Аналитическая модель вертикального вытеснения нефти водой с учетом вязкостных, гравитационных и капиллярных сил Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.958:532.5.013

АНАЛИТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВЕРТИКАЛЬНОГО ВЫТЕСНЕНИЯ НЕФТИ ВОДОЙ С УЧЕТОМ ВЯЗКОСТНЫХ, ГРАВИТАЦИОННЫХ И КАПИЛЛЯРНЫХ СИЛ

Г. Т. Булгакова, Н. Р. Кондратьева

Уфимский государственный технический университет,

450000, Россия, Уфа, ул. К. Маркса, 12.

E-mail: kondratyevanr@mail. ru

Представлена аналитическая модель одномерного водонефтяного вытеснения, которая учитывает три основные силы: капиллярные, гравитационные и вязкостные. Данная математическая модель имеет вид нелинейного параболического дифференциального уравнения второго порядка. В симуляторе Schlumberger ECLIPSE ver. 2004а_ 1 построена гидродинамическая модель рассматриваемого процесса. Результаты численного моделирования сравниваются с аналитическим решением задачи.

Ключевые слова: гидродинамическое моделирование, математическое моделирование, капиллярные силы.

Введение. Широкое распространение методов заводнения сделало вытеснение нефти водой из пластов основным процессом разработки месторождений. Как и любой другой, метод заводнения нуждается в предварительном изучении для выбора лучших условий добычи. Анализ одномерных течений позволяет выявить основные эффекты и характерные особенности фильтрации жидкостей.

Эта работа представляет аналитическую модель для одномерного водонефтяного вытеснения, которая учитывает три основные силы: капиллярные, гравитационные и вязкостные.

Модель в безразмерных переменных принимает вид нелинейного параболического дифференциального уравнения второго порядка, которое предполагает, что каждая из трех сил включается независимо. Влияние вязкости воды, скорости закачиваемого потока, величины капиллярного давления рассмотрено в структуре безразмерного гравитационного числа и безразмерного капиллярного числа. Аналитическое решение полученного дифференциального уравнения сопоставляется с результатами гидродинамического моделирования.

Модель вытеснения. Математическая модель потока двух несмешиваю-щихся флюидов в однородном линейном резервуаре базируется на двух основных уравнениях: уравнение сохранения массы и уравнение скорости [1]. Скорость каждой фазы описывается законом Дарси:

Здесь — скорость ¿-той фазы, к — абсолютная проницаемость, \riiSi) — относительная подвижность ¿-той фазы, р^ —давление ¿-той фазы, Н — глубина,

Гузель Талгатовна Булгакова (д.ф.-м.н., проф.), профессор, каф. математики. Найля Рашитовна Кондратьева, аспирант, каф. математики.

(1)

г — координата, ^ = др1, д — ускорение свободного падения, рг — плотность г-той фазы. Насыщенности фаз связаны следующим уравнением:

5ш + 50 = 1. (2)

Капиллярное давление определяется как

Рс(3.ш) = Р0-Р.ш. (3)

При условии несжимаемости флюидов и неизменной общей добычи через единицу площади сечения следует, что

щ = иш + и0. (4)

Уравнение сохранения массы имеет вид

дБ дит

¥м+-^ = °’ (5)

где — пористость.

При комбинировании уравнений (1)—(5) скорость воды может быть описана как

\г

rt

dpc dSw дН — Д7——

I ^rw /г-\

+ “Г-------ut, (6)

'Vi

dSw dz dz

где Art = Arw + Лго — общая подвижность. Подставляя (6) в (5), получим 9SW д Í A rw dpc 9SW , , Arw « дН A rw \ п

+ Tz\кх^—,Ж~0Г - r°~, 1lh * —<щ) = °- <7)

Первое слагаемое уравнения (7) определяет вклад капиллярных сил, второе — вклад гравитационных сил и третье слагаемое характеризует силы вязкого трения.

Приведём уравнение (7) к безразмерному виду по аналогии с принципами, изложенными в [2, с. 181-276]. Введём следующие безразмерные переменные:

Q _ Sw — Siw С С \

b ¿ч С ’ ^ Ьог &iw) )

1 &or iw

zd = z/L, Hd = H/L, tD = ut/(p*Lt.

