Алгоритм решения задачи определения изоморфизма гиперграфов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004.94

АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИЗОМОРФИЗМА ГИПЕРГРАФОВ

В.К. Погребной

Томский политехнический университет E-mail: vkp@tpu.ru

Предложен метод дифференцации вершин и рёбер гиперграфа, реализующий идею интеграции структурных различий в гиперграфе и получения интегральных характеристик для вершин и рёбер. Разработан и обоснован эффективный алгоритм решения задачи определения изоморфизма гиперграфов, в основу которого положен метод параллельного дифференцирования вершин и рёбер в нескольких гиперграфах. Работа алгоритма показана на примере определения изоморфизма двух гиперграфов.

Ключевые слова:

Гиперграфовая модель, изоморфизм гиперграфов, метод дифференцации вершин и рёбер, метод параллельной дифференцации, интеграция структурных характеристик, интегральные характеристики вершин и рёбер. Key words:

Hypergraph model, isomorphism of hypergraphs, differentiation method of vertices and edges, method of parallel differentiation, Integration of structural characteristics, integral characteristics of vertices and edges.

Для анализа структурных свойств сложных распределённых систем широко используются графовые модели. Стремление повысить адекватность модели приводит к необходимости использовать не только бинарные отношения между компонентами системы (вершинами графа), но и отношения, объединяющие более двух вершин. В этом случае в качестве модели используется гиперграф [1]. Ребро гиперграфа, связывающее совокупность вершин, соответствует определённому отношению между данной совокупностью вершин. Это, например, может быть совокупность компонентов (вершин) системы, участвующих в выполнении определённой функции, или совокупность данных, описывающих определённый объект, свойства, события, или совокупность элементов радиоэлектронной аппаратуры, объединённых в одну электрическую цепь [2].

При решении задач декомпозиции множества компонентов системы на подмножества решается задача разрезания графа на подграфы. В процессе декомпозиции часто возникает потребность в установлении структурной и функциональной эквивалентности подграфов, т. е. решении задачи определения изоморфизма графов. Известно, что данная задача относится к неполиномиальному классу сложности. Поэтому, как правило, алгоритмы её решения разрабатывались для частных условий и видов графов. В работе [3] предложен алгоритм решения задачи определения изоморфизма для графов общего вида.

Основная идея, выдвинутая в [3] и положенная в основу разработки алгоритма, заключается в определении для каждой вершины графа интегральной характеристики, обобщающей её отношения с интегральными характеристиками всех других вершин графа. Интегральные характеристики вершин получаются с помощью рекурсивного правила интеграции различий вершин. Процедура, реализующая данное правило, последовательно выполняет итерации согласно глубине рекурсии. Число итераций при этом не превышает диаметр гра-

фа. На к-ой итерации для каждой вершины обобщаются сведения о характеристиках смежных с ней вершин. Характеристики этих смежных вершин в свою очередь были получены на (к-1)-й итерации как результат обобщения характеристик своих смежных вершин. В результате выполнения рекурсивного правила каждая вершина получает свою уникальную интегральную характеристику. Можно сказать, что полученная таким образом характеристика вершины интегрально отражает уникальность её положения относительно структуры уникальных положений всех других вершин в графе.

Два графа являются изоморфными, если между интегральными характеристиками вершин данных графов имеет место взаимно однозначное соответствие. В [3] найден простой и эффективный механизм, позволяющий воплотить данную идею в форме алгоритма обобщения характеристик вершин. Цель настоящей статьи заключается в разработке алгоритма решения задачи определения изоморфизма гиперграфов, использующего идею получения интегральных характеристик.

Характеристики вершин и рёбер гиперграфов

и задача определения изоморфизма

В модели, представленной гиперграфом #=(2,Л,/), множество вершин 0={д}, г=1,2,...,и соответствует множеству компонентов системы, множество рёбер Я={г), /=1,2,...т соответствует множеству отношений, задаваемых на множестве компонентов, а функция ^ выполняет роль инци-дентора, который каждому ребру г ставит в соответствие подмножество вершин связанных между собой/-м отношением.

