CC BY
40
УДК 681.518
В. Н. Белопухов, С. Ю. Боровик, М. М. Кутейникова
АЛГОРИТМЫ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ СИСТЕМ ИЗМЕРЕНИЯ РАДИАЛЬНЫХ И ОСЕВЫХ СМЕЩЕНИЙ ТОРЦОВ ЛОПАТОК СЛОЖНОЙ ФОРМЫ
V. N. Belopukhov, S. Yu. Borovik, M. M. Kuteynikova
THE OPERATION ALGORITHMS OF THE SYSTEMS FORMEASURING OF IRREGULAR SHAPED BLADES TIPS' RADIAL AND AXIAL DISPLACEMENTS
Аннотация. Актуальность и цели. Рассмотрена задача измерения радиальных и осевых смещений торцов лопаток сложной формы и повышенной кривизны поверхности, применяемых в турбинах современных газотурбинных двигателей. Даны краткие описания особенностей методов измерения таких смещений на основе применения распределенных кластеров одновитковых вихретоковых датчиков с чувствительными элементами в виде отрезка проводника. Целью исследования являлась разработка основных алгоритмов функционирования систем измерения, реализующих указанные методы. Материалы и методы. В качестве основных методов применены численный анализ, аппроксимационные методы, теория алгоритмов. Результаты. Предложены алгоритмы функционирования систем, реализующих методы измерения радиальных и осевых смещений торцов лопаток сложной формы, в том числе алгоритмы предварительной обработки и сжатия исходной измерительной информации, а также определения цифровых кодов, соответствующих информативным сигналам датчиков в моменты прохождения торцами контролируемых лопаток их чувствительных элементов. Выводы. Приведенные в статье решения обеспечивают сжатие данных и их передачу на верхний уровень в ПЭВМ в ограниченном объеме, что повышает быстродействие системы, а также уменьшение погрешности дискретизации за счет восстановление огибающей кодов путем интерполяционной обработки на основе аппроксимации выборок кодов полиномами Чебышева I рода или квадратичной параболой с последующим нахождением экстремума восстановленной функции.
Abstract. Background. The paper discusses the problem of measuring of radial an axial displacements of blades tips' used in turbines of modern gas-turbine engines. The blades have irregular shape and enhanced surface curvature. The peculiarity of measuring methods based on use of distributed clusters of single-coil eddy-current sensors with sensitive elements made as a conductor strip is considered. The aim of the article is to present the main operation algorithms of the systems that realize these methods. Materials and methods. The main methods are: the numerical analysis, approximation methods and the theory of algorithms. Results. The operation algorithms of the systems that realize the methods of measuring of blades tips' with irregular shape radial an axial displacements are proposed. The algorithms include the procedure of preliminary data processing and data compressing as well as a detecting of digital codes that correspond to sensors informative signals when blades tips are passing the sensitive element.
Conclusions. The algorithm of preliminary data processing provides input data compressing before their transmission on upper level in PC. That increases the system operation speed. The algorithms of a detecting of digital codes decreases a digitizing error due to the code envelope reconstruction with the help of interpolation processing on the base of Chebyshev polynomial or parabolic approximation of code samples with further extreme detection.
Ключевые слова: одновитковый вихретоковый датчик, радиальные и осевые смещения, турбина, лопатки сложной формы, система измерения, алгоритмы функционирования.
K e y words: single-coil eddy-current sensor, radial and axial displacements, turbine, complex shaped blades, measuring system, operation algorithms.
Введение
В современном энергетическом машиностроении основные проблемы определяются противоречивыми требованиями обеспечения высоких энергетических, экономических и экологических показателей силовых установок при условии сохранения их высокой надежности и ресурса. Применительно к газотурбинным двигателям (ГТД) одним из наиболее значимых параметров, определяющих надежность и экономичность, является величина радиального зазора (РЗ) между статором и торцами рабочих лопаток компрессора и турбины [1, 2]. Поэтому вопросы получения достоверной измерительной информации о перемещениях элементов конструкции двигателя, формирующих зазоры, являются очень важными для разработчиков ГТД.
Необходимо отметить, что измерение РЗ происходит в экстремальных условиях: температура более 500 °С в компрессоре и свыше 1000 °С в турбине, высокий уровень вибраций, загрязненность и интенсивная ионизация газовоздушного тракта, околозвуковые линейные скорости перемещения лопаток и др. При этом торцы лопаток в рабочем режиме совершают сложное многомерное движение и их смещение в радиальном направлении, от которых зависит зазор, является лишь одной из возможных координатных составляющих.
