CC BY
27УДК 621.396.67 ГРНТИ 78.25.4
АЛГОРИТМЫ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ТРАЕКТОРИЙ ВОЗДУШНЫХ ОБЪЕКТОВ ПРИ МАНЕВРИРОВАНИИ В ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ И ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТЯХ
Д.С. АКИНЬШИН
ВУНЦВВС «ВВА имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж)
C.Н. РАЗИНЬКОВ, доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник
ВУНЦ ВВС «ВВА имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж)
На основе аппарата фильтрации Калмана построены алгоритмы оценки текущих координат, их первых и вторых производных для воздушных объектов, совершающих равноускоренное движение по криволинейным траекториям, в наземной радиолокационной станции. Исследованы закономерности изменения оценок параметров траекторий от периода обзора пространства, местоположения объекта в начальный момент времени и характеристик его движения. Проведен сравнительный анализ точности оценивания параметров траекторий при маневрировании объектов в вертикальной и горизонтальной плоскостях.
Ключевые слова: радиолокационная станция, воздушный объект, уравнения движения, фильтр Калмана, оценка параметров траектории.
algorithms for estimating the air objects trajectories parameters when maneuvering in the horizontal and vertical planes
D.S. AKINSHIN
MESC AF «N.E. Zhukovsky and Y.A. Gagarin Air Force Academy» (Voronezh)
S.N. RAZINKOV, Doctor of Physical and Mathematical sciences, Senior Researcher
MESC AF «N.E. Zhukovsky and Y.A. Gagarin Air Force Academy» (Voronezh)
Algorithms for estimating the current coordinates, their first and second derivatives for air objects performing equidistant motion along curved trajectories in a ground radar station are based on the Kalman filtering apparatus. The regularities of changes in the estimates of the trajectory parameters from the period of the space survey, the location of the object at the initial moment of time and the characteristics of its movement are investigated. A comparative analysis of the accuracy of estimating trajectory parameters when maneuvering objects in the vertical and horizontal planes is carried out.
Keywords: radar station, air object, motion equations, Kalman filter, estimation of trajectory parameters.
Введение. Для повышения эффективности обнаружения и трассового сопровождения воздушных источников радиоизлучений в наземных комплексах радиотехнической разведки используются данные о местоположении и траекториях движения летательных аппаратов, поступающие от радиолокационных станций [1]. Оценки текущих значений первых и вторых производных координат объектов позволяют проводить прием и обработку сигналов их бортовых радиоэлектронных средств без поиска по пространству [1, 2], что существенно снижает вероятности пропуска целей и обеспечивает возможности пространственной селекции излучателей [2]. Местоположение источника радиоизлучения характеризуется инвариантностью к фоновой контрастности демаскирующих признаков [3, 4], которая может изменяться за счет адаптивного изменения мощности и перестройки частотно-временных
параметров сигналов. Поэтому данные о координатах и траектории движения воздушного объекта (ВО) позволяют выполнять анализ его динамических состояний в условиях маскировки и снижения радиотехнической заметности [4].
Одной из мер защиты летательных аппаратов от радиолокационного обнаружения является маневрирование. Поворот объекта в горизонтальной и вертикальной плоскостях затрудняет прогнозирование и обусловливает появление значительных ошибок параметров траекторий при реализации алгоритмов, базирующихся на приоритете прямолинейного равномерного движения [3]. В частности, нарушается устойчивость процедур экстраполяции и сглаживания значений параметров трасс на основе рекуррентной линейной фильтрации Калмана [3], характеризуемой минимальными среднеквадратическими ошибками выполняемых оценок [3, 4].
Актуальность. Наличие ускорения движения и маневрирование ВО приводят к накоплению ошибок оценивания параметров траекторий с применением алгоритмов рекуррентной фильтрации [3, 5], синтезированных для определения параметров перемещения по прямолинейным трассам с постоянной скоростью. В результате возможно отклонение восстанавливаемой траектории движения от истинного вида за пределы, при которых возможно сопровождение радиолокационных целей [4]. Наибольшей вероятностью срыва сопровождения объектов характеризуются траектории с поворотами, где параметры движения в каждой точке пространства оцениваются с различной точностью.
Таким образом, весьма актуальными являются вопросы оценки параметров траекторий маневрирующих объектов, наблюдаемых радиолокационной станцией.
В предлагаемой работе с использованием аппарата фильтрации Калмана [5] построен алгоритм и найдены оценки параметров равноускоренного движения радиолокационной цели по криволинейной траектории в вертикальной плоскости.
