / 1 1_ Уртах 1
АПр - Пр тах Пр дцд — — т — » —
Р Уртт Р
л/2л (1 + ц) V
I
, (94)
где ц и V определяются формулами (90) и (91). Сравнение результатов расчета ширины коридора входа по формуле (94) с результатами численного расчета ([9]) приведено на рис. 5.
Коридор входа исчезает при значениях ц, близких к 1, когда
птах
1 +
к2
= Пу тах -> V2 - 1. Действительно, для предотвращения вылета
СА из атмосферы при движении вдоль верхней границы коридора необходима отрицательная перегрузка [йу] » К^2 - 1. Если эта перегрузка превышает допустимое значение, то коридор входа исчезает.
Рис. 5. Зависимость ширины коридора входа в атмосферу от аэродинамического качёсгва: 1-Ц = 1,4; 2-У, = 2,0;
------формула (94);
° — численный расчет
Формула (94) удовлетворительно описывает зависимость ширины коридора от скорости входа при V,- < У^,, где Гкр — «критическая» скорость входа ([5]).
При этом полет СА по траектории, расположенной вдоль нижней границы коридора, происходит сначала при у = 0 с целью выдержать ограничение по перегрузке. После прохождения пика перегрузки в случае необходимости на некотором участке полет может происходить при у = 180°, для того чтобы предотвратить вылет СА из атмосферы при К >1. При У,- > У^ выдерживание нулевого угла крена на участке траектории, соответствующей нижней границе коридора, вплоть до достижения максимума перегрузки недопустимо, поскольку при этом не обеспечивается захват СА атмосферой. Поэтому приходится изменить угол крена с у = 0 до у =180° еще до момента достижения максимальной перегрузки. Формула (94) при V,- > Укр становится неприменимой и ширина коридора начинает резко
убывать. Границы коридора смыкаются при У,- = Упр > Укр (Упр — «предельная» скорость входа, [5]), когда полет СА по траектории, расположенной вдоль нижней границы коридора, с самого начала происходит при у = 180°. В [5] получены приближенные формулы для определения значений Укр и У1
пр-
Формула (94) правильно отражает тот реальный факт, что по мере увеличения аэродинамического качества К ширина коридора возрастает лишь до некоторого ограниченного значения:
Ііш АА„ = — ¿Г-»» р
♦шах
1п
У/-1 \ і
+ 1
(95)
В ряде работ [5], [11], [12], начиная с работы [9], анализируются возможности устранения этого явления, если считать возможным изменение не только угла крена, но и угла атаки СА.
3. В работе Эггерса [13] при использовании меньшего набора допущений (22), (23) и (25) (допущение (24) не вводилось) выведено приближенное уравнение движения, близкое к (33), которое можно привести к виду
У" =
1-
(У)
Р^о
2\У2
Лх
+ -
1-
СУ)2 Р>0
(96)
где х и у имеют тот же смысл, что и для уравнения (33), У' = -д/р/ьмпв.
В ряде случаев решения уравнения (96) более точно описывают зависимости 9(К), но точность определения зависимостей пх(У) оказывается несколько худшей по сравнению с результатами расчета по уравнению (33). Причина такого несоответствия заключается в том, что допущения (23) и (24) одновременно перестают быть справедливыми при малых скоростях, но погрешности, вносимые ими в определение функций у (х) или пх(У), частично компенсируют друг друга.
Очень большую роль в развитии аналитических и полуаналитиче-ских подходов к исследованию проблем входа СА в атмосферу сыграли две работы Д. Чепмена [8], [9], При выводе приближенных уравнений движения использовались допущения, несколько отличающиеся от допущений (22)—(25):
относительное изменение температуры по высоте пренебрежимо мало по сравнению с относительным изменением плотности:
, что эквивалентно условию
dT « dp
T P
d_
dh
г \ Р
1 dp a~$~dh’
где
P = -
dh ’
(97)
относительное изменение расстояния до центра планеты в процессе спуска мало по сравнению с относительным изменением горизонтальной скорости и:
(98)
(99)
dr du
«
r и
|К cosy tg0| «1.
С использованием этих допущений в [8] выведено приближенное уравнение движения:
где
du
У Ч 2 .