В работе [3] приведены описания методов измерения многокоординатных смещений торцов лопаток (в том числе и РЗ) с помощью сосредоточенных или распределенных кластеров (групп) одновитковых вихретоковых датчиков (ОВТД) с чувствительными элементами (ЧЭ) в виде отрезка проводника [4], удовлетворяющих указанным условиям применения1. Однако кластерные методы [3] ориентированы на использование в компрессорах, лопатки которых имеют сравнительно простую форму и невысокую степень кривизны поверхности пера, что существенно упрощает обработку первичной измерительной информации и выделение информативного параметра - минимального значения индуктивности рабочего ЧЭ в момент его прохождения торцом контролируемой лопатки.
Лопатки, применяемые в турбинах современных ГТД, характеризуются сложной формой и повышенной кривизной поверхности (сечение плоскостью, перпендикулярной оси лопатки, имеет ярко выраженную серповидную форму, а сечение плоскостью, параллельной ее оси, - £/-образную, что связано с выступами боковых поверхностей ее спинки и корыта над «дном»). Такая кривизна и вид сечения приводят к эффекту «двоения» минимумов при прохождении рабочего ЧЭ выступами в торцевой части турбинной лопатки, что ограничивает применение методов [3].
В работах последних лет [5, 6] приведено описание двух кластерных методов измерения радиальных и осевых смещений (y, x координат) торцов турбинных лопаток, свободных от указанных ограничений. Методы отличаются местом размещения распределенного кластера ОВТД относительно контролируемой лопатки, углом разворота ЧЭ относительно оси вращения лопаточного колеса (оси Z) и информативными значениями индуктивности ЧЭ, выполняющего рабочие функции при его прохождении контролируемой лопаткой.
1 Число датчиков в кластере зависит от числа искомых координат при определенной топологии размещения ЧЭ относительно торцевой части лопаток.
В соответствии с первым методом (теЖ1) распределенный кластер из двух ОВТД смещен в сторону хвостовой части лопатки и угол разворота ЧЭ относительно оси Ъ составляет 30-60° против часовой стрелки. Такое размещение датчиков позволило устранить эффект «двоения» минимумов индуктивностей рабочих ЧЭ, однако привело к существенному снижению чувствительности и уменьшению диапазона измерений осевых смещений.
Согласно второму методу (теЖ2) тот же кластер ОВТД смещен в сторону головной части лопатки и разворот ЧЭ составляет 60° по часовой стрелке. При этом эффект «двоения» минимумов индуктивностей рабочего ЧЭ сохраняется, а в качестве информативного выбирается наименьшее значение индуктивности. Как следует из [6], теЖ2 обеспечивает вдвое большую чувствительность к РЗ и расширение диапазона измерений осевых смещений в пять раз в сравнении с тв№1.
Настоящая статья посвящена алгоритмам функционирования систем измерения радиальных и осевых смещений торцов турбинных лопаток сложной формы, реализующим оба метода (те^1 и тей2). Рассматриваются алгоритмы предварительной обработки и сжатия входных данных, а также вычисления экстремальных значений кодов, соответствующих минимумам функции изменения индуктивности рабочего ЧЭ при прохождении его торцами контролируемых лопаток.
Алгоритмы функционирования системы
Как уже отмечалось, методы теЛ1 [5] и теЖ2 [6] предусматривают применение распределенного кластера из двух ОВТД (ОВТД] и ОВТД2), которые включаются в измерительную цепь (ИЦ) с импульсным питанием, реализующую метод первой производной [3]. В такой ИЦ изменения индуктивностей ЧЭ ОВТД, соответствующие искомым координатам смещений, преобразуются в линейно-нарастающие напряжения, амплитудные значения которых приближенно равны значениям первой производной токов цепи при импульсном питании заданной длительности, а затем осуществляется аналого-цифровое преобразование амплитудных значений [7].
Полученные коды подвергаются предварительной цифровой обработке, целью которой является отбраковка заведомо недостоверной информации и сжатие данных, которое подразумевает фиксацию только частей массива, содержащих полезную информацию об искомых координатах. В «упакованном» таким образом массиве кодов выделяются участки, соответствующие прохождению лопатками ЧЭ ОВТД1 и ЧЭ ОВТД2. Выборки кодов аппроксимируются и находятся экстремальные значения аппроксимирующих функций. При этом методы теЖ1 и теМ [5, 6] не предполагают синхронизацию опроса с вращением рабочего колеса - «распознавание» лопаток осуществляется в ходе обработки «упакованного» массива данных с помощью специальных маркеров-разделителей, встраиваемых в массив на этапе предварительной обработки.
