CC BY
14ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №5
33
Механика
УДК 531.311:612.087:616.7
АЛГОРИТМ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ПОКАЗАНИЙ СИСТЕМЫ ВИДЕОАНАЛИЗА ДВИЖЕНИЙ ЧЕЛОВЕКА ПО ИЗМЕРЕНИЯМ
СИЛОВОЙ ПЛАТФОРМЫ
П. А. Кручинин1, А. Ю. Мишанов2,
Предлагается способ восстановления информации системы видеоанализа движений по измерениям силовой платформы. Приводится алгоритм восстановления утерянных значений углов антропоморфного многозвенника, использующего математическую модель движения, идентификацию параметров модели и показания силовой платформы. Алгоритм примененяется для задачи восстановления утерянных значений угла наклона голени к горизонтали при приседаниях человека.
Ключевые слова: система видеоанализа, силовая платформа, математическая модель, восстановление информации.
We consider a lost information recovery algorithm to gap filling. We propose the algorithm to lost joint angles recovery with the mathematical model of 3DOF skeletal model motion, parameter identification and force plate data. It has been applied to gap filling of angle between shin and horizont in time of deep squat when skin markers disappear and the angles cannot be calculated.
Key words: optical motion capture system, gap filling, force plate, mathematical model, information integrity.
О. Э. Кудряшов3
В настоящее время при анализе движения человека получила широкое распространение технология, основанная на исследовании видеоизображений движения [1, 2]. Эта технология применяется в спортивной медицине, при обследовании больных с нарушениями опорно-двигательной системы и в других смежных областях. Одна из традиционных схем исследования движений человека с использованием системы видеоанализа заключается в следующем. На характерные точки на теле человека наклеиваются светоотражающие элементы (катафоты). Человек совершает движения, записываемые несколькими видеокамерами. При компьютерной обработке видеозаписи определяются координаты этих характерных точек, использующиеся для вычисления углов в суставах скелетного многозвенника и дальнейшего анализа движений человека.
Недостатком подобных систем является наличие сбоев при обработке изображений. Сбои возникают, например, если видеокамеры не видят один из катафотов или не могут распознать два катафота при их расположении вблизи оси объектива одной из камер. Таким образом, на некотором интервале времени информация об одном из углов многозвенника оказывается утерянной или некорректной. Между тем часто при анализе движения набор измерений с различного рода аппаратуры бывает избыточен. Эту избыточность можно использовать в алгоритме восстановления утерянной информации. Рассмотрим случай, когда в качестве избыточной информации выступают измерения силовой платформы и математическая модель движения человека.
Различные варианты алгоритмов восстановления утерянной информации системы видеоанализа предлагались ранее авторами в работах [3-5]. В этих алгоритмах использовались параметры математической модели, определенные по результатам антропометрических измерений. Анализ эффективности этих алгоритмов показал, что результаты восстановления существенно зависят от параметров математической модели, использованной в алгоритмах, а также от качества установки катафотов системы видеоанализа. Предлагаемая в настоящей статье модификация алгоритма учитывает эту особенность и состоит из двух
1 Кручинин Павел Анатольевич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
Мишанов Алексей Юрьевич — асп. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
3 Кудряшов Олег Эдуардович — инж. клинической лаб. Ин-та реабилитации Риж. ун-та им. Страдиня (Латвия).
34
ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2009. №5
этапов. На первом этапе для конкретного больного по корректной части измерений восстанавливаются коэффициенты математической модели, характеризующие индивидуальные особенности пациента, и погрешности закрепления катафотов системы видеоанализа. На втором этапе указанная модель используется для восстановления утерянной информации. Опишем алгоритм на примере модельной задачи.
1. Математическая модель движения человека. Рассмотрим задачу о движении человека в сагиттальной плоскости. Движение человека моделируется с помощью трехзвенника с тремя степенями свободы, которым соответствуют обобщенные координаты — углы (1, (2, (3 (рис. 1). Эти углы вычисляются по координатам точек О1, О2, О3 — центрам голеностопного, коленного и тазобедренного суставов, определяемым из показаний системы видеоанализа. Введем неподвижную систему координат О1ХК. Ее начало поместим в центр голеностопного сустава О1. Примем следующие обозначения: С1, С2, С3 — центры масс соответствующих звеньев; а — расстояние от О^ до С (г = 1, 2, 3); £1, Ь2 — длины звеньев голени и бедра; Ш1, Ш2 — удвоенные массы голени и бедра; т33 — масса корпуса человека, включая руки и голову; т = т1 + т2 + т3; а1, а2, а3 — углы отклонения центра масс соответствующего звена от своей оси, 3с1, Зс2, — моменты инерции звеньев.
