Алгоритм вершинной раскраски предфрактального графа, порожденного множеством затравок, с сохранением смежности старых ребер Текст научной статьи по специальности «Математика»

что показывает, что масса энергетическая Man = man.cv. - сохраняется во время непрерывного движения частицы в ЭПМ. Это явление стало возможным, благодаря наличию энергопитающей среды ЭМП, где mancK - масса энергетическая кванта, испускаемая частицей во время ее движения в ЭМП.

Список литературы:

1. Марсов УС. Микромир элементарных частиц: фотона и электронного нейтрино: сборник материалов V международной научно-практической конференции «Наука и современность-2010» Новосибирск, 4 октября 2010 г. Ч. 2. / Под общ. ред. к.э.н. С.С. Чернова. - Новосибирск: Изд-во НГТХ 2010.

2. Эйнштейн А. и Инфельд Л. Эволюция физики. - М.: Наука, 1965. -С. 326.

АЛГОРИТМ ВЕРШИННОЙ РАСКРАСКИ ПРЕДФРАКТАЛЬНОГО ГРАФА, ПОРОЖДЕННОГО МНОЖЕСТВОМ ЗАТРАВОК, С СОХРАНЕНИЕМ СМЕЖНОСТИ СТАРЫХ РЕБЕР

© Рубежная И.Н.*

Ставропольский кооперативный институт (филиал) Белгородского университета потребительской кооперации, г. Ставрополь

В работе предложен параллельный алгоритм вершинной раскраски предфрактального графа, порожденного множеством затравок H = {Ht}, смежность старых ребер которого сохраняется. Параллельный алгоритм р3 построен для PRAM (Parallel Random Access Machine) - модели параллельной вычислительной системы [1].

Для правильной работы алгоритма вершинной раскраски предфрактального графа, порожденного множеством затравок H = {Ht}, важна следующая теорема.

Теорема 1. Предфракталъный граф GL = (VL, Ei), порожденный множеством затравок H = {Ht} = {Hb H2, ..., Ht, ..., HT}, T > 2 с сохранением смежности старых ребер, является /-хроматическим, т.е. x(GL) = f, где f = max x(H,).

t=1,T

Доказательство теоремы изложено в [2].

Алгоритм f^ .

* Старший преподаватель кафедры Естественнонаучных дисциплин и информационных технологий.

Рассмотрим предфрактальный граф ОЪ = (Уъ, ЕЪ), порожденный множеством затравок Н = {Н} = {Н1, Н2, ..., Н, ..., Нт}, Т >2, смежность старых ребер которого сохраняется. Каждая из затравок Ht является - Л - хроматическим графом. Алгоритм использует к процессоров р1, р2, ..., рк, где

к = пъ'1 [3, 4].

Опишем принцип работы алгоритма р3 . Поскольку каждая порождающая затравка Н является Л хроматической, то для ее правильной и одновременно минимальной раскраски понадобится ровно Л цветов, то есть хроматическое число х(Н) = Л, Л ^ Щ\. Отметим, что для раскраски затравки Н, будет использоваться известный алгоритм минимальной раскраски [5]. Алгоритм минимальной раскраски представим в виде процедуры МинРаскраска, которая вызывается основным алгоритмом в нужное время.

В начале алгоритма процессор р1 назначается подграф-затравке первого ранга г1(1). Для раскраски подграф-затравки г1(1) понадобится Л цветов, в соответствие с предположением о Лt - хроматической затравке Н.

Далее для каждой подграф-затравки второго ранга 1$2(2) назначим процессоры рХ2, Б2 = 1, 2, ..., п. У каждой из них одна вершина оказалась окрашенной, так как подграф-затравка первого ранга имеет одну общую вершину с подграф-затравкой второго ранга, в силу того, что смежность старых ребер сохраняется.

