Альтернативные методы вычислений неопределенных интегралов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Павлова Е.С., Никитина М.Г.

Тольяттинский государственный университет кафедра высшей математики и математического моделирования

АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

В Концепции модернизации российского образования на период до 2010 года подчеркивается необходимость повышения качества подготовки специалистов.

«Такое образование можно считать образованием гарантированного качества, которое переходит в самообразование» - слова В.И.Андреева. Самообразование-система внутренней самоорганизации опыта поколений, направленной на собственное развитие.

Студенты при самостоятельной работе используют информацию, т.е. некоторую совокупность сведений, содержащихся в учебниках, учебных пособиях, текстах лекций, сборниках практических работ, действующих программно-методических документов, электронных носителях и других источников, предварительно отобранную преподавателем для самостоятельного изучения как в аудиторное, так и во внеаудиторное время. Выявлены следующие композиционные элементы самостоятельной работы студентов по высшей математике: изучаемые разделы дисциплины, изучаемые темы лекций, изучаемые темы практических занятий, изучаемые темы внеаудиторных самостоятельных занятий, выполняемые самостоятельные индивидуальные задания.

Необходимо изменить позицию студента, активизировать его самостоятельную работу. Научить добывать знания, организовать работу с разными источниками информации, оценить результат обучения. С точки

зрения формы организации занятий наш измененный курс ориентирован на максимальную самостоятельность студента. Чтобы процесс организации подготовки был эффективен, каждый студент получает методическое пособие по подготовке к занятиям.

В данной ситуации появляется опасность нивелирования уровня математической подготовки студентов, т.е. необходимо создавать условия для реализации потребностей способных студентов. Предусматривать задания более сложного уровня, не шаблонные, технически не традиционные, иногда аналитические, творческие.

Мы предлагаем для студентов 1 курса во втором семестре разобраться в следующих задачах по теме «Неопределенный интеграл».

Метод неопределенных коэффициентов.

В ряде случаев по виду подынтегральной функции можно предположить, что ее первообразная будет иметь ту же структуру, что и подынтегральная функция. Это бывает в тех случаях, когда, например, подынтегральная функция представляет собой произведение многочлена и показательной функции, произведение многочлена и синуса или косинуса или произведение показательной функции и синуса или косинуса. Тогда записывают искомую первообразную в предполагаемом виде с неопределенными буквенными коэффициентами. Задача в этом случае сводится к нахождению этих неопределенных буквенных коэффициентов, для чего, пользуясь свойствами неопределенного интеграла, сначала дифференцируют обе части равенства, а затем сравнивают левую часть полученного равенства с правой.

1.Вычислить | (х3 + 2х + 5)ехёх .

Если вычислить этот интеграл с помощью трехкратного интегрирования

по частям, то получим: | (х3 + 2х + 5)ехёх = (х3 - х2 + 2х + 3)ех + С .

Полученное выражение имеет ту же структуру, что и подынтегральная функция, т.е. является ( с точностью до произвольной постоянной) произведением многочлена третьей степени на показательную функцию ех. Поэтому первообразную можно было сразу искать в следующем виде:

| (х3 + 2х + 5)в^ = (Лх3 + Вх2 + Сх + В)ех + С1, где С1- произвольная постоянная.

Чтобы найти неопределенные коэффициенты А, В, С, D продифференцируем обе части последнего равенства, учитывая при этом, что производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:

(х3 + 2х2 + 5)ех = (3Лх2 + 2Вх + С)ех + (Лх3 + Вх2 + Сх + В)ех.

Разделив обе части этого равенства на ех, получим: х3 + 2 х2 + 5 = 3 Лх2 + 2Вх + С + Лх3 + Вх2 + Сх + £, откуда

х3 + 2 х2 + 5 = Лх3 + (3 Л + В) х2 + (2 В + С) х + (С + В). Два многочлена

тождественно равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую степень и равны их коэффициенты при одинаковых степенях переменной. Сравнив в последнем тождестве коэффициенты при одинаковых степенях

х31Л = 1,

х2 13Л + В = 2, переменной х, получим: 1

х | 2В + С = 0,

х0 | С + В = 5.