Уравнения траекторий равноускоренного движения воздушного объекта при маневрировании в горизонтальной и вертикальной плоскостях. Для задания пространственного положения ВО введем в рассмотрение сферическую систему координат, а для нахождения проекций траекторий движения в ортогональных плоскостях - декартову систему координат. Центр сферической системы координат совместим с началом декартовой системы координат.
На рисунке 1 изображены траектории движения объектов в горизонтальной и вертикальной плоскостях и их проекции.
Рисунок 1а - Схематичное представление траекторий движения ВО в горизонтальной плоскости
м и
Рисунок 1б - Схематичное представление траекторий движения ВО в вертикальной плоскости
При построении алгоритмов оценивания параметров траекторий полагаем, что ВО движется с начальной скоростью V и ускорением ао по траектории с радиусом кривизны г; радиолокационная станция выполняет обзор пространства с периодом То. Позиция, в которой выполнено обнаружение объекта в момент времени = 0, обозначена точкой А с координатами относительно позиции радиолокационной станции, расположенной в центре сферической системы координат, характеризуемыми дальностью Ко, азимутом а0 и углом места Р0. Проекция касательной к траектории движения ВО в точке А в декартовой системе координат образует угол в с осью Ох; угол между касательной и проекцией равен у; угол р(t)
определяется как центральный угол, опирающийся на дугу, соответствующую участку пути, пройденному объектом за время t относительно момента времени Ь.
Полагая, что в момент времени tk, к=1, 2,...,п, ВО переместился в точку В с координатами (Як,ак,Рк), £=1, 2,..., уравнения его движения представим в виде: а) при маневрировании в горизонтальной плоскости:
К (t) = ^Я2о + 2г2 (1 - соб р(х)) - 2 Кг г соб Р0 (бш (р(х) + а0 -в) + sm (в -а0)),
(1)
а
(t )=
агссоэ
К0 соБ Р0 соБ а0 - г (эт (р(t) - в) + эт в)
К0 соБ Р0 )2 + 2г2 (1 - соБ р(х)) - 2Кг соБ Р0 (бш (р(х>) + а0 - в) + Б1п (в -а0))
,(2)
Р ^) = Р0 = сот1;
(3)
б) при маневрировании в вертикальной плоскости:
К ^ ) = ^К2 + 2г2 (1 - соб р(х )) - 2К0г • С ^ ),
(4)
Э1
и
a(t) = arccos ((R cos P0 cosa0 - r cos в (sin (<(t) + y) — sin y))j <J(R cos J30)2 + r2 (sin (<(t) + y) — sin y ) - 2Rr cos /30 cos (в — a0) (sin (< (t) + y) — sin y ) j, (5)
P(t ) =
arcsin
R sin P0 + r (cos y — cos (< (t) + y ))
R(t)
(6)
где C (t) = ( cos P0 sin (<p(t) + y) — cos P0 sin y) cos (в — a0 ) + (cos (<(t ) + y) — cosy) sin P0.
Согласно [5], уравнения (1-6) могут быть аппроксимированы полиномами второй степени:
а) при совершении маневра в горизонтальной плоскости:
a,
R (t) = R — V cos P0 cos (в —a,1 — 0 • cos P0 • cos (в — a0) +—cos P0 sin (в — a0) + (cos P0 cos (в — a0))
Л ,2
a(t ) = a0 — -
V sin (в —a0 )• t I sin (в —a0) F2 2 sin2 (в — a0) R0 cos (в — a0)
an---— + 2
0 R0 cos P0 R„2
R0 cos p0
P (t) = P0 = cornt; б) при совершении маневра в вертикальной плоскости:
cos P0 r cos P
0 У У
(7)
7' (8)
(9)
R (t) = R — VC0 • t —
a0C0
Yl
R0
1 — C, +—(cos P0 sin y cos (в — a0) + sin P0 cos y)
(10)
a (t) = a0 —
V cosysin (в —a0 )• t
R cos P0
a,
R0cos P0
0 cosysin (в—a0) V2 { cos2 ysin2 (в —a0) R sinysin (в —a0)
+R7
^t2
V
cos P0
r cos P0
(11)
УУ
Pt) = p I V(siny + C0 sinP0)t ! Ia0 (siny + C0 sin P0) +
V!'
R2
R0cos P0 I R0 cos P0
R (cos P0 cos y — sin P0 sin y cos (в — a0))
2C2
— tgP0 — —+ ctgPo C0 + tgP,
sin y + C0 sin P0
Л
2 ЛЛ
sin2P0
где C0 = cos P0 cos y cos (в—a0) — sin P0 sin y.
