Алгоритмизация процессов оптимизации развития производства агропромышленного комплекса Ленинградской области Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 330.46 Канд. экон. наук О.В. КОЛЕСНИКОВА

(СПбГАУ, [email protected]) Канд. экон. наук Ю.Г. АМАГАЕВА

(СПбГАУ, [email protected])

АЛГОРИТМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССОВ ОПТИМИЗАЦИИ РАЗВИТИЯ ПРОИЗВОДСТВА АГРОПРОМЫШЛЕННОГО КОМПЛЕКСА ЛЕНИНГРАДСКОЙ ОБЛАСТИ

Двухуровневая система моделей, алгоритм оптимизации, математическое обеспечение

К числу точных методов согласования решений моделей в системе с двухуровневой структурой организации относится алгоритм оптимизации, предложенный Дж. Данцигом [1]. Процедура осуществляется в два этапа. На первом этапе обеспечивается определение согласованного допустимого решения задач нижнего уровня с задачей верхнего уровня, на втором - расчет оптимального решения двухуровневой системы моделей. Недостаток данного метода заключается в том, что на каждом шаге итеративного процесса согласования решений моделей количество векторов (столбцов) в задаче высшего уровня может существенно возрастать. Сокращение количества столбцов может быть обеспечено выделением в задаче высшего уровня только двух столбцов для каждого решения модели нижнего уровня. Один столбец отводится для отражения старого решения, другой - для включения нового решения модели нижнего уровня на данном шаге итеративного процесса. При этом старое решение модели нижнего уровня на данном шаге итеративного процесса может или совпадать с новым ее решением, полученным на предыдущем шаге, или представлять собой выпуклую линейную комбинацию нового решения предыдущего шага с новыми решениями предшествующих шагов итеративного процесса. Такой метод решения предложен в [2, 3, 4].

Для формирования начального базиса задачи высшего уровня в целях проведения расчетов с учетом сокращенного представления автономных решений задач нижнего уровня в задаче высшего уровня в форме двух столбцов имеет вид: максимизировать:

Ь = 71 Л1 + У2 ЛЛ + ...+ 7(т-1) Л(т-1) + Ут /

при ограничениях:

(1)

о Л11 + о Л2 - у 1 л1

о Л21 + о Л22 - у 2 лл

> о

> о

о л(т_1)1 + о Л(т_1)2 - У(т-1) л(т-1) > о

Л11 + Л12

Л21 + Л

22

о Лт 1 + о Лт2 - Ут Л > о

= 1, = 1,

л(т-1)1 + л(т-1)2 1,

Лт 1 + Лт 2 1,

-о Л21 - о Л22 +о Л11 + о Л2

-о Л31 - о Лз2 + о Ли + о Л22

< о,

< о,

(2)

-о Л(т_!)! - о Л(т-¡)2 + о Л(т-2)1 + о Л(т-2)2 < о,

-о Лт 1 - о Лт2 + о Лт-1)1 + о Лт-1)2 < о,

(Я11 >0, Х2 >0, Л21 >0, Л22 >0, ..., Лп >0, ЛГ1 >0).

И моделей нижнего уровня: максимизировать:

Ь = У' • X' (г = 1, 2, ..., Т) (3)

при условиях:

(i - aii) • X[ + (-ai2) • X2 + ...+ (-ai(n-i)) • X'^ + (-aln) • X[ - Y{ X = 0,

(- a2i) • X[ + (i-a22) • X2 + ...+ (-a2(n-i)) • X[n_Y) + (-a2n) • Xi - Y2' X' = 0, ... ,

(- a(n-i)i) • Xi + (-a(n-i)2) • X2 + ...+ (i-a(n-i)(n-i)) • X('n-i) + (-a(n-i)n) • X'n - Y('n-i) X' = °

(- ani) • X[ + (-an2) • X2 + ...+ (-an(n-i)) • X{n_r> + (i-am) • X[ - Y' Xf = 0

U Xi + Г2 X2 + ... + ri(n-i) X('n-i) + r'n Xn < R ,, (t= i, 2, . . ,T) (4)

r2'i Xi + r22 x2 + ... + 4-i} X(n-i) + r2n Xn < R2,

... 5

r(Z-i)i Xi + r(Z-i)2 X2 + . + r'Z-i)(n-i) X(n-i) + r(Z-!)n Xn < R(Z-!) ,

rZi Xi + rZ2 X2 + ... + rZ (n

-i) X(n-i) + rZn Xn < RZ ,

Xi >0, X2 >0, ..., Xt >0, X >0.

