Алгоритм вычисления производных информационной матрицы Фишера по компонентам входного сигнала Текст научной статьи по специальности «Математика»

Научный вестник НГТУ. - 2010. - № 3(40)

УДК 519.24

Алгоритм вычисления производных информационной матрицы Фишера по компонентам входного сигнала в задаче активной параметрической идентификации гауссовских нелинейных дискретных систем*

В.М. ЧУБИЧ, Е.С. КОНОВАЛЬЧИК

Для гауссовских нелинейных дискретных систем, описываемых моделями в пространстве состояний, осуществлен вывод соотношений, позволяющих вычислять по рекуррентным аналитическим формулам производные информационной матрицы Фишера по компонентам входного сигнала. Рассмотрен случай вхождения неизвестных параметров в уравнения состояния и наблюдения, начальные условия и ковариационные матрицы помех динамики и ошибок измерений в различных комбинациях. Приведен разработанный алгоритм вычисления производных информационной матрицы Фишера по компонентам входного сигнала.

Ключевые слова: стохастическая нелинейная дискретная система, активная параметрическая идентификация, информационная матрица Фишера, метод статистической линеаризации

ВВЕДЕНИЕ

Применение методов теории оптимального эксперимента при параметрической идентификации стохастических динамических систем способствует повышению качества результатов за счет более полного учета специфики объекта исследования и процедур сбора данных.

Планирование оптимальных входных сигналов - наиболее важный и сложный этап всей процедуры активной параметрической идентификации. Отметим, что применение градиентных алгоритмов при синтезе входных сигналов повышает скорость решения задачи и невозможно без вычисления производных информационной матрицы Фишера (ИМФ) по компонентам входного сигнала.

В [1] осуществлен вывод приближенного соотношения для ИМФ в задаче активной параметрической идентификации стохастических нелинейных дискретных систем. При выводе использовалась линеаризация во временной области моделей состояния и наблюдения относительно выбранной определенным образом детерминированной опорной траектории.

Применение метода статистической линеаризации (МСЛ) позволяет распространить класс рассматриваемых задач на динамические системы с нелинейностями, имеющими характеристики с угловыми точками и разрывами. МСЛ приводит к модели состояния, которая в общем случае не является линейной относительно вектора управления, что существенно усложняет вычисление производных ИМФ по компонентам входного сигнала. В данной статье отражены результаты наших исследований, позволивших преодолеть указанные трудности, получить необходимые рекуррентные аналитические соотношения и разработать соответствующий алгоритм вычисления производных ИМФ.

* Получена 16 апреля 2010 г.

Работа выполнена при поддержке Федерального агентства по образованию в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим следующую модель управляемой, наблюдаемой, идентифицируемой динамической системы в пространстве состояний:

X ( k +1) = f [ x ( k ), u ( k ), k ] + Г( k ) м> ( k ), (1)

у ^ +1) = h [x (k +1), k +1] + V (к +1), k = 0,1,..., N -1, (2)

где x(k) - п -вектор состояния; u (k) - детерминированный г -вектор управления (входа);

^ (k) - p -вектор возмущения; у (k +1) - m -вектор измерения (выхода); V (k +1) - m -вектор ошибки измерения. Предположим, что

• случайные векторы ^ (k) и V (k +1) образуют стационарные белые гауссовские последовательности, для которых

..т,

E[w(k)] = 0, Е w(k)(i) = Q5

E [V (k +1)] = 0, Е [V (k +1) V1, (i +1)

= RhI

Е

= 0,

у(k +1)wт (i)

k, i = 0,1,..., N -1

(здесь и далее Е [•] - оператор математического ожидания, - символ Кронекера);

• начальное состояние х (0) имеет нормальное распределение с параметрами

Е[х(0)] = X(0), Е|[х(0) - X(0)][х(0) - X(0)]Т| = Р(0) ;

и не коррелирует с w (k) и V (k +1) при любых значениях переменной k ;

• неизвестные параметры сведены в 5 -вектор ©, включающий в себя элементы вектор-функций f [х(Щ,и (Щ,к], h[х(к +1),k +1] , матриц Г^), Q , R, Р(0) и вектора

х ( 0) в различных комбинациях.

С учетом высказанных априорных предположений для математической модели (1), (2) необходимо получить расчетные соотношения для производных ИМФ и предложить возможный алгоритм их вычисления.

2. СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ИСХОДНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ

Метод статистической линеаризации (см., например, [2, 3]) применим к неоднозначным функциям и к существенным нелинейностям, имеющим характеристики с угловыми точками и разрывами, и заключается в приближенной замене нелинейной характеристики эквивалентной в вероятностном смысле линеаризованной функциональной зависимостью.

Считая значение вектора неизвестных параметров © фиксированным, выполним статистическую линеаризацию системы (1), (2). В соответствии с [4] получим

f [ х ( k ), и ( k ), k ] « f0 [ х ( k ), Р ( k ), и ( k ), k ] +

+¡х [х (k),Р(k),и (k),k][х(k)- х (k)] ; (3)

h [ х (k +1), k +1] « А0 [ * (k +1), Р (k +1), k +1] +

+/¡1 [ х (k +1), Р (k +1), k +1] [ х (k +1) - х (k +1)], (4)

где

/о[х(k),Р(k),ы(k),k] = | /[х(Л),ы(k),к\х

2л)и det (Р (k)) -»

хехр|-1 [х(k) - х (k)] Т Р_1 (k)[х(k) - х (k)]|dх(k); (5) /, [ х ( k ) , Р (k ) , ы (k ) , k ] = ;

А0 [х (Л +1), Р (Л +1), k +1]= | А [х(k +1), k + 1]х

2%)п det(Р (k +1)) —

хехр|-1 [х(k +1) - х (k +1)]Т Р"1 (k +1)[х(k +1) - х (k +1)]|dх(k +1) ; (6)

г . . . . п дАо [х(Л +1), Р(Л +1), k +1]

А [х (*+1). р (k+1),*+']=А [ 1 д^елт+1) ];

х ( л ) = Е [ х ( л )] =

\х (0), если Л = 0;

[/о [ х (Л -1), Р (Л -1), ы (Л -1), Л -1], если Л = 1,2,..., N -1;

Р(Л) = Е{[х(Л) - х (Л)][х(Л) - х (Л)]Т|

Р ( 0), если Л = 0;

/1 [ х (Л -1), Р (Л -1), ы (Л -1), Л -1] Р (Л -1) х

х /Т [х (Л -1),Р(Л -1), ы (Л -1), Л -1] + Г(Л)6ГТ (Л),

если Л = 1,2,..., N -1.

(7)

(8)

Отметим, что вычисление интегралов в формулах (5) и (6) можно существенно упростить с помощью представленных в [2, 3] выражений для коэффициентов статистической линеаризации типовых одномерных нелинейностей, встречающихся в системах автоматического управления.

Подставляя соотношения (3) и (4) соответственно в уравнения (1) и (2) с учетом обозначений

а [х ( Л ), Р (Л ), ы (Л ), Л ] = /0 [х ( Л ), Р (Л ), ы (Л ), Л ]- /1 [ х (Л), Р (Л), ы (Л ), Л ] х (Л ) ; (9)

Ф[х (k),Р(k),и(k),k] = f1 [х (k),Р(k),и (k),k] ; (10)

А [ х (k +1), Р (k +1), k +1] = \ [ х (k +1), Р (k +1), k +1] -

[ х (k +1), Р (k +1), k +1] х (k +1) ; (11)

Н [ х ( k +1), Р (k +1), k +1] = \ [ х (k +1), Р (k +1), k +1], (12)

приходим к следующей модели гауссовской линейной нестационарной системы:

х(k +1) = а[х (k),Р(k),и (k),k] + ф[х (k),Р(k),и (k),k]х(k)+ +Г(k)w(k), (13)

у (k +1) = А [ х (k +1), Р (k +1), k +1] + Н [ х (k +1), Р (k +1), k +1] х (k +1) +

+v(к +1), k = 0,1,...,N -1. (14)

Зависимость а[•], ф[-] от х(k),Р(k),и(k) и А[-], Н[•] от х (k +1), Р^ +1) в модели (13) и (14) обусловливает необходимость учета в алгоритме вычисления ИМФ из [1] выражений (7) и (8) и значительно усложняет вычисление производных ИМФ по компонентам входного сигнала.