0 ^0 ' ььиоо V
cos P
о У
(12)
УУ
Выражения (7-12), обладающие тождественной структурой, в результате преобразований могут быть преобразованы к обобщенному представлению
F (t) = F-z• Лр T "0,5 (a0-B1f + z2 •Bь +AF(t),
T
■*- Г>
(13)
о У
где z=■
VTо. До
- малый параметр, Д¥(^) - функция, характеризующая ошибку выполняемых
измерений [5]. Входящие в (13) коэффициенты для траектории ВО, совершающего маневр в горизонтальной плоскости, определяются из (7-9), для траектории объекта, маневрирующего в вертикальной плоскости - из (10-12).
Оценки параметров траектории движения находятся по характеристикам функции ¥(^) в фиксированные моменты времени 1к, к=1, 2,...,п, с подстановкой коэффициентов, зависящих от
плоскости выполнения маневра и координат ВО, из (9-12).
Оценки координат маневрирующих воздушных объектов. Полагая, что измерения координат цели выполняются независимо, по аналогии с [5] получим, что выражения для
расчета функции ¥к = ¥(/к), 1к = кТ0, к=1, 2,...,п, а также ее первой и второй производных:
•• n
Fn =&р(*)• р, Fn = &.(к) • Fk, Fn = £?-(k>р ,
к=1
к=1
к=1
(14)
дискретные весовые коэффициенты в (14) определяются выражениями:
3
Лр (к) =
n (n +1)( n + 2)
((n +1)( n + 2)-2к (4n + 3) + 10к2),
(15)
Лр(к) T0n(n2 -l)(n2 -4)
((n +1)(n + 2)(6n - 7)- 2к (16n2 -19) + 30к2 (n -1)),
(16)
Лр(к) T02n(n2-1)(n2 -4)
((n +1)( n + 2)-6к (n +1) + 6к2).
(17)
Ошибку измерения Д¥(&), к=1, 2,...,п, представим в виде функции, величина которой зависит от отношения сигнал-шум на входе измерительного устройства
Ар (tk ) = aF (tk) =
const
const
f
Qo
* (^).
* (tk) До
Л2
(18)
где а¥о - нормирующий множитель, представляющий собой среднеквадратичное отклонение
параметра траектории в момент времени его величина и размерность определяются видом оцениваемого параметра траектории ВО.
В результате подстановки (13) в (14), учитывая (18), найдем оценки (14):
л
у
Р = Р + ЁЪ (к) • Н (к),
к=1
(19.1)
¥п = —
—г
• —(а • А, + г' • )
т
т
СЁ^ (к)• Н(к),
к=1
(19.2)
-(а0 • В + г2 • В2 ) » Рп = 10 ^-^ + сРо Ё Ъ (к) • Н (к),
Т
к=1
(19.3)
где Н (к ) =
V ^ у
Средние значения оценок (19.1-19.3) являются несмещенными и определяются выражениями:
г • А + а • В + г • В
г п
(ао • ^ + г2 • В2р)
Т
г»
Т2
(20)
где индекс «Р» представляет собой символьную переменную, принимающую значения, соответствующие виду оцениваемого параметра.
Выражения для расчета дисперсий оценок параметров имеют вид:
2 2 < < =<-Ъ(чЛк)-Н(к)\, а: =а\МпЛк)-Н(к)\ . (21)
"„ к=1 • ЬР ' Р А-=1 ^ ^ '
Корреляционная матрица ошибок для коэффициентов, входящих в (14), не зависит от «Рк», поэтому в выражениях, входящих в (19), она сохраняется неизменной [5].
Анализ параметров траекторий воздушных объектов, маневрирующих в горизонтальной и вертикальной плоскостях. На рисунке 2 представлены зависимости соотношения дисперсий оценок координат ВО и дисперсии оценки координат в момент времени его первоначального обнаружения ср / сгр от периода обзора радиолокационной
станции к для выборки п = 6 и п = 8. На рисунках 2а и 2б зависимостям 1-3 сопоставлены значения малого параметра г = 0,084, 0,042 и 0,008 для угла 0 = 160° при совершении ВО маневра в горизонтальной плоскости. Уравнения движения (1-3) заданы при а0 = 80° и
Р0 = 30°. На рисунках 2в и 2г зависимостям 1-3 сопоставлены значения г = 0,112, 0,056
и 0,0112 для углов 0 = 130° и у = 50° при маневрировании объекта в вертикальной плоскости.
Уравнения движения (4-6) заданы при а0 = 50° и /?0 = 15°. В обоих случаях ускорение ВО
а0 = 3 м/с2, радиус поворота г = 8 км.
Ввиду того, что, согласно (19.1-19.3), искомые оценки определяются для выборки из п значений, дисперсии параметров в (21) определяют изменение точности измерения в п-ом периоде обзора относительно показателя, достигнутого в момент времени первоначального обнаружения объекта.
