Алгоритм синтеза управления подвижным объектом в условиях априорной неопределенности Текст научной статьи по специальности «Математика»

Степень истинности высказывания с заключением о среднем дроблении равна

Цпр V) = ш1и{1,{[1- 0,99+0,89], [1- 0,8+0],

[1- 0,2+0,82]} = 0,2,

а для высказывания о незначительном дроблении

Цпр (V;) = ш1и{1,{[1- 0,99+0],[1- 0,8+0,86],

[1- 0,2+0,99]} = 0,01, Ц пр (VI) = 0,01; Цпр V) = 0,2; Цпр V) = 0,8,

что подтверждает правильность приведенных рассуждений.

Вывод

Результаты анализа показывают, что при выборе сочетания регулировочных параметров, обеспечивающего заданный уровень показателя качества технологического процесса, на основе индуктивной схемы

вывода необходимо выбрать такой вариант (сочетание параметров) V е V, при котором степень истинности Ц Ис (V ]) индуктивной схемы имеет наибольшее значение.

Литература

1. Борисова Л.В. Методика моделирования предметной

области «технологическая настройка» в нечеткой постановке // Докл. РАСХН. 2005. № 6. С. 62-65.

2. Мелихов А.Н., Бернштейн Л.С., Коровин С.Я. Ситуацион-

ные советующие системы с нечеткой логикой. М., 1990.

3. Борисова Л.В., Димитров В.П., Алуханян В.А. О моделировании нечетких экспертных знаний по технологической регулировке комбайна // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2005. № 4. С. 31 - 34.

4. Бернштейн Л.С., Боженюк А.В. Моделирование процесса определения предпочтительных параметров на основе нечеткого логического вывода // Электронное моделирование. 1989. № 3. С. 98-101.

Донской государственный технический университет

3 мая 2006 г.

УДК 62.65

АЛГОРИТМ СИНТЕЗА УПРАВЛЕНИЯ ПОДВИЖНЫМ ОБЪЕКТОМ В УСЛОВИЯХ АПРИОРНОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

© 2006 г. И.В. Бурлай, Д.А. Падалко

Введение

Задача синтеза стохастического управления, обеспечивающего максимальную (минимальную) вероятность достижения заданной пространственной области, на сегодня решена только для случая известных границ последней [1, 2]. Однако границы области цели объекта могут изменяться во времени заранее неизвестным образом: при вынужденном движении пунктов сопровождения (ПС) данного объекта, при незапланированной смене траектории ПС, при изменении целевой пространственной области уже в процессе движения объекта и т.д.

Решение этой задачи требует уже иных подходов, среди которых наибольшее распространение получили игровые [3]. Однако сложность реализации игровых алгоритмов в бортовых вычислителях не позволяет обеспечить их практическое использование в многоразмерных динамических объектах, приводя к необходимости разработки новых методов управления в условиях неопределенности.

В настоящей работе развит новый подход к решению данной задачи на основе применения апостериорных оценок вектора состояния подвижного объекта и вектора состояния ПС.

1. Постановка задачи. Синтез уравнений оценивания. Пусть Ы-мерный вектор состояния х подвижного объекта описывается стохастическим нелинейным симметризованным уравнением общего вида

х = / (х , г)+/0 (х , г )и (х, У, г)+¡х (X, г ),

х 0 = х (г 0), (1)

где /, /0, - известные нелинейные векторная и матричные функции размерности, соответственно, Ы, N х N и N х Ь; £ - ¿-мерный белый нормированный гаус-

совский вектор-шум; и (Х,У,г) - искомый Ы-мерный

вектор управления, формируемый на основе апостериорных оценок векторов состояния объекта X и ПС У и зависящий только от них, а Ы-мерный вектор состояния ПС У, соответственно:

У = ф (у, г)+ а (г )Ф0 (У, г )Х + +р(г)ф! (у,г)х + ф2 (у,г),

У = У (г 0), (2)

где Ф, Ф 0, Ф Ф 2 - известные, определяемые особенностями ПС, нелинейные векторная и матричные функции размерности, соответственно, N Р1 х N, Р2 х N, N х К ; а, в - орпоп неизвестные временные матричные функции, определяющие динамику сопровождения объекта, размерности, соответственно, N х Р1 и N х Р2; £ - ^-мерный белый нормированный гауссовский вектор-шум.