I - -—J - cos4 9 + JfirKcosy cos* 9 = О, du и uZ
COS0 =
1-
Z--_
ь
P r
и = V cos9, Z =
CyS [r
Уравнение (100) интегрировалось численным путем при начальных условиях: щ « 1, Z,• =0, 0 = 0,- и при различных постоянных значениях параметра у[$гК сое у, хотя в принципе при решении уравнения (100) можно учитывать неизотермичность атмосферы, задавая соответствующую зависимость Р(й). Результаты расчетов позволили получить достаточно полное представление о влиянии угла входа в атмосферу в,- и эффективного аэродинамического качества Адфф на перегрузочный и тепловой режимы СА в процессе спуска, на дальность и время полета в случае, когда скорость входа в атмосферу близка к круговой. Кроме того, на основе этих результатов в [8] получены оценки пределов применимости ряда простых аналитических решений. Отмечено, что решения уравнения (100), относящиеся к траекториям с малыми углами наклона, являются универсальными и могут быть использованы для анализа траектории входа в атмосферу различных планет (как и результаты решения уравнений (33)).
В работе [9] содержатся результаты расчета траекторий входа СА в атмосферу со скоростями, превышающими круговую. В ней предложен весьма удобный вариант задания начальных условий при входе в атмосферу через высоту условного перицентра или параметр условного перицентра, введено понятие о коридоре входа в атмосферу (см. (87), (94)), которое в дальнейшем широко использовалось другими авторами. Приведены результаты расчета коридора входа в атмосферу Земли и других планет, даны оценки возможному расширению коридора входа путем регулирования угла атаки в процессе полета.
4. В работах Н. Вэна и др. ([14], [15], [16], [17]) предложено несколько вариантов приближенных уравнений пространственного движения СА.
Так, в [14] используется система уравнений, которая для случая плоского движения записывается в виде
с/й
ёу
2у[$гуй
сое 9
= -0|у1«е,
1 + *эфф*ё®
яш 0 2 УРгу
(101)
УРГУ
К.
сое©
эфф
Ургу
где у =
сх$
2т
. V2 сое2 0 [V '
и =----------, я = —сое 0а/ — планетоцентрическая
о г
Р 8Г
угловая дальность. При этом вместо допущений (22)—(25) используется единственное допущение
1
1 агр
2рг 2р2 ¿г
«1.
(102)
С некоторыми оговорками (см. п. 6) можно считать, что условие
(102) в случае Земли выполняется с хорошей точностью. При Р = const решения уравнений (101) практически совпадают с точными решениями, описывающими процесс входа в атмосферу невращающейся Земли. Поэтому, в частности, их можно использовать для оценки точности приближенных решений, полученных в других работах.
Одним из интересных подходов к получению приближенных решений является асимптотический метод сращивания решений, харак-
Оіраничимся случаем плоского движения, принимая у = 0, Р = const, и, взяв за основу квадратичную поляру сх = сх0 + Ас2, пере-
1 „ е =------малый параметр.
P^s
На внешнем участке полета, в разреженных слоях атмосферы, решение уравнений (103) можно представить в виде разложения по степеням е:
Подставляя эти выражения в уравнения (ЮЗ) и интегрируя их, находим в первом приближении
пишем уравнения (101) в новых переменах:
du 2 3(l + X2)ue-h/e
dh (1 + h)2 e^max sin 9 ’
= f 1 - 1 1 1 +
(103)
h
rs — некоторое опорное расстояние до центра планеты;
rsgs ’ 2т$ ’ Су
(104)
соотношения для кеплерова движения (Сі и Cj — константы).
На внутреннем участке полета, в плотных слоях атмосферы, решения уравнений (103) можно представить в виде
и = и0 (А) + вщ (А)+..., 1
0 = 00 (А) + е 01 (А) +...,]
(106)
где А = А/е.
Тогда решением уравнений первого приближения для этого участка являетя
-
«о = Схе КЛтах , cos0q = ВХе~и/£ + С2
(107)
Приближенное «композиционное» решение в первом приближении, справедливое на обоих участках, можно найти, склеивая полученные решения:
«к = «о + «о - иоо
= ^0 + 00 - 000
(108)
где и0о и 000 представляют собой предельные значения: иоо = “о(* -» hb) = «о(А -> »),]
0QO = ®о(^ hb) = ®о(^ °°)>|
(109)
а высота Иь соответствует минимуму высоты, достигаемой при погружении СА в атмосферу.
Условия (109) позволяют определить значения констант Сх и С2 :
+ С[ = С1ехр<-
1 + А*
1 = ВХе~Нь/Е + С2.
1 + ^
[ ^-^тах
arc cos С2 к
(110)
В итоге «композиционное» решение имеет вид:
uv =
1 + А
+ Qехр|-
1 + К-
хк,
-arccos
max
COS0K =
+С,-
VCi(l + A)2 + 2(1 + A)
+ Bke~h,z +
VQ( 1 + hb)2 + 2(1 + hb)
(111)
Второе приближение определяется путем введения поправочных членов к первому приближению и решения линеаризованных уравнений [15]. Точность приближенных решений иллюстрируется рис. 6.