Из рисунка 2 следует, что наиболее существенным образом значения дисперсии параметров траекторий ВО корректируются на двух предшествующих периодах обзора
п
пространства. Точность измерения убывает с увеличением числа обзоров внутри одной выборки п. Поэтому дальнейшие результаты исследования будут приводиться для п-2, п-1 и п периодов обзора радиолокационной станции.
Увеличение числа элементов в выборке п, возрастание малого параметра 2 (при совершении маневра в горизонтальной плоскости) или его убывание (при совершении маневра в вертикальной плоскости) приводит к снижению нормированных значений дисперсий оценок координат, что определяет повышение точности измерений.
I „2
<Г¥ / <г¥
¥к ¥0
0,7 -
0,6 -0,5
0,4 -
0,3 -0,20,1
о ^ 1
— 1 -ъ = 0,084 —2-г = 0,042
- -3 - г = 0,008
0,7244 /
/
1
/
/
/
/
/о,4462
/ /0,2734
0,042
а)
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
-1 -ъ = 0,084 -2 - г = 0,042 -3 - г = 0,008
0,5951 . /
I
I
I
I
I
I
I
I
I
' 0,2953 ' / ' / I / I /
0,181 I ' ' /
✓ / 0,141 ' /
0,0481
0,0618 х
0,069
б)
Рисунок 2 - Зависимость нормированных значений дисперсий оценок координат ВО от периода обзора радиолокационной станции: а, б - в горизонтальной плоскости
2,0
1,5
1,0
0,5
— 1 - г = 0,112 —2 -ъ = 0,056
- -3 - г = 0,0112
2,198 ,
0,0595
в)
2,0
1,5
1,0
0,5
— 1 - г = 0,112 —2 - ъ = 0,056
- -Ъ -ъ = 0,0112
2,168 .
0,558:/ / /
/ ' //
0,0789 " "
г)
Рисунок 2 - Зависимость нормированных значений дисперсий оценок координат ВО от периода обзора радиолокационной станции: в, г - в вертикальной плоскости
На рисунке 3 представлены зависимости (Г2Р^ / агр от малого параметра 2 для последних
трех периодов обзора РЛС в выборке из п = 6 периодов при совершении маневра в горизонтальной плоскости и п = 8 периодов при совершении маневра в вертикальной плоскости.
На рисунках 3а и 3б зависимостям 1-3 сопоставлены значения периодов обзора РЛС к = 4, 5 и 6 соответственно для 0 = 140° при совершении ВО маневра в горизонтальной плоскости. Уравнения движения (1-3) заданы при углах а0 = 80° и Д, = 30° .
/о>0
0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 01-
0,7074 (2=0,112)
— 1 - к=4 —2 - к=5
- -3 - к=6
0,3819 (2=0,042)
0,1801 (2=0,084)
-г2 / 2
°К /
0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 г
а)
0,7199
(2=0,112)
— 1 - к=4
^ —2 - к=5
% - -3 - к—6
ч •ч
ч.
^ х ч 0,4371
4 ч (2=0,042)
»4 —.
0,2751"
(2=0,084)
-
0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 г
б)
Рисунок 3 - Зависимость нормированных дисперсий оценок координат ВО от малого параметра 2:
а, б - в горизонтальной плоскости
м и
1,291
/ — 1 - k=6 (z=0,112),
1,2 —2 - k=7 - -3 - k=8 **
1,0 * 0,8267
0,8 (z=0,056) „ " "
0,6 0,3958
0,4 0,2563 __________________________ (z=0,112)
0,2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 z
в) 3,106
< к — 1 - k=6 (z=0,112) ✓
—2 - k=7 /
- -3 - k=8 ✓
2,5 ✓ ✓
s
2,0 У у ✓
1,5 1,338
(z=0,056) „ '
1,0 0,7223
0,3539 (z=0,112)
0,5 (z=0,056) _______________
0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1 z
г)
Рисунок 3 - Зависимость нормированных дисперсий оценок координат ВО от малого параметра z:
в, г - в вертикальной плоскости
На рисунках 3в и 3г зависимостям 1-3 сопоставлены значения периодов обзора РЛС к =6, 7 и 8 соответственно для 0 = 160° и у = 50° при совершении ВО маневра в вертикальной плоскости. Уравнения движения (4-6) заданы при углах а0 = 50° и Д0 = 15°. Ускорение ВО a0 = 3 м/c2, радиус кривизны траектории r на рисунках 3а и 3в r = 8 км, а на рисунках 3б и 3г - r = 16 км.
Значение малого параметра 2 отражает изменение скорости и дальности первоначального обнаружения объекта, а также периода обзора радиолокационной станции. Ухудшение точности измерений параметров, как следует из рисунка 3, происходит при возрастании радиуса кривизны траектории г.