Решая систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными А, В, С, D, находим: А=1, В=-1, С=2, D=3. Таким образом,

| (х3 + 2х + 5)ехёх = (х3 - х2 + 2х + 3)ех + С1.

2. Найти | е3х sin2хдх

Здесь подынтегральная функция является произведением показательной функции и синуса. .в этом случае ее первообразная равна произведению показательной функции и линейной комбинации синуса и косинуса того же

аргумента: ( e3x sin 2xdx = e3x (Acos2x + B sin2x) + C . Для нахождения

неопределенных коэффициентов А и В продифференцируем обе части этого равенства: e3x sin 2x = 3e3x (A cos2x + B sin 2x) + e3x (- 2A sin 2x + 2B cos 2x) .

Разделим обе части равенства на е3х:

sin 2x = 3(A cos 2x + B sin 2x) + (- 2A sin2x + 2B cos 2x). Далее имеем:

sin 2x = (3A + 2B) cos 2x + (3B - 2A)sin2x. Полученное равенство справедливо для любых значений х. Это имеет место тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при sin2x и cos2x в левой и правой частях равенства.

sin 2x |3B - 2A = 1,

Приравняв друг другу указанные коэффициенты, получим: _ |3 . _ B = 0

cos 2x | 3A + 2B = 0.

Из этой системы двух уравнений с двумя переменными А и В находим: А=

23

--; В=—. Окончательно:

13 13

2 3 1

( e3x sin2xdx = e3x(--cos2x + — sin2x) + C = — e3x(3sin2x- 2cos2x) + C .

13 13 13

г ёх

3. Найти ' , , _ 1х + 2 .

(х - 1)( х + 2)4--

\ х - 1

Учитывая, что под корнем содержится дробно-линейное выражение,

lx + 2 t4 + 2

воспользуемся подстановкой --= t, откуда x

x - 1 t4 - 1

Выразим все компоненты подынтегрального выражения через t:

t4 + 2 3 t4 + 2 3t4

x - 1 = —;--1 = -;-; x + 2 = —-+ 2 = --:

t4 - 1 t4 - 1' t4 - 1 t4 - 1

. / + 2.,. 12t3 .

dx = (—-)dt =----^ dt.

t4 - 1 (t4 - 1)2

Заменив под знаком интеграла переменную х новой переменной ^ получим:

dx

(х - 1)( х + 2)4

'х + 2 х - 1

1213

dt

3 3t4 14 - 4 - 1'

4 г dt 4 ^ 4 х - 1 ^ С = - 4-+ С.

31 t/

3t

3 V х + 2

t

4. Вычислить |

1 + 73 5х - 1 г --5х 7

¡5х - 1 5х - 1 ¡5х - 1

6-+ 3 -+ 4-

1 7 77

4х

В данном случае под знаком интеграла содержатся корни с разными показателями, но с одним и тем же подкоренным выражением. Наименьшее общее кратное всех показателей корней, входящих в состав подынтегрального выражения, равно 6, поэтому данный интеграл от иррациональной функции может быть рационализирован с помощью

5х - 1 7t6 + 1 _ , 42 5 5х - 1 3 5х - 1 2

подстановки: я—— = t,х = —5—. Тогда dx = — t dt,J—7— = t — = t .

Заменив переменную под знаком интеграла, получим:

г 1 + 7t2 - (7t6 + 1) 42 5 , 294 г - t6 ,

|-—'—15 dt =----dt.

1 t + t2 + t3 5 5 1 t2 + t + 1

Под знаком интеграла содержится неправильная рациональная дробь.

Для выделения целой части разделим числитель на знаменатель, получим:

^ -6 -1 = ^ - 1п + 13 - 2^ + 13 + е - 2t + 1 +

Г + t + 1 Г + t + 1

Поэтому

294 г , 8 7 5 „ 4 3 2 „ , t - 1 ,, 294 / t8 t6 2t5 t4 t3

-1 (t8 - t + t - 2t + t + t - 2t + 1 + --=--(---+---+ — + -

5 ^ X2 + t + 1 5 9 8 6 5 4 3

Г X- 1

+ | -г-ё).

Ч2 + t + 1

Г t - 1 .