Гиперграф можно представить матрицей инци-денций Л=||а/||„хи, где а=1, если вершина инцидентна ребру / и а=0, в противном случае. Гиперграфы Н1=(01,Я1,¥1) и Н2=(0ьЯьВ2) при условии, что |й|=02| и |Д|=|Л2|, являются изоморфными, если между множествами и 02 и между множествами Я1 и Я2 можно установить взаимно однозначные соответствия, при которых инциденторы

= 1 2 3 4 5 6 а,а2 а0

1=1 1 1 1 3 3 1

А= 2 1 1 1 3 3 1

3 1 1 1 3 4 2

4 1 1 1 3 3 1

5 1 1 1 3 3 1

А 2 2 2 3 3 3

Р, 3 4 3 4 4 4

Р° 1 2 1 3 3 £ 3

а

Рис. 1. Пример визуального и матричного представления гиперграфа

и совпадают и, следовательно, матрицы А1 и А2, построенные с учётом этих соответствий, должны быть равны, т. е. А1=А2.

Из этого определения следует, что изоморфизм двух гиперграфов можно установить путём последовательного перебора перестановок строк и столбцов в матрице инциденций одного из гиперграфов и после каждой перестановки сравнивать полученную матрицу с матрицей другого гиперграфа. В общем случае число перебираемых вариантов матриц может достигнуть п!хт! Очевидно, что, если гиперграфы неизоморфны, то для того, чтобы убедиться в этом, потребуется перебрать все п!хт! вариантов.

Пример гиперграфа, содержащего 5 вершин и 6 рёбер, на рис. 1, а, представлен визуально и на рис. 1, б, матрицей инциденций. В частности, для определения изоморфизма двух гиперграфов такой размерности число перебираемых матриц составит 5!х6!=86400.

Существенное сокращение переборов достигается на основе использования ряда структурных характеристик вершин и рёбер гиперграфа. Если для отдельных вершин и ребёр удаётся получить уникальные значения характеристик, то соответствующие вершины и рёбра могут быть исключены из перестановок. Для рассматриваемого примера гиперграфа (рис. 1) приведены значения двух характеристик а1 и а2 для вершин и двух характеристик Д и Д для рёбер.

Характеристика а1; равна числу рёбер инцидентных вершине д,, а характеристика а2! обозначает степень связности вершины д с другими вершинами гиперграфа (рис. 1, а). Так, вершина д3 связана со всеми вершинами, т. е. а23=4, а для других вершин д характеристика а2=3.

Характеристика Д определяет число вершин инцидентных ребру г, а характеристика Д равна числу рёбер в гиперграфе смежных с ребром г,. Например, из рис. 1, а следует, что ребро г2 несмежно только с ребром г5, т. е. Д5=4, а ребро г1 смежно с рёбрами г2, г5, г6 и Д21=3.

Значения характеристик |аг|=(а1,а2) и {Д}=(Д,Д) для гиперграфа (рис. 1, а) представлены на рис. 1, б, справа и снизу от матрицы А. Уникальные значения характеристик в данном приме-

ре получили вершина д3 с (а13,а23)=(3,4) и ребро г2 с (Д2,Д2)=(2,4). Учитывая отличие характеристик у рёбер г2, г3 и г4, г5, г6, число перебираемых вариантов сокращается до 4!х2!х3!=288.

Можно предположить, что при расширении числа характеристик в совокупностях а=(аг| и Д={Д} будет возрастать различие (дифференциация) вершин и рёбер по значениям данных характеристик. Однако, привлекаемые с этой целью характеристики аг и Д не всегда приводят к дифференциации вершин и рёбер. Так, для примера на рис. 1, б, все вершины относительно характеристики а1 оказались неразличимы. Кроме того, стремление повысить дифференциацию за счёт расширения характеристик в совокупностях {аг} и {Д} может привести к такому росту затрат на их вычисление, которые окажутся сопоставимыми с затратами на решение исходной задачи. Поэтому важно найти механизм дифференциации вершин и рёбер на основе простых и легко вычисляемых характеристик.

Метод дифференциации вершин и рёбер гиперграфа

Рассматривается ситуация, когда для вершин и рёбер гиперграфа #=(2,Л,/) определены значения совокупностей простых характеристик а={ае} и Д={Д}. Введем функции 5(а) и 8(Д), значения которых являются числами натурального ряда в интервале 1,2,..., п для 8(а) и в интервале 1,2,..., т для 8(Д). Функция 8(а) каждой совокупности значений характеристик а;=(а1;,а2;,...) вершины д ставит в соответствие кодовое число а,°изряда чисел 1,2,., п так, чтобы разные совокупности значений получили разные кодовые числа, т. е. соблюдалось условие:

^Чг>Чк е 1 * к[(ача,...) *

* («1 к ,а2к .•••)] ^ (а0 *ак0)-Заметим, что элементы в совокупностях (а1;,а2;,...) упорядочены и сравнение совокупностей при выполнении функции 8(а) должно выполняться с учётом этого порядка.