Изменение нормированных дисперсий оценок ср / ср^ определяется влиянием угловых координат ВО, определяющих положение в момент времени первоначального обнаружения (первый элемент из выборки). Нормированные дисперсии оценок ар / ср на рассматриваемой
дуге при последнем периоде обзора пространства в выборке п могут иметь экстремум минимума относительно изменения угла в для горизонтальной плоскости совершения маневра и экстремум максимума при фиксированных углах в относительно изменения угла у для вертикальной плоскости.
Для сравнительного анализа параметров траектории движения ВО в различных плоскостях маневрирования введем понятие точки и интервала перехода.
Под точкой перехода по выбранному параметру будем понимать среднее значение интервала перехода, а под интервалом перехода - интервал значений выбранного параметра, при прохождении которого рассматриваемая функция с ростом выбранного параметра при возрастании второго параметра изменяет закономерности убывания (возрастания) относительно второго параметра.
Для выборки п = 8 значения ср / сра от угла у (рисунок 4б) при возрастании в на интервале углов у (7,4°; 8,4°) изменяются с монотонно возрастающих на монотонно убывающие относительно в, где у = 8° - точка перехода.
На рисунке 4 приведены зависимости нормированных значений дисперсий оценок координат от углов у (а, б) и в (в).
^2 I ^2
С /ср0
2,075 2,07 2,065 2,06 2,055 2,05 2,045 2,04 2,035 2,03
27,4 27,6 27,
28,0 28,2 28,4 28,6 28,8
У
а) п=6
Рисунок 4а - Зависимости нормированных значений дисперсий оценок координат от углов у и на интервале перехода при совершении ВО маневра в вертикальной плоскости
б) п=8
127.5 130.0 132.5 135.0 137.5 14(1.0 142.5 в в) п=7
Рисунок 4б, в - Зависимости нормированных значений дисперсий оценок координат от углов у и в на интервале перехода при совершении ВО маневра в вертикальной плоскости
На рисунках 4а и 4б отображены интервалы перехода для углов у, при выборке из п = 6 и п = 8 элементов соответственно, на рисунке 4в - интервал перехода по углу в при выборке из п = 7 элементов. Кривые 1-6 для рисунков 4а и 4б отождествляются со значениями угла в, принимающие значения от 95° до 160°, для рисунка 4в кривые от 1-5 соответствуют значениям углов у от 5° до 85°.
Возрастание числа элементов выборки смещает точки перехода и сужает их интервалы; большим значениям выборки соответствуют меньшие значения точек перехода. Из рисунков 4а и 4б следует, что точка перехода угла у сместилась с 28,2° до 8°, а дисперсия ее интервала сократилась с 1,6° до 1°.
Возрастание углов 0 для фиксированного значения угла у приводит к возрастанию нормированных значений дисперсий оценок координат до интервала перехода по параметру у, а после него зависимость изменяется на противоположную. При фиксированных углах 0, возрастание значений угла у может приводить к появлению локальных экстремумов максимума для значений дисперсий оценок координат. Для каждого угла 0 значения локальных экстремумов достигаются при различных значениях угла у .
При маневре ВО в горизонтальной плоскости уменьшение азимута приводит к смещению локального экстремума влево при фиксированном значении угла места. Значения угла места объекта и дисперсий оценок ^ / подвержены тождественным тенденциям роста (спада) при фиксированном значении азимута. В таблице 1 при Д0 = 15° и а0 = 70° для всех значений малого параметра z наблюдается локальный экстремум нормированных дисперсий оценок параметров в окрестности угла 0 = 120° .
Таблица 1 - Зависимость изменения нормированных дисперсий оценок от азимута а00 и угла места Д на последнем
Малый параметр Д=15°; а=70° Д=15°; а0=50° Д=30°; а=50°
Угол 0 Угол 0 Угол 0
115° 120° 130° 95° 100° 110° 95° 100° 110°
0,084 0,0819 0,0793 0,0838 0,0819 0,0793 0,0838 0,1327 0,1292 0,1338
0,042 0,2710 0,2679 0,2712 0,2710 0,2679 0,2712 0,3159 0,3128 0,3160
0,008 0,6291 0,6280 0,6289 0,6291 0,6280 0,6289 0,6426 0,6416 0,6424
Вместе с тем, согласно зависимостям, приведенным на рисунке 5, с уменьшением предшествующих периодов обзора локальный экстремум минимума постепенно исчезает.