Для того чтобы не загружать алгоритм дополнительными обозначениями, число цветов Лt для окрашивания некоторой подграф-затравки считаем равным числу цветов, необходимых для раскраски соответствующей затравки Н. То есть фактически для раскраски подграф-затравки используется свое число Л

Рассмотрим подграф-затравку г1(2), одна из ее вершин оказалась окрашенной, например, в цвет 1. Далее используя процедуру МинРаскраска окрасим оставшиеся вершины в Лt- 1 неиспользованных цветов. Окрасим таким же образом все подграф-затравки второго ранга

Далее рассматриваем подграф-затравки третьего ранга 2$3(3), у каждой из них оказалось окрашенной по одной вершине. Окрашиваем подграф-затравки третьего ранга 2$3(3) с помощью процедуры МинРаскраска в соответствие с описанным раннее.

Дойдя до Ъ-го ранга назначим каждой подграф-затравке процессоры р5р = 1, 2, ..., пъ-1. Таким образом окрашивая подграф-затравки до Ъ-го ранга включительно, получим правильную Л_РаскРаскУ предфрак-тального графа Оь, где Л = max Л .

I =1,2,...,Т

Алгоритм /3 включает в себя процедуру МинРаскраска. Процедура МинРаскраска используется для минимальной Л - раскраски подграф-зат-

равок разных рангов. На вход процедуры подается подграф-затравка с одной окрашенной вершиной, далее оставшиеся вершины подграф-затравки окрашиваются в /. - 1) свободных цветов в соответствие с последовательным алгоритмом минимальной раскраски [5]. На выходе процедуры получаем правильную / - раскраску подграф-затравки.

Алгоритм & .

Вход: предфрактальный граф ОЬ = (УЬ, ЕЬ).

Выход: минимальная /-раскраска предфрактального графа ОЬ.

Шаг 1. Назначим процессор р1 подграф-затравке первого ранга г/Ч Процессор р1 применяет процедуру МинРаскраска к подграф-затравке г1(1).

Для всех 1 = 2, 3, ..., Ь выполнить:

Шаг 1. (1) Назначим каждый из к процессоров р1, р2, ..., рк подграф-

затравкам 18(1), « = 1, п 1. Каждый процессор будет обрабатывать только назначенную ему подграф-затравку.

(2) Одновременно к процессоров р1, р2, ..., рк параллельно и независимо друг от друга применяют процедуру МинРаскраска к назначенной подграф-затравке.

Рис. 1. Минимальная 3-раскраска предфрактального графа 03

Процедура МинРаскраска.

Вход: граф G = (V, E), окрашенная вершина v.

Выход: минимальная раскраска графа G.

На рис. 1. изображена минимальная 3-раскраска предфрактального графа G3, порожденного множеством затравок H = {Ht} с сохранением смежности старых ребер. Затравки H1 и H2 являются 3-хроматическими, а затравка H3 - 2-хроматической. Граф G1 = H2, т.е. G1 является 3-хроматическим, а граф G2 состоит только из затравок H2, H3 и также является 3-хроматиче-ским. Можно видеть, что раскраска графа G3 фактически ведет к поэтапной раскраске графов G1 и G2. Раскраска подграф-затравки z1(1) предфрактального графа G3 совпадает с раскраской графа G1, а раскраска подграф-затравки z1(1) и подграф-затравок z1(2), z2(2), z3(2) с раскраской графа G2.

Список литературы:

1. Воеводин В.В., Воеводин Вл.В. Параллельные вычисления. - СПб.: БХВ-Петербург, 2002. - 608 с.

2. Кононова Н.В. Многокритериальная задача о раскраске на предфра-ктальных графах: автореферат диссертации на соискание ученой степени канд. физ.-математ. наук. - Ставрополь: СГУ, 2008. - 9 с.

3. Кочкаров A.A., Кочкаров P.A. Параллельные алгоритмы на пред-фракталь ных графах: препринт. - М.: Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН, 2003. - № 84.

4. Кочкаров A.M. Распознавание фрактальных графов. Алгоритмический подход. - Нижний Архыз: РАН CAO, 1998. - 170 с.

5. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход / Э.В. Вер-шкова, И.В. Коновальцева / Пер. с англ. - М.: Мир, 1978. - 432 с.