Аналогично выполняется функция 8(Д), присваивая совокупности значений характеристик Д=(Д,-Д2/,"-) кодовое число Д0 из ряда чисел ,т.

1,2,

В итоге получаются векторы «,={а¡0} и

Р°={Р°}, элементы которых отражают различия среди вершин и рёбер относительно введенных характеристик. Для примера гиперграфа (рис. 1) векторы а°иР° показаны справа и снизу от матрицы.

Для продолжения процесса дифференциации вершин и рёбер введём операцию попарного произведения элементов двух векторов и обозначим её символом т. е. X®Y=Z. Здесь вектор Х={х;}, вектор У=М, а элементы вектора Z={z;} получаются в результате произведения, 1=ху . Применяя операцию ® для вектора а" и вектор-столбца А матрицы А, получим вектор Р/=оИ®АР. Элементы вектора ^'будем рассматривать как значения совокупности из п характеристик По отношению к дан-

ным совокупностям можно применить функцию 5(Р) и получить вектор /'={//}, элементы которого являются кодовыми числами р'изряда чисел 1,2,., т. Вектор а?={а/} получим аналогично как результат применения операции ® для вектора /"ивектор-строк А; матрицы А, а/=Р°®А;, и выполнения функции 5(а) относительно векторов аМа/аД.-.а1). При выполнении функций 5(а) и 5ф) элементы векторов /и а'принимаются неупорядоченными. Поэтому, два вектора а'и а1, являются равными, а1=ак1, если между их элементами а'и а^'мож-но установить взаимно-однозначное соответствие так, что для всех пар (а]1,а]к1) справедливо щ1=а%.

В качестве исходного вектора, с которого начинается процесс дифференциации, можно использовать как вектор а, так и Для определённости будем считать, что первая итерация выполняется на основе характеристик вершин, т. е. вектор Р1 определяется на основе вектора а0. На этой итерации при выполнении функции 5(Р) могут учитываться кодовые числа вектора Таким образом, процесс дифференциации на основе исходного вектора а/=а"сводится к последовательному выполнению итераций /=0,1,2,., реализующих рекуррентное правило, представленное следующими выражениями:

8(.Р)

а ® А} = р+1 +1, ] = 1,2,..., т;

г (а)

Р+1 ®А = а{+1 +1, I = 1,2,...,п.

Процесс дифференциации вершин и рёбер продолжается до тех пор, пока на некоторой/-й итерации вектор а=а-1и, соответственно, Р/=Р/-1. Такие векторы будем именовать устойчивыми и обозначать а' и Получение устойчивого вектора соответствует двум ситуациям. В первой из них происходит полная дифференциация вершин, т. е. все вершины получают разные кодовые числа а/, именуемые интегральными характеристиками. Вторая ситуация соответствует неполной дифференциации, когда некоторые вершины имеют одинаковые интегральные характеристики. Совокупности вершин с одинаковыми интегральными характеристиками названы однородными группами. В общем случае векторы а* и / ' могут содержать по нескольку однородных групп.

Изучение свойств однородных групп и условий применения метода дифференциации вершин в этих группах требует отдельного исследования. В данной работе основное внимание сосредоточено, непосредственно, на методе дифференциации и его применении для решения задачи определения изоморфизма гиперграфов. Для более глубокого понимания метода попытаемся на содержательном уровне дать интерпретацию процесса дифференциации вершин и рёбер гиперграфа. С этой целью рассмотрим процесс дифференциации на примере гиперграфа, представленного матрицей инциденций А на рис. 2. Пример подобран так, что вершины по характеристике а1 и рёбра по характеристике р неразличимы, т. е. число единиц в строках равно четырём, а в столбцах -равно трём. Соответственно все элементы векторов а°и/"равны 1.

Предположим, что нам удалось подобрать такую другую характеристику а,, по которой вершина д1 получила уникальную характеристику (на рис. 2 помечена *), а характеристики всех других вершин остались неразличимы. В этом случае вершине д1 присваивается кодовое число ап°=2, а у остальных вершин сохраняются кодовые числа а;°=1. Полученный вектор а0используется при дифференциации в качестве исходного.

Как следует из рис. 2 для полной дифференциации вершин и рёбер потребовалось три итерации, /*=3. Записи а(Р0 и Р\а/-1) указывают, что вектор а получен на основе вектора р/и, соответственно, Р на основе а-1. В скобках на рис. 2 приведены только ненулевые элементы векторов а{ и /р. Элементы перечислены без разделителей, т. к. в данном примере все они являются одноразрядными числами.