Найденные экстремальные значения кодов и градуировочные характеристики измерительных каналов обеспечивают вычисление искомых х, у координат смещений торцов лопаток [8]. При этом для уменьшения температурной погрешности предварительно осуществляется термокоррекция градуировочных характеристик на основе информации о температуре в зоне измерения, полученной с помощью встроенных в ОВТД термопар (ТП) [9].
Ниже подробно рассматриваются алгоритмы предварительной обработки и вычисления экстремальных значений кода.
Алгоритм предварительной обработки информации о координатах смещений торцов лопаток
На рис. 1 представлены изменения во времени кодов С(0 на выходе ИЦ, реализующих те№1 и те^2. При этом изменения кодов С(0 показаны в интервале времени, когда лопатка под номером 1 проходит ЧЭ1 ОВТД1 и ЧЭ2 ОВТД2, выполняющих рабочие функции, т.е. в моменты и ¿4, которым соответствуют минимумы индуктивностей ЧЭ и экстремальные значения кодов [6].
ш
0.5тп „,f2 0.5тп 0.5т,
ЧЭ1-Р ЧЭ2-Р ЧЭ,-Р ЧЭ2-Р
лопатка 1 лопатка п лопатка 2 лопатка 1
а)
ЧЭ1-Р ЧЭ2-Р ЧЭ,-Р ЧЭ2-Р
лопатка 1 лопатка п лопатка 2 лопатка 1
б)
Рис. 1. Изменения во времени цифровых кодов на выходах измерительных цепей, реализующих тв№1 (а) и тв№2 (б)
Если период вращения лопаточного колеса Т0 и число лопаток пл, то период появления каждой лопатки в зонах чувствительности датчиков составит т0 = Т0/пл. В соответствии с методами твЛ1 и твЛ2 [5, 6] ЧЭ1 и ЧЭ2 смещены относительно друг друга на 1,5¥л, где ¥л - угловой шаг установки лопаток на колесе. Тогда интервал времени t4—t, составит 1,5т0, а каждый из интервалов 14-13 будет равен 0,5т0. При частоте вращения рабочего колеса
3000 об/мин (Т0 = 20 • 10-3 с) и числе лопаток пл = 100 период т0 = 200 • 10-6 с, а интервалы = = Н-Н = t4-t3 = 100 • 10-6 с. Если частота импульсов питания составит 1 МГц (период - 10-6 с), то число отсчетов в интервале 100 • 10-6 с будет 102, а при частоте 10 МГц - 103. Это означает очевидную избыточность данных, поступающих с выхода измерительной цепи, при фиксации лишь экстремальных значений кодов и, как следствие, необходимость их сжатия1.
Огибающая временной развертки выходных кодов измерительной цепи (см. рис. 1) имеет колебательный характер со значительным диапазоном изменения амплитудных, т.е. экстремальных, значений, зависящих от координат смещений торцов лопаток, причем при реализации тв^2 наблюдается дополнительный неинформативный экстремум. В этих условиях представляется эффективным использование известного алгоритма детектирования экстремумов [10], основанного на применении адаптивного порога, величина которого зависит от экстремального значения. Этот алгоритм позволяет выделить окрестность экстремума с управляемой длительностью и осуществить сжатие.
На рис. 2,а показана функциональная схема базовой операции детектирования экстремальных значений кода (Сэ), которая включает операции детектирования экстремума (ДЭ), масштабирующего деления (Д) и сравнения кодов (компаратор К). На рис. 2,б изображены огибающая входного кода С(0 (1) и процесс формирования адаптивного порога (2) (предполагается, что экстремальное значение кода - это его максимум (Стах)). После прохождения точки экстремума в момент ^ ДЭ фиксирует величину адаптивного порога на уровне а • Стах (где а < 1) и на спаде сигнала происходит переключение компаратора в момент времени t + , сигнализирующий о том, что был детектирован экстремум. Символ «+» показывает, что выполнялась операция «прямой ход», которая характерна для реального течения времени. Однако когда входной код оцифрован и сохранен в массиве оперативной памяти, легко выполнить подобную операцию детектирования «обратный ход», перебирая элементы массива, начиная с
1 Подобную диаграмму можно построить и для любой другой лопатки под номером от 2 до пл.