3. ВЫРАЖЕНИЕ ДЛЯ ПРОИЗВОДНЫХ ИМФ ПО КОМПОНЕНТАМ ВХОДНОГО СИГНАЛА

В целях упрощения обозначений условимся в дальнейшем опускать зависимость от х (•) , Р(•) , и(•) в выражениях для а[•], ф[-], А[-] и Н[-], неявно предполагая ее. Например, вместо а [ х (k ), Р (k ), и (k ), k ] будем писать а (k) . Тогда элементы ИМФ вычисляются по следующей формуле [1]:

М ар(и; ©) = Мар( и ( 0), и (1),..., и (N -1); ©) =

N-1

k=0

сН (k +1)

с

хА (k +1) хТ (k + 1) + ЕА (k +1)

с,

т СНт (k +1) 1

се

Б~+1)

+

+Sp +Sp

СН (k +1)

ае„

с

хА (k+1) ха (k + 1)+Е а (k +1) с, н т (k+1) в_1 (k +1)

+

СН(k+1)сх ( 1)саТ(^11)в-1 (. +1)'

с0хА (k + 1)-^-В (Iе + 1)

ае.

5е„

+

+Sp +Sp

Н (к +1) са хА (к +1) хТ (I + 1) + ЕА (к +1)

ст сСН Т <к +') В- (к+1)

ае

р

+

Н (к +1)Са хА (к +1)хТ (к + 1) + 1А (к +1) СрТНТ (к +1)В"1 (к +1)

+

+Sp +Sp +Sp +Sp

Н (Л +1) Са хА (Л +1)

дЛТ (Л+1) й-1

дЭ,

в-1 (Л+1)

Р

^ ( л +,) сТ «М в- (Л+1)

дЭа дЭр

дЛ(1+1) х] (Л +1) СрТ Н Т (Л+1) в-1 (Л +1)

а

дЛ(Л+1)дЛТ (Л+1) в-1 (к+1) яа яа V /

+

+

+^р 2

дв (Л +1) в-1 (Л+1)дВМ В-1 (Л +1)

дЭ„

дЭо

а,Р = 1,2,...,5 .

где

,(Л +1) =

Фл (Л) хл (Л) + ал (Л),

Ф(0) х ( 0) + а (0)

дФ( 0). х (0 )+Ф( а)дх(0)(0)

если Л = 1, 2, ..., N -1;

дЭ,

дЭ1 дЭ

дФм х (0 )+ф( с)^+дай

дЭ„ у ' дЭ дЭ„

если Л = 0;

(15)

(16)

^ (к +1) = ^Фл (Л)Ел (Л)ФТ (Л) + Кл (Л)В(Л)КТА (Л), если Л = 1, 2, I 0, если Л = 0;

N -1;

' (17)

Ф л (л ) =

Ф(Л)

О

дФ (Л) - К (Л)дН( к) Ф (Л) - К (Л) Н (Л)

дЭ,

дЭ,

О О

дФ:!*! _ к (Л) 5НМ

дЭ„

дЭ„

О

ф( Л)- К (Л) н (Л)

(18)

К(Л) = Ф(Л)К(Л) ;

(19)

Р

а

х

:(к ) =

а (к)

С а ( к ).-К ( к )СА ( к )

ае

се,

С а ( к К ( к )СА ( к )

ее.

ее.

(20)

Ка (к) =

(2')

са = [О,..., О, I, О,..., О], а = 0,1,..., 5 ;

В (к +1), К (к) находят по уравнениям дискретного фильтра Калмана (см., например, [5]).

Подчеркнем, что существенной особенностью результата применения МСЛ является зависимость от и (0), и (1) ,..., и (к) матриц ФА (к) , Ет (к +1), В (к +1), Ка (к), К (к) . С учетом сказанного из соотношения (15) следует, что

СМдрЦ; ©) ди] (т)

N-1

к=0

дН (к +1) [ дхА (к + 1)_т

се„

ди](т)

хА (к +1) + хА (к +1)

дхА (к +1) СЕА (к +1)

+

ди] (т) ди] (т)

хС,

т дНт (к +1) 1

де„

В~ '(к +1)

+

+Sp +Sp

дН (к +1) /

4 'п [хл (к +1)х

де

с (хт (к+') ха (к+1)+еа (к+')) ст

дН (к +1) [ дхА (к + 1)_т

де

ди] (т)

хт (к +1) + хА (к +1)

(т)

дхА (к +1) дЕ А (к +1) ди] (т) ди] (т)

+

хСр Нт (к +1) В"'(к +1)

+

+Sp

дН (к +1)

де„

С0 (хт (к +1) хАт (к +1) + Ет (к +1)) Срт Н т (к + 1)дВди1((т+1)

+

а

х

х

+Sp +Sp +Sp

дн (Л +1) с (Л +1)длТ (Л+1) в-1{к +1)-

дЭ.