Здесь Siw > Sor — насыщенности связной водой и остаточной нефтью соответственно. Представим функции относительных фазовых проницаемостей и капиллярного давления как функции от насыщенности:

к*

\ _ \* / Q\nW _ ^VW ( Q\nW

Лгги — >

l~Lw

Aro = A;o(1 - sr = —(1 - S)no, Ve = -vi ln(5), Ato

где k*w, Ко ~ предельные точки кривых относительной фазовой проницаемости для воды и нефти соответственно, vi — параметр функции капиллярного давления. В итоге получим

д

dzD

1

—Dc(S)— + NgG(S) - V(S)

1\ pe OZd

S-‘ «

209

Здесь

NPe = т-г±—- (9)

k\*rwV*c

— безразмерное капиллярное число;

ЛТ k\*rwA~fdHD

^с =-------------—

щ ozD

— безразмерное гравитационное число;

(Л с\по cnw— 1 (л супо cnw

DC(S) = . ( C J , G(S) = ( j

'-y \ / л 0\n.n i 71 /Т On/in 1 v '

(1 - в)710 + М5™ ’ у ' (1 - Б)710 + ’

у(3) = М = ^

у ; (1 - 3)по + М5“ ’ А*0 '

Аналитическое решение. Уравнение (8) дополним начальным и граничным условиями:

1В = 0) = 0, = 0, ¿г,) = 1. (10)

Важно наиболее полно оценить влияние капиллярных и гравитационных сил на процесс вытеснения, поэтому задача о вертикальном вытеснении нефти водой решается для произвольных значений гравитационных и капиллярных сил. Решение ищется для случая Кре = т, Ис = 1, V = 5, С = 5, = и,

где т/0ип/1-произвольные числа.

Тогда (8) примет вид

дБ 1 д2Б , _. дБ

После приведения уравнения (11) к каноническому виду получаем задачу для нахождения функции ¿д), которая связана с функцией в (го, ¿д):

/ (п — 1)т (п — 1)2т \ .

¿д) = ехр(^----- ----гд------- ----Ьг))У(гг), Ьв).

Для нахождения функции У(гв, ¿д) решается следующая краевая задача [3, 242-249]:

y;D = ^ V"DZD; V(zD, tD = 0) = 0, V(zD = 0, tD) = ехр((та ^ т

tD

Отсюда

и решение задачи (11), (10) представляется как

Cf , \ {(п-1)т \ , (ZDy/fn\

S(;D. to) = Р2 ) elf4 VCrJ ■

На рис. 1 представлено изменение во времени профиля водонасыщенно-стп, полученного из решения задачи (11), (10).

Оценим характер изменения профиля водонасыгценности в зависимости от значений гравитационного числа N0 и капиллярного числа Npe. Рассмотрим несколько вариантов: 1) N0 = 0, Жре = 0,5; 2) N0 = 0,196, Л?ре = 0,5 (направление гравитационного числа и направление закачки совпадают, т. е. дНв/дгв > 0); 3) N0 = —0,196, Ире = 0,5 (направление гравитационного числа и направление закачки различны, т.е. дНв/дгв < 0); 4) N0 = 0,196, Жре = 1 (направление гравитационного числа и направление закачки совпадают, т. е. дНп/дхо > 0). Расчёт производился по следующим данным: щ = 0,00001 м/с, к = 1 мкм2, Д7 = 200 Па/м Х*и, = 1000 (Па-с)-1, Ь = 50 м, р* = 106 Па; На рис. 2 представлены графики распределения водонасыщен-ности, соответствующие вариантам, описанным выше.

2,5 3 3,5 zd, доли ед.

Рис. 1. Профиль водонасыгценности для Рис. 2. Профиль водонасыгценности при

случая Ng = 0,196, Жре = 0,5 в различные различных Ng и Жре: 1) Ng = 0,196, Npc =

моменты времени: 1) = 0,1; 2) = 0,3; = 0,5; 2) Ng = -0,196, Npe = 0,5; 3) Ng = 0,

3) tD = 0,5 Npe = 0,5; 4) Na = 0,196, NPí = 1

Проведенный анализ чувствительности позволяет оценить вклад гравитационных и капиллярных сил в процесс вытеснения. С ростом числа Npe водонефтяной фронт движется быстрее. Это объясняется тем, что по определению капиллярного числа (9), параметр Npe и капиллярное давление обратно пропорциональны. При больших значениях Npe величина капиллярного давления мала, при этом предполагается, что порода одинаково смачивается и нефтью, и водой. В этом случае капиллярные силы будут противодействовать процессу вытеснения. Представления различных исследователей о механизме проявления и роли капиллярных процессов при вытеснении нефти водой из пористых сред широко описаны в [4]. Влияние гравитации взаимосвязано с направлением потока закачиваемой воды. Если их направления совпадают, то dHpt/dzp) > 0, гравитационные силы будут способствовать процессу вытеснения, и оно будет более эффективным, чем в случае, когда их направления различны.

