CC BY
70
УДК 517.977.5:66.011
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ ПРОЦЕССА С ПЕРЕМЕННЫМ РЕАКЦИОННЫМ ОБЪЕМОМ В КАСКАДЕ РЕАКТОРОВ
© А. И. Байтимерова*, С. А. Мустафина, С. И. Спивак
Институт нефтехимии и катализа РАН Россия, Республика Башкортостан, 450075 г. Уфа, пр. Октября, 141.
Тел./факс: +7 (347) 235 62 55.
E-mail: alb_bai@rambler.ru
В работе предложен подход к решению задачи поиска оптимального управления химикотехнологическим процессом в каскаде реакторов, основанный на принципах динамического программирования и максимума Понтрягина. Разработан алгоритм решения двухэтапной задачи оптимизации на основе методов Ньютона и итераций в пространстве управлений. Проведен вычислительный эксперимент для процесса димеризации а-метилстирола в присутствии цеолита NaHY.
Ключевые слова: технологическая оптимизация, динамическое программирование, принцип максимума, численные алгоритмы.
В ходе исследования и повышения эффективности действующего реактора возникают следующие задачи: оптимальное осуществление химического превращения в реакторе, повышение качества продукта, использование нового сырья, обеспечение устойчивого производственного решения и повышение надежности работы аппарата.
При решении подобного рода задач следует различать два этапа оптимизации: теоретический и технологический. Первый этап направлен в основном на выяснение экстремальных свойств химического производства. Существенная особенность этого этапа - это абстрагирование от возможной аппаратной реализации полученного ответа. Смысл и цель второго заключается в подборе оптимальных, конструктивных и режимных параметров реактора: изометрических размеров, форм, узлов, скорости подачи, температуры, давления, концентрации и т. д.
Задачи промышленного катализа и химической технологии связаны с необходимостью решения систем нелинейных дифференциальных уравнений, которые зачастую обладают жесткостью и, в связи с этим, чувствительны к шагу интегрирования [1]. Такие системы накладывают определенные условия на выбор метода интегрирования. Поэтому набор методов должен быть достаточно обширный, содержащий как явные, так и неявные методы [2]. В то же время для решения задачи оптимального управления возникает необходимость разработки алгоритмов, позволяющих проводить не только расчет реальных аппаратов, но и находить оптимальные параметры.
Схему разработанного алгоритма приведем на примере решения задачи технологической оптимизации процесса димеризации а-метилстирола в присутствии цеолита №НУ. Продукты реакции -димеры а-метилстирола - представляют большой интерес для промышленности. Линейные димеры -4-метил-2,4-дифенилпентен-1 (а-димер) и 4-метил-2,4-дифенилпентен-2 (Р-димер) - используются в
качестве регуляторов роста полимерных цепей при получении пластификаторов полистирола и в качестве основы для синтетических смазочных масел [3], циклический димер (1,1,3-триметил-3-фенилиндан) используется как компонент реактивного топлива и как пластификатор оргстекла.
Схема химических превращений и уравнений скоростей стадий реакции димеризации а-метилстирола имеют вид [4]:
2А1 А 2,
2А1 А3,
2А1 —— А 4,
А2 ^ А3,
А 2 — А 4,
А 3 — А 4,
А 1 + А 2 — А 5, А 1 + А 3 — А 5, А 1 + А 4 — А 5,
W1 = к1 Х12 - к10 Х2,
W2 = к2 Х12 - к11 Х3,
W3 = к3 X2,
W4 = к4 Х2 - к12 Х3,
W5 = кз Хъ W6 = к6 Х3,
w7 = к7 х х2, w8 = к8 х X, w9=к9 х х4,
где Wj - скорость у-ой стадии, у = 1,9, кмоль-м-3-ч-1; А1 - реагенты (А1- а-метилстирол, А2 - а-димер, А3 -Р-димер, А4 - циклический димер, А5- тримеры); X -концентрации реагентов, 1 = 1,5, кмоль-м-3; константы скоростей к, 1 = 1,12 зависят от температуры Т согласно уравнению Аррениуса:
_ Е_
К = к0е КТ ,
- энергия активации реакции, кДж-моль-1; Т -температура, К; К - универсальная газовая постоянная, Дж-моль-1-К-1.
Математическая модель процесса димериза-ции а-метилстирола в реакторе идеального смешения (РИС) представляется системой:
dxi
dt
dN
dt
F - xFi
N
N
где
F, = Уп
j=1
w
ij j
,i = 1,5,
= F
N
5 9
fn = УУп w
dT 9 Cv — = У Q,w, + p dt J
i=1j=1 a S
ij j
j=1
C
(Tx - T),
0
9
* автор, ответственный за переписку
граничными условиями
при
і = 0:
Хг = Х°^ = №,Т = Т0,ТХ = Т0, где X,. - концентрация ,-го компонента в мольных долях; - сте-
хиометрические коэффициенты; Wj - приведенные скорости реакций, ч-1; N - относительное изменение числа молей реакционной среды; Ср - мольная теплоемкость реакционной среды, кДж*кмоль_1*К“1; Qj - тепловые эффекты реакций, кДж-кмоль"1; 5Х -удельная поверхность теплосъема, м-1; ах - коэффициент теплопередачи, кДж*м“2*К_1; Т, Тх - температура смеси и хладоагента соответственно, К; I -относительное время.
