CC BY
13
УДК 517.642.8
DOI: 10.14529/mmph230102
АЛГОРИТМЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ДИСКРЕТНЫХ ПОЛУОГРАНИЧЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ, ЗАДАННЫХ НА КВАНТОВЫХ ГРАФАХ
i О i i
С.И. Кадченко1, А.В. Ставцева2, Л.С. Рязанова1, В.В. Дубровский1
1 Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И. Носова, г. Магнитогорск, Росийская Федерация
2 ЗАО «Урал-Омега», г. Магнитогорск, Российская Федерация E-mail: [email protected]
Аннотация. Спектральные задачи для дифференциальных операторов, заданных на квантовых графах, представляют большой научный интерес. Это связано с необходимостью решения таких задач в квантовой механике, моделировании компьютерных сетей, обработке изображений, алгоритмах ранжирования, моделировании электрических, механических, акустических процессов, в сетях разнообразной природы, конструировании наноси-стем с заданными свойствами и других областях науки и техники. На сегодня разработана теоретическая часть решения прямых и обратных спектральных задач на квантовых графах. Но вычислительные алгоритмы, построенные на этих методах, вычислительно малоэффективны. Мы не встречали опубликованных работ, в которых были бы рассмотрены примеры численного решения спектральных задач на конечных связанных графах с большим количеством вершин и ребер. Поэтому разработка новых вычислительно эффективных алгоритмов численного решения спектральных задач, заданных на конечных связанных графах, является актуальной.
Разработана методика нахождения собственных значений краевых задач, заданных на конечных связанных графах, с необходимым количеством вершин и ребер. Для использования этой методики надо знать собственные значения и вектор собственных функций соответствующих невозмущенных вектор-операторов, которые, как правило, самосопряженные. Находить их вручную, в случае большого количества у графа вершин и ребер, достаточно сложно. Это привело к необходимости написать пакет программ в математической среде MAPLE, позволяющий в символьном режиме находить трансцендентные уравнения для вычисления собственных значений и нахождения собственных функций не возмущенных краевых задач. Приведены примеры вычисления собственных значений для квантового графа, моделирующего молекулу ароматического соединения антрацена.
Ключевые слова: асимптотические формулы; собственные значения и собственные функции; дискретные и самосопряженные операторы; обратные спектральные задачи; метод Галеркина.
Введение. В статьях [1-18] разработан численный метод нахождения собственных значений дискретного полуограниченного дифференциального оператора вида L = T + P, заданного в сепарабельном гильбертовом пространстве H с областью определения DL е H. Здесь T -самосопряженный оператор такого же порядка, как и оператор L. Рассмотрим краевую задачу, порожденную оператором L:
Lu = ¡и, Gu |г =0, (1)
где Г - граница области DL . Для нахождения собственных значений {¡n }„=j спектральной задачи (1) произведем дискретизацию области DL и построим последовательность {Hn }™=х конечномерных пространств, которая полна в H . Подберем ортонормированные базисы {q>k }"k=x пространств Hn с H таким образом, чтобы они удовлетворяли граничным условиям задачи (1).
В статье [16] доказана теорема.
Теорема. Приближенные собственные значения ¡лn спектральной задачи (1) находятся по линейным формулам
fin(n) = (L<pn,<pn) + ön, neN5 (2)
п—1
где ön=^^fik(n — X) — fik(ri)^, ßk(n) - n-е приближения по Галеркину к соответствующим k=\
собственным значением /ик спектральной задачи. При этом lim Sn = 0.
п
п—>00
За систему координатных функций [фк возьмем систему собственных функций спектральной задачи
ТУ = ЛУ, ОУ |г =0. (3)
С учетом собственных значений [Лк }к=1 и ортонормированных собственных функций {V/. \'к | оператора Т формулы (2) записываются в виде
Мп{») = ^+{РупУп) + ёп, пеК. (4)
Линейные формулы (4) позволяют находить приближенные собственные значения с необходимым порядковым номером, зная спектральные характеристики соответствующего невозмущенного оператора. Они позволяют находить собственные значения оператора независимо от собственных значений с меньшими порядковыми номерами. Решают проблему вычисления всех точек спектра дискретного полуограниченного оператора ¡. = 1 с любыми
порядковыми номерами. С возрастанием порядкового номера собственного значения оператора В5 = — (40 + 28со8(6^ЛП) + 52со8(4д/Л) + 75со8(2^Л) + 9со8(8^Л")) точность его вычисления
Ьп
по формулам (4) возрастает.
