Аналитические аспекты расчета прямоугольных плит, лежащих на сплошном грунтовом основании Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Библиографический список

1. СП 13-102-2003. Свод правил по проектированию и строительству. Правила обследования несущих строительных конструкций зданий и сооружений.

2. СНиП 2.03.01-84 Бетонные и железобетонные конструкции.

3. СНиП 2.01.07-85* Нагрузки и воздействия.

4. ГОСТ 17624-87 Бетоны. Ультразвуковой метод определения прочности.

5. СНиП 2.02.01-83 Основания зданий и сооружений.

6. Лужин О.В., Злочевский А.Б. и др. Обследование и испытание сооружений. (М: Стройиз-дат,1987г).

Modelling is intense-deformed Conditions of the trunk of the open caisson

V.A. Rudak, N.V. Belyaev

In paper the alternative of a reinforcement of soils by a method high-pressure pumping is observed. Taking into account the data gained at

diagnostic study, the is intense-deformed condition of a trunk of an open caisson has been simulated. As a result of modelling the technical condition of designs of an open caisson after a reinforcement of soils is sized up as efficient.

Беляев Никита Владимирович - канд. техн. наук, доцент кафедры «Строительные конструкции» Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии. Основное направление научных исследований - автоматизация проектирования металлоконструкций зданий и сооружений. Имеет 16 опубликованных работ.

E-mail: 400970@mail.ru

Рудак Виталий Алексеевич - старший преподаватель кафедры ««Строительные конструкции» Сибирской государственной автомобильнодорожной академии. Основное направление научных исследований - применение информационных технологий в проектировании строительных конструкций зданий и сооружений. Имеет 9 опубликованных работ.

Статья поступила 04.11.2009 г.

УДК 624.2

АНАЛИТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ РАСЧЕТА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛИТ, ЛЕЖАЩИХ НА СПЛОШНОМ ГРУНТОВОМ ОСНОВАНИИ

В.Н. Завьялов, канд. техн. наук, доц., Е.А. Мартынов, канд. техн. наук, доц., В.М. Романовский, канд. техн. наук, доц.

Аннотация. Рассмотрен расчёт прямоугольных плит на грунтовом основании с двумя коэффициентами постели вариационным методом Ритца. Получены выражения для определения осадки грунтового основания, внутренних силовых факторов возникающих в плите.

Ключевые слова: плита, основание, усилие, осадка.

Введение

При создании транспортных сооружений, в частности автомобильных дорог, достаточно часто встречаются плитные конструкции, лежащие непосредственно на грунтовом основании. В механике деформируемого твердого тела разработано много методов расчета таких конструкций. Большинство этих методов расчета связано с численной реализацией решения дифференциальных уравнений, описывающих изгиб плит, лежащих на грунтовом основании. Расчеты, связанные с численной реализацией решения дифференциальных уравнений, как известно, являются приближенными. В этой связи представляет интерес получения аналитического решения этой за-

дачи, которое будет точным и может служить критерием точности численного решения. Расчетные предпосылки В настоящей статье представлены обоснование и аналитический метод расчета прямоугольных плит, лежащих на сплошных грунтовых основаниях, при действии на плиты статической нагрузки д(х, у) изменяющейся по поверхности плиты по произвольному закону. При этом предполагается, что плиты могут иметь по своим кромкам различный характер опирания.

Анализ работы системы «статическая нагрузка + плита + грунтовое основание» в данном исследовании осуществлялся с использованием вариационных принципов механики деформируемого твердого тела.

Модель грунтового основания в настоящем исследовании принята с двумя характеристиками С1 и С2, описывающими способность грунтового основания сопротивляться силовым воздействиям. Принятая модель грунтового основания является синтезом моделей, изложенных в работах П.Л. Пастернака [1] и В.З. Власова [2]. Частным случаем такой модели является Винклерово основание, в котором присутствует одна характеристика С1, пропорциональная осадке м{х, у) основания.