Другой подход к решению уравнений типа (101), (103) основан на разложении решений в ряд по малому параметру, пропорциональному начальному значению плотности атмосферы [16], [17].
Уравнения в форме (101) или (103) могут быть использованы для получения приближенных соотношений, связывающих траекторные параметры на различных этапах входа в атмосферу.
Рассмотрим для примера траектории баллистическго СА, соответствующие различным скоростям входа в атмосферу. Полагая 1 + А»1, А" = 0, cos0 * 1 и считая, что р = const, преоб-
Рис. 6. Изменение продольной перегрузки в зависимости от скорости, К = 1:
1 — Є, = -18
З- Є, = -6
і
-12° , 5-
= -3°
6- в. = -2°; і
---- — численный расчет по
уравнениям (103); -----— второе приближение
разуем систему уравнений (111) к виду:
dy_
dx
dv
dx
dcp
dx
= yq>,
= у - fccccpeT|V, = aeT|V -1,
(112)
где
Pi
Picxsir0 Vі cxSpj ity
Ф = -Vn" sin0, ri---------- , ,
m v p
k =
2m
a = Ш
индекс / соответствует условиям входа в атмосферу (А,- «100 км для Земли). Начальными условиями для уравнений (112) являются:
У (0) = 1, v(0) = 0, ф(0) = С.
(113)
Поскольку начальная плотность атмосферы р,- мала, решение (112) системы уравнений можно искать в виде рядов по малому параметру т); ;
У = Уо + ПУ1 +ТУ2+— ,
2
у = Уд + Т)У1 + г] у2+... , ф = ф0 +11Ф! +Г12ф2+... ,
(И4)
считая, что у,(0) = у,(0) = ф,(0) = 0, / > 1.
Тогда уравнения для первого и второго приближения имеют вид:
¿Уо
йх
¿У0 _
йх Лро _ ск
= у0 - каф0, -(1-а),
(115)
Лух
йх
_
ёх
¿91
ёх
- УоФх + У\Фо з
= У\ - ка (ф0 Уо + Ф1), = а у0.
(116)
Исключая в уравнениях (115) независимую переменную х и интегрируя, получаем:
(с2-х2^
Уо = ехР ---г-
Vо =
ка
т
(С2 -х2) + ^ехр
ег{
- е11"
№
(117)
где
х = Фо, 5 = 2(1-<х)>0, С = х(0),
ег^ = -Д- \е~,2Ш.
V* {
Решение (117) справедливо в случае входа СА в атмосферу со скоростью, превышающей круговую (а < 1, 5 > 0). При а > 1 (начальная скорость меньше круговой) выражение для у0 записывается в виде ряда, включающего функции гиперболического синуса [16], [17].
Следующие приближения нетрудно получить в аналитическом виде, последовательно интегрируя линейные уравнения вида (116) и т. д. Сопоставление результатов численного решения уравнений (112)
при ~1^г°Сх = 0,0066 с аналитическими оценками дается на рис. 7 и 8 тп
Рис. 1* Изменение продольной перегрузки в зависимости от скорости для баллистического СА, Щ > 1:
------численный расчет по
уравнению (112);
------первое приближение
Рис. 8. Изменение продольной перегрузки в зависимости от скорости для баллистического СА, Щ < 1:
-------численный расчет по
уравнению (112);
......— первое приближение;
------— второе приближение
для случаев входа в атмосферу со скоростями, большими и меньшими круговой скорости.
Если скорость входа СА в атмосферу совпадает с іфуговой (а = 1), то решение уравнений (115) записывается в виде
„ і
Уо =е > у0 =7^(>'о -1)-*Х,
(118)
где х = Сх, сро = С.
Линейные уравнения для второго приближения приобретают форму:
йУ\ 1
^УІ^УОФІ,
¿Фі
_1
с
,2 УО-дХ-
_1_
с2’
(119)
и легко интегрируются. .
При исследовании движения СА, обладающего подъемной силой, необходимо проинтегрировать упрощенную систему уравнений: :
<& = ёх
сЬ = ёх ё(р ёх
УЧ>,
= (1 + Х2)у- кауе4'*, = -Вку + осе’1'" - 1.
Рассматривая случай «неглубокого» погружения СА в атмосферу с последующим вылетом из нее, можно разложить функцию в ряд и принять в первом приближении ет,у * 1, а во втором приближении е|,у » 1 + ^У.