В данной статье рассмотрены вопросы нахождения приближенных собственных значений на квантовых графах с использованием формулы (4).
2. Прямые спектральные задачи на квантовых графах. Пусть О = О(К,Е) - конечный
связанный ориентированный граф с последовательно соединенными ребрами. Через V = { V обозначено множество вершин графа О, а через Е = { Е,} 0 - множество его ребер. Каждое
I ■> > }=1
ребро Е. графа О имеет длину ¡. >0 и площадь поперечного сечения dj >0 . На каждом ребре Е. графа О задан дискретный полуограниченный вектор-оператор
¿ = (АЛ,-Ло)' (5)
действующий в гильбертовом пространстве со скалярным произведением
к к
(Е, к) = £ | gj.hj.ds, £, к е Н . (6)
к=1 0
Для компанент вектор-оператора Ь = Т + Р рассмотрим спектральные задачи
(Т + Р )ик , ик = и. (^) , к =1, к0 , (7)
и. (0) = ик (0) = ит (¡т ) = ип (¡п ) = 0, (8)
du,
• __
_ ds
E_.eEa(V,) dS_
z
v du„
Z dm dS
= 0, (9)
где Т_.и_ = -^; P_u_ = £p_k (s_)uf"k) ; u_,p e W22[0,l_ ]; k=l,2; s_ e[0,l_ ]. ds _ k=1
Граничные условия (8) означают, что вектор-функция и = непрерывна во
внутренних вершинах графа С, а условие (9) - что поток через каждую вершину графа С равен нулю. В формулах (9) через Еа(ю) (V,) обозначены множества дуг с началом (концом) в вершинах V,, а , Ек еЕа (V,) , Em, Еп еЕа(Г,).
Найдем собственные значения и собственные вектор-функции для вектор-оператора /'= ^7|.72.....7'Л)). Для этого рассмотрим на графе О следующие спектральные задачи:
1 > ^ = ^ ( ^) > 1 = 1 Jo , (10)
У (0) = Ук (0) = ^т (¡т ) = Уп (П ) = 0, (11)
у ddVL
у й] ds EJeEa{Vi) dSJ
У d dVm у ds
sj=0 EmeE"(V,) dSm
= 0. (12)
Собственные значения {An }™=1 спектральной задачи (10)-(12) занумеруем в порядке неубывания их величин. Как правило, система собственных вектор-функций { vn =(v1n,v2n,...,v, n)}ПП=1 задачи (10)-(12) ортогональная и ее легко сделать нормированной.
Если она не ортогональная, то ее необходимо разложить в ряды Фурье по системе вектор-
функЦий { Фп =(Pln?2n, ..,^j0n)}«=1 и нормализовать.
Нахождение собственных значений Хп и соответствующих им собственных вектор-функций
vп = (vln,v2n,.. -,Vj ) спектральных задач (10)—(12) для любых конечных замкнутых графов с
большим количеством вершин приводит к большому количеству и громоздкости аналитических вычислений. Для упрощения этого процесса в среде математического пакета MAPLE был написан пакет программ, позволяющий находить необходимое количество этих спектральных характеристик для любых конечных графов [18].
На основании формул (4) и (6) следует, что приближенные собственные значения вектор-
оператора L, действующего в сепарабельном гильбертовом пространстве W22 (G), находятся по
формулам
Jo lJ 2
fin (") = К + HdjZj (s) J vjn (*)2>Л (sYjn (s)d n&N . (13)
J=1 0 k=1
Г1, s e [0,lj ],
Здесь Xj (s) = ^ , п Таким образом, по формуле (13) можно вычислять приближенные
|0, s ¿[0,I,].
собственные значения прямой спектральной задачи (10)-(12), если заданы на ребрах графа G все функции р,к.
