CC BY
11
неиным характером переменных, позволяющей прогнозировать прибыль страховой компании. Практическая значимость состоит в том, что разработанная структура динамической модели позволяет определять условия страхования (страховую сумму, тариф, страховой платеж, размер скидки и франшизы) в зависимости от своИств объекта и характеристик клиента, заключающего договор. На основании прогноза, полученного по разработаннои модели, осуществляется планирование страховои деятельности на опреде-ленныИ период времени.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1.
Бондарев Б. В. Математические модели в страховании: Учебное пособие. Донецк: Алекс, 2002. 116 с.
2. Бенинг В. Е, Ротарь В. И. Одна модель оптимального поведения страховой компании // Экономика и математические методы. 1993 г. Том 29, вып. 4. С. 617-626.
3. Шоргин С. Я. Оценка нетто-ставки по договорам страхового портфеля при различных страховых суммах. // Финансы. - 1996. - № 1.
4. Андросова А. А. Анализ и формализация переменных в задаче управления страхованием // Вестник национального технического университета «ХПИ». 2004 г. № 36. C. 137-142.
Надшшла 10.11.04 Шсля доробки 19.05.05
Стаття присвячена розробщ динам1чноЧ модел1 прогнозу прибутку страховой, компани, яка дозволяв визна-чати умови страхування в залежност1 eid властивостей об'екта i характеристик клieнта, що укладае договiр.
The article is devoted to dynamic model development, which task is to give forecast of an insurer profit that allows defining the terms of assurance depending on object properties and characteristics of covenanting client.
УДК 519.853
A. И. Вершина, Б. Т. Солдатов, А. Г. Маркин
АЛГОРИТМ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РАБОЧИХ СТАНЦИЙ
Распределение рабочих станций по объектам представлено как задача нелинейного целочисленного программирования. Предложен алгоритм поиска решения, основанный на идеях градиентного метода и условия Липшица для условной сходимости с постоянным шагом. Приведены примеры использования разработанного алгоритма.
ВВЕДЕНИЕ
Существует множество задач, связанных с распределением вычислительной техники между различными объектами (подразделениями, компьютерными залами) как одноИ организации, например, в ВУЗе, так и объектов, разбросанных по обширноИ территории, с целью получения максимального эконо мического эффекта. Такая задача относится к нелинеИному дискретному программированию и, в общем случае, не имеет решения. Предлагается «эвристическиИ» алгоритм, для которого функционирование системы рассматривается как предельныИ случаИ системы массового обслуживания, а поиск «оптимального» распределения основан на особенностях градиентного метода и условии Липшица для условноИ сходимости с постоянным шагом.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Работу каждого объекта (подразделения, филиала) представим как систему массового обслуживания по предоставлению пользователям времени на рабочих станциях. Как система массового обслуживания каждыИ объект характеризуется следующими параметрами [ 1]:
- числом рабочих станциИ п;
- плотностью потока пользователеИ (заявок) X;
- плотностью «потока обслуживания» одноИ ра-бочеИ станциеИ ц.
Величина X обратно пропорциональна среднему времени поступления заявок, а ц обратно пропорциональна среднему времени обслуживания одного клиента.
Граф переходов в системе массового обслуживания из п рабочих станциИ имеет вид, представленныИ на рис. 1.
Рисунок 1 - Граф состояний системы
Состояние хк (0 < к < п) состоит в том, что занято ровно к каналов из п. Из этого следует система дифференциальных уравнений (уравнения Эрланга):
йР о ( Ь ) йЬ
йР1 ( Ь) йЬ
= - Хро( 1) + ЦР!(Ь); = - (X + Ц)Р!( Ь) + Хро( Ь) + 2цр2( Ь);
^Ркр- = - (X + к ц)рк( Ь) + Хрг -! (Ь) + (к + 1 )црк + !(Ь); йРп( Ь)
йЬ
= - пЦРп ( Ь) + хРп - 1( Ь).
(1)
Интегрирование производится при начальных условиях, когда в момент времени Ь = 0 все рабочие станции свободны:
Ро(0) = 1; рк(0) = 0; (к > 0).
При Ь ^ <ю существует установившийся (предельный) режим работы системы массового обслуживания, при котором вероятности состояний определяются формулой Эрланга:
Рк
а к!
-, (к = 0,1,...,п),
(2)
к = 0
к!
где а =
Ц
Выражение для среднего числа занятых каналов определяется по формуле
к = ХкРк-
к=0
(3)
личестве рабочих станций. Имеется ограничение также на количество станций для каждого объекта, связанные, например, с ограничением площади занимаемых помещений.