Численное решение. В гидродинамическом симуляторе Schlumberger ECLIPSE ver.2004a_l была построена аналогичная модель вытеснения нефти водой для одномерного случая. При расчёте используются следующие свойства флюидов и пористой среды:

проницаемость .............................. 1 мкм2

пористость ................................. 0,01

плотность нефти ............................ 800 кг/м3

плотность воды ............................. 1000 кг/м3

вязкость нефти ............................. 5 МПа • с

вязкость воды .......................... 1 МПа • с

множитель капиллярного давления ........ 5 • 106; 106 Па

Гидродинамическая модель строилась для двух случаев: 1) Ng = —0,196, Npe = 0,5 (направление гравитационного числа и направление закачки различны, т. е. дНв/дхв < 0) при р* = 0,5 • 106 Па; 2) Ng = 0,196, Npe = 1 (направление гравитационного числа и направление закачки различны, т. е. cJHd/cJzd > 0) при р* = 106 Па. Расчёт производился по следующим данным: щ = 0,00001 м/с, k = 1 мкм2, Д7 = 200 Па/м, Х*и, = 1000 (Па • с)-1, L = 50 м. На рис. 3 представлено сравнение профиля водонасыгценности для задачи, решённой аналитически и численно в момент времени tp> = 0,5.

В результате можно говорить о том, что численное решение обеспечивает удовлетворительную сходимость во всей рассматриваемой области. Для выполнения начальных и граничных условий поставленной задачи при заданных числовых параметрах пласта и флюидов в гидродинамической модели число слоев по вертикали следует задавать не менее 300 при толщине слоя 1 м. При увеличении толщины слоя, а значит, и уменьшении общего числа слоёв решить задачу численно невозможно, так как система нелинейных уравнений не имеет решения. Вместе с тем дальнейшее увеличение числа слоев более 300 позволит получить численное решение задачи для последующих моментов времени. Нельзя не отметить, что гидродинамические модели с малым количеством слоев не позволяют в полной мере учитывать все физические процессы, протекающие в пласте.

Выводы.

1. Представлено уравнение для описания двухфазного несмешивающегося потока в однородной линейной пористой среде. Математическая модель имеет вид нелинейного параболического дифференциального уравнения второго порядка.

2. Получено аналитическое решение задачи о вертикальном вытеснении нефти водой для произвольных значений гравитационных и капиллярных сил в одномерном случае.

3. Определено безразмерное гравитационное число Ng и безразмерное капиллярное число Npe. Это позволяет оценить влияние каждой силы на процесс вытеснения.

4. В гидродинамическом симуляторе Schlumberger ECLIPSE ver.2004a_l построена модель рассматриваемого процесса. Результаты численного моделирования сравниваются с аналитическим решением задачи.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Aziz Kh., Settari A. Petroleum Reservoir Simulation. London: Applied Science Publishers

LTD, 1979. 497 pp.; русск. пер.: Азиз X., Cemmapu Э. Математическое моделирование

пластовых систем. М.: Наука, 1982. 386 с.

Рис. 3. Сравнение аналитического и численного решения задачи вытеснения: 1) N0 = —0,196, Д'/; = 0,5; 2) .\7; = 0,196, N¡^ = 1; штриховая линия — численное решение

2. Баренблатт Г. И., Ентов В. М., Рыжик В. М. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. М.: Недра, 1972. 288 с. [Barenblatt G.I., Yentov V.M., Ryzhik V. М. The theory of the unsteady filtration of liquid and gas. Moscow: Nedra, 1972. 288 pp.]

3. Тихонов A. H., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. 741 с. [Tikhonov A. N., Samarskiy A. A. Equations of mathematical physics. Moscow: Nauska, 1977. 741 pp.]

4. Гиматудинов Ш. К. Физика нефтяного и газового пласта. М.: Недра, 1971. 312 с. [Gimatudinov Sh. К. Physics of the oil and gas reservoir. Moscow: Nedra, 1971. 312 pp.]

Поступила в редакцию 16/X/2011; в окончательном варианте — 20/XII/2011.

MSC: 76S05

ANALYTICAL MODEL OF VERTICAL OIL-WATER DISPLACEMENT WITH THE ACCOUNT OF VISCOUS, CAPILLARY AND GRAVITY FORCES

G. T. Bulgakova, N. R. Kondratyeva

Ufa State Technical University,

12, K. Marx St., Ufa, 450000, Russia

E-mail: kondratyevanr@mail. ru

A mathematical model of water displacement in vertical porous media is presented. The mathematical formulation takes the form, of a nonlinear convection-diffusion equation.

Its contribution comes from, consideration of the three chief forces: viscous, capillary and gravity in oil recovery processes. A numerical model was based on the simulator Schlumberger ECLIPSE ver. 2004а_1. Finally, analytical and numerical results are compared.

Key words: hydrodynamic modeling, mathematical modeling, gravity forces, capillary forces.

Original article submitted 16/X/2011; revision submitted 20/XII/2011.

Guzel T. Bulgakova (Ph.D. (Phys. & Math.)), Professor, Dept, of Mathematics. Nailya R. Kondratyeva, Postgraduate Student, Dept, of Mathematics.