Алгоритмы управления потенциалами на электродах электростатического подвеса Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Максим Вячеслававич Палкин родился в 1980 г., окончил в 2003 г. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Заместитель начальника отдела ФГУП "НПО машиностроения". Автор 7 научных работ в области систем автоматического управления.

M.V. Palkin (b. 1980) graduated from the Bauman Moscow State Technical University n.a. Bauman in 2003. Deputy chief of the department at the Federal State Unitary Enterprise "NPO mashinostroeniya". Author of 7 publications in the field of automatic control systems.

НАВИГАЦИОННЫЕ И ГИРОСКОПИЧЕСКИЕ!

СИСТЕМЫ |

УДК 621.31(075.8)

С. А. В а с ю к о в, Г. Ф. Дробышев

АЛГОРИТМЫ УПРАВЛЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛАМИ НА ЭЛЕКТРОДАХ ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОДВЕСА

Рассмотрены способы регулирования потенциалами в подвесах с роторами цилиндрической и сферической формы. Особое внимание уделено подвесам с регулированием потенциалов по закону широтно-импульсной модуляции. Рассмотрены организация емкостных датчиков перемещения ротора и влияние на крутизну и ненулевой сигнал датчиков "паразитных" емкостей подвеса.

Существует несколько законов управления потенциалами на электродах подвеса. Каким же требованиям должны отвечать эти законы? В первую очередь они должны обеспечивать устойчивость, а также наилучшие рабочие характеристики: перегрузочную способность, жесткость и стабильность центрирования подвесов. Законы регулирования не должны быть слишком сложны в технической реализации. Известно, что наилучшие характеристики имеют подвесы с нулевым потенциалом ротора. Следовательно, законы управления должны обеспечивать минимальный наведенный потенциал ротора.

Система регулирования потенциалов на электродах подвеса включает несколько каналов стабилизации. Число каналов равно, как правило, числу пар диаметрально противоположных электродов. Так, цилиндрический подвес (рис. 1, а) имеет пять каналов стабилизации, из них четыре регулируют положение ротора в радиальном направлении и

А

Рис. 1. Подвесы:

а — цилиндрический; б и в — сферические с шестью электродами и треугольными электродами соответственно

его угловое положение, один — в осевом. Сферический подвес с шестью электродами (рис. 1, б) содержит три канала стабилизации по осям х, у, г, а подвес с треугольными электродами (рис. 1, в) — четыре канала по осям £3, £4. Канал стабилизации включает датчик пе-

ремещения и выходной высоковольтный каскад, подключенные к паре диаметрально противоположных электродов, а также блок усиления и коррекции. Регулирование потенциалов в большинстве практических схем подвесов осуществляется в противофазе. Так, например, в подвесах с амплитудным регулированием в зависимости от смещения ротора напряжение на одном из пары электродов возрастает на определенную величину и на столько же уменьшается напряжение на втором электроде, что создает соответствующую восстанавливающую силу.

Рассмотрим законы управления потенциалами в электростатических подвесах.

Управление в подвесах на постоянном токе осуществляется по законам

<г = (<г0 - Л^г)Лг; < = (<£¿0 + ! (1)

здесь г, ] — номера пар диаметрально противоположных электродов.

Для цилиндрического подвеса номера (г, ]) пар электродов принимают значения (1, 2), (3, 4), (5, 6), (7, 8), (9, 10); для сферического подвеса с шестью электродами — (1, 3), (2, 4), (5, 6), а для сферического подвеса с восьмью электродами — (1, 6), (2, 8), (3, 4), (7, 5). Коэффициенты Дг и Д^ принимают значения +1 или -1, их выбирают таким образом, чтобы обеспечить минимальный наведенный потенциал ротора. Потенциал <г0 является положительной величиной и представляет собой начальную уставку или опорное напряжение на электродах. Величина уставки выбирается с учетом максимально допустимого по пробою напряжения на электродах подвеса. Приращение потенциала Д< в статическом режиме пропорционально напряжению на выходе датчика перемещений идг и не превышает по абсолютной величине потенциала уставки:

(<г0 при идг > <г0 /ку г;

ку ги№ при |идг | < <г0 /куг; (2)

-<г0 при идг < -<г0/ку г\

здесь ку - коэффициент усиления следящей системы, подключенной к паре электродов (г, ]).