\i '2 ' ' n '

По отношению к задаче (1)-(2) и задачам нижнего уровня (3)-(4) предполагается:

а) поиск X >0 (г= 1, 2, ...,Т), которые бы удовлетворяли системе (2) и (4), то есть обеспечивали допустимое решение двухуровневой системы моделей;

б) расчет таких X > 0, которые бы удовлетворяли системе (2) и одновременно обеспечивали экстремум функции (1).

Автономное решение задач нижнего уровня (3)-(4) позволяет определить значение

переменных:

* * * *

X > 0, X2 >0, ..., Х[ > 0, X' > 0, для всех (г= 1, 2, ...,Т). (5)

На основе (5) строятся вектора

Ь'1 = У1 • х; * для ('= 1, 2, ...,Т),

(6)

которые отражают расчетное количество конечной продукции, соответственно (г= 1, 2, ...,Т) годы перспективы. С использованием (6) строится исходный базис задачи высшего уровня в виде:

L* = Yi Л1 + Y2 Л2 + ...+ Y(T-i) #-i) + YT Лт (7)

при ограничения:

7Т

Iii Aii + 0 Л2 - Yi Л > 0

I2i Л21 + 0 Л2 - Y2 Л2 > 0

1(т-1) л(г-1)1 + о л(г-1)2 - у(Г 1} л(г

> о

Х1 + Х2

Х1 + Х

22

111 Л + 0 Лу2 - 121 Л21 - 0 ^22

1т1 Лг1 + 0 Лт2 - У1 X > 0 = 1, = 1,

х(г-1)1 + х(г-1)2 1,

X.т 1 Хт 2 1,

121Х21 + 0 Х22 - 1з1 Х31 - 0 Л2

< 0, < 0,

(8)

1(1-2)1 Х(г-2)1 + 0 Х(Г-2)2 - !(Т-1)1 Х(Г-1)1 + 0 Х(Г-1)2

< 0,

1(Т-1)1 Х(Г-1)Х+ 0 Л(Г-1)2 - 1т1 Хг 1 + 0 Хг 2 < 0,

(Х1 >0, Л2 >0, Х21 >0, Х22 >0, ..., ЛГ1 >0, Л2 >0).

Очевидно, что вектор (6) будет являться всегда допустимым решением всей системы моделей с двухуровневой структурой организации, то есть задач (7)-(8) и (3)-(4).

Сам процесс оптимизации решения в двухуровневой системе моделей состоит в следующем.

Автономное решение (8) с учетом (7) с помощью симплексного метода позволяет определить вектора оценок ограничений (П*0, 8*, М*),

где П*01, П*02, ..., П*о(т-1), П*от - оценки вектора П*0, соответствующие 1-ой - Т-ой строкам неравенства (8);

81, 8 2, ..., 8 (т-1), 8 т - оценки вектора 8 , соответствующие (Т+1)-ой - 2Т-ой строкам неравенств (8);

М*1, М*2, ..., М*(Т-1), М*Т - оценки вектора М*, соответствующие (2Т+1)-ой - 3Т-ой строкам неравенств (8).

Автономное решение также позволяет рассчитать значение Ь .

Для расчета улучшенного решения двухуровневой системы моделей с использованием оценок П 0 строятся новые целевые функции для моделей нижнего уровня, с использованием которых данные модели реализуются. Другими словами, автономно решаются симплексным методом модели-задачи нижнего уровня:

максимизировать

1} = (7*-п^ ■

при условиях:

I (1 - ап) • X' + (-а12) • Х2 + ...+ (-акп-1)) • Х'^ + (-ащ) • Х[ - У/ X = 0,

(- а21) • Х[ + (1-а22) • Х2 + ...+ (-а2(п-1)) • Х^ + (-а2п) • Х[ - У' X' = 0,

... ?

(- а(п-1)1) • Х1 + (-а(п-1)2) • Х 2 + .+ (1-а(п-1)(п-1)) • Х('п-1) + (-а(п-1)п) • Х'п

- К-1) Х7 = 0,

(- ап1) • Х1 + (-ап2) • Х2 + ...+ (-ап(п-1)) • Х[п-1) + (1-апп) • X' - У' X = 0,

' 0= 1, 2, ...,Т)

тп Х1 + ^ х2 + ... + 4-1) х;я-1) + тп хп < щ

й Х1 + Т22 Х2 + . + Т2(п-1) -1) + Т2п Хп < Щ2

\

Т(г-1)1 Х1 + Т(7-1)2 Х2 + . + Т(7-1)(п-1) Х( п-1) + Т(7-!)п -

т71 XI + т72 Х2 + ... + т7(п 1) Xt(n 1) + Т7 X' < к,

11 1 7 2 2 7 (п-1) (п-1) 7п п 7'

'(7-!) :

X! >0, X2 >0, ..., X* >0, X' >0.