^ / ^
0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 0.1 0,05
0
— 1 - к=5
—2 - к=6
- -3 - к=7
№,0864 0,0831 '---------------------•—
0,0824 0,0864
95
110
120
130
140
150
в
Рисунок 5а - Зависимости нормированных дисперсий оценок координат ВО от 0, 2=0,042
^2 / ^т-2
0,18 0,16 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02
— 1 - к=5 —2 - к=6
- -3 - к=7
0,0411
0,0369
0,0427
0,0382
в
Рисунок 5б - Зависимости нормированных дисперсий оценок координат ВО от в, 2=0,084
Возрастание малого параметра 2 увеличивает скорость приближения к экстремуму (удаления от него). Изменение числа элементов в выборке п, как и значение азимута объекта в начальный момент обнаружения, приводит к смещению положения локального минимума. Чем больше выборка п, тем правее находится положение минимума, или он наблюдается при больших значениях угла в.
На рисунке 6 при /?0 = 15° и а0 = 50° представлены зависимости нормированных
значений дисперсий оценок координат от угла в для параметра 2 = 0,084.
(Гр / (Гр
рк р0
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
о
— 1 -к=4 —2 - к=5
- -3 - к=6
' 0,1565
0,1062
0,1238
в
а) п=6
Рисунок 6а - Зависимость нормированных значений дисперсий оценок координат ВО от угла в для
2=0,084
„2 I „2 С7Р / С7Р
Рк Р0
0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,15 ОД 0,05
0,0819
-1 -к=5 -2 - к=6 -3 - к=7
0,0793
0
95 100
0,0837
110 120
130 140 150 в
б) п=7
/ 2 а /а
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0,0672
0,0632
-1 -к=6 -2 - к=7 -3 - к=8
0,0708
95 100
110
120
130
140
150
в
в) п=8
Рисунок 6б, в - Зависимость нормированных значений дисперсий оценок координат ВО от угла в для 2=0,084
Результаты получены при ускорении ВО а0 = 3 м/с2 и радиусе кривизны траектории г=8 км. На рисунке 6а локальный экстремум отсутствует. Данная закономерность объясняется тем, что при указанных параметрах его значение меньше 90°, а допустимые значения угла в находятся в пределах [90°;180°].
Из рисунков 6б и 6в следует, что экстремум минимума смещается вправо, т.е. значение угла 0 = 100° возрастает до 0 = 110°. Возрастание (убывание) угла между проекцией касательной к траектории движения объекта в точке его первоначального обнаружения и осью Ох (угол 0 ) от локального экстремума приводит к ухудшению точности измерения в последнем периоде обзора пространства в выборке.
При совершении маневра в вертикальной плоскости возрастание угла места, определяющего положение ВО в пространстве в начальный момент времени, приводит к ухудшению точности измерений. Это связано с более быстрым удалением ВО от радиолокационной станции. Зависимость о^ / ор от угла у для последнего периода обзора
РЛС и различных начальных значениях угловых координат ВО представлена на рисунке 7. Кривым 1-6 соответствуют значения углов 0 от 95° до 160°.
Из рисунков 7а и 7б следует, что уменьшение Д0 способствует снижению числа локальных экстремумов максимума для нормированных значений дисперсий оценок координат ор / ор относительно значений угла у. Возрастание азимута а0 ВО, определяющего его
положение в начальный момент времени, сопровождается сжатием интервала значений дисперсий оценок координат до интервала перехода для различных значений угла 0 при фиксированном угле у, а после его прохождения - увеличением этого интервала (рисунок 7б, рисунок 7в). Это объясняется смещением точки перехода по углу 0 в область больших значений, что приводит к уменьшению локальных экстремумов максимума для нормированных значений дисперсий оценок координат ор^ / оро относительно значений угла у. При прохождении интервала перехода относительно углов у значения нормированных дисперсий оценок возрастают с увеличением азимута а0.
о к / Ор0
3,5
3,0
2,5
2,0
1,5
1,0
3,925
1,231
0 10 20 30 40 50 60 70 80 у
а) ао=50р ,°о=30°
Рисунок 7а - Зависимости нормированных значений дисперсий оценок координат ВО от угла у при
изменении углов места и азимута
/ СТР„
3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5
1,637
0,9588
() 1(1 20 30 40 50 00 70 N1) у
б) 0,0=50°, Р0=15°
^2 / -г-2
4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5
—1-95 —2- 110 3 - 125 —4- 130 —5 - 135 -6- 160
1,526
4,453
1,656
10 20 30 40 50 60 70 80 у
в) 00=70°, Р0=15°
Рисунок 7б, в - Зависимости нормированных значений дисперсий оценок координат ВО от угла у при
изменении углов места и азимута
В таблице 2 и 3 приведена зависимость изменения дисперсий оценок координат ВО, совершающего маневр в горизонтальной и вертикальной плоскости, от его ускорения а^.
