CC BY
64
УДК 359.3:539.42+681.3
АНАЛИТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА MAPLE 8 ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МНОГОСЛОЙНЫХ
СРЕД МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ
Т.Н. Алексеева, Е.С. Лясина, Е.Н. Моос
Решение уравнения теплопроводности выполняется с помощью интегральных преобразований Лапласа и Фурье. Построена система линейных алгебраических уравнений для теплового поля многослойного материала и решена с помощью системы аналитических вычислений Maple 8. Приведена вычислительная программа для решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода
Ключевые слова: уравнение теплопроводности, интегральное уравнение Фредгольма второго рода, Мар1е
Многослойные материалы широко применяются в различных областях техники и строительстве. Примером тому могут служить конструкции многослойных корпусов химических и ядерных реакторов, летательных аппаратов и др. Проблема прочности многослойных элементов конструкций и сооружений и необходимость ее практического решения вызывает большой интерес многих исследователей к изучению процесса их деформирования и разрушения. Для исследования прочности многослойных материалов под воздействием внешних температур важны расчеты тепловых полей [1,2].
Пусть задана упругая среда 0 < х < кп, -ж <у< ж, состоящая из п слоев различных упругих материалов жестко сцепленных между собой. Границы слоев перпендикулярны координатной оси х. При /=0 температура в каждом слое Т (х,у,0) = 0 (г = 1,...,п). В момент времени Г>0
71(0, у, /) = /(у, /), Тп (кп, у, /) = <р(у, /); (1)
при I = 1,...,п -1
Т (h, у, t) = Tt+i(ht, у, t)
к
dT (х, у, t) дх
дт,+i( х У, t)
дх
(2)
' х=к V у х=к
где к1 - коэффициент теплопроводности г-го слоя. В пределах каждого слоя при |у| ^ ж
7 (х, у, /) ^ 0, ^ 0, дТИХ^ ^ 0.
дУ ду2
Рассмотрим уравнение теплопроводности
д2Т д2Т
—- +---------L
дх2 ду2
дТ
дt
(3)
где a - коэффициент температуропроводности i-го слоя.
Алексеева Татьяна Николаевна - КИ(ф)МГОУ, аспирант, тел. 8-916-482-57-35
Лясина Елена Сергеевна - КИ(ф)МГОУ, аспирант, тел. 8-916-9812018
Моос Евгений Николаевич - КИ(ф)МГОУ, д-р техн. наук, профессор, тел. 8-906-541-22-20
Начальный этап решения этого уравнения раскрывает широкие возможности применения системы аналитических вычислений Maple 8, которая позволяет найти решение в символьном виде и эффективно справиться с трудоемкими вычислениями.
Искомое решение T (х, У, t), а также его производные, входящие в уравнение (3), удовлетворяют условиям существования преобразования Лапласа [3] по времени t. После применения преобразования Лапласа уравнение (3) примет вид
а | + дт -(х2 у,s) , - т.(х, у, s) = 0 , (4)
дх2
ду2
где
| т (х, у, tys‘dt = Т * (х, у, s).
Функция температуры Т* (х, у, s), а также ее производные, удовлетворяют условиям
существования преобразования Фурье [3] по координате у. После применениям преобразования Фурье уравнение (4) примет вид
’Т~( х;А- (Аг +^)Т-(х.Л,,) = 0, (5)
ёх а.
где
^ IТ* (х, у, s)e‘лЧу = Т" (х, 2, s).
Решение уравнения (5) будем искать в виде
Г*( х,2, s) = С1(і )е~цх + C2' )е^х
(6)
где а>1 = А2 +---и Т**(х,А,5)- преобразованная
V а
по Лапласу и Фурье функция.