1 ' 2 ' ' п '

В результате решения (9) определяются X1 , X2 ,...,X(т Х) , Xт ; Ь1**, Ь2**, Ь(Т-1)**,...,

ЬТ** т 1** т 2** т (Т-1)** т Т** о* о* о* о* /о\

. С использованием Ь , Ь , Ь ,..., Ь и оценок Ь 1, Ь 2, ..., Ь (т-1), Ь т базиса (8)

модели высшего уровня рассчитываются разности

= Ь1** - Ь*1, Ц2 = Ь2** - Ь*2,., Ц(т-1) = Ь(Т-1)** - Ь*(т-1), цт = ЬТ** - Ь*Т. В общем случае при: Ц1 < 0 Ц2 < 0

ц (т-1) < 0 ц т < 0

(10)

значение целевой функции (7) равное Ь* улучшено быть не может. Значения л1"Х~", ..., Х: "".соответствуют не только допустимому, но и оптимальному в целом двухуровневой системе моделей.

Если же, например, не нарушая общности рассмотрения, имеет место > 0, Ц2 > 0, ..., Ц(т-1) > 0, цт > 0, то это значит, что значение Ь* может быть улучшено на конечную величину. В этом случае

на основе новых решений X1'*', Х-"', ..., X'-' Х: ", моделей нижнего уровня строятся новые вектора

к2 = П ■ Xй*, 1-22 = Г2 х2**.....1(Т-1У;2 = ■ Х(Т~Ъ",1Т2 = 7Т-ХТ--,

И, далее, их включают в (8). Сама модель-задача высшего уровня примет вид: максимизировать:

Ь** = Г X1 + Г2 X2 + ...+ л7-) + У7 XX

при ограничениях:

1ц Хц + 112 Х12 - У1/-

121 ^21 + 122 ^22 — '

> 0, > 0,

(11)

1(Т-1)1 Х(Т-1)1 + 1(Т-1)2 Х(Т-1)2 - 1 ■ ' ^ /-' ' > 0,

1т1 X Т1 + 1Т2 ^Т2 - . > 0,

X 11 + X 12 = 1,

X 21 + ^22 = 1,

Х(Т-1)1 + X (Т-

1)2 = 1, X Т1 + X Т2 = 1,

111 Хц + 112 X12 - 121 Х21 - 122 Х22

121 X 21 + 122 X 22 - 131 X 31 - 1з2 X 32

< 0, < 0,

(12)

1(Т-2)1 X(Т-2)1 + 1(Т-2)2 X(Т-2)2 - 1(Т-1)1 X(Т-1)1 - 1(Т-1)2 X(Т- 1)2 < 0, 1(Т-1)1 X(Т-1)1 + 1(Т-1)2 X(Т-1)2 - 1т1 XТ1 - 1Т2 XТ2 < 0.

(X11 > 0, X12 > 0, X21 > 0, X22 > 0,..., XТ1 > 0, XТ2 > 0).

Автономное решение симплексным методом (12) определяет Ь**>Ь*, а также новый вектор оценок ограничений (По**, 8**,Ь**). С использованием По** строятся новые целевые функции для моделей задач нижнего уровня. Автономно решаются модели-задачи нижнего уровня с новыми

целевыми функциями: _

максимизировать I/ = (У* — П^ ■ У*)^

при условиях:

(1 - а„) X/ + (- а!2) Х2' +...+(- акп-1)) Х(п_1)' + (- ащ) Х„1 - У/ X* = О, ( - а21) X/ + (1 - а22) Х2' + ... + (- а2(П-1)) Х(п_1:,' + (- а2п) Хп' -У21ЗГ = О,

( - а(П-1)1) X / + (- а(П-1)2) Х2' + ... + (1 - а(П-1)(п-1)) Х(П-1)' + (- а(П-1)п) Хп' --У(„.1)1 X* = О,

( - аш) X/ + (- ап2) Х2' + ... + (- аП(П-1)) Х(п_1)' + (1 - апп) Х„1 - У„1 X* = О,

Гц' XI1 + Г121 Х21 + ... + Г1(п-1)' Х(п-1)' + Гщ' Хп1 < RЛ (1=1, 2, ..., Т) (13)

Г211 Х11 + Г221 Х21 + ... + Г2(п-1)' Х(п-1)' + Г2п' Хп' < R2t, ... ?

Г(Z-1)1t Х/ + Г(2-1)2^ Х21 + ... + Г@-1)(п-1)' Х(п-1)' + Г^-1)п' Хп' < R(Z-1)t, Гzlt Х/ + Гz2t Х21 + ... + ^(п-1)' Х(п-1)' + ^п' Хп' < R Zt,

Х/> 0, Х21 > 0, ..., Хп'> 0, X > 0.