Для подвесов на переменном токе законы управления запишем в виде

<г (Ь) = (<гт - Д<г) ЙШ (шЬ + фг) ;

(3)

< (Ь) = (<гт + Д<г) Й1П (шЬ + ф3) ;

здесь <гт — опорная амплитуда напряжения. Приращения амплитуды Д<г формируются по закону (2), значения начальных фаз фг,ф3 подбираются при минимизации потенциала ротора.

В последнее время начали широко применяться подвесы, в которых, вместо непрерывных или аналоговых систем регулирования, используются импульсные или дискретные системы. Рассмотрим импульсные законы управления электростатическими подвесами, потенциалы на электродах которых регулируются по принципу широтно-импульсной модуляции (ШИМ). Для более простой формы записи будем считать импульсы прямоугольными, т.е. изображать их без учета конечной длительности фронтов. Это допущение оправдано тем, что в реальных схемах подвесов постоянные времени заряда и разряда, как правило, много меньше периода квантования и неучет фронтов не вносит существенной погрешности в силовые характеристики подвесов.

Рассмотрим несколько вариантов законов управления импульсными подвесами.

Вариант 1. Потенциалы на паре электродов изменяются по закону

^г0Дг при пТ < г < пТ + Т/2 - Дтг (пТ);

= ^ 0 при пТ + Т/2 - Дт (пТ) < г < (п + 1) Т;

(4)

при пТ < г < пТ + Т/2 + Дтг (пТ);

= 1

0 при пТ + Т/2 + Дт (пТ) < г < (п +1) Т.

Приращение длительности Дт (пТ) импульсов ШИМ пропорционально напряжению датчика перемещений и формируется в виде

{Дтшах при Мдг ^ Дтшах/куг:

[(п - 1) Т + то] при | Мдг| ^ Дтшах/куг; (5) - Д тшах при Мдг ^

Дтшах/куг;

где т0 — фиксированный промежуток времени, выбор которого будет рассмотрен несколько позже.

Величина Дтшах не должна достигать значения половины периода квантования или превышать его, так как в противном случае импульсы на электродах вырождаются в постоянный уровень, что нарушает работу импульсных датчиков перемещения.

Смысл коэффициентов Д^ и Д^ тотже, что и в подвесах на постоянном и переменном токе. Графическая иллюстрация закона управления одним из каналов подвеса при Д^ = Д^ = 1 приведена на рис. 2, а.

На диаграммах I и II (см. рис. 2, а) показаны импульсы напряжения на электродах при центральном положении ротора, а диаграммы III и IV, приведенные на рис. 2, а, иллюстрируют случай, при котором ид > 0, что соответствует смещению ротора по направлению к г-му электроду. При этом для создания восстанавливающей силы длительность импульса на г-м электроде уменьшается, а на ]-м — увеличивается на Дт. Регулирование в данном случае осуществляется по задним фронтам импульсов.

Вариант 2. Потенциалы на паре электродов изменяются по закону

Дг при пТ < г < пТ + Т/2 - Дтг (пТ); = ' 0 при пТ + Т/2 - Дтг (пТ) < г < (п +1) Т;

(6)

0 при пТ < г < пТ + Т/2 - Дтг (пТ);

^ = !

Дг при пТ + Т/2 - Дт (пТ) < г < (п +1) Т.

Приращение Деформируется по уравнениям (5), т.е. как и в варианте 1 при Д^ = 1 (рис. 2, б). Диаграммы I и II соответствуют несмещенному положению, а диаграммы III и IV — смещенному при ид > 0.

Рис. 2. Диаграммы импульсов напряжения на электродах при центральном (I, II) и смещенном (III, IV) положениях ротора

Регулирование на i-м электроде осуществляется по заднему, а на j-м — по переднему фронтам импульса.

