CC BY
74
Нгуен Куанг Тхыонг,
Вычислительный центр РАН, докторант
Nguyen Quang Thuong Фам Суан Чыонг,
Московский авиационный институт
(Национальный исследовательский
университет),
Аспирант
Pham Xuan Truong
АЛГОРИТМ ВЫБОРА НОМИНАЛА ПАРАМЕТРОВ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
Аннотация: В статье представлены задачи аппроксимации областей управляемых параметров системы управления с учетом воздействия возмущений. Предложен алгоритм выбора номинала параметров системы управления для обеспечения безопасности ее функционирования.
NOMINAL PARAMETERS OF THE ALGORITHM FOR SELECTING THE
CONTROL SYSTEM
Summary. Abstract: This paper presents the problem of approximation of areas managed by the parameters of the control system taking into account the effects of perturbations. An algorithm to select the nominal parameters of the control system for the safety of its functionization is offered.
Ключевые слова: система управления, параметры, алгоритмы, брус, номинал, безопасность.
Keywords: control system, parameters, algorithms, brus, face value, safety
Введение
При разработке сложных динамических систем решается задача контроля изменения параметров объекта при внутренних и внешних возмущениях. Внутренние возмущения включают в себе изменения каналов передачи информации (структурные трансформации) и отклонения параметров от номинальных значений (параметрические возмущения). По выбору номинальных значений параметров системы управления объектом проводились исследования [1-3], где приведены некоторые рекомендации по учету температуры, которые в основном сводятся к следующему: по заданным предельным значениям температуры и известному температурному интервалу определяют величину допустимых отклонений параметров и далее по формулам находят оптимальные значения при допуске, меньшем заданного на величину температурных отклонений параметра. Аналогично можно учитывать влияние влажности для совокупности параметров тех элементов, которые чувствительны к изменениям влажности.
В данной статье рассмотрена и решена задача аппроксимации области допустимых значений совокупности параметров элементов системы n-мерным брусом. Однако, не всегда удается аппроксимировать область Q брусом с достаточной для практики точностью. В связи с этим разработан по-
исковый алгоритм решения задачи коррекции номиналов для случая, когда область Q имеет произвольную конфигурацию. Представленные алгоритмы с учетом методики [1-3] охватывают большинство задач коррекции номиналов и позволяют найти их значения из условий достижения максимума параметрической надежности работы системы в течение заданного времени Т, т. е. P (X, T ) = Pmx для обеспечения безопасности ее функционирования. При этом
в практике проектирования нередки случаи, когда Pmax < Рз, где Рз - требуемое значение параметрической надежности системы.
Постановка задачи
В общем случае качество системы управления объектом можно оценить следующим выражением:
ф(Х,т) = Нш {...{ f (X,..., X; t1,..., tm )x d (X,..., X) ¿X,-, Xm (1),
где ф(X,т) - эффективность функционирования системы в течение
времени Т; 0 < ti, t2, ..., tm < T; т = max (ti+i - ti); f(Xi, ..., Xm; ti, ..., tm) - плотность совместимого распределения m значений случайного процесса X(t). Поскольку параметры системы при ее функционировании представляют собой некоторые случайные процессы x1 (t), x2(t), ..., xn(t), определим номинальное значение i-го параметра как математическое ожидание mxi процесса xi(t) в момент времени t = 0, и обозначим через x^, т. е. будем считать
xMi = mxi (2).
Дисперсия сг2 случайной величины xi(0) определяется классом точности
соответствующего элемента системы управления объекта. Изменяя номинал, можно смещать распределение значений параметров относительно D(X), а
выбором класса точности элемента - деформировать ее. В этом случае задача оптимизации системы по критерию (1) сводится к определению такого положения поверхности распределения значений параметров системы относительно функции D(X), при котором величина ф(X,T) достигает максимального
значения. Решить эту задачу можно путем воздействия на параметры функции распределения, например, варьируя величины mxi и сг2, что соответствует выбору оптимальных номинальных значений параметров и их класса точности. Такую оптимизацию исследуемой системы управления объектом по критерию (1) будем называть параметрической коррекцией системы. На основе параметрической коррекции исследована задача обеспечения безопасности сложных систем в зависимости от выхода параметров системы от номинальных значений при воздействии дестабилизирующих целенаправленных внешних факторов.