В случае, например, трехслойного материала для нахождения коэффициентов С
(i)
С( (г = 1,2,3) в функции (6) нужно
воспользоваться граничными условиями (1) и (2), применив к ним преобразование Лапласа и Фурье, предполагая, что функции /(у, /) и (р(у, /)
удовлетворяют условиям существования этих преобразований. Тогда граничные условия примут вид:
а
Т\h ,2, s) = Oh, ,2, s)
дТ~(х,2,s)^ к { дТі+1(х,2,s)
дх
= ki+
дх
\=hi
(7)
Т"(0,2, s) = F (2, s), Т3** (h3,2, s) = G(2, s),
где F(А, 5) и 0(А, 5) - преобразованные по Лапласу и по Фурье функции /(у, /) и (р(у, /) соответственно, а г = 1,2,3 .
Распределение температуры в каждом слое задается функциями
Учитывая (7) и (8), получаем следующую систему линейных алгебраических уравнений:
Т **( х,2, s) = С(1) е ® + С2(1) е
1 (11 щх
Т2**( х,2, s) = С(2) е® + C22) е
Т"( х,2, s) = Q(3) е® + C23) е
',(2)/? ®2Х
'2
Ч3)„ ®3х
где ®1 =2 +
щ2 = „ 22 +
®3 — 22 +
(8)
Mathcad, которые больше подходят для численных методов. Совокупность команд имеет вид:
С^еЩ + стеоЩ’1 = С^е^®4 + С^е
■(1)е-щ>ъ
С^е^Щ1'2 + C(2)eЩ2h2 = С^)е^ЩЬ2
- £1С1(Щ1еЩ + k1C21)щ1eй1hl =
- k(C(2)щ2e-Щ(hl + £(С(ЩеЩ1,
(2)ещ2к1
'(3). ®3h2
к2С{Щ2е~ + к^юе =
(9)
к3С(^)щ3е
®3h2
+к3С^)щ3е
®3h2
С + С? = F(А, 5),
С^е^ + С? в"*3 = 0{А, 5).
Таким образом, возникает необходимость решить систему шести линейных уравнений с
(2) ^(2)
шестью
неизвестными
С(1), С2( , с(2), с.
C(3), cf. С поставленной задачей эффективно
справляется программное средство Maple 8, которое позиционируется как система аналитических вычислений (используем команду linsolve пакета linalg [4]), в отличие от Ехсе1 и
>-тШ(1ша^):
# Составление матрицы А коэффициентов при неизвестных в правой части системы (9) >А:=та1пх(6,6,[ехр(^1*Ы),ехр^1*Ы),-ехр(-w2*h1),-exp(w2*h1),0,0,0,0,exp(-w2*h2),exp(w2*h2),-exp(-w3*h2),-exp(w3*h2),1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,exp(-w3*h3),exp(w3 *h3),-w1*k1*exp(-w1*h1),w1*k1*exp(w1*h1),w2*k2*exp(-w2*h1),-w2*k2*exp(w2*h1),0,0,0,0,-w2*k2*exp(-w2*h2),w2*k2*exp(w2*h2),w3*k3*exp(-w3 *h2),-w3*k3*exp(w3 *h2)]);
# Матрица-столбец свободных членов В системы (9)
> B:=matrix(6Д,[0,0,F,G,0,0]);
#Решение матричного уравнения АХ=В >Є:=1іп80іує(А,В);
Матрица С представляет собой искомое решение системы (9):