Математическая модель процесса димеризации а-метилстирола в реакторе идеального вытеснения (РИВ) представляется системой уравнений вида:
= Р, _ х,Рн , = ^
Б М N ’ ’ ’
1 dN
і=1 j=1
б аі
с„
с
граничными
условиями
при
(2)
і = 0:
хі = х0N = N0,T = Т°,ТХ = ТХ°, где $- объемная скорость подачи реакционной смеси, м3*ч-1; Б -площадь поперечного сечения реактора, м2; і - относительная длина реактора.
Тепловые эффекты (кДж*моль-1) химических реакций равны: Ql = 22.6, Q2 = 20.0, Qз = 39.0, Q4 = -2.63, 05 = 16.4, Q6 = 19.0, Q7 = 17.3, Q8 = 19.9, Q9 = 0.92.
В табл. 1 представлены численные значения теплофизических параметров для процесса димери-зации а-метилстирола, полученные на основе программного комплекса, разработанного в Институте нефтехимии и катализа РАН (г. Уфа).
На этапе теоретической оптимизации было получено [5], что на входе в реактор следует подать подогретый пар и затем подавать хладоагент температуры окружающей среды (~30 °С) (в качестве хладоагента используется вода). Для реализации полученного температурного режима (рис.1) эффективнее использовать комбинации реакторов, поскольку при такой организации не потребуется больших затрат на изменение температуры хладоагента.
Рассуждения при построении математических моделей (1)-(2) являются достаточно общими для большинства каталитических процессов с переменным реакционным объемом, поскольку основаны на фундаментальных принципах химической кинетики. Тогда математическая модель каталитического процесса в каскаде из К реакторов представляется системой уравнений:
~ах
аТ
ах
= /ї(х,Т,ТХ, °<Х = у'і2(х,Т,Тх), !=!я,
(3)
х\(0) = х°°, Т(0) = Т,
х' (0) = х{ (X), Т]!1 (0) = Т (X ),
где уу' - функциональные зависимости определяющиеся из систем (1) и (2); хі - мольная доля і реагента в ' реакторе, і = 1^,! = 1,Я ; хN+1 - относительное изменение числа молей реакционной среды в '-ом реакторе; X - время пребывания в '-ом реакторе для реактора идеального смешения или длина '-го реактора для реактора идеального вытеснения;
Т] - температура реакционной смеси в '-ом реакторе; Тх = Тх(Х) - температура хладоагента. Ограничения на температуру реакционной смеси и температуру хладоагента могут иметь вид:
Т < Т(Х) < Т* Ті < Тх(Х) < Т*
(4)
(5)
где ТХ*,Т*,Т*,Т* - нижняя и верхняя допустимые
границы температур хладоагента и смеси соответственно, которые могут быть заданы из технологических соображений. Экспериментально получено [5], что температура в реакторе должна находиться в ограничениях от 30 °С до 130 °С.
В качестве критерия выбора оптимального решения рассматривается функция
Q(x,T,Tx) = Тіхі
(6)
Рис. 1. Оптимальный температурный режим.
которую можно трактовать как максимизацию выхода целевых продуктов или минимизацию содержания примесей в зависимости от различных коэффициентов 1,. Для расчета оптимального режима
работы реактора в качестве критерия оптимизации выбран максимальный выход линейных димеров.
Тогда задача оптимального управления формулируется следующим образом. Для системы уравнений (3) с фазовыми ограничениями (4) найти
оптимальное управление ТХ , с учетом ограничений
(5), доставляющее максимум целевой функции (6).
с
і=1
Таблица 1
Значения термодинамических параметров компонентов реакционной смеси процесса димеризации а-метилстирола
Наименование параметров а-метилстирол а-димер Р-димер Циклический димер Тример
Брутто-формула С9Н10 С18Н20 С18Н20 С18Н20 С27Н30
Молекулярная масса, М (г-моль-1) 118.1 236.2 236.2 236.2 354.3
Стандартная теплота образования при 298 К, ДН° (кДж-моль-1) 27.0 31.4 34.0 15.0 41.1
Константы в ряду теплоемкости,
Ср (Дж-моль-1-К-1):
А -5.811 -21.98 -22.82 -26.72 -35.49
В 165.6 369.4 364.5 392.5 567.6
С -108.2 -243.6 -236.0 -264.3 -378.5
Б 28.2 60.03 57.27 66.1 93.97
Существуют различные подходы к решению оптимальных задач, одним из них является динамическое программирование [6]. Сущность метода динамического программирования состоит в том, что если в последнем реакторе каскада режим работы является оптимальным по отношению к поступающему в него потоку реагентов, то он будет оптимальным в целом для всего процесса. Таким образом, задача сводится к нахождению оптимального температурного режима в каждом отдельном реакторе с различными начальными данными и режимными параметрами, а решение задачи оптимизации в одном реакторе проводится на основе принципа максимума Л. С. Понтрягина.