Учитывая, что подвес в значительной степени зависит от организации датчиков перемещения, необходимо подробно остановиться на их работе.

В соответствии с классификацией различают датчики совмещенного и несовмещенного типов. В системах стабилизации с датчиками несовмещенного типа цепи силообразования и измерения перемещений работают независимо. В системах с датчиками совмещенного типа измерение перемещений осуществляется в той же цепи, в которой формируются силообразующие сигналы [1]. В импульсных подвесах, где потенциалы на электродах регулируются по закону ШИМ, целесо-

Рис. 3. Схема датчика

образно применять датчик перемещений совмещенного типа. В работе [2] предложен способ организации датчика, основанный на измерении разности напряжений с диаметрально противоположных электродов подвеса с последующим стробированием этой разности в заданные моменты времени. Этот способ получил дальнейшее развитие [1] и был использован в рассмотренных далее импульсных подвесах.

Схема датчика приведена на рис. 3, временные диаграммы, поясняющие работу схемы, — на рис. 4. На диаграммах (см. рис. 4, а и б) указаны импульсы напряжения на электродах э1 и э2, длительность которых формируется в соответствии с сигналом обратной связи посредством ключей $2, $3, $4. Анализ работы датчика будем проводить,

Ч>2 ''

Рис. 4. Временные диаграммы импульсов напряжения на электродах э1 и э2

считая, что приняты надлежащие меры по минимизации потенциала ротора, т.е. = 0.

Рассмотрим промежуток времени (0,Ь), на котором происходит заряд электродной емкости э1 и разряд емкости э2, при этом

(Ь) = ^0э (1 - е-'/Тэ1) ; (Ь) = ^0эв-'/Тэ2,

где тэ1 и тэ2 — постоянные времени заряда-разряда электродных емкостей.

Параметры цепей выбраны так, чтобы постоянные времени заряда одной и разряда другой (и наоборот) электродных емкостей были равны при центральном положении ротора. Операционные усилители А1 и А2 (см. рис. 3) формируют сигнал и = (Ь) + (Ь) - ^0э] /кдел, поступающий на аналоговый вход А коммутатора сигналов. Здесь кдел — коэффициент ослабления, он введен для согласования высоковольтного напряжения на электродах с низковольтными входами операционных усилителей.

В фиксированный относительно начала каждого периода момент времени т0 вырабатывается строб (рис. 4, в), который открывает на короткое время коммутатор аналоговых сигналов, и запоминающая емкость заряжается до величины разностного напряжения:

ид = ии0 = ^0э (е-То/Тэ2 - е-То/Тэ1) /кдел. (7)

Можно показать, что датчик имеет максимальную крутизну, если время т0 равно постоянной времени заряда-разряда при центральном положении ротора.

Усилитель А3 работает в режиме повторителя, на его выходе окончательно формируется сигнал датчика (см. рис. 4, г).

Смысл выражения (7) можно раскрыть на конкретных типах подвесов. Так, для цилиндрического подвеса, расчетная схема которого приведена на рис. 5, в постоянные времени тэ1, тэ2, т0 входят электродные емкости, являющиеся входными емкостями относительно вводов э1 и э2. Входные емкости близки по своим значениям к собственным коэффициентам электростатической индукции:

Свх.э1 = С11) Свх.э2 = С22-

Значительное влияние на параметры датчиков оказывают так называемые паразитные емкости, они включают в себя емкости монтажа, емкости (р-п)-переходов и являются величинами, сравнимыми с ротор-электродными емкостями. В эквивалентной схеме паразитные емкости плеч датчика Сп1 и Сп2 шунтируют входные емкости, поэтому с их учетом можно записать

то = ЯС;?; тэ1 = Я (С11 + Сп1); тэ2 = Я (С22 + . (8)

Рис. 5. Расчетная схема цилиндрического подвеса

В работе [3] были получены выражения для коэффициентов электростатической индукции Сци С22в функции нормированных линейных X, у и угловых а, в смещений ротора из центра подвеса:

Си = СЙ} + с^у + су! у2 + СХ6! X2 + С«й+

+Cfí ä2 + Cfi e2 + ay + CfX/3ä; C22 = Cff - C^y + egy2 + Cfíx2 - CÜÖ+

■y/ЗЖ :

(9)

+Cfí a2 + Cfí 5 + Cffay + Cff^X; X = dcos ^o/h; y = dsin ^0/h; ¿5 = aL/h; /5 = ^L/h.