3. Численные эксперименты. Проверку разработанной методики вычисления собственных значений дискретных полуограниченных операторов заданных на геометрических графах проведем на примере молекул ароматических соединений антрацена С14#10. Граф, моделирующий молекулу антрацена, состоит из четырнадцати вершин (i0 =14) и шестнадцати ребер (j =16) (см. рисунок). Нахождение собственных значений Хп и соответствующих им собственных вектор-фунций уп оператора T при решении спектральных задач (10)—(12) для конечных замкнутых графов с большим количеством вершин вызывает большие аналитические трудности. Поэтому в среде аналитических вычислений MAPLE был написан пакет программ, позволяющих находить эти спектральные характеристики для любых конечных орентированных графов [18].
Разбиение ориентированного графа, моделирующего молекулу антроцена на вершины и ребра
Так как длины всех ребер для молекулы антрацена одинаковы, можно считать, что ¡. = 1 и dj = 1 для всех . =1, к . Используя написанный пакет программ, получили трансцендентное уравнение для нахождения собственных значений Лп спектральной задачи (10)-(12) 62sin(^/Л) + 190sin(3^/Л) + 384sm(5^/Л) + 463sin(7^/Л) + +415 sm(9^/Л) + 225 sin(11*Д) + 8Ьт(13 л/Л) = 0.
Компоненты у. собственных вектор-функций гп спектральной задачи (10)-(12), которые соответствуют собственным значениям Л , записываются в виде
(14)
где
Л]п sin (^JЛs ) + В]п cos (^/Лs )
А = — ^тОЛ") + 23sin(^л/Лn) +16^^) + 9sin(7>/Л)>
(15)
Ви = — (58 + 88cos(2y|ЛЛn) + 49cos(4^JЛЛn) + 9cos(6л/Лn")),
ьп
Л^ = — + 61ЯП(^/Л) + 48sin(^дЛn) + 21sin(^ ^Лп)),
п ап
В2п = -4(16 + 30cos(2sJЛЛn) +15 + 7cos(6л|ЛЛn)),
ьп
А,п = -—^(Л + 23sm(3л/Л ) + 16sin(^л/Л~) + 9sin(7л/Л )),
п ап
В3 = —(58 + 88^(2^) + 49cos(4^JЛ~) + 9^(6 ^Л)),
Ьп
Л4 = -—^тС^/Л) + бЬт^) + 48sm(5л/л ) + 21sin(^л/ЛГ)),
1 9
В^ = --(16 + 30^(27^) + 15cos(^л/Лn") + 7^(6^)),
ьп
А ^-4(41sin^л/ЛГ) + 85^(3^) + 80sin(^7Лn) + 37sin(7>/Л ) + 9sin(^л/Лn)),
В5 = — (40 + 28 ^(б^Л) + 52 cos(^л/ЛГ) + 75 cos(^л/Лn) + 9 ^ф^Л)),
Ьп
Л6 = — (5sin(л/Л ) + 9sin(3л/Л) + Шт^Д^) +13 sin(7л/Л) + 9sin(9л/Л )),
п ап
Вб = (40 + 28 сов(^/Л) + 52 ^(4^) + 75 ^рЛ + 9cos(^7ЛГ)),
и
-л
Ли = — (93sin(^") + 212sin(^T^n) + 214sin(5^) + 124sin(77^") + 45sin(97^)),
n an
о
B^ = — (64 + 99 cos(2^) +127 cos(4^) + 73 cos(6^) +15 cos(8^)),
bn
О
Ag„ =--(23sm(^) + 47 sin(3^n) + 48sm(57^") + 25srn(7A/^") + 9sm(9^)),
n an
58„ = ^ (40 + 75 cos(2^) + 52 cos(4^) + 28 cos(6^) + 9 cos(8^)),
bn
О
4и =--(93srn(^) + 212sm(3^) + 214sin(5^) + + 45srn(9^)),
n an
2
B9 = — (64 + 99cos(2^) + 127cos(4^) + 73cos(6^) + 45cos(8^)),
bn
A^ = — (217 srn(T^) +127 srn(3^) + 234 srn(5^) +185 srn(7^) + 87 srn(9^)),
n an
B10 = — (29 + 84cos(2^n) + 101cos(4^) +107 cos(6^) + 60cos(8^ + 27 cos(10^))),
bn
An„ =--(8sm(^) + sm(3^) - 30sin(^^^n) - 63sm(7^) - 30sin() - 51sin(9^)),
n an
о
511 = — (29 + 84cos(2^) + 101cos(4^) +107^(6^) + 60cos(8^ + 27cos(10^))),
bn
AUn = — (103sin(^) + 291sin(^^^n) + 392sm(5^) + 37^(7^) +
n an
+26Ып(9^) + 81sin(11^)),
■J