C
t
C
конца, в обратной последовательности, и получить симметричную точку Г, как показано на рис. 2,б. В результате формируется зона в окрестности экстремума в интервале [Г, ^ ], которая содержит полезные данные. Протяженностью этой зоны можно управлять, изменяя параметр а. Отрезки, соответствующие полуинтервалам ^ < Г и ^ > {+ могут быть удалены как избыточные данные.
С(0
ДЭ
аСэ
аСэ
Вых.
а)
Рис. 2. Функциональная схема (а) и диаграмма (б)
При реализации алгоритма на программном уровне для повышения быстродействия операцию умножения а • Сэ можно заменить логическими сдвигами целочисленного кода Сэ.
Необходимо отметить, что, поскольку порог детектирования пропорционален экстремальному значению кода, оценка момента времени ^ + получается устойчивой к разбросу экстремумов по сравнению с фиксированным порогом. Кроме того, данные моменты времени могут быть использованы для попутного измерения скорости вращения лопаточного колеса.
Работу алгоритма предварительной обработки временной развертки кодов на выходе ИЦ поясняет рис. 3, где показаны: огибающая цифровых кодов С(0 (тв(Н2) при прохождении лопатками обоих ЧЭ и соответствующие информативные экстремальные значения кодов (Стах, Сщт), уровень кода С0, который соответствует состоянию баланса входной части дифференциальной схемы измерительной цепи, фиксированные пороги Н1 и Н2, задающие зону дискриминации (уровень помех), адаптивные пороги Н1 и Н2, которые установились после прохождения локальных экстремумов.
Для корректного восприятия и разделения элементов передаваемого массива в него встраиваются маркеры-разделители, помечающие точки детектирования, ограничивающие группы полезных кодов в окрестности экстремумов. С этой целью могут использоваться незаполненные старшие разряды кодовых слов (например, 10-разрядные данные аналого-цифрового преобразователя на выходе измерительной цепи сохраняются в 16-разрядном слове, а добавление единиц в оставшихся старших разрядах позволяет маркировать признаки, сопутствующие коду). На рис. 3 маркерам соответствуют уровни кодов СМ1 и СМ2.
С
л
СМ2 СМ1
Н2 Со Н\
С
С
С
Д
К
0
Рис. 3. Временная диаграмма, поясняющая выделение полезных кодов (1) и удаляемые данные (2)
Алгоритм предусматривает две процедуры детектирования локальных экстремумов: Ое(ес(1 - для выделения минимумов кодов и Ое(ес(2 - для максимумов кодов. Блок-схемы этих процедур приведены на рис. 4.
а) б)
Рис. 4. Процедуры детектирования кодов С(/) Бе(ес(1 (а) и Бе(е^2 (б)
Каждая из этих процедур предназначена для обработки и анализа одного конкретного отсчета цифрового кода С, который является входным параметром, и должна применяться в теле цикла следования отсчетов. Условные операторы 2.1 и 2.2 в сочетании с блоками 3.1 и 3.2 реализуют функции амплитудных детекторов экстремумов Ст1П и Стах соответственно, а также вычисления на их основе адаптивных порогов Н1 и Н2. При этом учитывается наличие положительного смещения С0. Выражения для определения Н1 и Н2 приведены на рис. 5 в составе блоков 3.1 и 3.2. Условные операторы 4.1 и 4.2 выполняют функции компараторов, по срабатыванию которых фиксируется факт детектирования (Вых.2 «Да»). Полный алгоритм предварительной обработки предусматривает применение указанных процедур на прямом и обратной ходе временной оси.
Работа полного алгоритма основана на чередовании фиксированных состояний, описание которых приведено в табл. 1. В режиме прямого хода выполняется обработка кодов входного потока С(0 в реальном времени. При этом коды С, = С(г ■ Тп), поступают с периодом импульсов питания ИЦ (Тп).
Таблица 1
Описание состояний алгоритма (прямой ход)
Состояния Описание состояний Временные интервалы
So Код отсчета в зоне С, > Н1. Ожидание появления лопатки в зоне чувствительности ЧЭ1 t < tu
Sl Сохранение кодов. Ожидание момента детектирования экстремума Ст1П tll < t < tl +
S2 Код отсчета в зоне С, < Н2. Ожидание появления лопатки в зоне чувствительности ЧЭ2 tl + < t < t2l
S3 Сохранение кодов. Ожидание момента детектирования экстремума Стах t21 < t < t2 +
Блок-схема алгоритма сбора и предварительной обработки данных в режиме прямого хода приведена на рис. 5.