Вывод разрешающих уравнений

Реактивное усилие г(х, у), действующее

на плиту со стороны основания, в соответствии с принятой моделью этого основания может быть описано выражением

г (х, у ) = с1 • w(x, у)- с

(д 2 ^

дх 2

д2™ Л ду 2

(1)

Тогда полная внешняя нагрузка р(х, у),

действующая на рассматриваемую плиту (рис. 1) как с внешней стороны, так и со стороны грунтового основания, определится из выражения

р(х, у) = д(х, у) + с • w(x, у) - с

дх 2

д 2 у

.(2)

Рис. 1. Расчетная схема

Согласно вариационного принципа, разработанного В. Ритцем [3], полная энергия изгиба системы «статическая нагрузка + плита + грунтовое основание» представляет собой сумму энергии и, идущей на деформирование плиты и потенциала П внешних нагрузок д(х, у) и г (х, у), действующих на плиту

Э = и + П.

(3)

Потенциал внешних нагрузок П, определяемый как работа элементарных сил р(х, у)

на перемещениях ^(х, у) при переводе изогнутой плиты из деформированного состояния

в первоначальное недеформированное состояние представляет собой интеграл

аЬ

(4)

П = -11 р(х, у Их, у )dxdy.

00

С учетом (2) потенциал внешних нагрузок Ппринимает вид

аЬг

П = -Щ9(х> у ) + С1 • у )-

00

(д2 д2 ^

д w д w

(5)

- с

дх

2

ду

2

w(x, у )4ху

Энергия и деформирования плиты, имеющей произвольный характер закрепления ее кромок, может быть описана известным интегралом, интегрирование которого осуществляется по всей поверхности плиты

1 аЬ

и = 2 Л л

2 00

- 2(1 - V)

(д2 д2 ^

д w д w +

2

дх

2

ду

2

у

.(6)

д 2 w д 2 w Гд 2 w ^ 2 Т

дх 2 ду vдxдy у

dxdy

В том случае, если все грани плиты так или иначе закреплены, то есть на всех гранях линейные перемещения ^(х, у) = 0 , выражение (6) принимает вид

0 0

д w д w дх2 + ду2

dxdy.

(7)

Тогда выражение для полной энергии Э, описывающее изгиб плиты, находящейся под воздействием нагрузки р(х, у), принимает

вид

1 аЬ

Э = 2 IIЛ

2 00

(д2w д2w^

--------1-------

дх 2 ду 2 у

2

- 2(1 - ’

( д 2 w Л 2 Т

Удхду у

dxdy -

д2w д2w дх2 ду аЬг

-111^(х. у)+с1 • w(x, у )-00 (8)

- С г

ґ *2 Д2 \

д w д w

---------1-------

дх2 ду2

V

dxdy.

+

+

+

Применительно к расчету плит вариационный метод В. Ритца предполагает назначение разделяющейся функции ^(х, у) линейных перемещений (осадок) основания в виде ряда

(х у) = X X Ятп • /т (х) • Рп (у) ■ (9)

'№(Х.

=1п=1

дЭ

дят„

= 0.

(10)

После взятия от выражения (11) соответствующих производных и подстановки их в (8) получаем выражение

Э=т 11 ^'^Му)+/1 (хК( у)]2 5

2 „2 11

0 0

При этом функции /т(х) и рп(у) назначают таким образом, чтобы они удовлетворяли лишь геометрическим условиям закрепления граней плиты. Выбор функций /' (х) и

Рп (у) является одним из важных моментов в

решении задачи, поставленной в данном исследовании. Анализ имеющихся в технической и математической литературе функций, выполненный авторами, показал, что требуемым критериям наиболее полно соответствуют балочные функции или функции колебания простых балок.

Параметр Ятп подлежит определению.

После подстановки (9) в выражение (8) получается уравнение, в котором неизвестным

является параметр Ятп.

Согласно вариационному методу В. Ритца полная энергия плиты (8) должна иметь стационарное значение. Поскольку полная энергия плиты, что очевидно из анализа структуры выражения (8), является квадратичной функцией относительно параметра Ятп, то стационарность потенциала (8) будет обеспечиваться в том случае, если будет соблюдаться условие

- 2(1 - ^[/Хх )Р1 (у)/(х )р'(у) -

- (/Г(х) • р1 (у))2 ] • 5121 }хёу -

а Ь

-11 [^(х. у )• •% • /1 (х)Р (у)

+

0 0

Выражение (10) представляет собой систему линейных однородных алгебраических уравнений относительно искомых параметров Ятп, которые, будучи умноженными на /т (х)

и Рп(у)’ создают функции ^(х,у), являющиеся экстремалями, доставляющими стационарность потенциалу (8). Порядок этой системы линейных алгебраических уравнений определяется числом удерживаемых членов ряда (9).