ды]- (х) дЭр

дН(Л +1)сх (к + 1)длТ(Л +1) дВ-1(Л +1)

-- с0 хЛ\1с +1 ~ - Т^

дЭа дЭр дыу (х)

+

+

Н (Л +1) с.^^ х] (Л +1) + хл (Л +

ди}- (х)

V }

ды}- (х) ды}- (х)

}

хС,

Т дНТ (Л +1) -1

дЭо

В" 1(Л +1)

+Sp +Sp

Н (Л +1) Са( хл (Л +1) х] (Л +1) + Б л (Л +1)) С0т дht[;k±1 ^Вы^

Н (Л + 1) Са

дхл (Л + 1) _Т

ды}(х)

х^Т (Л +1) + хЛ (Л +1)

(х)

дх] (Л +1) дБ л (Л +1) ды}(х) ды}(х)

хС] Н Т (Л +1) В"1^ +1)

+

+

+

+Sp

+Sp

+Sp +Sp

+Sp

+Sp

+Sp

Н (Л +1) Са (хл (Л +1) х] (Л +1) + Б л (Л +1)) С] Н Т (Л +1)^^ +1) дх] (Л + 1)дЛТ (Л +1) -1

+

Н (Л+1) в +1)

дЛТ (Л + ^дВ"1^ +1)

Н (Л +1) Са хЛ (Л + 1)

дЭо

ды} (х)

+

+

дЛ(Л + 1)дхТ (Л +1) Т дНТ (Л + 1)й-1

СП °

дЭ.

ды}(х)

дЭп

-В" 1(Л +1)

дЛ( Л +1)_ Т

дЭ.

(Л+1) с,

Т дНТ (Л +1) дВ"1^ +1) дЭр ды} (х)

+

+

дЛ( Л + 1)дхлт (Л +1) . ]

дЭ.

ды} (х)

СрТ Н Т (Л +1) В"1^ +1)

дЛ( Л +1)_ Т

дЭ.

х] (Л +1)СрТНТ (Л +1)

^В"1^ +1) ды}(х)

+

+

х

+Sp

+^р 2

+^р 2

+^р 2

+^р 2

дА(к + 1)дАт (к + 1)дВ"'(к +1)

де

де

ди](т)

+

д 2 В( к+1) В-1(к+1) дВ(к_+ ')„-1

диу (т)Ша 7 дер

ВТ '(к +1)

дВ(к +') дВ-'(к +1) дВ(к +1) В_1(к +1)

де

ди] (т)

де

дВ(к+1) В-'(к+1)д2 В (к+1) в-'(к+1)"

5е„

ди](т)дер

+

+

+

дВ (к +') В-1(к +1) дВ(к +1) дВ-'(к +1) деа ( ) дер диу (т)

(22)

4. АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ ИМФ ПО КОМПОНЕНТАМ ВХОДНОГО СИГНАЛА

Приведенные в предыдущем разделе выражения при некотором фиксированном значении вектора неизвестных параметров в уравнениях состояния, наблюдения, в начальных условиях и в ковариационных матрицах помех динамики и ошибок измерений позволяют предложить следующий алгоритм вычисления производных ИМФ по компонентам входного

дМ (и; ©)

сигнала

диj(т) 1. Определить

-, ] = 1,2,..., г, т = 0,1,..., N - Н.

Я, R, х (0), Р (0), (« , , М»), «, а = й V

[деа деа деа деа \

2. Положить

М*; ©) = 0, ] = 1, т, т = 0, N -^; к = 0, х (к | к) = х(0) , Р (к | к) = Р (0).

3. Вычислить а (к), равенств (9), (10).

дОМ, а = Ы ;

де ' I

Ф(к) , ( дфе(к), а = 1,5

а = 1,5 > с использованием

4. Если к = 0 , то определить хт (к +1) и Ет (к +1) в соответствии с формулами (16), (17) и перейти на шаг 8.

5. Найти К (к) при помощи соотношения (19).

6. Определить Фт (к) , ат (к) с учетом выражений (18) и (20).