В блоке 2 выполняется инициализация: установка алгоритма в исходное состояние 50 и указателя массива Бы/" на его начало. В виде набора условных операторов (блоки 4.0, 4.1, 4.2, 4.3) показан дешифратор состояний.
В состоянии 50 при появлении лопатки в зоне ЧЭ1 (условие 5.0) выполняется сброс памяти ДЭ и алгоритм переводится в последующее состояние ^ (блок 6.0).
Рис. 5. Блок-схема алгоритма предварительной обработки
В состоянии при помощи процедуры Ов(вс(1 (условие 5.1) выполняется поиск Стт с сохранением отсчетов кода С, в массиве Бы/(блок 7.1). После срабатывания детектора (блок 6.1) текущий элемент массива Бы/ помечается маркером СМ1, завершающим сохраненную группу кодов, алгоритм переводится последовательно в состояния ¿2 и 53. Для обработки кодов прохождения лопаткой зоны чувствительности ЧЭ выполнит аналогичные операции. По завершении операций в состоянии 53 осуществляется возврат в состояние ¿о для обработки кодов следующей лопатки. После обработки кодов от каждой из пл лопаток (условие 8), работа прямого хода алгоритма завершается.
Во второй фазе предварительной обработки выполняется обратный ход алгоритма с целью установить маркеры СМ1 и СМ2 в моменты времени ^ , полностью ограничив области локализации экстремумов. При этом в качестве отсчетов С, используются элементы массива Бы/, сохраненные в результате обработки при прямом ходе, которые перебираются с конца С = Бы/[К-]. Общая структура алгоритма аналогична изображенной на рис. 5, порядок следования состояний также меняется на инверсный.
После завершения алгоритма обработки выполняется селективная передача данных на верхний уровень. Передаче подлежит полезная информация между одноименными маркерами СМ1-СМ1 и СМ2-СМ2, которые ограничивают группы кодов в окрестностях выделенных экстремумов. Передача осуществляется по последовательному каналу, поэтому предварительное удаление избыточной информации повышает быстродействие системы в целом.
Оценка постоянной составляющей С0 и определение пороговых уровней Н1 и Н2 (см. рис. 3) предшествуют рассмотренной выше процедуре сортировки данных и осуществляются однократно при отсутствии лопаток в зонах чувствительностей обоих ЧЭ. Для этих целей получают выборку тестовых кодов сигнала достаточного объема, а затем последовательно определяются среднее значение (С0) и среднее квадратичное отклонение (СКО) шумовой составляющей. На основе СКО гипотезы о плотности распределения шума и априорной информации о фактической форме огибающей полезных кодов выбирается величина зоны дискриминации (2Д) и определяются пороговые уровни для выделения полезных кодов Н1 = С0 - Д
и Н2 = С0 + А, где А - допустимый уровень шума. В свою очередь величина СКО ограничивает и максимальное значения параметра детектирования а < 1 - 5ш, где 5ш - относительный уровень шума, приведенный к значению экстремума.
Следует отметить, что полученный в результате работы алгоритма предварительной обработки «упакованный» массив данных одномерен, что не удобно для последующего выделения информативных экстремумов кодов и привязки результатов измерения к конкретным лопаткам колеса. Представляется целесообразным преобразование одномерного массива кодов в трехмерный массив, в котором первый элемент является идентификатором ЧЭ, выполняющим рабочие функции, второй элемент массива соответствует порядковому номеру лопатки по мере ее прохождения ЧЭ, а третий элемент - это массив кодов при прохождении контролируемой лопаткой зоны чувствительности рабочего ЧЭ, который подлежит дальнейшей обработке с целью обнаружения экстремума.
Для выделения областей кодов, относящихся к ЧЭ1 или ЧЭ2, могут быть использованы оценки пороговых уровней Н и Н2. Так, если значение элемента «упакованного» массива С меньше порога Нь то его следует отнести к области кодов ЧЭ1, и наоборот, если элемент исходного массива С превышает порог Н2, то он относится к области кодов ЧЭ2. При этом привязка результатов к лопаткам будет учитывать лишь сдвиг ЧЭ2 относительно ЧЭ1 в распределенном кластере и может меняться от замера к замеру. Окончательная идентификация лопаток и привязка к ним результатов измерений осуществляются после вычисления физических значений искомых координат смещений. При этом могут использоваться конструктивные особенности лопаточного колеса и в качестве первой лопатки условно может выбираться самая длинная (минимальный РЗ) или самая короткая (максимальный РЗ) лопатка [11].