Аппроксимация области П
Аппроксимируем область Q n-мерным прямоугольным параллелепипедом, грани которого параллельны координатным плоскостям в пространстве параметров. Назовем такой параллелепипед n-мерным брусом (или просто брусом). Аппроксимация области Q брусом позволяет найти допустимые пределы вариации каждого параметра и тем самым значительно упростить вычисление целевой функции (1). Функция D(x) характеризует область Q с точки зрения целевого назначения системы и может быть непрерывной или дискретной. Поскольку эффективность и безопасность системы за-
висит от ее качества, а качество системы - от положения вектора X в области О, то, по существу, функция В (X) определяет связь между безопасностью и
значениями параметров системы. При этом возможен случай, когда
/—ч [1, X еП В (X) = [ , Х (3).
у ' [0, X ЙП
Математическая модель процесса изменения параметров исследуемой системы управления, область О и функция В (х) определяют конкретный
вид критерия оптимизации (1). Если справедливо (3) то
ф(х, т) = Р (X, т) (4),
где Р(X,т) - вероятность безотказной работы системы в течение времени Т и является количественной оценкой надежности работы исследуемой системы управления объектом для специальной цели.
Будем считать, что функция В(X) известна и принимает вид (3). При
этом целевая функция (4) примет вид
Р ( X, т ) = Вер
(5).
X (г )еП
г < т у
Принимая гипотезу о независимости внезапных и постепенных отказов, можно записать, что
р (X, т)=Рв (т) РП (X, т) (6),
где Рв(П - вероятность безотказной работы системы в течение времени Т по отношению к внезапным отказам, Рп (X,т) - вероятность безотказной работы по отношению к постепенным отказам за то же время Т, при условии, что внезапных отказов не было (параметрическая надежность системы). Вероятность Рв(Г) зависит, в основном, от выбранной принципиальной схемы, количества элементов, типов этих элементов и режимов их работы. От номинальных значений параметров и класса точности элементов РвП практически не зависит. Поэтому допустим, что РвП = 1.
Целевую функцию, принятую за рабочую, можно представить в виде
Р(X,т) = Рп (X,т) (7).
При определении параметрического описания вариаций параметров элементов системы возможны следующие случаи:
1. Параметры системы стабильны во времени, необходимо учитывать только их производственно-технологические отклонения. Этот случай в настоящее время наиболее изучен, т. к. для параметров элементов имеется достаточно количество производственной статистики.
2. Параметры элементов изменяются во времени независимо.
3. Изменение параметров во времени взаимозависимы. Связь их может быть обусловлена схемой, условиями сборки и режимами работы элементов. Этот случай наиболее сложен и мало изучен.
Суммируем результаты проведенного анализа. _Следует подчеркнуть, что при_произвольном характере случайного процесса X(г) и произвольных О и В (X) решение задачи параметрической коррекции представляет значительные трудности и не осуществляется на практике из-за отсутствия необходимой об-
работанной статистической информации о процессах изменения параметров системы. Поэтому для решения этой задачи необходимо разработать алгоритмы и методы решения задач, относящихся только к одному классу: выбору номинальных значений параметров системы управления объектом.
Выбор номинальных параметров системы
Теоретические и практические решения рассмотренных задач возможны при следующих исходных данных:
1. Известно назначение и внешние условия работы создаваемой системы управления;
2. Задана конкретная структура системы управления как результат синтеза системы;
3. В соответствии с конструктивными и технологическими требованиями заданы типы элементов, из которых должна быть реализована система;
4. На основе системного анализа технических требований и режимов эксплуатации определены условия работы элементов;
5. Заданы требования по качеству работы системы управления в виде системы равенств;
6. Заданы характеристики случайных процессов изменения параметров элементов системы управления;
7. Задано время работы системы управления.
Для п параметров, характеризующих СУ, необходимо рассматривать одновременно и случайные функции X (г),X (г)X (г), которые являются
составляющими векторного случайного процесса. Выбор номиналов параметров будет при этом состоять в нахождении математического ожидания векторного случайного процесса X(г) в сечении t =0, при котором вероятность того, что за время T ни одна из его реализаций не выйдет за пределы об-
ласти Q, будет максимальной [1], т. е. P ( XhT ) = max P (Хя, T) (8),
V ' ХнeQ
Хн eQ
где
fX (t )eQ^
P ( Хн, T ) = Bep
(9).
V* е[0, Т}
Компоненты вектора Хн будем называть оптимальными значениями параметров X (*),1 = 1,п. При принятой модели процесса X(г) вероятность
Р (^н, т) можно вычислять имеемыми методами [4, 5, 6, 7]. Нахождение оптимальных номиналов параметров элементов сводится к решению задачи поиска экстремума функции многих переменных. Особенности критериальной функции (8) позволяют сделать вывод о целесообразности использования методов направленного и случайного поиска. Недостатком случайного поиска является его малая эффективность в области "притяжения" экстремума. Как показали исследования [8], следует вдали от цели начинать оптимизацию методом случайного поиска, а непосредственно в районе цели целесообразно использовать метод градиента. По существу ход решения задачи разбивается на два этапа:
- на первом осуществляется случайный поиск приближенного решения;
- на втором - его уточнение методом наискорейшего спуска [9]. Такое построение алгоритма позволяет использовать достоинства обоих
методов при поиске экстремума в пространстве многих переменных.