B12 = — (5 + 45 cos(2^) + 60 cos(4^) + 84 cos(6^) + 51cos(8^ + 27 cos(10^))),
bn
A,3n = —4(34sin(^n) + 108sin(3^n") + 132^(5^) + ^sin^^) +
n an
+69sin(9 Д) + 27sin(11Д)), B13 = — (29 + 84cos(2^) + 101cos(4^) +107 cos(6^) + 60cos(8^ + 27 ^(10^))),
bn
4, = --^(^sin^) + 291srn(3^) + 392sin(5^) + 371sin(7^) + +216 srn(9^) + 81sin(1 1Д)),
О
B^ = — (5 + 45 cos(2^) + 60 cos(4^) + 84 cos(6^) + 51cos(8^ + 27 cos(10^))),
n
4Sn = — (105sin(^) + 266sm(3^) + 482srn(5^) + 523srn(7^) +
n an
+442sm(9^") + 225яп(11Д)), B^ =1, A^ = — (19srn(^) +114sin(3^) + 286sin(5^n) + 403sin(7^) +
n an
+388sin(^^^n) + 225sin(11^n) + 81sin(1^^/Hn)), B16 =1,
14n a
an
an = 43 sin(7Ij +154^(3^) + 320 sin^^) + 403 sin^^) + +388sin(^^/^T) + 225 s1n(1 1^/ÄJ + 81 sin^^,
bn =16 + 11sin(27ÄJ + 143sin(4^JÄn) + 177sin(6^Än") + 244sin(8A/Ä") + +144sin(1^^ÄÄ") + 81sin(1^/ÄÄ").
Система |vn ортогональна в смысле скалярного произведения (6). Множители Cj ,
входящие в (15), находятся из условия нормировки этой системы.
В табл. 1, 2 приведены результаты вычисления первых собственных значений вектор-оператора L, заданного на графе, который моделирует молекулу антрацена. Расчеты были проведены для следующих заданных функций pj (Sj ) (1 < j < 16, k = 1,2 , Sj e[0, lj ]):
2 2 2 ph =0, 1 < j < 16, ph= s + 5, p22= s + 5s +1, p32= s + 5s-1, P42=5s + 1, p^ = 5s-1,
P62 =0, p72 =5s +1, P82 =5s-1, pg2 = s2 + 5s + 1, A02 = s2 + 5s-1,
2 2 2 2 pH2 =s + 5s, Pu2= s + 5s+1, Аэ2 = s + 5s-1, p1^=5s+1 p1^=5s-1, A62=15s -9
Таблица 1 Таблица 2
n К К \к-к\
1 1,941823 -0,233790 2,175613
2 2,341721 2,639681 0,297960
3 2,985317 3,237994 0,252677
4 3,399854 3,402611 0,002757
5 3,735492 4,079347 0,343855
6 4,433908 4,615242 0,181334
7 5,174741 5,566181 0,391440
8 9,639011 9,777037 0,138026
9 12,046596 11,989504 0,057100
10 14,999971 15,078706 0,078740
11 22,637372 22,584269 0,053100
12 26,389451 26,283345 0,106110
13 28,364816 28,264205 0,100610
14 28,927379 29,020026 0,092650
15 30,917058 30,892965 0,024090
16 31,675799 31,728728 0,052930
17 36,423006 36,537131 0,114120
18 41,600790 41,681763 0,080970
19 47,346396 47,400335 0,053940
20 60,803221 60,734402 0,068820
n К V n
32 133,782235 133,836558 0,054400
33 138,087581 138,073378 0,014200
34 139,363870 139,410644 0,046700
35 149,351679 149,400349 0,048600
36 160,022389 160,057500 0,035100
37 171,268499 171,293752 0,025300
38 196,385492 196,337380 0,048100
39 207,948995 207,929674 0,019300
40 213,591153 213,560590 0,030600
41 215,799666 215,842331 0,042600
42 221,265569 221,252390 0,013200
43 222,830313 222,882445 0,052100
44 235,432590 235,485607 0,053000
45 248,847190 248,889225 0,042000
46 262,838151 262,872782 0,034600
47 293,789481 293,775166 0,014300
48 307,937209 307,962172 0,025000
49 314,826087 314,833452 0,007400
50 317,553092 317,621732 0,068600
51 324,179804 324,204533 0,024700
В табл. 1, 2 под jun обозначены собственные значения спектральной задачи (7)-(9), которые вычислены по формулам (13), а jun - вычисленные методом Галеркина с использованием скалярного произведения (6).