Уравнение изменения кинетического момента относительно оси голеностопного сустава запишем в виде
Рис. 1. Модель антропоморфного трехзвенника
А1Ф1 + А2Ф2 + А3Ф + В [ф 008((2 + а2 - (1) + ф"2 8т((2 + «2 - (1) + +ф2 008( (2 + а2 - (1) - Ф2 81п((2 + «2 - (1)] +
+С [(ф1 008( (2 - (1) + Ф1 81п((2 - (1) + (ф2 0О8((2 - (1) - Ф2 8т((2 - (1) + + Б [(ф1 008( (3 + а.3 - (1) + ф\ 81п((3 + а3 - (1) + ф оо8( (3 + а.3 - (1) - ф2 81п((3 + а.3 - (1)] +
(1)
+ Е[(ф2 0О8((3 + а.3 - (2)+ф22 81п((3 + а3 - (2) + ф 0О8((3 + а.3 - (2) - Ф2 81п((3 + а3 - (2)] = М1 - тдхс.
Здесь М1 — создаваемый мышечными усилиями момент в голеностопном суставе, оценку значений которого получаем по показаниям силовой платформы;
т^ т2^1 + т^ , т^ , , , , т2^2 , т^ , ,
хс =-сов(у 1 + а 1) Н--соэ <р1 Н--сов^г + «2) Н--соэ <р2 Н--сов^з + а3) (2)
т т т т т
— горизонтальная координата центра масс трехзвенника, а параметры А1, А2, А3, В, С, Б, Е принимают следующие значения:
А1 = т1а2 + т^2 + т3Ь\ + Зсг, А2 = т2а2 + т3Ь2 + Зс2, А3 = т3^2 + Зсъ,
В = т2^1а2, С = т3Ь1 £2, Б = т^^ а3, Е = т3Ь2й3.
2. Модель погрешностей измерений. Определение углов (1, (2, (3 при работе системы видеоанализа производится с погрешностями. Наибольший вклад в ошибки определения углов вносят погрешности, возникающие вследствие неточного нанесения маркера на центр сустава, и погрешности, вызванные моделированием суставов шарнирами с постоянной осью вращения. Если голеностопный и тазобедренный суставы с высокой точностью можно рассматривать как шарниры, то коленный сустав в действительности не имеет постоянной оси вращения [6]. Будем полагать ошибку определения угла в коленном суставе линейно зависящей от величины этого угла. В соответствии с этим предположением примем модель, связывающую углы (1, (2, (3 с их измеренными видеосистемой величинами р1, р2, р3, в виде
(1 = р + А1 ((р2 - р1) + £1 + П1, (2 = р2 + А2(р2 - $1) + 6 + П2,
( 3 = Р3 + 6 + П3.
(3)
Здесь А1, А2 — параметры предполагаемой модели ошибки определения угла в коленном суставе; £1, £2,
£з — аддитивные погрешности определения соответствующих углов, вызванные неточным нанесением маркера на "центр сустава"; П1, П2, Пз — составляющие погрешностей неизвестной природы.
Рассмотрим измерения, получаемые с силовой платформы. Силовая платформа представляет собой две металлические плиты, установленные на трех или четырех опорах с закрепленными на них тензо-датчиками. По показаниям датчиков платформы ее программное обеспечение вычисляет вертикальную составляющую N нормальной реакции и координаты точки ее приложения в системе координат платформы [7]. Эту точку принято называть центром давления. Положение осей голеностопного сустава в системе координат платформы неизвестно, поэтому примем
М1 = N(Хр — хА) + пРЫе. (4)
Здесь хр — проекция координат центра давления на сагиттальную плоскость, ха — неизвестное расстояние от оси голеностопного сустава до начала отсчета силовой платформы, ПрЫЬе — неизвестная составляющая погрешности платформы. В силу этого предположения модификация предлагаемого алгоритма справедлива только для движений с небольшими продольными реакциями (например, приседание и вставание, наклон и т.п.). Возможное пренебрежение продольными силами обсуждается в работе [3].
Соотношения (1)—(4) образуют систему уравнений, связывающих измерения системы видеоанализа и силовой платформы. Используем их для совместной обработки показаний системы видеоанализа и силовой платформы.