Алгоритм выбора номиналов
Пусть требуется найти минимум функционала ф(о), где о - вектор оптимизируемых параметров. При этом известно, что , где - множество возможных состояний вектора о на первом этапе. Первый шаг поиска минимума функционала ф(о) будет проводить следующим образом: Из 1Г1 пробных точек
у^ = о,-2 + (о, -а 1-2)п2(7,7 = 1,т (9),
где п - длина пробного шага, z - случайная величина, распределенная равномерно на отрезке [0,1], выберем ту, которая удовлетворяет условию
^Лдт,^') (10).
Далее получим
о
~{к) ) , _ 1 \--пи
а+1 = тО + к = 1, т (11),
- радиус сферы с центром в точке уг+1, г - константа, ^а? + о22 +... + а2 - норма вектора о (здесь о = о, -о,-), 0{к) - вектор, ком-
где т = г
Ог — аа-2
понентами которого являются независимые нормально распределенные случайные величины с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Из всех ом запомнить надо такой вектор о,+1, для которого
ф(0,+1 ) = дп£ ф(0!3) (12),
таким образом,
а¿+1 = а 1-2 + (о, - а 1-2) Ъ,2* + тО (13),
* —*
где 2 и О удовлетворяют условию (10) и (12).
Мобильность (способность изменять направление поиска вслед за изменением направления градиента) и инерционность (способность двигаться в прежнем направлении при изменении направления градиента) алгоритма определяются в основном параметрами h и г. Величины 1гц и 1Г12, как правило, целесообразно принимать равными размерности области поиска Ош. Подбором параметров К г, 1гц и 1Г12 алгоритм можно настроить и поиск глобального экстремума.
Вычислительная схема двухэтапного алгоритма выглядит следующим образом.
1. Из множества надо выбрать четыре произвольных вектора 0-2,0,-1,0, ,ом и вычислить значение критерия качества (живучести) в этих точках
ф(о,-2), ф(о,- 1), ф(о,), ф(ом ). Вычисление критерия наименее трудоемко,
можно осуществлять методом Моне-Карло[10].
2. Из точки о,-2 в направлении (о,-0,-2) по (9) необходимо сделать Г1
пробных плат и запомнить тот из них, который удовлетворяет условию (10).
3. Вычисляется ом = у+1 и ф(ом ) = Ф(у+1), если ф(ом )>ф(у+1), или оставляются значения ом и ф(ом) прежними, если ф(ом)<ф(у,+1).
4. В сферическом теле радиусом т с центром в точке _у;+1, применяя
(11) и выбирая 1Г12 пробных точек и запоминая ту из них, которая удовлетворяет условию (12).
5. Вычисляется оы = &м и ф(оы) = ф(ог+1), если ф(оы)>ф(юг+1), или остаются значения (oы и ф(оы) прежними, если ф(оы)<Ф(ог+1)
6. Вычисляются о 1-г =(-1,о-1 =о,о =о,+1. При этом старое значение вектора ®г_2 теряется.
7. Сравниваются значения (oы через каждые тз рабочих шагов. Если разница между этими значениями не более наперед заданной величины Л, то тогда надо переходить к пункту 8, в противоположном случае - к пункту 2.
8. В точке (oы необходимо вычислить gгаdФ с тем, чтобы определить максимально возможную длину рабочего шага И, при котором еще удовлетворяется условие убывания функционала Ф, т. е. Фм+1 <Фм (14). Имеем в виду, что градиент ф(о) в точке о=((,(,...,() определяется выражением
gmdФ = fJ^Фо0 (15),
¿=1 (
0 дф где ( - орты осей переменных величин (,--значение соответст-
д(
вующих частных производных в точках ((,...,(). При достаточно малых (
приближенно градиент может принимать выражение
п лф
gradФ = XfФO0 (16).
В выражении (14) m - точка пространства поиска, для которой вычислен gгadФ; m+1 - текущая точка пространства поиска при определении длины рабочего шага. На практике это можно осуществить различными способами. Например, h =Л, где Л - наперед заданное число, и далее, если условие (14) выполняется, то тогда надо брать h =2Л, а если нет, - то h =Л/2. Затем вновь повторяется условие (14) до тех пор, пока не будет найдено наибольшее значение величины h, при которой еще удовлетворяется условие (14).