Подставим в уравнение (7) выражения (8) и (9), далее разложим его в ряд Тейлора по степеням смещений и отбросим нелинейные члены.

Тогда получим

- '(1) + CS> (Cf1y + Cfta)

ид1 — идо'

(1) _ УОэ

ид0 _ k

"'дел

(1) ^Оэ

иД1 _

дел

exp

exp

C

(О) 11

C (О) + C

C11 + Сп1

exp

C

(О) 11

C (О) + C

C11 + Cn2

C (О) C11

сЦ + C

п1

C1(1) + СпИ -

exp

C

(О) 11

C (0) + C C11 + Сп2

/(С? + С*)

здесь — смещение нуля (ненулевой сигнал) датчика, верхний индекс относится к номеру канала регулирования. Введем обозначения

к(1) _ С(0)СУ . (1). к(1) _

кд1 _ С11 С11ид1 ; кд2

Тогда с учетом (11) можно записать

k(1) _ С(0) Са U

кд2 _ -С11 С11ид1 ■

(1)

(11)

ид1 _ «д0) + - кд2)а >

(1) (1) - и к:

где и кд2' можно трактовать как крутизну датчика по линейным и угловым смещениям.

Оценим влияние паразитных емкостей на крутизну датчика и ненулевой сигнал при следующих параметрах и типоразмерах подвеса (см. рис. 5): к _ 5 ■ 10-5 м; Ь _ 55 ■ 10-3 м; /1 _ 10-3 м; /о _ 11 ■ 10-3 м;

_ 50°; а _ 7,5 ■ 10-3 м; ^0э _ 250В; кдел _ 50; е _ 2, где е _ 2 учитывает, что ротор подвеса находится в вязкой жидкости (в дальнейшем этот вариант будем называть базовым при численных оценках характеристик подвесов).

При этом СЦ _ 44,54 пФ, С^ _ 39,26 пФ, С^ _ -14,98 пФ.

В табл. 1 приведены значения крутизны к^ при изменении паразитных емкостей от 0 до 50 пФ. В расчетах принимаем Сп1 _ Сп2, т.е. плечи датчика симметричны.

Расчеты показывают, что крутизна датчика значительно снижается с ростом паразитных емкостей (до 38% номинального значения при Сп _ 50 пФ).

Из выражений (10) следует, что датчик имеет ненулевой сигнал только при неравенстве паразитных емкостей плеч датчика. Введем рассогласование ДСп _ Сп1 — Сп2 и исследуем ненулевой сигнал в функции этого параметра (табл. 2).

2

Таблица 1

Сп, пФ 0 5 10 15 20 25 30 50

И 3,24 2,90 2,60 2,33 2,10 1,91 1,73 1,22

Таблица 2

ДСп, пФ 0 2 4 6 8 10

иД0}, B 0 0,065 0,127 0,186 0,243 0,298

Так, при Сп1 = 20 пФ, Сп2 = 10 пФ (ДСп = 10 пФ) крутизна датчика в соответствии с выражениями (10) и (11) составит кФ = 2,35 В,

что при иД0} = 0, 298 В и К = 50 мкм эквивалентно смещению электрического нуля датчика из центра подвеса на 6,4 мкм, т.е. на 1 пФ рассогласования паразитных емкостей приходится примерно 0,64 мкм смещения электрического нуля датчика.

Следовательно, для совпадения электрического нуля датчика с геометрическим центром подвеса необходима дополнительная симметри-рия плеч датчика по паразитным емкостям.