3. Определение геометрических и масс-инерционных параметров модели движения. Полученная система уравнений содержит набор коэффициентов, зависящих как от геометрических и масс-инерционных параметров человека, так и от погрешностей, связанных с проведением записи движения. В связи с этим возникает задача определения этих параметров для каждого конкретного человека и каждой конкретной записи.
Рассмотрим такие моменты времени, для которых измерения углов р1, р2, рз не содержат сбоев. Записанные соотношения должны выполняться для всех таких моментов времени. Подставляя (2)—(4) в (1) и предполагая малость величин а1, а2, аз, Х1, А2, £1, £2, £з, запишем линеаризованную систему уравнений. В векторной форме эта система будет иметь вид
фу — N Хр = п, (5)
где у = А-А1Х1 ,А1 \иЛ2\2, А2+А2А2, Аз, В+С, (В+С)\1, (В+С)\2, Ва2+(В+С)(£2—£1),0,БА1 ,Баз+ 0(£з—£1),Е, ЕА2 ,Еаз+Е(£з-£2), К ,КА ,К£+^11,^, К2А2, К £2 + П212, Кз, Кз £з + Пзаз) — вектор-столбец коэффициентов, требующих оценки; д, Трхр — матрица и вектор, компоненты которых вычисляются по показаниям системы видеоанализа и силовой платформы. Здесь через п обозначена величина, связанная с прочими составляющими погрешностей системы, и приняты обозначения
та + Ш2Ь1 + шзЬ1 Ш2й2 + тз 12 Т. тзаз
=-, л2 = -, Аз =-,
т т т
т1а1 т2а2 тзаз
К1 — -, -К 2 — -, К 3 — -.
ттт
Погрешности измерений, неточности моделей и особенности рассматриваемого движения приводят к тому, что переопределенная система уравнений (5) не разрешается корректно относительно компонент вектора у. В этом случае найдем вектор коэффициентов у в результате решения задачи минимизации функционала .] = \\фу — Nхр\\2. Эта задача решается методом наименьших квадратов [8] по формуле
у = (дтд)-1 дт^!хр.
4. Восстановление показаний системы видеоанализа по измерениям силовой платформы. Будем считать, что значения р1 утеряны на интервале времени (Ьо,Ьп). Представим угол р1 в виде суммы:
р1 = Р^ + РА1 , (6)
где р8\ — это выбранное априорное приближенное значение угла, а <а1 — неизвестная поправка, которую требуется оценить.
Подставим в (5) выражение (6), линеаризуем полученное соотношение относительно <а1 и запишем его, пренебрегая погрешностями п, в виде
Лз<РА1 + А2Р А1 + А1РА1 + Ао = N хр, (7)
где Ар = Ар(<р2, р>2, <2, Рз, Рз, Рз, Р8\, РЯ-1, Ря1), Р = 0,1, 2, 3, записываются на основании системы (5).
Представим производные из формул (7) в виде конечных разностей:
. ,. ч (Ах ) - (Ах (к) , л (Дх ^^ - 2 (Дх + ( Ах
(Ах№) = -, (Ах (и) = -5-'
2
Подставим их в (7) и запишем полученные выражения в форме
Фх = Ь,
(8)
где х = ((дх (¿1),..., (дх (¿п)) — вектор-столбец значений поправок (дх; Ь, Ф(Ар,т) — вектор-столбец и матрица п х п, определяемые по измерениям. Решая (8), находим (дх(¿¿).
5. Проверка алгоритма на экспериментальных данных. Возможность использования предлагаемого подхода проанализирована на примере исследования движения человека в сагиттальной плоскости при вставании и приседании. Для отработки методики рассмотрена упрощенная модельная задача, соответствующая эксперименту, проведенному в Рижском университете им. Страдиня (Латвия) [4, 5]. В ходе эксперимента испытуемый совершал приседания, стоя на силовой платформе АМТ1. При движении испытуемый соблюдал следующие требования: туловище и голову держал прямо (положение головы относительно туловища фиксировалось с помощью шейного ортоза), руки — скрещенными на груди и прижатыми к туловищу, пятки — не отрывая от поверхности силовой платформы.
Движения человека фиксировались с помощью камер системы видеоанализа Qualisys РгоИеАех с частотой 240 Гц. Катафоты, использованные при обработке, наклеивались на плечо, тазобедренный сустав, колено, голеностопный сустав. По результатам измерений с помощью программного обеспечения системы трехмерного анализа вычислялись значения углов в суставах антропоморфного многозвенника. Для подавления высокочастотной составляющей погрешности значения углов сглаживались с помощью окна Ханна протяженностью 0,25 с [9].