9. Вычисляются координаты новой точки по формуле
O+i = 0 + lj ,j =1 п,
МФ, -
где l = 1 = - gгadФ в точке сом+i.
1 1 п -ДФ 2
10. Находится максимальная по модулю частная производная
ДФ,
к = max--
М1^] Доj
11. Проверяется выполнение условия:
kh (17),
где Z - заданное число. Если условие (17) выполнено, то поиск прекращается, полученный вектор ом+i является оптимальными решением. Если условие (17) не выполнено, то переходим к пункту 9. Как известно [11], в системе
управления можно выделить некоторые обобщённые параметры у,у2уп
(например, постоянные времени, коэффициенты усиления отдельных звеньев или узлов системы), которые функционально связаны с параметрами элементов х,,...,х , т. е.
1' 2 ' ? п '
У} (х1, х2,..., Хп ) Л = 1 т (18)'
где т - число обобщённых параметров. При этом в каждом уравнении системы часть аргументов отсутствует, что позволяет преобразовать п-размерную систему уравнений (18) в несколько независимых подсистем меньшей размерности. Число таких подсистем зависит от вида функции ,
которое определяется типом узлов их элементов синтезируемой СУ. С другой стороны, обобщенные параметры являются аргументами некоторых функционалов р (*), характеризующих качество (живучесть) функционирования системы, т.е.
Рч = Рч (У1,У2,...,Ут),Я = Ш (19),
где р,Р2,. .,Р - критерии качества (живучести) работы системы, которые
должны удовлетворять неравенству с <Р <йч,я = 1,е (20), где ^,^ - пределы допустимого изменения Р, определяемые техническим заданием на создаваемую СУ.
Блок-схема алгоритма построения 2п брусов представлена на рис. 1.
Рис. 1. Блок- схема алгоритма построения 2П брусов ПВ
Таким образом, нашу задачу будем решать в два этапа:
1. Рассчитать допуски на обобщенные параметры.
2. Выбрать номиналы параметров элементов СУ.
Действительно, зная неравенства (20) и соотношения (19), по изложенным выше алгоритмом, найдем допуски на параметры у (у = 1,т). Далее используя соотношения (18) и результаты решения первого этапа, можно приступить к поиску номиналов параметров х (¿' = 1, п), либо аналитическим способом, либо на ПЭВМ по предложенным алгоритмом. При этом как на первом (вследствие того, что всегда т < п), так и на втором этапе размерность одновременно решаемой задачи меньше п.
Заключение
1. Представлена аппроксимация области О для нахождения допустимых пределов вариации параметров системы;
2. Изложена методика выбора номинальных параметров системы;
3. Разработан алгоритм выбора номиналов СУ вместе с вычислительной схемой.
ЛИТЕРАТУРА
1. Абрамов, О.В., Здор, В.В. Выбор номиналов параметров элементов автоматических систем [Текст] / О.В. Абрамов, В.В. Здор. - М. : Стандарты и качество, 1968. - № 2.
2. Горелова, Г.В. [и др.] Метод оптимума номинала и его применение [Текст] / ред. Г.В. Горелова. - М. : Энергия, 1970.
3. Абрамов, О.В., Шапиро, А.П. Расчет надежности и оптимальный выбор параметров технических устройств с учетом эксплуатационных возмущений [Текст] / О.В. Абрамов, А.П. Шапиро // Управление и информация. - Владивосток : ДВНЦ АН СССР, 1973. - Вып. 6.
4. Корн, Г., Корн, Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров [Текст] / Г. Корн, Т. Корн. - М. : Наука, 1973.
5. Северцев, Н.А. Надежность сложных систем в эксплуатации и отработке [Текст] / Н.А. Северцев. - М. : Высшая школа, 1989.
6. Коваленко, И.Н. Вероятностный расчет и оптимизация [Текст] / И.Н. Коваленко. - Киев : Наукова Думка, 1989.
7. Бусленко, Н.П. [и др.] Метод статистических испытаний (Метод Монте-Карло) [Текст] / под ред. Н.П. Бусленко. - М. : Физматгиз, 1962.
8. Растригин, Л.А. Статистические методы поиска [Текст] / Л.А. Рас-тригин. - М. : Наука, 1968.
9. Канторович, Л.В. О методе наискорейшего спуска [Текст] / Л.В. Канторович // Доклады АН. - 1947. - 56. - № 3.
10. Ерманов, С.М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы [Текст] / С.М. Ерманов. - М. : Наука, 1971.
11. Бесекерский В.А., Понов Е.П. Теория систем автоматического управления [Текст] / В.А. Бесекерский Е.П. Понов. - М. : Наука, 1966.