7. Вычислить хл (Л), Кл (Л) и Б л (Л +1) по формулам (16), (21) и (17).

. , | дН (Л +1) дЛ (Л +1) —|

8. Найти Н (Л +1) , |----,—---, а = 1,5 | в соответствии с равенствами

| Ша Ша ]

(12),(11), а такжеГ(к), | дГ(*) а = 1,51.

I дЭа ]

9. Вычислить Р (Л +1| Л), В (Л +1), К(Л +1) , Р (Л +1| Л +1) , используя соотношения

Р(Л +1| Л) = Ф(Л)Р(Л | Л)ФТ (Л) + Г(Л)6ГТ (Л); В (Л +1) = Н (Л +1) Р (Л +1| Л ) Н Т (Л +1) + Д ; К(Л +1) = Р(Л +1| Л)НТ (Л +1)В"1 (Л +1) ; Р (Л +1| Л +1) = [/ - К (Л +1)Н (Л +1)]Р (Л +1| Л).

| дР (Л +1| Л) дВ (Л +1) дВ"1 (Л +1) дК(Л +1)

[ Ша Ша ^а ^а

дР (Л + 1| Л + 1) —| —---, а = 1,5 | по формулам:

= £ФМ Р ( к|к )ФТ ( Л ) + Ф( Л ) фТ (Л ) +

Ша дЭа ^а

+Ф( Л) р (Л | Л lдфЭíklеГТ (Л )+Г( Л^ ГТ ( л ) + г( Л) е ^^;

Ша Ша »а Ла

дВ (к +1) = дН (к+1) Р (к +1| к) Н Т (к +1)+Н (к +1) дР (к+11 к ) Н Т (к + 1) +

Ша ^а дЭа

ч , чдНТ (к +1) дД +Н (к + 1) Р (к + 1| к )-Ь-¿ + ^ ;

^ ^ ^ ^ дЭа дЭа

дВ"1 (к +1) ^ дВ (к +1) ^ -Ь-= - В"1 ( к +1)—Ь-В'1 ( к +1);

дЭа 4 ' дЭа

дК^ =дР(к +1|к)НТ(к +1)В-1 (к +1) + Р(к + 1|к)дНТ (к +1)В-1 (к +1) +

дЭа дЭа дЭа

ч Т, \ дВ 1 (к +1)

+р (к+11 к) н Т (к+1)—дЭ—-;

дР (к +1| к +1)

дЭ.

дК (к +1) . . . дН (к +1) --ь-'-Н ( к +1)- К ( к +1)-ь-1

дЭ

дЭ

Р (к +1| к) +

+[, - К(к +1)Н (к + 0]дР<^.

11. Положить } = 1.

Г да (к) -] Г д2а (к) — -1

12. Вычислить |-, х = 0,N -1|, |-—, а = 1,5, х = 0,N -1|

] (х) / | (х) ^а \ ,2,

дФ( к) -1 I д2Ф( к) — -1

-х = 0,N -1\, |- 4 ' , а = 1,5, х = 0,N -1\ при помощи равенств (9),(10).

ды] (х) ] [ды] (х)дЭа Г

13. Положить х = 0 .

14Е к 0 дхл (к +1) дБ л (к +1) ф

14. Если к = 0 , вычислить-——, -——— по формулам

ды} (х) ды} (х)

дхЛ (к +1) ды} (х)

дФ(0)-х ( 0)+ да(0)

ды } (х) ды } (х)

д2ф(0) х(0)+_дт.ИО, д2а (0)

ды} (х)дЭ^; ды} (х) дЭ1 ды} (х)дЭ1 , если х = 0;

д2ф(0) х (0)+«|(Ю МО | д2а (0)

ды}(х)дЭ^ > ды}(х) дЭ5 ды}(х)с©5

0, в противном случае;

дБ Л (к +1) ды} (х)

= О

и перейти на шаг 18.

дК (к)

15. Определить -с помощью соотношения

ды! М

дК (к к) к (* )+ф( * )дК (к)

ды}- (х) ды}- (х)

ды} (х)

даА (к) дФА(к) 16. Найти -, -по формулам:

ди ] т) ди ] т)

даА (к) ди] (т)

да(к) '

ди](т)

д2а (к) дК(к) дА(к)

ди](т)де' ди](т) де'

д2а (к) дК(к) дА (к) ди] (т)С05 ди] (т)~ш7

дФ т ( к ) = ди] (т)

дФ(к) 0

ди] (т)

д 2Ф(к) дК (к) дН (к) дФ(к) дК (к)

ди] (т)де' ди] (т) дет' ди] (т) ди] (т)

д 2Ф(к) дК (к) дН (к)

Н(к) ..