Тогда решение уравнений (120) в первом приближении записывается в виде
Ф2 = С2 - 2ВХ(у -1) - 2(1 - <х)1пу,
V =
1 + Я* Ж
[(С - ф) - (1 - а)т] - fox In у,
(121)
а при решении уравнений (120) во втором приближении функция у(1пу) в правых частях системы (120) задается по первому приближению, что позволяет получить аналитические соотношения, связывающие параметры траектории.
Наконец, уравнения вида (112) могут быть использованы для расчета траектории квазистационарного планирования. В [16] получена приближенная формула:
1-Г'
К
1 + аха2
1 + Ао
(122)
где
А, =
W
М. =•
2 w
- (1 - w)u2j
К (1 + w)
$Гои2(1-и1)
которая определяет профиль такой траектории.
5. Для оценки различных вариантов уравнений движения полезно записать эти уравнения по возможности в единообразной форме и сопоставить точность получаемых решений.
Рассматривая случай сх = const и ограничиваясь допущениями (22) и (25), можно записывать уравнения движения в форме:
dy_
dx
dz
dx
ze
2x
уі&ЬУ
vrr?+<^-i)(i-^)
-K
эфф
уі&оУ
1-
ze
2x
(123)
где z = -sin0, переменные x и у определяются так же, как и для уравнения (33). Можно убедиться, что эти уравнения совпадают с упрощенным вариантом уравнений Вэна [14] (если 1 + h « 1).
Если наряду с допущениями (22) и (25) принять допущение (23), то уравнения (123) переходят в уравнение Эггерса (96).
Добавляя, наконец, допущение (24), получаем уравнение в форме (33), где у' = -д/р/ь0 •
Наконец, если воспользоваться допущениями (22) и (25), а также ввести дополнительные допущения:
\К.
эфф
«1,
d{v cose)
V cos0
»
dh
щ+h
то уравнение движения можно представить в форме, предложенной Чепменом [8], что эквивалентно уравнению
У" = - П
1-
-7 \3/2
(У)2 Р*Ь
1
(у Г Р>о
(124)
где у' = sin 0, смысл переменной у таков же, что и для уравнений (33), (96) и (123), но переменная х определяется выражением
1
X = 1п-
V cos0
(125)
Уравнения (96), (123) и (124) справедливы при 0 > -90° (cos0 > 0), в противном случае следует изменить знак первых слагаемых в правой части (96) и (124).
Уравнения (33), (96), (123) и (124) неприменимы на верхнем участке траектории из-за нарушения допущений (23) и/или (25). Поэтому начальные условия задавались при х0 =0,01, поскольку при х > 0,01 допущения (23) и (25) становятся справедливыми.
Рассматривалось несколько вариантов: г| = 0, г| = 30 и г| = -30 (для Земли К = 0; 1 и - 1).
Результаты расчетов представлены в виде зависимостей nx(V) (наиболее важная зависимость, определяющая профиль траектории в плоскости (V, К)) и -sin0(n (рис. 9 и 10). Зависимости, найденные из решения уравнений (123), названы точными (с оговоркой, касающейся допущения (22) об экспоненциальной модели плотности).
Как видно, в случае баллистического спуска уравнение Чепмена (124) дает результаты, очень близкие к точным. При использовании наиболее простого уравнения (33) зависимости nx(V) и -sin0(F) начинают сильно отличаться от точных при V <0,05. Использование
Рис. 9. Зависимости продольной перегрузки от скорости, численные расчеты:
1 — уравнение (33); 2 — уравнение (96); 3 — «точные» уравнения (123); 4— уравнение (124)
К=1
/Г=~7
Рис. 10. Зависимости угла наклона траектории от скорости, численные расчеты: 1 — уравнение (33); 2 — уравнение (96); 3 — «точные» уравнения (123); 4 — уравнение (124)
уравнения Эггерса (96) несколько ухудшает точность определения кривой пх(У).
Для траектории квазистационарного планирования получим, что уравнение Чепмена дает результаты, близкие к точным, при V > 0,05, но далее искажает результаты, поскольку перестает выполняться допущение [ЛГэфф *80| «1- Уравнения (33) и (96) дают результаты, близкие к
точным, при V >0,07. В случае К = -1 значение 0 достигает - 90° при х = 1,52 (V = 0,22), поэтому уравнения (33), (96) и (124) применимы при
V > 0,22.
Уравнение Эггерса (96) дает результаты, близкие к точным. Решение уравнения (33) имеет приемлемую точность при V >0,35, а уравнение Чепмена оказывается непригодным: максимальное значение перегрузки оказывается завышенным в два раза.