4. Заключение. Использование написанного в математической среде MAPLE пакета программ для нахождения собственных значений Хп и соответствующих им собственных вектор-фунций vn оператора T, при решении прямых спектральных задач (10)-(12), заданных на конечных ориентированных графах, значительно упрощает нахождение собственных значений вектор-оператора L по формулам (13).
Проведенные многочисленные вычислительные эксперименты по вычислению собственных значений оператора L, заданного на графе G, показали высокую вычислительную эффективность разработанной методики.
Литература
1. Вычисление первых собственных чисел краевой задачи гидродинамической устойчивости между параллельными плоскостями при малых числах Рейнольдса / В.А. Садовничий,
B.В. Дубровский, С.И. Кадченко, В.Ф. Кравченко // Доклады Академии наук. - 1997. - Т. 355, № 5.- С. 605-608.
2. Кадченко, С.И. Метод регуляризованных следов / С.И. Кадченко // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование и программирование». - 2009. - № 37(170), Вып. 4. -
C.4-23.
3. Кадченко С.И., Какушкин С.Н. Численные методы нахождения собственных чисел и собственных функций возмущенных самосопряженных операторов // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование и программирование». - 2012. - № 27(286), Вып. 13. - С. 45-57.
4. Кадченко, С.И. Вычисление собственных значений возмущенных дискретных полуограниченных операторов / С.И. Кадченко, И.И. Кинзина // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2006. - Т. 46, № 7. - С. 1265-1272.
5. Кадченко, С.И. Численный метод нахождения собственных значений дискретных полуограниченных снизу операторов / С.И. Кадченко, Л.С. Рязанова // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование и программирование». - 2011. - № 17(234), Вып. 8. - С. 46-51.
6. Кадченко, С.И. Вычисление рядов Релея-Шредингера возмущенных самосопряженных операторов / С.И. Кадченко // Журнал вычислительной математики и математической физики. -2007. - Т. 47, № 9. - С. 1494-1505.
7. Кадченко, С.И. Алгоритм нахождения собственных функций возмущенных самосопряженных операторов методом регуляризованных следов / С.И. Кадченко, С.Н. Какушкин // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование и программирование». - 2012. - № 40(299), Вып. 14. - С. 83-88.
8. Кадченко, С.И. Численный метод решения обратных задач, порожденных возмущенными самосопряженными операторами, методом регуляризованных следов / С.И. Кадченко // Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. - 2013. - № 6(107). - С. 23-30.
9. Computation of the First Eigenvalues of a Discrete Operator / V.V. Dubrovskii, S.I. Kadchenko, V.F. Kravchenko, V.A. Sadovnichii // Электромагнитные волны и электронные системы. - 1998. -Т. 3, № 2. - С. 4-7.
10. Кадченко, С.И. Численный метод решения обратных спектральных задач, порожденных возмущенными самосопряженными операторами / С.И. Кадченко // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование и программирование». - 2013. - Т. 6, № 4. - С. 15-25.