На основании изложенного, сформулируем следующую задачу нелинейного целочисленного программирования.
Найти значения числа рабочих станций каждого объекта п-^ (г = 1, 2, ..., 5), где 5 - количество объектов, удовлетворяющие следующим условиям:
кг = Е крг, к ; (г = 1, 2, ...,Б);
к=0
Р., к
Хг
— (к = 1,..„ пг), а1 = -;
а
к=0
к!
пг < Ыг (- = 1, 2,..., 5);
Е п- < N,
г=1
(4)
где и N - ограничения на количество рабочих станций объекта г и на суммарное количество рабочих станций соответственно.
( * \
Найти тах
Е (й-к- - пг2)
^ г = 1
, где йг - доход, по-
лучаемый от одной полностью загруженной рабочей станции объекта г, а 2 - затраты на приобретение и установку одной рабочей станции.
Данная задача относится к области нелинейного целочисленного программирования [2], решение которой представляет известные трудности, так как искомые переменные входят в пределы знаков суммирования.
п
к
Занятому каналу пропорционален доход, а затраты на создание системы пропорциональны количеству рабочих станций.
Объекты находятся в различных условиях, причем потребности в обслуживании отличаются друг от друга, что отражается в значениях плотности потоков заявок X. Плотность потока обслуживаний ц в общем случае также различно. Эти величины можно оценивать исходя из среднего времени поступления заявок и среднего времени работы пользователей на рабочих станциях.
Материальные возможности по приобретению оборудования ограничены, что сказывается на общем ко-
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
Предлагается алгоритм решения данной задачи, в основе которого лежат идеи градиентного метода. Данный алгоритм является «эвристическим» и построен с учетом следующих соображений.
При поиске решения ограничимся минимальным шагом, который в нашем случае является дискретным и равным единице. При этом дискретность самой функции на каждом шаге проявляться не будет. Увеличение значения неизвестных будет производиться только для одного из них, что будет соответствовать значению производной не равному нулю только одной
переменноИ, а для остальных это значение «принудительно» будет обнуляться.
Рассмотрим условие Липшица для сходимости градиентного метода для функци Дх) с постоянным шагом к:
||/'(х) - у)||<А||х - у|| при всех х, у е Ет, (5)
где шаг к е (0, 2/ Л); х, у - векторы переменных из множества Кт (в нашем случае они представляют векторы значениИ числа рабочих станциИ на каждом объекте).
Данное условие применимо к непрерывно дифференцируемым функциям и определяет условную сходимость. Путем введения дискретного шага, в каж-доИ точке которого функция будет иметь производные, попытаемся выполнить это условие и на этом основании предложить алгоритм.
Так как значение шага не будет превышать единицы, то получим
||х - у|| = 1 и Л = 2/к = 2,
Г(х) - Г(у )||< 2.
(6)
Л
п к п + 1 "
?'!-+(п+1)(Пгт)! £
к = 0
п + 1 П , а к к
к = 0
п к п + 1 ч 1 (X | с-
кУ ж (¿ГЛу.
(
к
а а
к = 0 Л
а к!
У % У к т. - п .
/-1 к! /-1 к! п!
к = 0
к = 0
к = 0
к!
= а
(т + арп)
к = 0 -т
кп
(((^__а_
к! п!
1 +
(п + 1)
Рп
= й
(п + 1 - т)
п + 1
■ - (п - т)
т - пр1 (((1(((((-((((Р((((п(((
Рп
1 - Рп
< 2, (8)
где т =
Ук
к = 0
а (к((((!(
а п!
V —
,У к!
к=0
V —
У -к!
к = 0 к!
При написании выражениИ (7) и (8) индексы опущены, а затраты на приобретение и установку единицы оборудования при определении производных компенсируют друг друга и поэтому отсутствуют.
Введем обозначение
Исследуем значения производных. Так как производные будут ненулевым только для одноИ переменноИ и при этом из-за дискретности ее значения их не возможно определить, то воспользуемся отношениями приращениИ к минимальному шагу, которыИ в нашем случае равен единице. В результате выражение (6) можно записать следующим образом:
п+ 1 ак п п У к От У к
Л
к=0
к!
к = 0
к!
ак V ^
У к!
к=0
к!
к=0
п ак п - 1 ак
у к Ъ ък Ъ
к = 0 к = 0
к = 0
к!
V,1 ак
к=0
к!