ди](т)С05 ди](т) де8

дФ(к) дК (к)

ди] (т) ди] (т)

Н ( к )

сха (к +1) дКА (к +1) дЕ А (к +1)

17. Определить -———, -———, -———, используя выражения:

ди j(т) ди j(т) ди|(т)

дхА (к +1) ди] (т)

дФ А (к)_ Л дхА (к) даА (к) ,

АУ ' хА(к) + ФА(к) _ А\ : +-^4-, еслит<к;

ди] (т)

0,

дКА (к +1) ди](т)

ди](т) ди](т)'

в противном случае;

дК (к +1)

ди} (т)

д2 К (к +1)

ди](т)501

д2 К (к +1) де*ди] (т)с05

0

0

0

дБ л (к +1) дФ. (к) Т дБ, (к) Т

) = '"ТТ Б л (к )Ф] (к) + Ф Л (к) дГЛ)к) Ф] (к) +

ды}- (х) ды}- (х) ды}- (х)

+Фл (к)Бл (к) +К(т В(к)К] (к) +

ды}- (х) ды}- (х)

+Кл (*)КТ(к) + Кл (к) В(к) дыЩ-

ш}- (х) ды}- (х)

дР (к +1| к) дВ (к +1) дВ"1 (к +1) дК (к +1) дР (к +1| к +1) ы } (х) ы } (х) ы } (х) ы } (х) ы } (х)

по формулам

^Р^М ^ Р ( к|к )ФТ ( к ) + Ф( к ) ^ ФТ ( к ) + Ф( к ) Р ( к|к ^;

ды^ (х) ды} (х) ^ ' у } ды} (х) к ' к } к ' ды} (х)

= Н (к +1)дР <к +1'к > Н Т (к +1);

ды} (х) } ды} (х) ^ '

В <к + 1) = -В-1 (к + 1) В-1 (к + 1) ;

ды} (х) ^ } ды} (х) ^ '

дК(к +1) = дР(к + 11к) НТ(к +1)В-1 (к + 1) + Р(к + 1|к) НТ(к +1)дВ-1 (к + 1) . ^^ = ды} (х) Н (к +1)В (к +1) + Р(к +1|к)Н (к +1) ды} (х) '

дР (к+^+1)=-дКс*^ н (к+1) Р (к+1|к)+[ / - К (к+1) Н (к+1)] дР^М.

ы } (х) ы } (х) [ ] ы } (х)

| д2 Р (к +1| к) д2 В (к +1) д2 К (к +1) д2 Р (к +1| к +1) _—|

19. Вьгаислить -1 ды} (х)дЭа , ды} (х)дЭа , ды} (х)дЭа , ды} (х)дЭа , а =1, 5\ по формулам

дР<к+1|к> = д2ф(к> Р(к|к)ФТ(к)+дФ(к1 дРШфТ(к д1} (т)дЭ„ ды, (Т^два ^ ' ' У ' 6ва 'Я!, (х) ^ '

+яфм Р (к|к ^+яфм ярш фт (*

дЭ„ (х) ды} (х) дЭа К '

+ф( *) ^^ ф] (к)+ф( к) дР(М ^+

'ды} (х)»« К ' К ' Св„ ы (х)

р (к|к ^+Ф( к )д1Щ дФ!!!)+

ди] (т) ^ ' деа ^ ди] (т) Ша

/ ч / ч д2Фт (к) +Ф( к ) Р ( к|к )-—;

^ ' ^ 1 ,ди] (т)Ша

д2В (к +1) _ дН (к +1) дР (к +1| к) т

ди] (т)Ша Ша ди] (т)

Нт (к +1) +

+Н (к + 1) д2 Р (к + 1|к ) Н т (к + 1) + Н (к + 1) дР^М дН т (к + 1) ;

^ > ди] (т)деа ^ > К > ди] (т) деа

д2 К (к +1) = д2 Р (к +1|к ) Н т (к +1) В-' (к +1)+ дР (к +1|к) Н т (к +1) дВ'(к +1) +