Одновременно подготавливается эквивалентная форма задачи (13), обеспечивающая её стабильную размерность на следующем шаге итеративного процесса, в виде:

максимизировать при условиях:

Ь= 71 Л1 + У2 Л2 + ...+ У(т-1) Л(Т-1) + Ут Лт

(14)

Гп +0Х12-У1Я1

I 21 Х21 + 0 \-Г1 — 1 /-

(Т-1)1

> 0, > 0,

Х(Т-1)1 + 0 Х(Т-1)2 - 1 >0,

1'Т1 X Т1 + 0 Хт2 - Ут/. > 0

X11 + X12

X 21 + Х22

= 1, = 1,

Х(т-1)1 + X (т-1)2 = 1, (15)

X Т1 + X Т2 = 1,

I' 11 X11 + 0 X12 - Г21 X21 - 0 X22 <0,

I' 21 X21 + о X22 - 1'з1 Xзl - 0 Xз2 <0,

I' (Т-2)1 X(Т-2)1 + 0 X(T-2)2 - I' (Т-1)1 X(Т-1)1 - 0 X(Т-1)2 <0, 1'(Т-1)1 X(Т-1)1 + 0 X(Т-1)2 - I' Т1 XТ1 - 0 XТ2 <0, (X11 > 0, X12 > 0, ^21 > 0, X22 > 0,., XТ1 > 0, XТ2 > 0).

Где I '11 = Г1 Xl1 + Il2 X12, Г21 = I21 X21 + 122 X 22, ..., I' (Т-1)1 = Г(Т-1)1 ^(Т-1)1 + I(T-1)2 ^(Т-1)2, I' Т1 = Iтl XТ1 + !т2 Xт2•

Автономное решение (15) определяет новое решение моделей нижнего уровня

I

Ь1*** ^2*** ^(Т-1)*** ^Т*** (16)

Вновь определяются разности

1*** **

ц*1 = Ь1 - 81,

Ц*2 = Ь2*** - 8**2,

..., (17)

ц*(т-1) = Ь(Т-1)*** - 8**(т-1),

Ц*т = Ьт*** - 8**Т

Если разности (17) для всех моделей задач нижнего уровня не больше нуля, то это значит, что условия критерия оптимальности выполнены, значения целевой функции Ь** улучшено быть не может, переменные (16) определяют оптимальное решение в целом двухуровневой системы моделей.

Если же одна из разностей (17) больше нуля, то описанный итеративный процесс не заканчивается. Новые решения (16) соответствующей задачи нижнего уровня используются для построения нового базиса I***, которые включаются в базис (15) модели высшего уровня, и описанный итеративный процесс продолжается пока не будут выполнены условия критерия оптимальности для всех моделей нижнего уровня.

Согласованное допустимое и оптимальное решение двухуровневой системы моделей осуществляется в рамках следующего алгоритмического процесса.

Решаются автономно задачи нижнего уровня и на основе их решения строятся столбцы (I), которые вводятся в состав задач высшего уровня. Решение задачи высшего уровня определяется оценкой ограничений, с использованием которых строятся новые целевые функции для задач нижнего уровня. Затем задачи нижнего уровня, с учётом новых целевых функций, автономно решаются и проверяются выполнение условия критерия оптимальности. Если условия критерия оптимальности не выполнены, то в модель высшего уровня вводятся новые столбцы соответствующих задач нижнего уровня, для которых эти условия нарушены. Итеративный процесс продолжается, пока не будут выполнены условия оптимальности для всех задач нижнего уровня двухуровневой системы моделей.

При этом размерность координирующей модели-задачи высшего уровня в рамках задач двухуровневой системы моделей всегда остаётся постоянной [5].

Л и т е р а т у р а

1. Данциг Дж. Линейное программирование, его обобщения и применения. - М.: Прогресс, 1966. - 600 с.

2. Амагаева Ю.Г., Колесникова О.В. Алгоритмическая процедура согласования дискретно-динамических моделей сквозного прогнозирования развития производства агропромышленного комплекса Ленинградской области // Известия МААО. - СПб., 2013. - Вып. № 19. - С. 176-179.

3. Колесникова О.В., Пирожкова Ю.Г. Общая логика функционирования системы моделей сквозного прогнозирования развития производства аграрного сектора экономики региона // Известия МААО. - СПб., 2012. -Вып. № 14. Т. 2. - С. 139-142.

4. Пастернак П.П. Системное моделирование экономических процессов в АПК.- М.: Агропромиздат, 1985. -176 с.

5. Пирожкова Ю.Г. Система недетерминированных моделей сквозного прогнозирования развития производства в аграрном секторе экономики региона (на примере Республики Бурятия): Дис... канд. экон. наук /СПбГАУ. -- СПб., 2007.