С (і) {- к1к3а1а3ск(а3(к2 - h3))sh(®2(h2 - h1)) + к®2 sh(®3(h2 - h3))sh(®2(h2 - h)) -
1 2®1ch(h1®1){- k1k2®2ch(®2 (h2 - h1 ))sh(®3 (h3 - h2)) - k1k3®3sh(®2 (h2 - h1 ))ch(®3 (h3 - h2))} +
к2к3®2®3ch(®3(h2 - h3))ch(®2(h2 - h1)) + к1к2®1®2sh(®3(h2 - h3))ch(®2(h2 - h1))}e*1®1 F(2, s) + к2к3®2®3G(2, s) 2®^^ ’
С(i) {- k1k3®1®3ch(®3(h2 - h3))sh(®2(h2 - h1)) - k22®22sh(®3(h2 - h3))sh(®2(h2 - h1)) +
2 2®1ch(h1®1){- k1k2®2ch(®2 (h2 - { ))sh(®3 (h3 - h2)) - к1к3®3sh(®2 (h2 - h ))ch(®3 (h3 - h2))} +
к2к3®2®3^(®3ф2 -h3))ch(®2(h2 -h1)) + к1к2®1®2sh(®3(h2 -h3))ch(®2(h2 -h1))}e-h1®1 F(2,s)-к2к3®2®30(2,s) 2®^ ’
С(2) = ®1eh2®2F(2,s){- к1к3®3^(®3(h3 - h2)) - к1к2®2sh(®3(h3 - h2))}+
1 2®1ch(h1®1){- ^^^^^^^^(®2(h2 - h1))sh(®3(h3 - h2)) -к1к3®3sh(®2(h2 - h1))ch(®3(h3 - h2))}+
e*1®2 ^(2, s){k1k 3®1®3ch(h1®1) - к3к2®3®2 sh(h1®1)} ;
2®2sh(h1®1){- к22®2sh(®2(h2 - h1))sh(®3(h3 - h2)) - к2k3®3ch(®2(h2 - h1))ch(®3(h3 - h2))}’
д=*
s
s
s
a
a
a
2
2
C(2) klale hmF(2,s){-k2®2sh(a3(h3 - h2)) + k3a3ch(a3(h3 - h2))} +
2 2®1ch(h1®1){- kjk2®2ch(®2(h2 - hj)sh(a3(h3 - h2)) -k1k3a3sh(a2(h2 - hj)ch(a3(h3 - h2))}+
e ~hl‘°1 G(2, s){- k1k3®1®3ch(h1®1) - k3 k2a3a2 sh(hlal)}
2a2sh(h1a1){- klm2sh(a)2(h2 - hj)sh(m3(h3 - h2)) - k2 k3m3ch(m2(h2 - hj)ch(m3(h3 - h2))}’
C(3) _ {k2®2ch(®2(h2 -h1)) -k3rn3sh(a2(h2 -h1))]k1®1ch(h1®1) +
1 2a2sh(h1a1){- k{2sh(®2(h2 - hj)sh(m3(h3 - h2)) - k2k3a3ch(a2(h2 - hj)ch(m3(h3 - h2))}
k2a2sh(h1a1 )[k2®2sh(®2 (h2 - h1)) - k3a3ch(a2 (h2 - h1 ))]}e*2^! G(2, s) - k1k2®1®2F(2, s)ehimi 2rn2sh(h1a1){- k{sh(®2(h2 -hl))sh(rn3(h3 -h2)) -k2k3a3ch(a2(h2 - hj)ch(m3(h3 -h2))} ’
C(3) _ {-k2®2ch(a2(h2 -h1)) -k3rn3sh(a2(h2 -h1))]k1®1ch(h1®1) -
2 2®2sh(h1®1){- k{2sh(®2(h2 - hj)sh(m3(h3 - h2)) - k2k3m3ch(m2(h2 - h1))ch(®3(h3 - h2))}
k2ю2sh(h1m1 )[k2®2sh(®2 (h2 - h1)) + k3w3ch(w2 (h2 - h1 ))]e“h2<!5 G(2, s) + k1k2®1®2F(2, s)e~h3"’3
2a2sh(h1a1){-k22®2sh(®2(h2 -hl))sh(rn3(h3 -h2)) -k2k3a3ch(a2(h2 -hl))ch(rn3(h3 - h2))}
Приведем еще один показательный пример применения системы аналитических вычислений Maple 8. Задачи механики разрушения однородных и многослойных сред приводят к необходимости решения интегральных уравнений Фредгольма второго рода:
у/(x) -jK(x, t)y(t)dt _ f (x),
(10)
где К (х, /) - ядро интегрального уравнения, ц/(.х) -искомая функция.