Движение ПС наблюдается измерительной системой объекта с помощью датчиков внешней измерительной информации, вектор выходных сигналов 20 которых описывается в общем случае нелинейным стохастическим уравнением:

Z0 = H^ (Y,t) + W^

(3)

где Н0 - известная нелинейная вектор-функция размерности 50; Ж - белый гауссовский центрированный вектор-шум размерности 50 с матрицей интенсивности

А).

Одновременно осуществляется наблюдение параметров собственного движения объекта с использованием автономных измерителей, описываемых также соответствующим нелинейным уравнением

Zj = Hj (X,t)+ Wj

(4)

где 21 - вектор измерений параметров собственного движения объекта размерности 51; Н1 - известная нелинейная вектор-функция размерности 51; Ж1 -белый гауссовский центрированный вектор-шум размерности с матрицей интенсивности А1.

Совокупность наблюдений (3), (4) представим в виде единого обобщенного наблюдателя

Z = H (X, Y, t) + W .

(5)

где 2 - вектор выходных сигналов размерности 5; н -известная нелинейная вектор-функция; Ж - центрированный белый гауссовский вектор-шум с матрицей интенсивности А.

Также объединим уравнения (1), (2) в единую систему

/ (X, г)+ /о (X, г )и ((, г, г) ф(г , г)

х

Y

а:

Ф0(Y,t) f (X,^ + Ф0(Y,t) fo (X,t)U((,Y,t

fj (X, t)

a(t)Ф o (Y,t)f (X,t)Ф 2 (Y,t)

(6)

состояния

дений (5).

Y

Применяя алгоритм калмановской фильтрации [4, 5], имеем:

0

х f + foU

Y Ф

а

щ

Ф o f + Ф o foU

ф j X

+ K (Z - H),

K = R

R =

f dX dX i ( U ! o 1 1

o Ф

dY

dH I дН_ dX ! dY

R + R

D

-j

df —--+ dX f. dX 1 (u ! o i j.

o ! эф

dY

fj ! o fj ! o

аФ o fj] Ф 2 аФ o fj] Ф 2

o

и ф o Ц-+Ф o {f ® U1 o dX o{dX J ^ ( f(fu) dz dY v ;

ФJ o г дфк dY

R la-ßl Ф o Ц.+Ф o 1% ( U1 o dX o {aXX J ^ ( f^ (fou) dZ dY У '

Ф: x dY

-KDW KT,

(7)

xr

= M

Ro = M

х o

V

Х o

х,

т.е. имеем уравнение (6) для расширенного вектора

X

оцениваемого далее по вектору наблю-

где Я - апостериорная ковариационная матрица; <Й> -знак блочного умножения матрицы на вектор.

2. Оценка параметров закона сопровождения. В уравнения оценок входят неизвестные для управляемого объекта матрицы а и в, определение которых целесообразно осуществлять исходя из их физического смысла: динамика изменения матричных коэффициентов а и в должна обеспечить для ПС минимальное отклонение параметров его вектора состояния Y от соответствующих фазовых переменных вектора состояния объекта X.

Минимум энергетики можно обеспечить за счет минимизации квадратичного функционала вида

|(| а-р|(¥ а-р|(¥)) йг, где (¥) - введенная в [6]

операция преобразования произвольной матрицы а

+

o

+

размерности т х п в вектор А(¥). Поэтому определение вектор-функции |а :Р|(¥ ) на борту объекта можно осуществлять из условия минимума функционала

3 а = (( - У )Т (( - У )+} (|а ■ в(¥))Т (|а ■ в<У)) * .(8)

Тогда уравнения оценивания с учетом (8) - (13) окончательно принимают вид:

U + K (Z - H) + 0

Xх f + f0

Y Ф 0

Из вышеприведенного с учетом вида правой части + Y ф/ +Y Ф/o f u +uT ( Y0 Oof А f +UT (8 Y0 Ф/o