<2. (7)
Преобразуем правую часть неравенства, с целью выделить ожидаемое значение т и определить вероятность Рп того, что количество занятых компьютеров равно ровно п:
А = й
(п + 1 - т)
п + 1
■ (п - т)
1 - Рп
. (9)
Оценим величину А, при й = 1 для различных значениИ п и а. Величину а будем задавать исходя из того, что величины X и ц имеют один порядок. Результаты проведенных расчетов сведены в таблицу 1.
Полученные результаты позволяют сделать вывод о том, что для доходов от каждоИ рабочеИ станции, равных единице (й = 1), требование условноИ сходимости в данном случае выполняется. Кроме того, с ростом числа рабочих станциИ оно становится более строгим. Для больших значениИ й условие может не выполниться, однако, с одноИ стороны, можно выбрать соот-ветствующиИ масштаб, с другоИ - с ростом количества рабочих станциИ следует ожидать выполнение данного условия.
Так как в общем случае условная сходимость может не выполняться, то могут возникнуть определенные проблемы, требующие дополнительных исследованиИ. Более того, условная сходимость не является доста-
й
+Р
п
Р
п
то есть
Р
п
й
Таблица 1 — Оценка величины А
п а
0.1 0.4 0.7 1.0 4.0 7.0 10.0
1 0.0823 0.1931 0.2117 0.2000 0.0615 0.0269 0.0217
2 0.0082 0.0733 0.1319 0.1625 0.0797 0.0340 0.0270
3 0.0004 0.0162 0.0517 0.0904 0.0986 0.0427 0.0336
4 0.0000 0.0023 0.0135 0.0348 0.1136 0.0530 0.416
5 0.0002 0.0026 0.0098 0.1188 0.0646 0.0510
6 0.0000 0.0004 0.0021 0.1100 0.0765 0.0614
7 0.0000 0.0004 0.0883 0.0869 0.0719
8 0,0000 0.0001 0.0610 0.0933 0.0813
9 0.0000 0.0362 0.0935 0.0876
10 0,0000 0.0186 0.0864 0.0889
11 0.0089 0.0727 0.0839
12 0.0034 0.0555 0.0731
13 0.0012 0.0383 0.0583
14 0.0004 0.0239 0.0426
15 0.0001 0.0136 0.0287
16 0.0000 0.0071 0.0173
17 0,0000 0.0034 0.0098
18 0.0015 0.0051
19 0.0006 0.0025
20 0.0002 0.0011
21 0.0001 0.0005
22 0.0000 0.0002
23 0,0000 0.0001
24 0.0000
точным условием для того, чтобы метод сходился, и в данном случае мы имеем разрывную функцию, хотя постоянство выбранного шага позволит выполнять все необходимые действия.
Мы считаем, что предлагаемый алгоритм, основанный на идеях градиентного метода, достаточно правдоподобен и позволит получать удовлетворительные результаты. Его блок-схема приведена на рис. 2.
Блок 1. Выполняет ввод исходной информации, которая включает в себя количество объектов, их характеристики как системы массового обслуживания, ограничения, как для общего количества рабочих станций, так и для каждого объекта. Кроме того, учитывая
особенности построения алгоритма, необходимо ввести ограничения по количеству шагов поиска с изменением «градиента» и количеству шагов «по направлению». Наряду с этим, должны присутствовать условия прекращения поиска при незначительном изменении целевой функции в данном направлении. И минимальное значение нормы «градиента» при его изменении.
Целесообразно также, ввести начальное распределение рабочих станций по объектам (в алгоритме принято исходным распределение по одной рабочей станции на объект). Распределение представлено в двух видах: целочисленном и реальном, учитывающего дробные значения составляющих.
Рисунок 2 — Блок-схема алгоритма распределения рабочих станций
Блоки 2 и 20. Представляют начало и конец цикла, ограничивающего количество шагов, связанных с изменением «градиента».
Блок 3. Осуществляет оценку производных методом приращения для каждого объекта. При вычислении значений целевой функции необходимо учитывать ее особенности, заключающиеся в необходимости вычисления факториалов. Поскольку вычисляется отношение, в числителе которого степень, а в знаменателе факториал, необходимо организовать пошаговое выполнение этих значений, чтобы не произвело переполнение разрядной сетки.
Блок 4. Производит оценку «шага». При этом выделяется максимальная по модулю составляющая градиента, на которую делятся все остальные составляющие. В результате для производной, имеющей максимальное значение, шаг составит величину, равную единице, а шаг по остальным составляющим будет меньше единицы.