Таблица 2 - Нормированные значения дисперсий оценок координат ВО при маневрировании в горизонтальной плоскости (для г=0,042)
Угол в Период обзора РЛС Ускорение ВО ао=3 м/с2 Ускорение ВО ао=10 м/с2
4 0,0323 0,0319
120° 5 0,0819 0,0793
6 0,3696 0,3550
4 0,0377 0,0374
160° 5 0,1004 0,0965
6 0,4462 0,4138
Таблица 3 - Нормированные значения дисперсий оценок координат ВО при маневрировании в вертикальной плоскости (для г=0,056)
Угол в Период обзора РЛС, к 7=5° 7=45° 7=85°
ао=3 а0=10 ао=3 ао=10 ао=3 ао=10
100° 5 0,0470 0,0478 0,0614 0,0631 0,0754 0,0775
6 0,1979 0,2159 0,2882 0,3106 0,3477 0,3632
7 1,0081 1,1387 1,4618 1,5805 1,6702 1,7053
110° 7 1,0411 1,1498 1,3864 1,4750 1,5074 1,5262
125° 7 1,0981 1,1691 1,2640 1,3057 1,2519 1,2467
130° 7 1,1187 1,1760 1,2223 1,2486 1,1675 1,1550
140° 7 1,1613 1,1905 1,1397 1,1365 1,0049 0,9792
150° 7 1,2049 1,2053 1,0603 1,0302 0,8549 0,8184
160° 7 1,2480 1,2199 0,9864 0,9326 0,7216 0,6770
Как следует из таблиц 2 и 3, изменение значений ускорения ВО сохраняет установленную закономерность относительно периодов обзора пространства в выборке; большему периоду обзора соответствует большее значение <г2Рк / ор , а также закономерность, справедливую для углов в и у, установленную выше. При совершении маневра в горизонтальной плоскости рост ускорения ВО приводит к повышению точности измерения правее экстремума минимума и к её ухудшению левее от экстремума. При совершении маневра в вертикальной плоскости рост ускорения ВО приводит к сужению интервала значений нормированных дисперсий оценок координат относительно углов в для конкретных углов у до интервала перехода по углу у, а
после него - к расширению. При фиксированных углах в, зависимость о2Рк /о^ от ускорения ВО строго монотонна там, где строго монотонна зависимость о2р^ / о2р^ от у. Указанная
тенденция проиллюстрирована на рисунке 8а для в = 100°, 110°, 150°, 160°.
На рисунках 8а и 8б представлены зависимости нормированных значений дисперсий оценок координат о2р^ / оро от угла у для последнего периода обзора пространства при
различных ускорениях движения ВО, малого параметра г=0,056 и выборке из семи элементов. На рисунке 8а зависимостям 1-7 соответствуют значения ускорения ао=3 м/с2 и углов в от 100° до 160°.
Из рисунков 8а и 8б следует, что для углов в = 125°, 130° и 140° при наличии экстремумов зависимости нормированных значений орк / ор^ от у возрастание ускорения
сохраняет закономерность изменения ее значений. Возрастание ускорения ВО, совершающего маневр в вертикальной плоскости, сопровождается ухудшением точности измерений; при этом значения нормированных дисперсий оценок координат убывают быстрее при стремлении угла у к 90° и больших ускорениях.
г —1" 100
—2- 110
1,6 3 - 125
—4- 130
1,5 - —5 - 140
6- 150
1,4 —7 - 160
1,3 -
1,2 1,161
1,1 1,119
1,0
0,9 -
0,8 -
0,7 _1-
30 40 50 60 а)
У
б)
Рисунок 8 - Нормированные значения дисперсий оценок координат ВО от угла у при различных ускорениях движения воздушного объекта при совершении маневрирования в вертикальной плоскости
Выводы. Получены аналитические соотношения для расчета и проведен сравнительный анализ оценок параметров траектории ВО, совершающего равноускоренное движение в горизонтальной и вертикальной плоскостях. Установлено, что оценки параметров траектории являются несмещенными, наиболее существенным образом значения их дисперсий корректируются на двух предшествующих периодах обзора радиолокационной станции независимо от плоскости маневрирования.
Точность измерений параметров траектории возрастает с увеличением выборки и уменьшается с увеличением номера обзора в выборке, а также по мере увеличения значений малого параметра z (при совершении маневра в горизонтальной плоскости) или его уменьшения (при маневрировании в вертикальной плоскости).