Рассмотрим определение параметра ятп,

удерживая только первые члены двойного ряда (9), то есть, полагая т=1 и л=1. Тогда задаваемая функция осадок основания примет вид

W(x, у ) = 511 • /1(х(у ). (11)

+ С5^2 (х р2 (у)-

с2 4 (/1(х) • Р1 (у) + /1 (х) • р (у))\кйу. (12)

Выполняя по отношению к выражению (12) условия (10), получено уравнение, в котором неизвестным является искомый параметр 511

а Ь (

° 11 Шх)Р1 (у) + /1 (х)Р1(у)]2 • •% -

00

- 2(1 - v )СЛХх )/1(х )Р1(у )Р1 (у) --(/1(х))2 (р1 (у))2 ] •% }хйу-

— ■

-№(х, у )• / (х) • р(у)

+

(13)

0 0

+ 2511 [с1 • /1(х (у)-

- с2 (/Г(х) • Р1 (у)+/1(х) • р(у Ш^у=0.

Из уравнения (13) находим параметр 5ц

(14)

Ап

511 =.

11 Вц

Числитель отношения (14) принимает вид

а Ь

А11 = Ч1/1(х)ёх • 1р(у Уу . (15)

0 0

Знаменатель отношения (14) принимает

вид

’ +

В11 = т 11 [/1,(х )]2 ёх • 1 Рр (у ^у

[0 0

a Ь

+1 /l2 (х Ух • 1[р"(у)]2 ёу +

00

а а

+ 21 /Лх)/1(х)ёх 1Р1 (у )р(у)ёу -

00

а Ь

- 2(1 - v)1 /1(х)/1(х )ёх1 Р1 (у)р'(у )ёу -

а

0

0

+

-j[fl; (x )]2 dx {[p; (у)]2 dy\

o o

a b

+ 2cl {[f (x )]2 dx {[P1 (y)]2 dy -

OO a b

- 2c2 { fl;(x)fl(x)dx{[Pl (y)]2 dy -

OO

ab

- 2c2 {[fl(x )]2 dx { Pl (y M(y )dy ■

(ї6)

Равенство

с = 0 и с2 = 0 в выражении

(16) означает, что плита не лежит на упругом основании. При С2 = 0 грунтовое основание

соответствует модели Винклера.

Подставляя найденное аналитическое выражение в (11), получаем формулу, по которой может быть построена поверхность осадок упругого грунтового основания.

Поверхности внутренних усилий могут быть построены по известным формулам

(ї7)

Mx =- D • sll[f1(x )-Pl(у)+ vfl(x

My =- D • sn[fl(x )pT( у )+vf1(x )Pi (у)]

H = -D(l-V>sll • fl;(x)p'x(у);

Q,

Qy

D • sn L/l'(x )Pi (y)+fl;(x )p,(y)]; D • sn [f1(x M (y)+fl(x Mу )1

В качестве примера применения балочных функций для расчета плит, лежащих на сплошном грунтовом основании, рассмотрим плиту, срединная поверхность которой показана на рис. 2 и кромки которой имеют различный характер опирания.

Рис. 2. Схема плиты

Для представленного на рис. 2 характера опирания кромок плиты граничные условия принимают вид:

для грани с координатами х = 0 и 0 < у < Ь изгибающий момент Мх = 0, а

обобщенная

Vx =- D -

дx

поперечная

сила

д w ґ \д w —Г + (2 - v )—2

дx ду

для грани с координатами х = а и

0 < у < Ь изгибающий момент М = 0, а ли-

нейное перемещение этой грани ^х^ у )= 0;

для грани с координатами у = 0 и

0 < х < а изгибающий момент Мх = 0, а

обобщенная поперечная сила

У = - D д

дx

д2 w / \д^

+ (2 - v >

дx

ду2

=O

для грани с координатами у = Ь и

0 < х < а линейное перемещение этой грани ^(х, у) = 0, а также угловое перемещение

0.

dw dy

В качестве составляющих (f (х)) и

((Р1 (у)) выражения (11) авторы предлагают

использовать функции колебания простых балок [4] (первые формы), удовлетворяющие соответствующим (рис. 2) условиям опирания рассматриваемой плиты:

w ч , 3,9266 3,9266

f1 (х) = ch----------------х - cos-х -

a a ; (18)