На основании сравнения можно сделать вывод, что при К > 0 из приближенных уравнений наиболее точным является уравнение Чепмена, а при К < 0 его применение нецелесообразно.
Уравнения (33) и (96) приводят к сходным результатам, причем уравнение (33) имеет заметное преимущество в смысле простоты.
б. Как было сказано выше, одним из наиболее существенных допущений, влияющих на точность расчета траектории, является допущение об экспоненциальной модели плотности. В ряде работ ([8], [14]) показано, что это допущение может быть устранено, если в уравнении (124) или (101) в качестве зависимой переменной использовать функцию
где функция Р(Й) = “ 4т- считается медленно изменяющейся функци-р ап
ей высоты. Однако если следовать принятой во многих странах модели стандартной атмосферы, в которой зависимость температуры от высоты Т (К) содержит изломы, то, согласно этой модели, функция р (А) оказывается негладкой и даже содержит разрывы, поскольку с учетом уравнения (16)
<Ш)
Тогда использование функции у (К) в качестве зависимой переменной крайне неудобно: она является немонотонной функцией высоты, ее производная включает в качестве слагаемого дельта-функцию.
Поэтому целесообразно модифицировать модель стандартной атмосферы таким образом, чтобы сделать функцию р (К) гладкой, тем более, что в действительности она является гладкой. В принципе эта задача не очень сложна.
Например, можно задавать функцию Т (г) на различных интервалах гк + Г£+1 в виде
Т = (ак + Ькг + скг2 + ёкг3) 1
или
Т = {ак+ Ькг)( 1 + скг + ёкг2) 1
вместо
Т = ак + Ькг
с уменьшением числа интервалов и сохранением непрерывности про-„ йТ
изводнои — при переходе от одного интервала к другому, тогда зави-аг
симость р (г) с учетом (16) может быть выражена аналитически.
1. Allen Н. J., Eggers A. J. A study of the motion and aerodynamic heating of missile entering the earth's atmosphere at high hypersonic speeds// NACA Report.- 1958, N 1381.
2. Eggers A. J., A lie n H. J., Neice S. A comparative analysis of the performance of long-range hypervelocity vehicles//NACA Report.— 1958, N 1382.
3. Nonweiler T. The motion of an earth satellite on reentry to atmosphere//Acta Astronáutica.— 1959, N 1.
4. Ярошевский В. А. Приближенный расчет входа в атмосферу// Космические исследования.— 1964. Т. II, вып. 4, 5.
5. Ярошевский В. А. Вход в атмосферу космических летательных аппаратов.— М.: Наука,— 1988.
6. Ярошевский В. А. Аналитические оценки профиля траектории космического летательного аппарата на различных участках входа в атмосфе-ру//Космические исследования, в печати.
7. Шкадов JI. М., Буханова Р. С., Илларионов В. Ф., Плохих В. П. Механика оптимального пространственного движения летательных аппаратов в атмосфере.— М.: Машиностроение.— 1972.
8. Ч е п м е н Д. Р. Приближенный аналитический метод исследования входа тел в атмосферу планет,— М., Иностранная литература,— 1962.
9. Chapman D. R. Analysis of the corridor and guidance requirements for supercircular entry into planetary atmospheres//NASA TR.— 1959, N R-55.
10. Levine Ph. Analysis of planetary entry problem associated with manned vehicles//IAS Paper.— 1962, N 162.
11. Смольяков Э. P. Оптимизация коридора входа в атмосферу// Космические исследования.— 1970. Т. VIII, вып. 2.
12. Каменков Е. Ф. Маневрирование спускаемых аппаратов,— М.: Машиностроение.— 1983.
13. Эггерс А. Возможность безопасной посадки//Сб.: Космическая техника. Под ред. Г. Сейферта.— М.: Наука.— 1964.
14. Vinh N. X., Busemann A., Culp R. D. Hypersonic and planetary entry flight mechanics.— Ann. Aibor. The University of Michigan Press.— 1980.
15. Vinh N. X., Kuo Z. S. Improved matched asymptotic solutions for deceleration control during atmospheric entry. Proceedings of 45th IAF-94-A.2.012.
16. Vinh N. X., L. de Olivé Ferreira, Kim E. K., Green wood D. T. Higher-order analytical solutions for critical cases of ballistic entries// AIAA-96-3425-CP.
17. L. de Olivé Ferreira. Nonlinear dynamics and stability of hypersonic reentry vehicles. Dissertation for the Ph. D. degree, Michigan University.— 1995.
Рукопись поступила 11/VI 1996 г.