Блоки 5 и 18. Представляют начало и конец цикла, ограничивающего количество шагов «по направлению».
Блоки 6 и 10. Представляют начало и конец цикла по количеству объектов.
Блок 7. Определяет значения переменных путем суммирования шага для каждой составляющей, полученной в блоке 3. Затем выделяется целая часть, являющаяся значением переменной.
Блок 8. Проверяет ограничение по каждому объекту. В случае превышения допустимого значения осуществляется переход к блоку 9, иначе выполняется блок 10, определяющий продолжение или завершение цикла по количеству объектов.
Блок 9. Для составляющей, превысившей допустимое значение, производится ограничение этой составляющей. Кроме того, вводится признак для ограничения шагов по соответствующей составляющей.
Блок 11. Определение суммарного количества рабочих станций на данный момент.
Блоки 12 и 15. Цикл по превышению суммарного допустимого количества рабочих станций.
Блок 13. Поиск переменной, имеющей минимальное значение составляющей градиента и значение которой больше нуля.
Блок 14. Уменьшение найденной переменной на допустимую величину (она не может быть меньше нуля) с уменьшением значения суммарного количества рабочих станций.
Блок 16. Оценка целевой функции для новых значений переменных.
Блок 17. Проверка приращения целевой функции, если приращение незначительно, то осуществляется выход из цикла «по направлению» к пункту 19, в противном случае продолжается поиск по направлению (пункт 18) с учетом ограничения по количеству шагов (цикл 5-18).
Блок 19. Проверка максимального абсолютного значения составляющих градиента, если оно незначительно, то осуществляется выход из цикла изменения «градиента» к пункту 21, в противном случае продолжается поиск с изменением «градиента» (цикл 2-20).
Блок 21. Вывод результатов поиска (значение целевой функции, значения переменных).
Результаты работы алгоритма для различных исходных данных приведены в таблице 2. При этом минимальное значение целевой функции принято равным 0,0001, а «доход», получаемый от одной рабочей станции равен 1, при этом затраты на установку одной рабочей станции составляют величину 0,0001. Процесс поиска решения ограничим количеством шагов с изменением градиента, равным 20, и количеством шагов по направлению - 2.
Приведенные в таблице 2 результаты показывают, что, несмотря на возможности приобретения дополнительных рабочих станций, как на отдельных объектах, так и для организации в целом, эффект может оказаться незначительным и их приобретение нецелесообразно.
Следует отметить, однако, что в данном случае надежность рабочих станций, ремонт, режимы обслужи-
Таблица 2 - Результаты расчета для различного количества объектов
Количество «пунктов» а = Х/ц Ограничения Допустимое количество Результат «Доход»
3 1.00/0.10 20 50 20 21,63
1.00/0.15 20 16
1.00/0.20 20 14
5 1.00/0.20 25 100 16 11,41
1.00/0.40 25 11
1.00/0.60 25 9
1.00/0.80 25 8
1.00/1.00 25 7
10 1.00/0.10 30 250 26 29,28
1.00/0.20 30 16
1.00/0.30 30 13
1.00/0.40 30 11
1.00/0.50 30 10
1.00/0.60 30 9
1.00/0.70 30 8
1.00/0.80 30 8
1.00/0.90 30 7
1.00/1.00 30 7
вания вышедших из строя рабочих станциИ не рассматривались. Все это может потребовать введение дополнительного оборудования.
ПОЛУЧЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Поставлена задача нелинеИного целочисленного программирования для распределения рабочих станциИ между объектами. Для ее решения предложен алгоритм, основанныИ на идеях градиентного метода.
Рассмотрено условие Липшица для условноИ сходимости градиентного метода с постоянным шагом и исследованы предпосылки для построения алгоритма.
Подробно описан алгоритм, реализующиИ поиск решения. Приведены результаты работы разработанного алгоритма.
ВЫВОДЫ
Поиск оптимального решения при распределении оборудования между различными объектами с целью
получения максимального эффекта является актуаль-ноИ задачеИ.
ПредложенныИ алгоритм позволяет получать такое распределение. Хотя строго с математическоИ точки зрения получаемое решение нельзя считать в общем случае оптимальным, заложенные предпосылки идеИ градиентного метода позволяют считать поиск оптимума достаточно правдоподобным.