Алгоритмы вычисления экстремальных значений кодов
Учитывая дискретный характер данных с результатами преобразований параметров ОВТД, реализация алгоритма прямого поиска экстремальных значений кодов, соответствующих информативным значениям эквивалентной индуктивности рабочего ЧЭ, будет приводить к возникновению соответствующей погрешности, которая в максимальной степени будет сказываться на высоких скоростях вращения лопаточного колеса. Традиционным путем уменьшения указанной составляющей погрешности является восстановление огибающей кодов путем интерполяционной обработки с последующим нахождением экстремума восстановленной функции.
Ниже рассматриваются два алгоритма обработки преобразованных массивов и вычисления экстремальных значений кодов. Первый алгоритм предполагает аппроксимацию выборок кодов на выходе измерительной цепи с помощью ортогональных полиномов Чебышева I рода с последующим выделением экстремумов полученной полиномиальной функции одной переменной и уточнением значений переменной и функции в точке экстремума. Указанный алгоритм обеспечивает хорошее приближение аппроксимирующей кривой к реальной огибающей кодов (по крайней мере, для те^1), однако требует повышенных вычислительных и временных ресурсов для своей реализации.
Второй алгоритм предполагает существенно упрощенный подход к поиску экстремумов функций изменений кодов и предусматривает переход от полиномиальной аппроксимации соответствующих выборок кодов к аппроксимации кодов в локализованной зоне экстремума квадратичной параболой с последующим аналитическим нахождением координат ее вершины. Такой алгоритм является наиболее универсальным с точки зрения применимости для те№1 и те№2, а также отличается уменьшением временных и вычислительных затрат на его реализацию, но уступает по точности первому алгоритму.
Алгоритм вычисления экстремальных значений кодов С и С2, на основе аппроксимации выборок кодов ортогональными полиномами Чебышева I рода осуществляется в два этапа. На первом проводится аппроксимация полученных после предварительной обработки выборок кодов С1 и С2, а на втором - выделяются коды вблизи экстремума полученной полиномиальной функции одной переменной и производится уточнение значений переменной и функции в точке экстремума.
Для аппроксимации экспериментальных данных используется система ортогональных полиномов Чебышева I рода, которая, в отличие от классической реализации метода
наименьших квадратов (МНК), обладает лучшей обусловленностью при больших степенях полиномов п и позволяет сократить вычислительные затраты на этапе выбора наилучшего аппроксимирующего полинома, так как не требует полного пересчета всех коэффициентов при переходе от полинома степени к к полиному степени (к + 1) [12].
Для полиномов Чебышева дискретной переменной известна двухслойная рекуррентная формула, по которой можно вычислить многочлен любой степени через начальные полиномы Фо(Су) и ф1(С) [12, 13]:
Фо(С) = 1;
1
N
Ф1(С)=с - N Т с;
Фк+1(С;.)=(с. -Рк+1)Фк(с.) -Ук+1Фк-1(С;.), к > 1,
где N - число точек интерполяции; Фк(С.) - ортогональный полином Чебышева дискретной переменной С. степени к; Рк + ь ук + ! - коэффициенты, вычисляемые по формулам
N
Т сф1(с.) Рк+1 -
N
Т Фк (С.)
N
У к+1 - N
Т Ф2С)
.-1
Т Ф2-1(С..) .-1
Аппроксимирующая функция Ф(С.) определяется в виде линейной комбинации базисных функций, в качестве которых берутся полиномы Чебышева дискретной переменной Ф(С .):
Ф(С.) - Т т,Ф, (С.),
1=0
где т, - коэффициенты, вычисляемые по формуле
N
т =
Т / С )Ф, (С.)
.=1
N
Т ф2(с. ) .=1
Поиск наилучшего приближения осуществляется путем последовательного увеличения степени аппроксимирующего полинома Ф(С.), определяемого в виде линейной комбинации базисных функций, в качестве которых берутся полиномы Чебышева дискретной переменной, и анализа остаточной дисперсии а2 [13]:
а2 -
1 N
— Т(/(СС. ) -ф(С. ))2,
N - к-]
где N - число точек интерполяции; к - степень аппроксимирующего полинома.