Дисперсии оценок при последнем периоде обзора радиолокационной станции в выборке n могут иметь экстремум минимума относительно изменения угла 0 для горизонтальной плоскости совершения маневра и экстремум максимума при фиксированных углах 0 относительно изменения угла у для вертикальной плоскости. При изменении отмеченных тенденций соотношения дисперсий оценок параметров в области малых углов у их локальные экстремумы максимума располагаются в области больших углов 0. С ростом угла 0 для конкретного угла у дисперсии искомых оценок возрастают до интервала перехода и убывают после него.
Значения угла места объекта и дисперсий оценок сгрк / ар подвержены тождественным
тенденциям роста (спада) при фиксированном значении азимута независимо от плоскости маневрирования. Это связано с более быстрым удалением ВО от радиолокационной станции.
Увеличение значений азимута ВО, определяющего его положение в начальный момент времени, приводит к смещению локального экстремума минимума вправо при фиксированном значении угла места при совершении маневра ВО в горизонтальной плоскости, и сопровождается сжатием интервала значений дисперсий оценок координат до интервала перехода для различных значений угла 0 при фиксированном угле у, а после его прохождения - увеличением этого интервала при совершении маневра в вертикальной плоскости, а уменьшение Д0 способствует снижению числа локальных экстремумов максимума для значений дисперсий оценок координат относительно значений угла у . Возрастание малого параметра z увеличивает скорость приближения (удаления) к экстремуму для случаев маневрирования в горизонтальной плоскости.
Рост радиуса кривизны маневра ВО сопровождается ухудшением точности измерений независимо от плоскости маневрирования, а изменение значений ускорения ВО сохраняет полученную зависимость относительно периодов обзора РЛС в выборке, т.е. большему периоду обзора соответствует большее значение сгрк / ар, . При совершении ВО маневра в
горизонтальной плоскости рост ускорения ВО приводит к повышению точности измерения правее экстремума минимума и к её ухудшению левее от экстремума. При совершении ВО маневра в вертикальной плоскости рост ускорения сопровождает ухудшение точности и при этом значения нормированных дисперсий оценок убывают быстрее при стремлении угла у к 90° и больших ускорениях движения.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Радиоэлектронные системы: основы построения и теория. Справочник / под ред. ЯД. Ширмана. М.: Радиотехника, 2007. 512 с.
2. Радзиевский В.Г., Сирота А.А. Теоретические основы радиоэлектронной разведки. М.: Радиотехника, 2004. 432 с.
3. Перов А.И. Статистическая теория радиотехнических систем. М.: Радиотехника, 2003.
400 с.
4. Попов В.Г., Разиньков С.Н., Решетняк Е.А. Оценка эффективности трассового сопровождения маневрирующих источников радиоизлучения // Воздушно-космические силы. Теория и практика. 2019. № 9. С. 90-95. [Электронный ресурс]. Режим доступа: Ы*р://академия-ввс.рф/images/docs/vks/9-2019/90-95 .pdf (дата обращения 05.04.2021).
5. Кузьмин С.З. Цифровая обработка радиолокационной информации. М.: Советское радио, 1967. 400 с.
REFERENCES
1. Radio' elektronnye sistemy: osnovy postroeniya i teoriya. Spravochnik / pod red. Ya.D. Shirmana. M.: Radiotehnika, 2007. 512 p.
2. Radzievskij V.G., Sirota A.A. Teoreticheskie osnovy radio'elektronnoj razvedki. M.: Radiotehnika, 2004. 432 p.
3. Perov A.I. Statisticheskaya teoriya radiotehnicheskih sistem. M.: Radiotehnika, 2003. 400 p.
4. Popov V.G., Razin'kov S.N., Reshetnyak E.A. Ocenka ' effektivnosti trassovogo soprovozhdeniya manevriruyuschih istochnikov radioizlucheniya // Vozdushno-kosmicheskie sily. Teoriya i praktika. 2019. № 9. pp. 90-95. ['Elektronnyj resurs]. Rezhim dostupa: http://akademiya-vvs.rf/images/docs/vks/9-2019/90-95.pdf (data obrascheniya 05.04.2021).
5. Kuz'min S.Z. Cifrovaya obrabotka radiolokacionnoj informacii. M.: Sovetskoe radio, 1967.
400 p.
© Акиньшин Д.С., Разиньков С.Н., 2021
Акиньшин Дмитрий Сергеевич, адъюнкт, Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж), Россия, 394064, г. Воронеж, ул. Старых Большевиков, 54А, [email protected].
Разиньков Сергей Николаевич, доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник, ведущий научный сотрудник Научно-исследовательского испытательного института (радиоэлектронной борьбы), Военный учебно-научный центр Военно-воздушных сил «Военно-воздушная академия имени профессора Н.Е. Жуковского и Ю.А. Гагарина» (г. Воронеж), Россия, 394064, г. Воронеж, ул. Старых Большевиков, 54А, [email protected].