Процесс дифференциации в основном сводится к выполнению операций ® и функций 5(а) и г(Р). Например, ненулевым элементам вектора, полученным в результате выполнения операции Р'®А;=А5)=(1212), функция ¿(а1) поставила в соответствие кодовое число а5'=3, т. к. вектору а1 сэлементами (2211), т. е. а51=а31, ранее уже было присвоено кодовое число а31=3.

Полная дифференциация, полученная в данном примере означает, что каждая вершина и ребро гиперграфа занимает уникальное положение, которое фиксируется соответствующей интегральной характеристикой (кодовым числом). Заметим, что в нашем примере характеристика ае для вершины д1 вносилась как некоторая абстрактная величина, не отражающая каких-либо структурных свойств гиперграфа. Поэтому интеграция различий на всех итерациях дифференциации могла фиксировать лишь структурные отличия отношений между вершинами и рёбрами. Если все вершины и рёбра рассматривать в качестве центров, относительно которых осуществляется интеграция различий, то каждая итерация дифференциации увеличивает на единицу радиус (глубину) охвата вершин и рёбер гиперграфа, вовлеченных в интеграцию разли-

Рис. 2. Пример дифференциации вершин и рёбер гиперграфа

чий. Поэтому число итераций, как правило, не превышает диаметр гиперграфа. В частности, наличие однородных групп на итерации /* свидетельствует о том, что все вершины и рёбра вовлечены в интеграцию различий, но этого оказалось недостаточно для полной дифференциации.

Алгоритм определения изоморфизма гиперграфов

Для определения изоморфизма гиперграфом используется изложенный выше метод дифференциации, выполняемый одновременно (параллельно) в исследуемой группе гиперграфов. Метод параллельной дифференциации отличается тем, что при назначении кодовых чисел векторы а/ (или Д) во всех гиперграфах рассматриваются совместно. Так, если на некоторой/-й итерации параллельной дифференциации в двух графах Н1=(01^1^1) и Н2=(02^2^2) получены векторы а/(Н1)=а/(Н2), то им должны быть назначены равные кодовые числа, т. е. а(Н)=а(щ.

При выполнении параллельной дифференциации один из гиперграфов (любой) принимается в качестве ведущего, а все остальные ведомыми. Дифференциация в ведущем гиперграфе ничем не отличается от изложенного выше метода и представлена на рис. 2. Назначение кодовых чисел в ведомых гиперграфах осуществляется с учетом назначенных ранее кодовых чисел в ведущем гиперграфе. Если при выполнении очередной /-й итерации вектор а1 (или вектор Д) ведомого гиперграфа не совпадает с вектором а! (или ДО ведущего гиперграфа, то данный ведомый гиперграф неизоморфен ведущему. Процесс параллельной дифференциации заканчивается на итерации /*. При этом векторы а (и векторы Д) в изоморфных гиперграфах должны совпадать.

Теорема. Два гиперграфа Н1 и Н2 являются изоморфными, если выполнение в них параллельной дифференциации приводит к полной дифференциации вершин и рёбер.

Доказательство. Если полная дифференциация вершин и рёбер гиперграфов Н1 и Н2 не достигается, то возможны две ситуации завершения параллельной дифференциации. В первой из них на итерации /* векторы а*(Щ=а*(Н2) и Д*(Н1)=Д*(Н2) содержат однородные группы и в этом случае делать выводы об изоморфизме гиперграфов или его отсутствии преждевременно. Вторая ситуация возможна на итерации /, когда Ы(Н1)Фа/(Н2) или Д^ЩфД^Щ. Неравенство данных векторов возможно лишь при несовпадении инциденторов F1 и F2 и, следовательно, гиперграфы Н1 и Н2 неизоморфны. Из этого следует необходимость полной дифференциации.

Покажем достаточность условия полной дифференциации для изоморфизма гиперграфов. Предположим, что полная дифференциация достигнута, а гиперграфы Н1 и Н2 не являются изоморфными. Заметим также, что перестановки строк и столбцов в матрице А гиперграфа можно осуществлять независимо друг от друга, не нарушая инцидентор F. Поэтому, если перенумеровать вершины и рёбра в гиперграфе Н2 в соответствии с кодовыми числами векторов а'(Н2) и Д'(Н2) и упорядочить строки и столбцы в матрице А(Н2), то, учитывая, что гиперграфы Н1 и Н2 неизоморфны, должно выполняться условие Л(Н1)^Л(Н2). Но это возможно только в случае, если имеют место неравенства а{(Щфа{(Н2) или ДД(ЩфД*(Н2), что противоречит условию о полной дифференциации вершин и рёбер. Теорема доказана.