Для остальных каналов подвеса получим

ид3 = + +

(5) . ; (5) — , 7 (5) —

ид5 = <о + кд/у + кд2а

,(1) ь(1) k(i)

ид7 = ид0 + кд1 х кд2 А

где идо, при г = 3, 5, 7 вычисляются аналогично кд , кд2

только при своих значениях паразитных емкостей.

В осевом канале (электроды э9 и э10, см. рис. 5) собственные коэффициенты электростатической индукции, полученные в работе [3], имеют вид

П _ Г<(0) I /тг - I г^г2 -2. /Щ _ ,^(0) ^-Уг - , (-чг2 -2

с99 = с99 + С99г + С99 ^ . с1010 = С99 — ^99^ + С99 г ,

поэтому сигнал датчика содержит только составляющую от нормированного перемещения по оси г:

= и(9) С (0)с и(9Ь = и(9) = С (0)Сг и(9) (12)

ид9 = ид0 — С99 С99ид1 ^ = ид0 — кд3г. кд3 = С99 С99ид1 , (12)

(1) д1

(9)

где напряжение идо может быть получено из и

заменой сЦ на С99 и Сп1, Сп2 на Сп9, Сп10 соответственно.

В дальнейших расчетах будем считать каналы симметричными, т.е. идО =0, г = 1, 3, 5, 7, 9, а также, что паразитные емкости всех плеч

д0

40)

(1) (9) ■У, а иД/ — из U

датчика одинаковы; тогда _ кд1, _ кд2 и

Мд1 _ кД1у — кД2а; идз _ кд1х + кд2/3;

.д5 _ кд1У + кд2Й; (13)

ид7 _ кд1х — кд2/3; „ ид9 _ — кд3^-

На практике часто из-за конструктивной особенности подвижной части приборов с цилиндрическим электростатическим подвесом не удается обеспечить идентичность размеров левого и правого подвесов, что приводит к отклонениям зазоров в подвесах от их номинального значения. Для оценки этого явления введем коэффициенты с1 и с2 неидентичности левого и правого подвесов соответственно. Если номинальный зазор при центральном положении ротора равен к, то с введенными коэффициентами зазоры левого и правого подвесов представим в виде

кл _ к/с1; кп _ к/с2. (14)

Если учесть неидентичность подвесов в виде равенств (14), считая Сп1, Сп2 малыми по сравнению с С(1), то справедлива следующая

система соотношений:

Мд1 _ С1 (Кд1У - Кд2а); ид3 _ С1 (кд!Ж + кд2/^) ;

Мд5 _ С2 (кд1У + кд2а);

Мд7 _ С2 (кд1Ж - кд2/3) ; ид9 _ — кд3^)

(15)

где кд1 _ 2^o-e-1CyVСЦ; кд2 _ С

(О)

кд3 _ 2^o-e 1С|9/С,

э 11 11

(О)

(О); 11 ;

99

Рассмотрим работу совмещенного датчика перемещений в подвесе с электродами в виде правильных сферических треугольников (см. рис. 1, в). Подвес этого типа состоит из четырех идентичных каналов стабилизации, поэтому достаточно рассмотреть работу датчика в одном из каналов. Для примера, рассмотрим канал, работающий с диаметрально расположенными электродами э1 и э6. Воспользуемся полученными в работе [4] выражениями для коэффициентов электро-

ид1 _ + С^С* «д11) (x + y + f),

статической индукции С11и С66:

С11 _ с{? + сх\(х + у + /)+

+СЙ (X2 + у2 + г2) + С^Ху + X/ + у/);

Сбб _ СО — С*(Х + у + /) +

+СХ? (X2 + у2 + г2) + С^Ху + X/ + у/).

Выполняя те же вычисления, что и для цилиндрического ротора, получим

_ ид0 + С11 С11 ид1

где «д0) и «д!) определяются по выражениям (10) с заменой Сп2 на Сп6.

Для симметричных датчиков, используя преобразования координат, можно записать

Мд1 _ кд (X + у + /);

ид2 _ кд (х — у + г);

идз _ кд(х — у — г); (16)

ид7 _ кд(х + у — г);

к _ С(0)Сх .а) , кд _ С11 С11 ид1 .