1 , 3,9266 . 3,9266 Л

1,0007 sh-------х - sin-------х

/ Ч , 1,8751 1,8571

Pl (у) = ch^—y - cos^rу -

b b . (ї9)

0,7341

sh

l,875l

b

у

l,875l sin--------у

b у

Заключение

Выполняя над функциями (18) и (19) математические процедуры, соответствующие изложенному в настоящей статье методу, можно получить значение параметра 5 , а по

формулам (11) и (17) найти осадки грунтового основания и внутренние силовые факторы, возникающие в поперечных сечениях рассматриваемой плиты. По этим данным можно выполнить оценку напряженно-

деформированного состояния плиты, лежащей на грунтовом основании.

Библиографический список

1. Пастернак П.Л. Основы нового метода расчета фундаментов на упругом основании при по-

b

a

O

O

a

a

мощи двух коэффициентов постели. - М.: Гос-стройиздат, 1954. - 354 с.

2. Власов В.З., Леонтьев Н.Н. Балки, плиты и оболочки на упругом основании. - М.: Физматгиз, 1960. - 450 с.

3. Лейбензон Л.С. Вариационные методы решения задач теории упругости. - М.: Гостехиздат, 1934. - 286 с.

4. Прочность. Устойчивость. Колебания. Справочник. Т. 1 / Под ред. И.А. Биргера, Я.Г. Пановко. -М.: Машиностроение, 1968. - 450 с.

The analytical aspects of calculation rectangular plates laying on solid spring base

V.N. Zavyalov, E.A. Martyinov,

V.M. Romanovskiy

The calculation by method of Ritz of rectangular plates on dirt base with two modulus of subgrade reaction is studied in the article. The expressions for calculation the setting of the ground base, internal forces factors existing in the plate are obtained.

Завьялов Виктор Николаевич - канд. техн. наук, доцент кафедры «Строительная механика» Сибирской государственной автомобильнодорожной академии. Основное направление научных исследований - Расчет пластинчатостержневых систем в упруго-пластической стадии. Имеет 82 опубликованные работы.

Мартынов Евгений Анатольевич - канд. техн. наук, доцент кафедры «Строительная механика» Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии. Основное направление научных исследований - Расчет конструктивно-анизотропных конструкций. Имеет 47 опубликованных работ. E-mail: asp_evg@mail.ru Романовский Владимир Михайлович - канд. техн. наук, доцент кафедры «Строительная механика» Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии. Основное направление научных исследований - Расчет пластин с учетом упрочнения материала. Имеет 64 опубликованные работы.

Статья поступила 12.11.2009 г.

УДК 624.0142

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АРОЧНОГО ПРОФНАСТИЛА ПРИ РЕКОНСТРУКЦИИ ЗДАНИЙ

ЛВ. Красотина, ЮВ. Краснощеков, д-р техн. наук, Ю.М. Мосенкис, канд. техн. наук

Аннотация. В статье представлено техническое решение совмещенного покрытия здания с использованием арочного профнастила при реконструкции зданий 335 серии.

Ключевые слова: Арочный профнастил; реконструкция жилых зданий; конечноэлементная модель; статическая прочность; устойчивость.

Введение

Проектным институтом «Омскжелдорпро-ект» совместно с кафедрой СК СибАДИ разработана проектная документация с использованием арочного профнастила для реконструкции жилых домов серии 335 (рис.1), в частности для жилого дома №8 по ул. Нефтезаводская, на котором ведутся ремонтно - восстановительные работы.

Инженерное решение

Данный тип совмещенного покрытия при реконструкции зданий используется впервые. Известно, что кровля с использованием арочного профнастила отличается от существующих решений легкостью, возможностью соз-

давать интересные архитектурные детали, высокой скоростью возведения, надежностью в процессе эксплуатации.

Арочное однослойное покрытие, пролётом L = 12,4 м со стрелой подъёма f = 2,3 м принято из профилированного настила Н60 толщиной t = 1 мм с трапециевидными гофрами (рис. 2). Площадь сечения одного листа шириной Ь = 1 м А = 1714 мм2, момент инерции 1х = 970000 мм4 и момент сопротивления 1/Ух = 25380 мм3. Арочные конструкции изготавливаются по технологии австрийской фирмы <^ЕМА№> на оборудовании ООО «Монтаж-проект», г. Омск.