Алгоритм определения изоморфизма гиперграфов Н1 и Н2 основан на утверждении теоремы и реализует метод параллельной дифференциации вершин и рёбер. Основные операции алгоритма сводятся к следующему.

1. Для гиперграфов Н1 и Н2 по заданным характеристикам определяются векторы а" и Д°. В качестве ведущего принимается гиперграф Н1. Если по векторам а" и Д° дифференциация

2.

б)

в)

г)

вершин и (или) рёбер не происходит, то выполняется п. 3 алгоритма.

Выполняются итерации параллельной дифференциации вершин и рёбер гиперграфов Н1 и Н2. После выполнения очередной /-й итерации анализируются возможные ситуации: а) если векторы а/(Н1)=а/(Н2) и Р/(Н1)=Р/(Н2), то выполняется следующая итерация; если выполняется одно из неравенств аюан), ^(ЩфУН), то в случае дифференциации вершин однородной группы происходит переход к п. 3, а в случае дифференциации от векторов а", фиксируется, что гиперграфы Н1 и Н2 неизоморфны; если получены устойчивые векторы а(Н\)=а(Н2), Р"(Н1)=Р"(Н2), содержащие однородные группы, то происходит переход к п. 3;

если достигнута полная дифференциация вершин и рёбер, то гиперграфы являются изоморфными и происходит переход к п. 4. Выполняется дифференциация вершин и рёбер однородной группы. С этой целью в гиперграф Н1 вводится абстрактная характеристика, по которой одной из вершин однородной группы присваивается кодовое число равное максимальному элементу вектора а(Н1) увеличенному на единицу. Данное кодовое число последовательно присваивается вершинам соответствующей однородной группы в гиперграфе Н2 и после каждого присвоения выполняются итерации параллельного дифференцирования в соответствии с п. 2. 4. По векторам а(Н1) и а*(Н2) устанавливается соответствие вершин изоморфных гиперграфов Н1 и Н2, а по векторам Р'(Щ и Р'(Н2) - соответствие рёбер.

Работу алгоритма покажем на примере, в котором гиперграф, представленный на рис. 2, примем в качестве ведущего (Н1), а ведомый гиперграф Н2 и процесс его параллельной дифференциации

3

представим на рис. 3. Заметим, что относительно исходных характеристик а1 и /31 гиперграфы Н1 и Н2 являются однородными группами. Поэтому процесс параллельной дифференциации осуществляется с введением абстрактной характеристики а для вершины д1 в гиперграфе Н1 (рис. 2) и последовательным присвоением этой характеристики вершинам гиперграфа Н2 (рис. 3). Необходимость последовательного присвоения абстрактной характеристики является вполне очевидной и объясняется тем, что мы не знаем, какая вершина в однородной группе гиперграфа Н2 соответствует вершине, которой была присвоена абстрактная характеристика в однородной группе гиперграфа Н1.

Из рис. 3 следует, что присвоения абстрактной характеристики вершинам д1 и д2 оказались неудачными и привели к ситуациям, которые соответствуют п. 2б алгоритма. На рис. 3 для векторов Д/Ю=(3,3,3) и аЖ)=(2ЛЛЛ) в ведущем гиперграфе Н1 (рис. 2) не нашлись аналоги. Эти ситуации на рис. 3 помечены знаком (?). Полная дифференциация достигнута в результате присвоения абстрактной характеристики вершине д3. Графы соответствия для вершин и рёбер изоморфных гиперграфов Н1 и Н2 приведены на рис. 2.

Для достижения полной дифференциации в ведущем гиперграфе Н1 потребовалось выполнить 3 итерации. В частности, при полном переборе матриц для данного примера размерностью пхт=6х8 потребовалось бы сравнивать 6!х8!=29030400 вариантов матриц. Учитывая, что проверке на изоморфизм подвергаются фрагменты графовых моделей, их размерность, как правило, не превышает нескольких десятков вершин и рёбер. Решение задач с такой и более высокой размерностью для предложенного алгоритма не вызывает затруднений. Это следует из содержания основных вычислительных процедур алгоритма и подтверждается возможностью его выполнения даже вручную для размерностей в пределах 10-15 вершин и рёбер.