системы (7) имеем ф^х 0 V Фх ) V 0

u

j а = 2 (X - Y )(X - Y )+(|а-e(V)) (|a-e(V))

= 2 (( - У)T х xj/ + foU + K (Z-H)-Ф-|a;ß|

Ф o f + Ф o foU

f

Ф + Y

f0

Ф o f + Y Ф 0 fo

Ф1 XX 0

U+

- K 2 (Z - H )) + (a •e(V ))T (а = e(V))

где К1 = |EN :0, К2 = |0ы :Е^К , Ем - единичная и 0дт - нулевая матрицы размерности N х N.

Условие тах (-3а) по вектору | а : в |(¥) приводит к уравнению относительно последнего

Ф1 Xr 0 f 0 А

(v )), +uT 88 (9) Y o Ф of ф ¡X + иT 88 Y o Ф 0 fo 0 U

2 (( - У)

E.

aß

Ф 0 f + Ф 0 foU

Ф ¡X

А

- 2

(|а iß|

(V))T = 0, (10)

откуда искомыи вектор имеет вид

f

li ß|(V ) =

Ф o f + Ф o foU Ф1X

t А

T

( E

aß

(X - У ).(11)

Применяя введенную в [2] операцию (а) обратного преобразования вектора в матрицу, окончательно получаем:

а

= Р|:

Ф o f + Ф o foU

ф 1XX

t А

(8 E Op (-Y)

(а)

. (12)

Представим матрицу |а :Р| , зависящую от вектора и линейно, как

|а! ß|:

ф 0 f

ф 1X

T А

( E

aß

( - У)

(а)

ф 0 foU 0

T А

T

E

aß

+U T ( Y

(x - Y)

(а)

:y((, у, t)+

((, у,t).

(13)

+ K (Z - H) =

= S0 (Xx, Y, Z, t)+ S1 (Xx, Y, t)u +

+U T ( S2 (Xх, Y, t)+ U T ( (s3 (Xх, Y, t)U),

R =

f dX

ЭФ

dY

R + R

dfr\ o dx

o

! ЭФ

Э7

dfo

dX 0

( U

R +

+R

dfo

dX 0

( U

Y

Ф 0

df \ ЭФ o

dX

Ф1

_d_Y ЭФ1

dY

( XX

R +

U T (

Y,

Ф

df \ дФ

_ i "^o

0 dX_L _э/_____

! эф , X X

Ф 1 i—Л ( XX

1 dY

R +

+R

0

Ф o f 0 dX ЭФ 0 X x0 (8 f

Ф1 ЭФ, X X xj (8 XX dY

+R

U T (

0

Y0 Ф o f 0 ЭХ dOX0 ( f

Ф1 doXJ ( xX Э7

0

А

0

T

+R

Т

ф о /Л ^ ® /о 0 алт ! di 0

® и

+R

( (

иT V®

То

V V

Ф о ^Ф^ ® /о

ЭХ_1 _э:г___

о

3. Уравнения расширенного вектора оценивания и критерий оптимизации. Ввиду того что дальнейшее решение задачи предполагает операции с вектором параметров апостериорной плотности вероятности (АПВ) р, преобразуем матричное уравнение для апостериорной ковариационной матрицы Я в векторное. Тогда

® U

( (

иT V

V v (

о

То Ф /! Ф о эх ! ЭФго V® /о Э7

о

V U

R +

о

Т Ф о ^ о эх !ЭФ.о ® /о 1 Э1^

о

V U

R +

_ / ! о_

Т 1Ф о /l j Ф 2

_ / ' о_

Т 1Ф о fl] Ф 2

= £0 + Б1и + и т ® £2 + и т ® (£зи), (14)

Я (V) = д 0¥ ) + (я ® Е )д*и + (Е ® А1 )В*и + +(Е ® я)д2т ] и + (Е ® я)д**и + (я ® Е)[д2т ] и +

/ \ Г Л -I **

+ (А1т ® Е)в**и + (Я® Е)^иг (® д3т ] и +

+(Е®Я)[ит®дзт] и+(Е®Е) ит®(тв) и.(15) Введем обозначения:

ит ® ^ = 5120и , [ит ® дзт ]* = 030 ® и,

[ит ® д3т ] = д31 ® и, ит ® (в1тв1)

= в о ® и,

S о

Q

(V)

= G

S1 + S 2

(R ® £ )( Q* +[Q T ] ** ]+(E ® R Щ T ] * + Q** j + (E V Ai )B* + (T ® £ )в*

/1 о

-r-J--

I

I

Т 1Ф о fl ! Ф 2

Т 2 Ф о /1 |о

T] V и

= G1

Уравнения оценивания с учетом (14), (15) будут иметь вид

иT V

о

Т 2 Ф о /1 |о

/1 ! о

Т1Ф о /1 ¡Ф:

X Y

YV>

= G + G1U + U

( S 3

] и

о

V )

u t ®

Т 2 Ф о /1 ¡о

Т 2 Ф о /1 ¡о

T] V® и

® U

U =

-KDWK T = Qо +(Q1 V® и)r + A1 (B1 V® и) + +R (Q2t V® U) + R (Q1 V® U)T + U T V® (btB1) ® U + (qT V® U)T R + (в1 V® U)T AT + ([uT V®Q3T ]® U)T R + R([uT V® Q3T ]®U).

(R ® E )Q 31 + (E ® R )Q зо + (E ® E )B о = G + G1U + U T V® (G2U)+(G3 V® U)U , (16)

где

G2 =

G3 =

(R ® E )Q31 +(E ® R )Q 3о +(E ® E )BQ

о

S

3

о

о

Получаемая в процессе движения текущая оценка навигационных параметров как объекта, так и ПС, позволяет сформулировать задачу поиска управления

U (х,7,t) как задачу синтеза управляющего вектора

U, обеспечивающего максимальную (или минимальную) вероятность существования вектора параметров X в области, ограниченной размерами сферы [Dmin, Dmax] = const действия средств ПС, и с центром, параметры движения которого описываются вектором Y . В силу предположения о гауссовском характере имеем

р (X, X, Rn ) =

det Rn

х exp{-2(X -X)T RN1 (X -X

J =

1

det Rn

J = I

ф(

Х, X, Rn

'-dx +

+ D max T

dt

^ max / л \

I р ((, KT, Rn T

Y -

- D min )y + d

Dmin ,

I р(

Х, KT, R,

t

\

Y + U 1K *U .

Опуская достаточно громоздкие промежуточные преобразования, выражение для 3 представим далее в виде

J = A(g + G1U + UT (G2U)+(g3 88U)U) +

В силу ограниченных энергетических возможностей при синтезе управления неизбежно введение ограничения на модуль вектора управления и, кото- где рое при формировании управления на текущем временном интервале может быть, например, задано в

t

виде условия минимума величины | и ТК[5, 7]

10

(где К* - положительно определенная матрица, определяющая «удельный вес» энергетической составляющей в оптимизируемом критерии).

Окончательно минимизируемый критерий 3 можно записать так:

+U T K *U,

(18)

Y +D „

а =

; Эр

dX"р(y + Dmax,X,Rn )-

р (( - D min, X, Rn)

dp

Y-D m

dR

(V )

dX

E 2 N 0

0 Ex

(19)

Y+D max Г 1 . ~ \ T / x \ ]

х I expГ— (( - XT) RN1 (( - XT )Tx +

Y - D ■ { 2

1 ^miri

Y + D m

+ I UTK*Udt = I p((,X,Rn )dX +

10 Y-Dmin

+ IU t K *Udt. (17)

С учетом (18), (19) искомый вектор оптимального управления и находим из уравнения

AG1 + 2 А(и Т 88 G 2 + G 3 88 и)+ 2и Т К * = 0,

откуда

UoPt = -2(A2 + K* г GTA t.

(20)

Уравнения, определяющие динамику расширенного вектора оценивания после подстановки выраже-Исходя из вышеизложенного, задачу синтеза ния для иор1 в (16), окончательно имеют вид:

управления сформулируем как задачу поиска вектора и, обеспечивающего минимум функционала 3 (17)

при условии, что вектор параметров X, У, R(¥) описывается уравнением (16).