ДальнеИшее развитие работ в этом направлении требует строгого определения условиИ сходимости метода и исследования переходных процессов при периодическом обслуживании. Остаются проблемы с определением характеристик объектов. Кроме того, необходимо провести исследования, связанные с надежностью оборудования и режимов их ремонта.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Вентцель В. С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1973. - 368 с.
2. Вагнер Г. Основы исследования операций. Т. 2. М.: Мир, 1973. - 488 с.
Надшшла 2.09.04 Шсля доробки 25.04.05
РозпоЫл рабочих станцш по об'ектах розглядаетъся як задача нелтшного щлочиселъного програмування. За-пропоновано алгоритм пошуку рШення, в основ1 якого ле-жатъ ide'i град1ентного методу та умови Лтшица для умовного сходження з постшним кроком. Приведет при-клади використання розробленого алгоритму.
The distribution of workstations on objects is submitted as a task of nonlinear integer programming. The algorithm of search of the decision based on ideas gradients of method and Lipschitz condition for conditional convergence with a constant step is offered. The examples of use of the developed algorithm are given.
УДК 519.85
И. В. Гребенник
КОМБИНАТОРНОЕ МНОЖЕСТВО ПЕРЕСТАНОВОК КОРТЕЖЕЙ
И ЕГО СВОЙСТВА
Вводится новое комбинаторное множество перестановок кортежей. Дается его описание, исследуются комбинаторные свойства при отображении в евклидово пространство. Выполняется постановка и решение некоторых задач оптимизации на множестве перестановок кортежей, определяется диаметр множества. Приводится и анализируется пример.
ВВЕДЕНИЕ
Важный класс задач геометрического проектирования составляют экстремальные задачи с дискретными параметрами. Построение математических моделей таких задач основано на применении комбинаторных множеств, составляющих их области допустимых решений [1, 2].
Во многих случаях специфика решаемой задачи требует отражения в модели ее комбинаторной структуры. Эта структура может быть достаточно сложной и не позволять использовать для ее описания классические комбинаторные множества [3]. Для моделирования задач со сложной комбинаторной структурой в [4] введено понятие и предложен способ описания композиционного образа (к-образа) комбинаторных множеств. //-образами комбинаторных множеств являются комбинаторные множества, порождающие элементы которых сами представляют собой элементы других комбинаторных множеств. / -образы комбинаторных множеств могут быть использованы для описания областей допустимых решений экстремальных задач со сложной структурой.
Целью настоящей работы является описание евклидова комбинаторного множества перестановок кортежей и исследование его свойств.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МНОЖЕСТВА ПЕРЕСТАНОВОК КОРТЕЖЕЙ
Построим к-образ комбинаторных множеств, в котором в качестве базового выступает евклидово комби-
наторное множество перестановок. Для формирования данного к-образа используем подход, приведенный в [4].
Рассмотрим композиционный образ комбинаторных множеств Рпк, Т1, Т2, ..., Тп, порожденный множества-
.11 1..22 2, ( п п п ,
ми {21, 22' •••' 2ш} {21> 22>-> 2ш} {21> 22>-> 2ш}
Здесь Рпк - множество перестановок из п элементов, к
из которых различны [1, 2], Т- = {(2^, 2^, ..., 2Ш)} -кортеж, составленный из элементов множества
{21' 22'-' 2ш}, 2] е ^ г е 3п = { 1' п}, / е 3
ш. При
этом, среди п множеств Тг к являются различными. Обозначим такой к-образ комбинаторных множеств
через РТпк(Т1, Т2, •.., Тп) или РТ>Шк и назовем множеством перестановок кортежей.
Множество РТ'Шк представляет собой множество
перестановок кортежей 2г = (2^, 2^, ..., 2-ш), то есть
упорядоченных наборов вида к е РТ'Шк,
г 1 г 2 -п к = (2 , 2 , ..., 2 ) =
г1 г1 г1 г2 г2 г2 гп гп гп
= (21 , 22 , ..., 2ш, 21 , 22 , 2ш, •••, 21 , 22 , •••, 2ш),
где г*,е 3п, ф, * е 3п. Элементы множества РТпк отличаются друг от друга только порядком следования
кортежей 2г в наборах. Мощность множества РТ>шк равна мощности базового комбинаторного множества
Рпк.
Из способа построения множества РТЩ^к следует, что все его элементы являются также элементами множества перестановок Р 0, порожденного множеством
^ ,11 122 2 п п п . г,
Д = (2l, ^ 2l, ^ 2ш,•■■, 21, 2ш). Здесь N = шп, к° > к, где к° - количество различных эле-