11. Кадченко, С.И. Вычисление значений собственных функций дискретных полуограниченных операторов методом регуляризованных следов / С.И. Кадченко, С.Н. Какушкин // Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. - 2012. -№ 6(97). - С. 13-21.
12. Кадченко, С.И. Алгоритм решения обратных задач, порожденных возмущенными самосопряженными операторами / С.И. Кадченко // Актуальные проблемы современной науки и техники и образования. - 2015. - Т. 3. - С. 138-141.
13. Обратная спектральная задача определения неоднородности упругого стержня / С.И. Кадченко, Г.А. Закирова, Л.С. Рязанова, О.А. Торшина // Актуальные проблемы современной науки и техники и образования. - 2018. - Т. 9, № 2. - С. 42-45.
14. Kadchenko, S.I. A Numerical Method for Inverse Spectral Problems / S.I. Kadchenko, G.A. Zakirova // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование и программирование». - 2015. - Т. 8, № 3. - С. 116-126.
15. Kadchenko, S.I. Calculation of Eigenvalues of Discrete Semibounded Differential Operators / S.I. Kadchenko, G.A. Zakirova // Journal of Computational and Engineering Mathematics. - 2017. -Vol. 4, Iss. 1. - P. 38-47.
16. Кадченко, С.И. Вычисление собственных чисел эллиптических дифференциальных операторов с помощью теории регуляризованных следов / С.И. Кадченко, О.А. Торшина // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Математика. Механика. Физика. - 2016. - Т. 8. - С. 36-43.
17. Новый метод приближенного вычисления первых собственных чисел спектральной задачи гидродинамической теории устойчивости течения Пуазейля в круглой трубе / В.В. Дубровский, С.И. Кадченко, В.Ф. Кравченко, В.А. Садовничий // Доклады Академии наук. -2001. - Т. 380, № 2. - С. 160-163.
18. Программа решения самосопряженных спектральных задач на конечных связанных ориентированных графах: Свидетельство № 2021660658 / А.В. Ставцева; правообладатель Ставцева А.В. - 2021660658; заявление 10.06.2021, зарегистрир. 29.07.2021, реестр программы на ЭВМ.
Поступила в редакцию 20 октября 2022 г.
Сведения об авторах
Кадченко Сергей Иванович - доктор физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики и информатики, Магнитогорский государственный технический университет имени Г.И. Носова, г. Магнитогорск, Российская Федерация, e-mail: [email protected]
Ставцева Анастасия Викторовна - начальник отдела ИТ, ЗАО «Урал-Омега», г. Магнитогорск, Российская Федерация, e-mail: [email protected]
Рязанова Любовь Сергеевна - кандидат педагогических наук, доцент кафедры прикладной математики и информатики, Магнитогорский государственный технический университет имени Г.И. Носова, г. Магнитогорск, Российская Федерация, e-mail: [email protected]
Дубровский Владислав Владимирович - кандидат физико-математических наук, доцент, Магнитогорский государственный технический университет им. Г.И. Носова, г. Магнитогорск, Российская Федерация, e-mail: [email protected]
Bulletin of the South Ural State University Series "Mathematics. Mechanics. Physics" _2023, vol. 15, no. 1, pp. 16-25
DOI: 10.14529/mmph230102
ALGORITHMS FOR THE COMPUTATION OF THE EIGENVALUES OF DISCRETE SEMI-BOUNDED OPERATORS DEFINED ON QUANTUM GRAPHS
19 1 1
S.I. Kadchenko1, A.V. Stavtceva2, L.S. Ryazanova1, V.V. Dubrovskii1
1 G.I. Nosov Magnitogorsk State Technical University, Magnitogorsk, Russian Federation E-mail: [email protected], [email protected], [email protected]
2 Ural-Omega, Magnitogorsk, Russian Federation E-mail: [email protected]
Abstract. Spectral problems for differential operators defined on quantum graphs are of great scientific interest related to problems in quantum mechanics, computer network modeling, image processing, ranking algorithms, modeling of electrical, and mechanical and acoustic processes, in networks of a diverse nature, in designing nano systems with prescribed properties and in other areas. Theoretical solutions of direct and inverse spectral problems on quantum graphs have been developed, but computational algorithms based on these methods are computationally inefficient. We have not seen any published works that consider examples of numerical solutions of spectral problems on finite connected graphs with a large number of vertices and edges. Therefore, the development of new computationally effective algorithms for numerical solution of spectral problems given on finite connected graphs is urgent.