4. Синтез оптимального управления. Для решения поставленной задачи используем известный факт: при неотрицательно определенной целевой функции для обеспечения ее минимального значения в каждый момент времени достаточно, чтобы производная ее по времени, взятая с обратным знаком, имела максимум [5, 7].

Отсюда для исследуемого функционала (17) имеем:

opt

X

Y

R (v )

= G -2Gj (A2 + K*) GjTAt +

AGj (A2 + K*) 1 88 (g2 (A2 + K*) T GjTA T) +

--4 ((

4 \

+ —jG3 88

(A2 + K *) T GT A t

x(a2 + K *) T GT A t.

(21)

х

Таким образом, оптимальное управление (20), с учетом уравнений оценивания (21), обеспечивает принципиальное решение поставленной задачи.

5. Результаты моделирования. Пусть движение объекта в географической системе координат (СК) описывается известной системой уравнений навигации [8]:

[(R + h )соБф] 1 0 0

0 (R + h )-1 0

0 0 1

= Л (ф,h)V , (22)

А Н

ф Н

-1

(Rcosф H)

0R

= Ф 0 (ф н )Vh, (23)

А H0 = А H (0 ), Ф н0 =Ф H ( 0 )

где АН, фН - долгота и широта наземного ПС,

Vh = IV,

н Vй y

- вектор скорости ПС. Формирова-

Vh = а (t)

+ ß (t)

Ф1 (ДА, Аф, t) Ф 2 (ДА, Аф,t)

(24)

А ф

h А н ф н

0

Ф1 1

Ф 0ß Ф 2

f0

Ф 0 а f0

v (А, ф, hi, Ан, ффн, t).

Вектор Т выходных сигналов может быть представлен в виде [9]

где А о =А,(/о), Ф о = ф( о), к о = к (о), А, Ф, к -

I 1т

долгота, широта и высота объекта, V = \¥х¥у¥Л -

вектор скорости.

Движение ПС задается аналогичной системой навигационных уравнений в той же (географической) СК:

ние Ун на практике осуществляется или с использованием текущих измерений непосредственно вектора скорости V объекта (например, с помощью собственных радио- или оптикометрических средств ПС), или по информации от внешних средств измерения (ИСЗ, стационарных наземных измерительных пунктов и пр.).

Закон сопровождения формируется, как правило, в виде

где а(/), в () - временные матричные функции

размерности, соответственно, 2x3 и 2 х 2; Ф {, / = 1, 2 - известные нелинейные функции, зависящие от конкретного вида ПС. С учетом (22) - (24) имеем следующий расширенный вектор состояния:

Z = H (А, ф, h, А

н, ф н

t) + W .

При формировании минимизируемого критерия 3 полагаем, что зона действия средств слежения (захвата) ПС определяется как

[А н - о,о5; А н + о,о5] (рад), Фн -о,о35; фн + о,о35 (рад), к = 18 • 1о3 м, тогда (полагая К» = 1):

J =

1

det R 3

А н +0,05 ф н +0,035 18-103 Г i

х I I I exPГ-2

А н -0,05 ф н -0,035 0 I 2

А А Л

ф - ф

V h hi

R-1 х

dА dф dh +I UTUdt.

Для оценки эффективности синтезированного закона управления (21) было проведено численное моделирование движений объекта и ПС на временном интервале [о, (к ] = [о ; 1ооо] с при следующих начальных значениях векторов состояния и параметрах законов движения:

АНо = о,8 рад ; ФНо = о,75 рад;