Движение испытуемого моделировалось с использованием плоской трехзвенной модели тела человека. Графики значений момента в голеностопном суставе, полученные в результате расчетов по показаниям системы видеоанализа и измерений силовой платформы, приведены на рис. 2. Моделировалась задача восстановления утраченных измерений. Считались утерянными показания, позволяющие вычислить угол наклона голени 1 . На первом этапе по измерениям на всем участке времени, за исключением интервала (¿о^п), проводилась идентификация неизвестных параметров, на втором этапе выполнялось непосредственно восстановление утраченных измерений. В качестве известного априорного приближения выбрана линейная зависимость (psk (¿), которая на границах отрезка [¿о,^п] принимает значения (1 (¿о) и (1 (¿п). Результаты восстановления измерений приведены на рис. 3. Математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение восстановления информации составили величины порядка одного градуса. Наряду с успешными участками восстановления для других данных наблюдались и участки с более значительными погрешностями. Это в первую очередь может объясняться несоответствием модели движения человека реальному движению и наличием значительных продольных реакций.
Проведенный эксперимент показал, что предложенная методика применима для восстановления утраченных показаний системы видеоанализа для простых движений в том случае, если математическая
Рис. 2. Значения момента в голеностопном суставе
Рис. 3. Сравнение результата восстановления и истинного значения угла
модель удовлетворительно описывает совершаемое движение. Следует также отметить, что методика, примененная в настоящей работе, может быть использована при комплексировании других наборов биомеханических измерений.
Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (грант № 05-01-00418).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Perry J. Gait Analysis: Normal and Pathological Function. N. Y.: McGraw Hill, Inc., 1992.
2. Gage J.R. Gait Analysis: An essential tool in the treatment of cerebral palsy // Clin. Orthop. and Relat. Res. 1993. 288. 26-34.
3. Кручинин П.А., Мишанов А.Ю., Саенко Д.Г. О возможности совместной обработки показаний системы видеоанализа движений и стабилографической платформы // Математическое моделирование движений человека в норме и при некоторых видах патологии / Под ред. И.В. Новожилова и П.А. Кручинина. М.: Изд-во МГУ, 2005. 28-53.
4. Кручинин П.А., Кудряшов О.Э., Мишанов А.Ю., Паварэ З. Восстановление показаний системы видеоанализа движений человека с использованием измерений нормальной реакции опоры // Bull. Int. Sci. Surgical Assoc. 2007. 2, N 1. 66-68.
5. Кручинин П.А., Кудряшов О.Э., Мишанов А.Ю., Паварэ З. Построение сглаживающего сплайна при восстановлении показаний системы видеоанализа по измерениям силовой платформы // Мехатроника и информационные технологии в современной медицине. № 8 (приложение к журналу "Мехатроника, автоматизация, управление"). М.: Новые технологии, 2007. 16-19.
6. Воронов А.В. Анатомическое строение и биомеханические характеристики мышц и суставов нижней конечности. М.: Физкультура, образование и наука, 2003.
7. Скворцов Д.В. Клинический анализ движений. Стабилометрия. М.: Научно-медицинская фирма МБН. Антидор, 2000.
8. Лоусон Ч, Хенсон Р. Численное решение задач методом наименьших квадратов. М.: Наука, 1986.
9. Хемминг Р.В. Цифровые фильтры. М.: Недра, 1987.
Поступила в редакцию 04.06.2007
УДК 539.3
СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ В ЛИНЕЙНОЙ МОМЕНТНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
С. Е. Омаров1
С использованием метода осреднения определяются материальные функции линейной моментной теории упругости. Предложенная методика применяется для отыскания константы материала в задаче о равновесии бесконечной плоскости, ослабленной круговым отверстием.
Ключевые слова: материальные функции, моментная теория упругости, теория нулевого приближения, асимптотическое разложение.
The homogenization method is used to determine material fuctions in the linear moment theory of elasticity. The proposed technique is applied to find the material constant in the equilibrium problem for an infinite plane weakened by a circular hole.
Key words: material fuctions, moment theory of elasticity, zeroth-approximation theory, asymptotic expansion.
В работе [1] предложен способ определения материальных функций определяющих соотношений линейной моментной теории упругости с использованием основных положений метода осреднения [2].
1 Омаров Сансызбай Ембергенович — канд. физ.-мат. наук, докторант каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].