диj (т)деа ди] (т)де^ ^ ; ^ ; деа ^ ' ди] (т)

+ др(к +1|к) дНт(к +1)В-1 (к + ')-

ди](т) деа ^ '

- р (к+1|к) В'(к+1) В'(к+1)-

дР (к +11 к) ^ , дВ (к +1) 1

ди](т) Нт (к +1)В (к+В (к+1)-

+р (к+11к) н т (к+')В-' (к+') В"' (к+') дВде^В' (к+')--р (к+11к) н т (к+')В-' (к+') В"' (к+')+ +Р (к+11к)Н т (к+')В-' (к +') ^В-' (к +') В-1 (к +');

д2 Р (к +1| к +1) ди] (т)Ша

^К (к + ') Н (к + 1)-^ (к + ') ^ (к + ')

+

ди] (т)де^ 7 ди] (т) деа

"дР (к +1| к)

Р (к +1| к) +

■дК^ Н (к+1)-К (к+1)

де^ ^ деа

и ] (т)

н (к+1)дР (к+1|к)+[ 7 - К (к+1) Н (к+1)] д2 Р (к+1|к). ди] (т) ^ > деа 1 ^ ; ^ диу (т)деа

20. Получить приращение А

dM (U ; 0)

, отвечающее текущему значению т в соответ-

duj(т)

ствии с равенством (15).

21. Положить

dM (U;0) _ dM (U;0) dM (U;0)

+ А

du j(т) duj (т) duj (т)

22. Положить ]' = ]' +1. Если ] < г , то перейти на шаг 12.

23. Положить т = т +1. Если т < N -1, то перейти на шаг 14.

24. Положить к = к +1. Если к < N -1, то перейти на шаг 3, иначе закончить вычисления.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Для гауссовских нелинейных дискретных систем, описываемых моделями в пространстве состояний, разработан алгоритм вычисления производных от элементов ИМФ по компонентам входного сигнала. Рассмотрен общий случай вхождения неизвестных параметров в уравнения состояния, наблюдения, начальное условие и ковариационные матрицы помех динамики и ошибок измерений.

Предложенный алгоритм будет использован при программной реализации градиентных процедур синтеза оптимальных входных сигналов в задаче активной параметрической идентификации стохастических дискретных систем с применением МСЛ, что позволит работать с динамическими системами, содержащими существенно нелинейные элементы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Чубич В.М. Вычисление информационной матрицы Фишера в задаче активной параметрической идентификации стохастических нелинейных дискретных систем // Науч. вестн. НГТУ. - 2009. - №1(34). -С. 23-40.

[2] Казаков И.Е., Доступов Б.Г. Статистическая динамика нелинейных автоматических систем. - М.: Физмат-гиз, 1962.

[3] Казаков И.Е. Статистические методы проектирования систем управления. - М.: Машиностроение, 1969.

[4] Синицын И.Н. Фильтры Калмана и Пугачева. - М.: Логос, 2007.

[5] Огарков М.А. Методы статистического оценивания параметров случайных процессов. - М.: Энергоатомиз-

Чубич Владимир Михайлович, кандидат технических наук, доцент кафедры прикладной математики, докторант кафедры прикладной математики Новосибирского государственного технического университета. Основное направление научных исследований - анализ и планирование экспериментов для стохастических динамических систем. Имеет 37 публикаций, в том числе 5 учебных пособий и монографию.

E-mail: [email protected]

Коновальчик Екатерина Сергеевна, магистрантка факультета прикладной математики и информатики Новосибирского государственного технического университета.

E-mail: [email protected]

V.M. Chubich, E.S. Konovalchik

The algorithm of the computation of the derivatives ofFisher information matrix to components of input signal in the problem of active parametric identification for Gaussian nonlinear discrete systems

The derivation of relations for the calculation of the Fisher information matrix derivatives to components of input signal for Gaussian nonlinear state-space discrete systems using recurrent analytical formulas is performed. It is assumed that unknown parameters are included into state equation, observation equation, initial conditions and co-variance matrices of dynamics noise and measurement errors in various combinations. The developed algorithm for calculation of the Fisher information matrix derivatives to components of input signal is given.

Key words: stochastic nonlinear discrete system, active parametric identification, Fisher information matrix, statistical linearization method.

дат, 1990.