Наилучшим выбирается полином, при котором остаточная дисперсия минимальна. Учитывая, что при оценивании неизвестных параметров по МНК полином Ф(С.) и алгебраический полином той же степени к эквивалентны [13], то после нахождения наилучшего приближения с помощью функции Ф(С.), последняя может быть преобразована в традиционный степенной полином вида
Р(С.) = ¿а(к -1+1)С, 1=0
(к-,+1)
- коэффициенты степенного полинома, которые рассчитываются в соответствии
где а
с известным рекуррентным соотношением [12]:
N
I ск _+4 (С,)
п(1+1) _ п(1) _ п(1) м_
"г " "г ик_+1 N •
Iф2С, )
г=1
После того как выбран наилучший аппроксимирующий полином (Ф(С,) или Р(С,)) производится поиск его экстремума. Для этого экстремум сначала локализуется, а затем, в пределах найденного отрезка локализации методом золотого сечения [14], осуществляется уточнение координат экстремума с заданной погрешностью е.
При реализации в системе измерения алгоритма вычисления экстремальных значений кодов на основе аппроксимации зоны экстремума квадратичной параболой вычисление экстремальных значений кодов С и С2 также осуществляется в два этапа. На первом проводится выделение кодов вблизи экстремума, а затем (на втором этапе) выбранный участок заменяется квадратичной параболой и аналитически находятся координаты ее вершины.
Блок-схема алгоритма представлена на рис. 6.
* 10
с Сохранение с
ч результатов ч
1 il
с Конец
Рис. 6. Блок-схема алгоритма вычисления экстремальных значений кодов на основе аппроксимации квадратичной параболой
После ввода исходных данных (блок 2), которыми являются массив кодов (с) и дисперсия шума (<зш2), определяемая на этапе подготовки к измерениям, осуществляется выделение кодов вблизи экстремума (блоки 3-7). Для этого сначала прямым поиском в массиве С определяются экстремумы кодов - минимум (Стт), если рабочим является ЧЭ1 (блок 4) и максимум (Стах), если рабочим является ЧЭ2 (блок 5), а затем производится выделение окрестности найденного экстремума с учетом правила трех аш [15] (блок 6). В локализованной таким образом окрестности экстремума, а также путем прямого поиска со сравнением, определяются коды, ближайшие к левой и правой границам локализации (Сл, Сп) (блок 7).
На завершающем этапе работы алгоритма производится аппроксимация выделенных кодов в окрестности экстремума квадратичной параболой у = пх2 + Ьх + с (где п, Ь, с - коэффициенты параболы) и находятся координаты ее вершины. Для этого по найденным кодам (Сэ, Сл, Сп, где Сэ - это Стах или Стт) и их индексам (1хэ, 1хл, 1хп) в исходном массиве С по известным соотношениям [16] рассчитываются коэффициенты параболы (блок 8), а затем находится абсцисса (1хэ) и ордината (Сэ) ее вершины (блок 9), которые и принимаются за истинное значение координат экстремума. Значение Сэ сохраняется (блок 10) и используется в дальнейшем в алгоритме расчета физических значений радиальных и осевых смещений торцов лопаток сложной формы [8].
Заключение
Рассмотрены основные алгоритмы функционирования системы измерения радиальных и осевых смещений торцов турбинных лопаток сложной формы на основе применения распределенных кластеров ОВТД. Приведенные в статье решения обеспечивают сжатие данных и их передачу на верхний уровень в ограниченном объеме, что повышает быстродействие системы, а также уменьшение погрешности дискретизации за счет восстановления огибающей кодов путем интерполяционной обработки на основе аппроксимации выборок кодов полиномами Чебышева I рода или квадратичной параболой с последующим нахождением экстремума восстановленной функции.
Список литературы
1. Некоторые вопросы проектирования авиационных газотурбинных двигателей / Е. А. Гриценко, В. П. Данильченко, В. П. Лукачев, Ю. Л. Ковылов, В. Е. Резник, Ю. И. Цыбизов. - Самара : Самарский научный центр РАН, 2002. - 527 с.
2. Прокопец, А. Необходимость диагностирования радиальных зазоров в проточной части газотурбинных двигателей / А. Прокопец, Б. Ревзин, А. Рожков // Газотурбинные технологии. - 2004. - № 4. - С. 5-7.
3. Кластерные методы и средства измерения деформаций статора и координат смещений торцов лопаток и лопастей в газотурбинных двигателях / под общ. ред. О. П. Скобелева. - М. : Машиностроение, 2011. - 298 с.
4. Беленький, Л. Б. Одновитковые вихретоковые датчики: от кластерных композиций к кластерным конструкциям / Л. Б. Беленький, Б. К. Райков, Ю. Н. Секисов, О. П. Скобелев // Проблемы управления и моделирования в сложных системах : тр. VI Между-нар. конф. - Самара : Самарский научный центр РАН, 2004. - С. 437-443.