Для вычисления [ 2 + ^ а выделим в знаменателе полный квадрат, получим:

[ 2 Х 1 , а = 11п(х2 + х +1)- + С. Окончательно находим:

1 X + X + 12 ^3

294 г ,8 7 5 „ 4 3 2 „ , X - 1 ,, 294 / X8 X6 2Х5 X4 X3 2

--1 (X8 - X + X - 2t + X + X - 2t + 1 + --=--(---+---+ — +--X + X +

5 ^ X2 + X + 1 5 9 8 6 5 4 3

+ — 1п^2 + X + 1) - ) + С,

23

5х - 1

где = t.

Интеграл от дифференциального бинома, | хт (а + Ьхп)Рёх, где т, п, р -

рациональные числа, а и Ь - константы, отличные от нуля, сводится к интегралу от рациональной функции в следующих случаях:

1) если р - целое, то разложением на слагаемые по формулам бинома Ньютона;

т +1 „ _

2) если —— - целое, то подстановкой а + Ьх" = , где s - знаменатель дроби р;

т + 1

3) если--+р - целое, то подстановкой ах'п + Ь = ^, где s - знаменатель

п

дроби р.

5. Вычислить [^^^ах.

] ^х7

2 1

Перепишем интеграл в виде - х 3 (1 + х. Сравним его с интегралом

- 2 + 1 1

г ^^ 211 т + 133.

| хт(а + Ьх") dx . Видим, что т= - 3, п=^, Р=^, значит —— = —1— = у = 1 -

3 3

1

целое. Следовательно, используем подстановку а + Ьхп = 1х , т.е. (1 + х3) = 12,

1 1 2 2

откуда х3 = t2 -1,3 х 3dx = 2tdt, х 3dx = 6tdt. Подставив эти выражения в интеграл, получим:

21 112 3 13

| х 3(1 + х3)йх = ( (1 + х3)2х 3dx = (t' 6tdt = 6 12(И = 6' -3 + С = 2(1 + х3)2 + С .

Г х + 2

6. Вычислить ' 1—--.

-1 х + 6 х + 10)2

Имеем х2 + 6х +10 = (х + 3) +1. Введем новую переменную t=x+3. Тогда dt=dx, х+2=Ы. Заменив переменную под знаком интеграла, получим:

! х + 2 ! t - 1 , 1 г 2t , Г dt 1 ! dt

' —:-т^ = —2-^1 = - —2-т^1

1 у2 ± 1т2 J П2 ^ П2

х2 + 6х + 10)2 ^ (12 + 1)2 ^ (12 + 1)2 ^ (12 + 1)2 2(t2 + 1) ^ (t2 + 1)2 ■

г dt 11 t

Положим 12 = - тт2—12. Имеем по рекуррентной формуле 12 = 2 1 +

(t + 1 _) 22 t — 1

Зная 1 = | -7—- = arctgt, получаем Л = 12агс1& + 2 +1). Окончательно получаем: t — 1 2 2(1 + 1)

х + 2

х2 + 6 х + 10)2 2 агс-£ (х + 3)-

г^х = -

1

2(12 + 1)

х + 3

1 t 1

-агс1р----=--2--

2 2(12 + 1) 2(х2 + 6 х + 10)

2( х2+ 6х+ 10)

+ С =

х + 4

1

2(х2+ 6х+ 10) 2

-аг^ (х + 3) + С.

Для самостоятельного решения предлагаем следующие задания 1. | ск2 хёх ; 2. | 'У3 4хсУ4хёх; 3. | 1 + ; 4. | к хёх ; 5. | сУхёх .

Таким образом, в условиях новых педагогических технологий практические задания можно и нужно проводить дифференцировано,

способствовать_формированию личности, развитию интеллекта и

способностей к логическому мышлению, развитию умения оперировать абстрактными объектами; усвоению математических методов, необходимых при моделировании процессов и явлений, поиске оптимальных решений, выборе рациональных способов их реализации, выражении количественных и качественных соотношений между элементами технических объектов реального мира.

Литература

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. - М.: Наука, 1980.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. - М.: Наука, 1981. - 448 с.

3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление.- М.: Наука, 1978

4. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. - М.: Наука,

1977

5. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. - М.: Наука, 1977 - 384 с.

6. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты) - М.: Высшая школа, 1983. 442 с.