This paper develops a technique for finding the eigenvalues of boundary value problems on finite connected graphs with a required number of vertices and edges. To use this technique, it is necessary to know the eigenvalues and vectors of the eigenfunctions of corresponding unperturbed vector operators which are usually self-adjoint. Finding them manually, if the graph has a large number of vertices and edges, is difficult. This led to writing a package of programs in the mathematical environment Maple to find transcendental equations in the symbolic mode to calculate eigenvalues and find the eigenfunctions of unperturbed boundary value problems. Examples of calculating eigenvalues for a quantum graph which models an anthracene aromatic compound molecule are presented.
Keywords: asymptotic formulas; eigenvalues and eigenfunctions; discrete and self-adjoint operators; inverse spectral problems; Galerkin method.
References
1. Sadovnichiy V.A., Dubrovskiy V.V., Kadchenko S.I., Kravchenko V.F. Vychislenie pervykh sobstvennykh chisel kraevoy zadachi gidrodinamicheskoy ustoychivosti mezhdu parallel'nymi ploskostyami pri malykh chislakh Reynol'dsa (The Calculation of the First Eigenvalues of the Boundary Value Problem of the Theory of Hydrodynamic Stability of the Flow Between Two Parallel Planes at Small Reynolds Numbers). Doklady Akademii nauk, 1997, Vol. 355, no. 5, pp. 605-608. (in Russ.).
2. Kadchenko S.I. Method of Regularized Traces. Bulletin of the South Ural State University. Series "MathematicalModelling, Programming and Computer Software", 2009, no. 37(170), Iss. 4, pp. 4-23. (in Russ.).
3. Kadchenko S.I., Kakushkin S.N. The Numerical Methods of Eigenvalues and Eigenfunctions of Perturbed Self-Adjoin Operator Finding. Bulletin of the South Ural State University. Series "Mathematical Modelling, Programming and Computer Software", 2012, no. 27(286), Iss. 13, pp. 45-57. (in Russ).
4. Kadchenko S.I., Kinzina I.I. Computation of Eigenvalues of Perturbed Discrete Semibounded Operators. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2006, Vol. 46, Iss. 7, pp. 12001206. DOI: 10.1134/S0965542506070116
5. KadchenkoS.I. , Ryazanova L.S. Numeric Method of Finding the Eigenvalues for the Discrete Lower Semibounded Operators. Bulletin of the South Ural State University. Series "Mathematical Modelling, Programming and Computer Software", 2011, no. 17(234), Iss. 8, P. 46-51. (in Russ.).
6. Kadchenko S.I. Computing the Sums of Rayleigh-Schrodinger Series of Perturbed Self-Adjoint Operators. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2007, Vol. 47, Iss. 9, pp. 14351445. DOI: 10.1134/S0965542507090059
7. Kadchenko,S.I., Kakushkin S.N. The Algorithm of Finding of Meanings of Eigenfunctions of Perturbed Self-Adjoin Operators Via Method of Regularized Traces. Bulletin of the South Ural State University. Series "Mathematical Modelling, Programming and Computer Software", 2012, no. 40(299), Iss. 14, pp. 83-88. (in Russ.).
8. Kadchenko S.I. Numerical Method for the Solution of Inverse Problems Generated by Perturbations of Self-Adjoint Operators by Method of Regularized Traces. Vestnik SamGU. Estestvenno-Nauchnaya Ser., 2013, Iss. 6(107), pp. 23-30. (in Russ.).
9. Dubrovskii V.V., Kadchenko S.I., Kravchenko V.F., Sadovnichii V.A. Computation of the first eigenvalues of a discrete operator. Electromagnetic waves and electronic systems, 1998, Vol. 3, no. 2, pp. 4-7.