5. Измерение радиальных зазоров между статором турбины и торцами лопаток сложной формы с помощью одновитковых вихретоковых датчиков / С. Ю. Боровик, М. М. Ку-тейникова, Б. К. Райков, Ю. Н. Секисов, О. П. Скобелев // Мехатроника, автоматизация, управление. - 2013. - № 10. - С. 38-46.
6. Боровик, С. Ю. Метод измерения радиальных и осевых смещений торцов лопаток сложной формы с повышенной чувствительностью и в расширенном диапазоне / С. Ю. Боровик, М. М. Кутейникова, Б. К. Райков, Ю. Н. Секисов, О. П. Скобелев // Автометрия. - 2015. - Т. 51, № 3. - С. 104-112.
7. Беленький, Л. Б. Измерительная цепь с одновитковыми вихретоковыми датчиками и приближенным дифференцированием / Л. Б. Беленький, О. П. Скобелев // Проблемы управления и моделирования в сложных системах : тр. XIV Междунар. конф. - Самара : Изд-во СамНЦ РАН, 2012. - С. 602-606.
8. Кутейникова, М. М. Алгоритм вычисления радиальных и осевых смещений торцов лопаток / М. М. Кутейникова, Ю. Н. Секисов // Проблемы управления и моделирования
в сложных системах : тр. XII Междунар. конф. - Самара : Изд-во СамНЦ РАН, 2010. -С. 323-327.
9. Методы и средства измерения многомерных перемещений элементов конструкций силовых установок / под ред. Ю. Н. Секисова, О. П. Скобелева. - Самара : Изд-во СамНЦ РАН, 2001. - 188 с.
10. А.с. 1550608 БИ, МКИ Н 03 К 5/153. Устройство для фиксации момента прохождения задним фронтом импульса заданного уровня / Белопухов В. Н., Малов А. Н., Подви-гин В. Н. - № 4332427/24-21 ; заяв. 24.11.87 ; опубл. 15.03.90, Бюл. № 10.
11. Боровик, С. Ю. Система измерения радиальных зазоров на закапотированной винто-вентиляторной установке / С. Ю. Боровик, С. М. Игначков, С. А. Ильинский и др. // Известия вузов. Авиационная техника. - 2004. - № 3. - С. 77-79.
12. Носач, В. В. Решение задач аппроксимации с помощью персональных компьютеров / В. В. Носач. - М. : МИКАП, 1994. - 382 с.
13. Яковенко, П. Г. Моделирование систем : учеб. пособие / П. Г. Яковенко. - Томск : Изд-во Томс. политехн. ун-та, 2009. - 106 с.
14. Пантелеев, А. В. Методы оптимизации в примерах и задачах / А. В. Пантелеев, Т. А. Летова. - 3-е изд. - М. : Высш. шк., 2008. - 544 с.
15. Румшинский, Л. З. Математическая обработка результатов эксперимента / Л. З. Рум-шинский. - М. : Наука, 1971. - 192 с.
16. Бронштейн, И. Н. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов / И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев. - М. : Наука, 1986. - 544 с.
Белопухов Валентин Николаевич
кандидат технических наук, научный сотрудник Институт проблем управления сложными системами Российской академии наук (Россия, г. Самара, ул. Садовая, 61) E-mail: [email protected]
Боровик Сергей Юрьевич
доктор технических наук,
ведущий научный сотрудник
Институт проблем управления
сложными системами Российской академии наук
(Россия, г. Самара, ул. Садовая, 61)
E-mail: [email protected]
Кутейникова Марина Михайловна
научный сотрудник
Институт проблем управления
сложными системами Российской академии наук
(Россия, г. Самара, ул. Садовая, 61)
E-mail: [email protected]
Belopukhov Valentin Nikolaevich
candidate of technical sciences, researcher, Institute of Control Complex Systems of Russian Academy of Sciences (61 Sadovaya street, Samara, Russia)
Borovik Sergey Yur'evich
doctor of technical sciences, leading researcher, Institute of Control Complex Systems of Russian Academy of Sciences (61 Sadovaya street, Samara, Russia)
Kuteynikova Marina Mikhaylovna
researcher,
Institute of Control Complex Systems of Russian Academy of Sciences (61 Sadovaya street, Samara, Russia)
УДК 681.518 Белопухов, В. Н.
Алгоритмы функционирования систем измерения радиальных и осевых смещений торцов лопаток сложной формы / В. Н. Белопухов, С. Ю. Боровик, М. М. Кутейникова / / Измерение. Мониторинг. Управление. Контроль. - 2016. - № 4 (18). - С. 35-46.