Для сферического подвеса с электродами в виде сферических сегментов (см. рис. 2) с учетом выражений для собственных коэффициентов электростатической индукции С^, г _ 1,...,6, полученных в работе [4], справедливы соотношения

ид1 _ кдХ; ид2 _ кду; ид3 _ кдг. (17)

В подвесах на постоянном и переменном токе применяются датчики несовмещенного типа. В работе [5] для измерения перемещения емкость ротор-электрод включена в резонансный контур. Структуры соотношений для датчиков несовмещенного типа схожи со структурами совмещенных датчиков, поэтому при анализе электростатических подвесов можно использовать обобщенные соотношения в формах (13), (16) и (17).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. А. с. 1241825 СССР, МКИ G01С19/24. Электростатический подвес / С.Н.Грибова, Г.Ф. Дробышев (СССР). № 3771062/40-23, 1986.

2. А. с. 1149726 СССР, МКИ G01С19/24. Способ управления подвесом электростатического гироскопа / С.Н. Грибова, Г.Ф. Дробышев (СССР). № 3474539/40-23, 1984.

3. Васюков С. А., Дробышев Г. Ф.. Математическая модель цилиндрического электростатического подвеса как системы заряженных проводников // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. "Естественные науки". - 2007. - № 1. -С. 72-87.

4. Васюков С. А., Дробышев Г. Ф.. Распределение потенциала и коэффициенты электростатической индукции в сферическом электростатическом подвесе // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. "Естественные науки". - 2007. - № 2. - С. 101-112.

5. П а т е н т 3412618 США. МКИ G01C19/30. Control apparatus for inertial instruments /R.S. Staats (США); Honewell ink. (США). № 301326; Заявл. 12.08.63; Опубл. 26.10.68; НКИ 74-5.7.

Статья поступила в редакцию 3.10.2006

Сергей Александрович Васюков родился в 1958 г., окончил в 1981г. МВТУ им. Н.Э. Баумана. Канд. техн. наук, доцент кафедры "Электротехника и промышленная электроника" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор 32 научных работ в области электростатических подвесов и датчиков автосигнализаций.

S.A. Vasyukov (b. 1958) graduated from the Bauman Moscow Higher Technical School in 1981. Ph. D. (Eng.), assoc. professor of "Electrical Engineering and Industrial Electronics" department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of 32 publications in the field of electrostatic suspension and sensor of automobile signaling system.

Георгий Федорович Дробышев родился в 1933 г, окончил в 1957 г. Московский энергетический институт. Д-р техн. наук, профессор кафедры "Электротехника и промышленная электроника" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор 80 научных работ в области расчета электростатических гироскопов и акселерометров, физики полупроводниковых приборов.

G.F. Drobyshev (b.1933) graduated from the Moscow Institute for Power Engineering in 1957. D. Sc. (Eng.), professor of "Electrical Engineering and Industrial Electronics" department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of 80 publications in the field of design of electrostatic gyroscopes and accelerometers, physics of semiconductor instruments.

В издательстве МГТУ им. Н.Э. Баумана в 2007 г. вышла в свет книга

Матричные методы расчета и проектирования сложных систем автоматического управления для инженеров / Под ред. К.А. Пупкова и Н.Д. Егупова. - М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. - 664 с.

Решение задач исследования, синтеза регуляторов и оптимизации САУ, поведение которых описывается системами нелинейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами высокого порядка, предполагает реализацию следующих этапов: построение адекватной математической модели, разработка методов, построение алгоритмов и их программная реализация.

Авторы стремились избегать громоздких и строгих процедур, а основное внимание уделено описанию идей и конструктивным подходам к их применению. Поэтому книга содержит большое число иллюстраций и технических приложений и ориентирована, в первую очередь, для применения инженерами-проектировщиками, создающими сложные автоматические системы.

По вопросам приобретения обращаться по тел. 263-60-45;

e-mail: press@bmstu.ru