а

(t ) =

2t

4 ^ 'Г

а = 6,73

ß ( ) =

1 0 0 2,2

Ф1 = А-А н, А 0 = 0,7рад ф 0 = 0,68 рад,

Ф2 =ф-фН, h0 = 10-103м, h < 15-103м,

н =

4-10-

0,8

0,5 0

1,2

0 0,7

0, 7

А ф

h А н ф н

Dw =

7-10-

0,5

-10-

-10

-4

x

н

0

a

0

Начальные значения вектора оценок выбирались равными их истинным значениям. В результате моделирования было установлено, что при отсутствии управления наблюдается монотонное сближение значений навигационных параметров объекта и ПС: по окончании процесса движения отклонения параметров составили - по долготе ДА = |А - Ан| -11% от первоначального отклонения, по широте Дф = |ф-фн|-17%.. При наличии управления сближения навигационных параметров не наблюдалось на всем интервале моделирования, по окончании движения отклонения параметров превысили первоначальные, соответственно: ДА - в 1,75 раз, Дф - в 2,51 раза. Вычисленное с использованием метода Симпсона 4-го порядка в момент 4 значение вероятности существо -вания вектора состояния объекта в области действия средств слежения ПС при отсутствии управления превысило при этом значение аналогичной вероятности при наличии управления ~ в 2,84 раза. Приведенные результаты позволяют сделать вывод о возможности эффективного практического использования разработанного подхода как в существующих, так и в

Ростовский военный институт ракетных войск

перспективных системах управления, ориентированных на преодоление подвижных пространственных областей.

Литература

1. Алехин Д.В., Якименко О.А. Синтез алгоритма оптимизации траектории полета по маршруту прямым вариационным методом // Изв. РАН. ТиСУ. 1999. № 4.

2. Соколов С.В., Щербань И.В. Локально - оптимальное управление спуском космического аппарата // Космич. исслед. Т. 38. 2000. № 4.

3. Красовский Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры. М., 1974.

4. Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем. М., 1991.

5. Бурлай И.В. Определение пространственного движения нелинейных систем на основе концепции обратных задач динамики // Изв. РАН. ТиСУ. 2003. № 2.

6. Чернов А.А., Ястребов В.Д. Метод оценки возмущений в алгоритмах решения навигационных задач // Космич. исслед. Т. 22. 1984. № 3.

7. Казаков И.Е. Статистическая теория систем управления в пространстве состояний. М., 1975.

8. Андреев В.Д. Теория инерциальной навигации М., 1966.

9. Боднер В.А. Приборы первичной информации. М., 1981.

17 февраля 2006 г.

УДК 004.4

ЛИНГВИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО КАЧЕСТВА ИНФОРМАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ

© 2006 г. А.И. Долженко

Инвестиции, направляемые на информационные технологии предприятий, предназначены для успешного развития бизнеса, получения им конкурентных преимуществ. Насколько хорошо информационная система (ИС) соответствует требованиям бизнеса, определяется её потребительским качеством.

Потребительское качество ИС обусловлено различными показателями, которые могут быть как количественные, так и качественные. Результаты оценок количественных характеристик ИС, как правило, имеют неопределенность, связанную со случайным характером процессов, происходящими в системе, и с ограниченностью статистических последовательностей экспериментальных данных, достоверность и однородность которых вызывает сомнения в большинстве случаев. Общепринятой практикой оценки влияния количественных характеристик ИС является задание их пороговых значений, по которым делается вывод о приемлемости соответствующего параметра требованиям системы. Такая методика оценки влияния фактора на качество ИС имеет определенный недостаток, так как, с одной стороны, имеется неоп-

ределенность в задании конкретного значения фактора и, с другой - превышения (снижения) относительно порогового значения могут влиять на эффективность бизнес-процессов, обслуживаемых информационной системой, не скачкообразно, а плавно. Качественные характеристики ИС определяются экспертами, степень уверенности которых в задании конкретных оценок может быть различной.

Для лица, принимающего решение на стратегическом уровне управления по направлениям использования и развития информационных технологий в бизнесе, потребительское качество ИС целесообразно оценивать обобщенным (интегрированным) критерием. При принятии стратегических решений лингвистический подход к оценке потребительского качества ИС, когда оценка проводится терминами «низкое качество», «допустимое качество» и «высокое качество», является общеизвестным и основная проблема состоит в построении модели. При таком подходе характеристики, определяющие потребительское качество ИС, целесообразно рассматривать с точки зрения теории нечетких множеств как лингвистические