10. Kadchenko S.I. A Numerical Method for Solving Inverse Problems Generated by the Perturbed Self-Adjoint Operators. Bulletin of the South Ural State University. Series "Mathematical Modelling, Programming and Computer Software", 2013, Vol. 6, no. 4, pp. 15-25. (in Russ.).
11. Kadchenko S.I., Kakushkin S.N. The Calculating of Meanings of Eigen Functions of Discrete Semibounded from below Operators via Method of Regularized Traces. Vestnik Samarskogo Gosudarstvennogo Universiteta. Estestvenno-Nauchnaya Seriya, 2012, no. 6(97), pp. 13-21. (in Russ.).
12. Kadchenko S.I. Algoritm resheniya obratnykh zadach, porozhdennykh vozmushchennymi samosopryazhennymi operatorami (The Algorithm for solving inverse problems generated by perturbed self-adjoint operators). Aktual'nye problemy sovremennoy nauki i tekhniki i obrazovaniya (Actual Problems of Modern Science and Technology and Education), 2015, Vol. 3, pp. 138-141. (in Russ.).
13. Kadchenko S.I., Zakirova G.A., Ryazanova L.S., Torshina O.A. Obratnaya spektral'naya zadacha opredeleniya neodnorodnosti uprugogo sterzhnya (Inverse spectral problem of determining the inhomogeneity of an elastic rod). Aktual'nye problemy sovremennoy nauki i tekhniki i obrazovaniya, 2018, Vol. 9, no. 2, pp. 42-45. (in Russ.).
14. Kadchenko S.I., Zakirova G.A. A Numerical Method for Inverse Spectral Problems. Bulletin of the South Ural State University. Series "Mathematical Modelling, Programming and Computer Software", 2015, Vol. 8, no. 3, pp. 116-126. (in Russ.).
15. Kadchenko S.I., Zakirova G.A. Calculation of Eigenvalues of Discrete Semibounded Differential Operators. J. Comp. Eng. Math., 2017, Vol. 4, Iss. 1, pp. 38-47. DOI: 10.14529/jcem170104
Кадченко С.И., Ставцева А.В., Алгоритмы вычисления собственных значений
Рязанова Л.С., Дубровский В.В. дискретных полуограниченных операторов...
16. Kadchenko S.I., Torshina O.A. Calculation of Eigenvalues of Elliptic Differential Operators using Regularized Trace Theory. Bulletin of the South Ural State University. Series "Mathematics. Mechanics. Physics", 2016, Vol. 8, Iss. 2, pp. 36-43. DOI: 10.14529/mmph160205
17. Dubrovskii V.V., Kadchenko S.I., Kravchenko V.F., Sadovnichii V.A. New Method of Approximated Calculus of the Maiden Eigenvalues of a Spectral Problem of Hydrodynamic Stability of Currernt Pauzel in a Round Tube. Proc. Academy of Sciences, 2001, Vol. 380, no. 2, pp. 160-163.
18. The Program for Solving Self-Adjoint Spectral Problems on Finite Connected Oriented Graphs: Certificate no. 2021660658, Stavtceva A.V.; copyright Stavtceva A.V., registration date 29.07.2021.
Received October 20, 2022
Information about the authors
Kadchenko Sergey Ivanovich is Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, Applied Mathematics and Informatics Department, G.I. Nosov Magnitogorsk State Technical University, Magnitogorsk, Russian Federation, e-mail: [email protected]
Stavtceva Anastasiya Viktorovna is Head of IT Department, Ural-Omega CJSC, Magnitogorsk, Russian Federation, e-mail: [email protected]
Ryazanova Lyubov' Sergeevna is Cand. Sc. (Pedagogical), Associate Professor, Department of Applied Mathematics and Informatics, G.I. Nosov Magnitogorsk State Technical University, Magnitogorsk, Russian Federation, e-mail: [email protected]
Dubrovsky Vladislav Vladimirovich is Cand. Sc. (Physics and Mathematics), Associate Professor, G.I. Nosov Magnitogorsk State Technical University, Magnitogorsk, Russian Federation, e-mail: vvdubrov@mail .ru