Введем новые обозначения:
у1 = (х]1,...,х',х'+1,Т]), и1 = Тх , тогда система (3) примет вид:
X = Р(у,и), 1 = 1Я, ах (7)
у1(0) = у0, У+1(0) = У(Х).
Для каждого реактора (при фиксированном ') последовательно составляем функцию Понтрягина и сопряженную систему:
н(у(Х),у(Х),и(Х)) = Ту(Х)У(у,и)
і=1
ауі = ЭИ (у у,и)
і = 1N + 2,
(8)
(9)
Эу,.
у(х) = ух.
Согласно принципу максимума Л. С. Понтря-гина [7], если оптимальное управление и существует, то в каждый момент времени X ^,х\ функция И(у,у,и) достигает максимума в точке
и = и . Для решения этой задачи разработаны алгоритмы, основанные на методе Ньютона и итераций в пространстве управлений, а для решения прямой кинетической задачи реализованы явные (Рунге-Кутты, Эйлера-Коши) и неявные методы (Эйлера, Милна, Рунге-Кутты).
В общем виде алгоритм поиска оптимального управления в каскаде реакторов можно представить следующей схемой:
1. Положить 1=1.
Сформулировать оптимальную задачу (3)-(6) для у-го реактора.
Построить гамильтониан (8).
Составить систему канонических уравнений и выписать граничные условия (9).
Решить полученную систему (7)-(9) одним из приближенных методов оптимального управ.* ■*
ления (найти и] и соответствующее ему у1 ).
Если 1 < К, тогда увеличить 1 и перейти к пункту 2, при этом данные полученные на выходе 1го реактора являются начальными условиями для следующего цикла.
Полученные последовательности
(и1
), (у1 ,...,уя)
являются соответст-
венно оптимальным управлением и оптимальной траекторией для всего каскада К реакторов.
Для расчета оптимального температурного профиля в каскаде реакторов разработана программа, позволяющая:
• по механизму реакции генерировать кинетическую модель;
• задавать каскадную схему реакторов и режимные параметры;
• компилировать библиотеку ^//-формата, содержащую математическую модель процесса в выбранном каскаде;
я
и
• производить расчет процесса различными явными и неявными методами решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений;
• находить оптимальный температурный режим методом итераций в пространстве управлений или методом Ньютона.
120
100
С )
о 80
Еч
60
40
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
£
Рис. 2. Оптимальный температурный режим в каскаде реакторов РИС+РИС.
1601 Л
. ' \
' \
о 12°- / \
О . '
Л ______ N
^ 80: \
40-/ _____________
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
4
Рис. 3. Оптимальный температурный режим в каскаде реакторов РИС+РИВ.
140
120 О 100
60
40
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
Рис. 4. Оптимальный температурный режим в каскаде реакторов РИВ+РИВ.
Программа написана на языке Pascal в среде программирования Borland Delphi 7.0 и обладает удобным интерфейсом.
Апробация разработанных алгоритмов проводилась на задачах с известными аналитическими решениями. Результаты расчета на тестовых примерах показали удовлетворительное согласование.
Рассмотрим результаты работы программы для рассмотренного процесса димеризации а-метилстирола. Расчеты проводились для различных каскадных схем, составленных из реакторов смешения и вытеснения, поскольку теплосъем в этих реакторах осуществляется различными способами. Результаты вычислительного эксперимента показали, что целесообразно использовать каскад из реакторов смешения, вытеснения и комбинацию РИС+РИВ. Именно эти каскады позволяют регулировать температуру реакционной среды в пределах технологических ограничений и обеспечивают высокий выход целевых продуктов, по сравнению с результатами в одиночных реакторах (рис. 2-4).
На основе принципа динамического программирования и обобщенного принципа максимума Понтрягина рассмотрен подход к решению задачи оптимизации каталитического процесса с переменным реакционным объемом. Разработаны численные алгоритмы решения нелинейных краевых задач, возникающих при использовании принципа максимума. Построен алгоритм для решения оптимальной задачи на этапе технологической оптимизации. Найдены оптимальные управления в каскадах реакторов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Федоренко Р. П. Введение в вычислительную физику. М.: Изд-во Моск. физ.-техн. ин-та, 1994. -528 с.
2. Жесткие системы обыкновенных дифференциальных уравнений: а.с. / Байтимерова А. И., Мустафина С. А. М.: ВНТИЦ. №0303024050320. 2006. -11 с.
3. Isakov Ja., Litvin E., Minachev Ch. // Stud. Surf. Sci. Catal. 1994. V. 84. P. 2005.
4. Григорьева Н. Г., Хазипова А. Н., Балаев А. В., Кутепов Б. И., Губайдуллин И. М. // Кинетика и катализ. 2003. Т. 3. №11. С. 89-92.
5. Валиева Ю. А., Мустафина С. А., Спивак С. И. // Вестник Башкирского университета. 2004. №4. С. 3-6.
6. Арис Р. Оптимальное проектирование химических реакторов. М.: ИЛ, 1963. -240 с.
7. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1976. -392 с.
Поступила в редакцию 06.09.2008 г.
