CC BY
7
// Управление собственностью: теория и практика. Научно-практический журнал. - МГУ. - Москва. -2013 г. - № 4. - с.
2. Дудник Д.В. Экономическое содержание основных функций государственного управления земельными ресурсами Российской Федерации // Национальные интересы: приоритеты и безопасность. 2009. № 19. С. 30-35.
3. Дудник Д.В. Принципы экономического управления земельными ресурсами Российской Федерации // Предпринимательство. 2009. № 2. С. 3539.
4. Дудник Д. В. Экономическое стимулирование охраны окружающей среды как инструмент экономического управления земельными ресурсами Российской Федерации // Теория и практика общественного развития. 2011. № 2. С.316-320
5. Дудник Д.В. Оценка эколого-экономического риска в процессе рационального природопользования при осуществлении эколого-экономического управления земельными ресурсами региона (по материалам Краснодарского края) // Управление экономическими системами: электронный научный журнал. № 5. 2012. http://uecs.ru
6. Дудник Д.В. Механизм оценки эколого-экономической эффективности управления земельными ресурсами в системе природопользования региона // Управление экономическими системами: электронный научный журнал. 2012. № 45 (9). С. 49.
УДК 51-72
Еремин А.В. студент
4 курс, институт «Электроники и приборостроения»
СГАУим. академика С.П. Королёва
Россия, г. Самара Горовенко Т.А. студент
4 курс, институт «Электроники и приборостроения»
СГАУ им. академика С.П. Королёва
Россия, г. Самара АЛГОРИТМЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ В ПРИЛОЖЕНИИ МЕТОДА МОЛЕКУЛЯРНОЙ ДИНАМИКИ Статья посвящена исследованию различных алгоритмов численного интегрирования уравнений движения. Были рассмотрены порядки точности алгоритмов по координатам и скоростям. Выявлены основные особенности каждого из них. Сформулированы границы применимости.
Ключевые слова: численные методы, методы частиц, алгоритмы, молекулярная динамика, порядок точности ALGORITHMS OF INTEGRATION EQUATIONS OF MOTION IN THE APPLICATION OF METHOD OF MOLECULAR DYNAMICS
The article is devoted to investigation of different algorithms for the numerical integration of the equations of motion. Orders of accuracy by coordinates and velocities of these algorithms were considered. The main features of each of them were identified. The scope of applicability was formulated.
Keywords: numerical methods, particle methods, algorithms, molecular dynamics, order of accuracy
В связи с развитием вычислительной техники все большее внимание уделяется численным методам моделирования физических систем. Так как такой подход позволяет с достаточной достоверностью наблюдать эволюцию сложных систем, развитие данного направления является перспективной задачей. В настоящее время все большее количество исследований связано с методом молекулярной динамики (далее ММД). Интерес к нему вызван возможностью отслеживать фазовые траектории отдельных частиц.
ММД основывается на численном решении систем дифференциальных уравнений движения вида: d2n 1 -> _ _
-¡-¿=-—Чи(г1,..гО (1)
at2 mt
5=ШйрЦ я
1 j = l..N у j /
N
1
(3)
] = 1..Ы у Ч1
№
Для численного решения необходимо представить уравнение (2), с
учетом равенства (3), в виде системы уравнений первого порядка. =
_,
-&г 1
Как можно увидеть из (3), основная вычислительная нагрузка приходится на расчет результирующей силы парного взаимодействия, следовательно, алгоритмы для решения данной системы не должны производить более одного расчета правой части на итерацию.
Для итерационной схемы верны следующие равенства: Vп+1 = + (К) (5)
Г.п+1 = г(1 + <И) (6)
Далее, разлагая (5) и (6) в ряд Тейлора, можно получить выражения для всех нижеприведенных схем.
Начнем рассмотрение с самой простой схемы интегрирования, а именно с алгоритма Эйлера.
Vп+1 = + + 0(й1) (7)
гп+1 = гп + ^п&г + о(№) (8)
Как показано в (7,8), алгоритм Эйлера имеет первый порядок точности по координатам и скоростям. Главным недостатком данной схемы является асимметричность относительно шага интегрирования, т.е. при продвижении решения на временной шаг № используется информация о производных только в начальной точке интервала. Данная схема приведена, преимущественно, в качестве примера, так как на практике не используется. Следующим рассмотрим алгоритм Эйлера-Кромера. = + + 0(№) (9)
гп+1 =?п + <тп+1<1г + 0(й£) (10)
Хотя схема (9,10) имеет, аналогично (7,8), первый порядок точности, она является симметричной, что способствует меньшему накоплению погрешности. Данный алгоритм может быть использован в демонстрационных целях, например в рамках лабораторных или курсовых студенческих работ.
Последней схемой первого порядка точности является метод центральной точки.
:1Гп+1 = 1гп + + О (бХ) (11)
_ _ йх
/.д С** Л- ^
В отличие от алгоритмов Эйлера и Эйлера-Кромера, данный метод имеет второй порядок точности по координате.
Перейдем к рассмотрению более точных схем интегрирования. Наиболее простой и распространенной из них является алгоритм Верле в скоростной форме.
-» 1 -»
?п+1 = гп + +—ап&2 + 0(&3) (13)
-» - 1
Vп+1 =1тп + - (ап+1 + Оп)М + 0(М2) (14)
Основным достоинством данной схемы является простота реализации. Как можно заметить из (14), для корректной работы необходимо сохранять в памяти дополнительные значения ускорений. Данная схема может применяться для реализации численных экспериментов, направленных на выявление статистических или макроскопических явлений.
Последней рассмотренной схемой является алгоритм Бимана в явной форме.
1
?п+1 =?п+ + —(4ап — ап-1)<112 + 0(бХА) (15)
6
гп+1=гп + (^гп + ^гп+1) — +0(а12) (12)
Vn+1 =vn + - (2an+i + 5an — an-1)dt + 0(dt3) (16)
6
Из всех приведенных схем, алгоритм Бимана обладает наибольшим порядком точности. Он может применяться в случаях, когда весомое значение имеют фазовые траектории отдельных частиц системы. Главным недостатком данной схемы является то, что она не обладает самостартуемостью, т.к. для вычисления состояния в последующий момент времени используются значения в предыдущий момент. Для решения данной проблемы первый шаг интегрирования обычно производят менее точными алгоритмами, например Эйлера-Кромера.
Использованные источники:
1. Метод молекулярной динамики в физической химии / Под ред. Ю.К. Товбина. М.: Наука, 1996.
2. Rapaport D.C. The art of molecular dynamics simulation. - Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2004.
3. Гулд Х., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике. М., 1990.
4. Frenkel D., Smit B. Understanding Molecular Simulation. From Algorithms to Applications. San Diego, Academic Press, 2002.
УДК 51-72
Еремин А.В. студент
4 курс, институт «Электроники и приборостроения»
СГАУим. академика С.П. Королёва
Россия, г. Самара Горовенко Т.А. студент
4 курс, институт «Электроники и приборостроения»
СГАУ им. академика С.П. Королёва
Россия, г. Самара ОСНОВНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ ПАРНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
Статья посвящена описанию основных аналитических потенциалов парного взаимодействия, используемых при численном моделировании физических систем методами частиц. Рассмотрены также ограничения применимости данных потенциалов. Представлены различные формы их записи.
Ключевые слова: численные методы, методы частиц, потенциал Леннард-Джонса, потенциал Штокмайера
MAIN PAIR-INTERACTION POTENCIALS