3= 1 2 3 4 5 6 7 8 «1 а0 а «Ж) «I «Ж) «> «ЧР1) а1 а2 (Р3) а а 3(Р3) а3

1—1 1 1 1 1 4 1 & 2 (1111) 1 1 (2221) 2 1 (2121) 3 (2131) 3 (6145) 5

2 1 1 1 1 4 1 - 1 (2212) 2 2 (ИИ) 1 1 (1212) 3 (4213) 3 (7253) 3

> II 1 1 1 1 4 1 - 1 (2121) 3 1 (1221) 3 2 (ИИ) 1 (4141) 1 (7185) 1

1 1 1 1 4 1 - 1 (1222) 2 1 (2111) ? 1 (2122) 2 (2423) 2 (6723) 4

5 1 1 1 1 4 1 - 1 (1221) 3 1 (2122) 1 (2212) 2 (2243) 2 (6284) 2

6 1 1 1 1 4 1 - 1 (1212) 3 1 (2221) 1 (1122) 3 (1433) 5 (1843) 6

А 3 3 3 3 3 3 3 3

1 1 1 1 1 1 1 1 Р р; ) р; Р, РЧСО Р1 Р2(а ) Р2 Г(а2) р3

.7=1 (211) 1 (123) 4 (1П) 2 (1П) 2 (322) 2 (422) 6

2 (111) 2 (232) 2 (211) 1 (121) 1 (312) 4 (312) 7

3 (111) 2 (223) 2 (211) 1 (111) 2 (322) 2 (322) 2

4 (211) 1 (133) 1 (111) 2 (121) 1 (313) 1 (415) 1

Н-, 5 (111) 2 (333) 7 (111) 2 (211) 1 (123) 4 (12Ь) 8

6 (211) 1 (133) (111) 2 (111) 2 (323) 3 (425) 4

7 (211) 1 (123) (121) 1 (112) 1 (331) 1 (431) 5

8 (111) 2 (223) (211) 1 (111) 2 (323) 3 (325) 3

Рис. 3. Пример параллельной дифференциации вершин и рёбер гиперграфа

В заключение отметим, что наряду с характеристиками структурного типа таких, например, как а1, а2 и Д, Д2 в методе дифференциации в качестве исходных могут использоваться характеристики, отражающие физические, химические, биологические и другие свойства вершин и рёбер гиперграфовых моделей. Процесс интеграции различий при введении таких характеристик, как правило, приводит к полной дифференциации за 1-2 итерации. Здесь важно подчеркнуть, что использование данных характеристик следует рассматривать как вынужденную меру, связанную с необходимостью адекватного представления фрагментов распределённых систем в виде гиперграфовых моделей и установления их эквивалентности, а не с целью ускорения сходимости алгоритма.

В связи с возможностью введения таких характеристик следует отметить еще одно важное обстоятельство. Для алгоритма основным препятствием к достижению полной дифференциации вершин и рёбер является наличие в гиперграфе однородных групп. Ранее уже отмечалось, что однородные группы, выявленные в процессе интеграции различий, требует отдельного исследования. Вместе с тем однородные группы в этих исследова-

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Зыков А.А. Основы теории графов. - М.: КомКнига, 2004. -644 с.

2. Корниенко А.В., Погребной В.К. Модель и алгоритм разбиения схем вычислительных устройств на функциональные блоки // Управляющие системы и машины. - 1976. - № 5. -С. 94-98.

ниях представляют интерес не только с позиции разработки правил дифференциации для решения задачи определения изоморфизма, но и с целью анализа структурных свойств графовой модели в целом.

Задачу, связанную с применением метода дифференциации путём интеграции различий с целью выявления и исследования отдельных труднооб-наруживаемых структурных свойств, по отношению к задаче определения изоморфизма можно рассматривать как обратную. Уже сам факт наличия однородных групп и эффективного метода их выделения может оказаться весьма полезной основой для исследования структурных особенностей графовых моделей. При этом нет оснований исключать и возможность того, что для самых разных приложений, использующих графовые модели, метод дифференциации вершин и рёбер на основе интеграции различий, а также методы выделения и исследования однородных групп, могут оказаться более востребованными, чем решение задачи определения изоморфизма.

Работа выполнена при проведении НИР в рамках реализации ФЦП «Научные и научно педагогические кадры инновационной России» 2009-2013 гг. Госконтракт № П2396.

3. Погребной В.К. Об одном методе определения изоморфизма графов // Кибернетика. - 1982. - № 2. - С. 7-13.

Поступила 29.8.09.2010 г.