В задачах механики разрушения в случае однородного растяжения правая часть уравнения (1)
/ (х)=1. При других схемах нагружения меняется лишь правая часть.
Уравнение (10) можно численно решить заменой его конечной системой линейных алгебраических уравнений [5]: п 1
И(х) -X-К(х, хИ(х]) = /(х) + е . (11)
>1 п
Здесь п - число разбиений отрезка интегрирования [0; 1]; х - абсцисса точки, в которой вычисляется
подынтегральная функция на ]-ом участке интегрирования; е - ошибка, связанная с заменой интеграла конечной суммой [6]. Полагая х=х1 (г = 1,2,...,п), приходим к системе п линейных уравнений:
п 1
Ил )-£-К(х, х])у(х]) = /(х1). (12)
j=l п
По значениям и(х1),.,и(хп) приближенное значение самой функции может быть найдено, например, с помощью интерполирования.
Следует отметить, что для решения интегральных уравнений (10) с ядром, представляющим достаточно сложную функцию и правой частью , не равной 1 (именно такие случаи возникают при решении задач механики
разрушения многослойных материалов с краевой трещиной), не подходит ни электронная таблица М8 Ехе11, ни такие мощные программные средства как MathCad и МаШешайса. Система
аналитических вычислений Мap1e 8 эффективно позволяет справиться с поставленной задачей [4].
В частности, для решения интегрального уравнения
у/(x) - j K(x, t)^(t)dt _ 1
возьмем n=20 с шагом h=0.05, в качестве x3
возьмем абсциссы середин интервалов разбиения. Совокупность команд будет иметь вид:
> # Придание x конкретных числовых значений
> х[1]:=0.025; for i from 2 to 20 do x[i]:=x[i-1]+0.05 end do;
# Составление матрицы А коэффициентов при неизвестных в правой части системы (12)
> with(linalg): A:=matrix(20,20,1);
for i from 1 to 20 do for j from 1 to 20 do a[i,j]:=simplify(subs(x=x[i],t=x[j],K(x,t))); if i=j then A[i,j]:=1-a[i,j]/20 else A[i,j]:=-a[i,j]/20 end if end do end do; A;
# Матрица-столбец свободных членов В системы (12)
> B:=matrix(20,1,1);
#Решение матричного уравнения АХ=В >X:=linsolve(A,B);
Матрица Х представляет собой приближения искомой функции ц/( x1),..., i^( xn).
Таким образом, в ходе рассмотрения вышеприведенных примеров можно убедиться в безграничных возможностях системы
аналитических вычислений Maple для решения задач в аналитическом и численном виде.
Литература
1. Кулиев В. Д. Сингулярные краевые задачи.- М.: Физматлит, 2005.- 720 с.
2. Малкович Р.Ш. Альтернативные аналитические решения уравнения диффузии (теплопроводности) для произвольного исходного распределения концентрации (температуры)//Письма в ЖТФ, том 28, вып. 21, 2002. С.91-94.
3. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной.- М.: Физматлит, 2001.-320 с.
4. Матросов А. В. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики. - СПб.: БХВ-Петербург, 2001. С.161-167.
5. Краснов М. Л. Интегральные уравнения.- М.: Наука, 1975. С .27-28.
6. Журавлева Т.Ю., Конев Ф.Б., Кулиев В.Д., Панцхава Ш.И. Основы информатики.- М.: ЭКСИМ,
2000. С.282-283.
Коломенский институт (филиал) Московского государственного открытого университета
ANALYTICAL SYSTEM MAPLE 8 TO SOLVING MULTILAYERED MEDIA PROBLEMS OF FRACTURE MECHANICS T.N. Alekseeva, E.S. Lyasina, E.N. Moos
Heat equation is constructed using Laplace and Fourier integrals. The linear equation systems for the heat field of single and multilayer materials are solved with the help of analytical system Maple 8. The computing program for the solution of Fredholm second order equation is proposed
Key words: heat equation, Fredholm second order equation, Maple
