Научная статья на тему 'Алгоритм расчета предельных возможностей стационарных тепломеханических систем'

Алгоритм расчета предельных возможностей стационарных тепломеханических систем Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
93
35
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Алгоритм расчета предельных возможностей стационарных тепломеханических систем»

Надо учесть, что qh>0, qí<0, Эqh /ЭToh<0, Эqг /ЭT0/<0. Последние два неравенства требуют пояснений, так как согласно (1) обе производные должны быть положительными. Однако мы рассчитываем эти производные с учетом решения задачи (2)-(4). В этом случае qh=qh(Toh, Ти), qh=qh(T0h, Т0г), которые определяются формулами (14), (15). При увеличении температуры Т№ требуется меньший поток теплоты, чтобы обеспечить заданную мощность п; при увеличении температуры Т0г требуется большее значение интенсивности отвода теплоты от рабочего тела, а значит, меньшее значение qoг.

Из равенства (14) примем, что

sign

dT0

=sign

'apO

Oh

\dTo, J

Это также становится понятным, если учесть, что при q;<0 требуется, чтобы pi было также отрицательным. Производные dqh/dT0h, dq/3T0l связаны с интенсивностью потоков qh и следующим образом:

ЭЧЬ = :2а" 41D^2a(n+"(T0h - T ))-4«n]=

dT0h 2

4 1+

n-a(Toh - To, )

VD

aq, Vd'

зг,

=^a- 4lD!-2a(n+a(Toh - To, ))]= a L n+a(Toh - To, )"

2

1

Vd

aqh Vd'

(20)

С учетом (20) равенство (19) примет вид

Г \2

qh,

dp, dT

(21)

откуда с учетом отрицательности величины q,:

dp,/ dT

q,

qh VW dToi

n=i+^=i-

или

dp,/ dTo,

(22)

4h \dPj dT0h

Уравнение (22) является условием оптимальности для выбора таких значений T0h, T0/, чтобы экономическая эффективность предприятия была бы наибольшей, а значит, диссипация капитала -наименьшей [2].

Интересно, что для выбора функций спроса и предложения (кинетики ресурсообмена в экономической системе), определяющих зависимость цен от интенсивностей потоков и величин температур источников T0j (je {h, /}), удобно воспользоваться следующей зависимостью:

Pj = Vj _ Pjqj(T0h,T°' ),je{h, Z}. (23)

Это связывает цену с потоком энтропии, отбираемым от j-го источника.

К сожалению, расчет значений T°h, T0/ для зависимостей (23), удовлетворяющих условиям (22), а значит, и решение задач третьего этапа, аналитически невозможны - требуется численный расчет для конкретных значений параметров кинетики ресурсообмена a, ph, vh, v;, а также заданной функции спроса p(n).

Литература

1. Sieniutycz S., Salamon P. (eds.). Finite-Time Thermodynamics and Thermoeconomics. Taylor & Francis, 1990.

2. Миронова В.А., Амелькин С.А., Цирлин А.М. Математические методы термодинамики при конечном времени. М.: Химия, 2000.

3. Пиндайк Р., Рубинфельд Д. Микроэкономика. М.: Экономика. Дело, 1992.

4. Цирлин А.М. Оптимальные циклы и циклические режимы. М.: Энергоатомиздат, 1985.

АЛГОРИТМ РАСЧЕТА ПРЕДЕЛЬНЫХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ СТАЦИОНАРНЫХ ТЕПЛОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

А.А. Ахременков, к.т.н. (ИПС им. А.К. Айламазяна РАН, г. Переславль-Залесский,

andrei@eco. botik. ru)

В работе рассмотрена задача расчета максимальной извлекаемой мощности для термической системы произвольной конфигурации, содержащей тепловую машину.

Ключевые слова: оптимизационная термодинамика, тепломеханический преобразователь, тепломеханические системы.

Термодинамика при конечном времени получила первый толчок для своего развития в задаче о цикле тепловой машины с максимальной мощностью [1, 2]. При этом в большинстве работ рассматривалась система, состоящая из тепловой машины и нескольких резервуаров с заданными и постоянными температурами [3].

Между тем эта задача особенно актуальна для систем, состоящих из термических резервуаров и

подсистем конечной емкости с различающимися температурами, находящихся в контакте с резервуарами и друг с другом (см. рис.).

В такой системе с отличающимися друг от друга температурами резервуаров при заданных законах и коэффициентах теплопереноса устанавливается стационарный режим, характеризующийся распределением температур между подсистемами и дискретным температурным полем. При

этом каждая подсистема (резервуар, подсистемы конечной емкости и тепловая машина) считается внутренне равновесной, так что необратимые эффекты возникают на границах подсистем. Только при этих допущениях для каждой подсистемы справедливо термодинамическое описание. Такие системы в литературе называют endoreversible-системами.

Естественно возникает вопрос, какую максимальную мощность можно извлечь в стационарной термодинамической системе с использованием тепловой машины, имеющей заданные коэффициенты теплообмена при контакте с каждым элементом системы. Назовем это задачей о максимальной мощности. В такой постановке она обобщает задачу И.И. Новикова [1].

Математическое описание

Рассмотрим термодинамическую систему (структура ее представлена на рисунке), состоящую из (п-т) резервуаров с постоянными температурами, т подсистем конечной емкости, температуры которых определяются запасом их внутренней энергии. Каждая подсистема может контактировать с любой подсистемой и резервуаром, к ней могут подводиться конвективные потоки тепла извне qjK. Потоки обмена теплом подсистем друг с другом обозначим как qjj(Tj, тц). Эти потоки связаны с различием температур подсистем. Будем считать, что поток положителен qjj(Tj, Т|)>0, если тепло поступает к 1-й подсистеме, то есть Т^Тр Функции qjj(Tj, тц) обладают следующими свойствами:

qjj(Tj, Т|) - непрерывная и непрерывно дифференцируемая по совокупности аргументов;

qij(Ti' тц)=- qjj(Tj, т1); qu (Т - о^ т = т ; Ч Л зч» „ зчц ^и „ эт1 ЭTj Нч Эт1 ЭTj

Последнее свойство характерно для систем теплообмена.

Температура подсистем зависит от запаса внутренней энергии и изменяется в результате подвода (отвода) тепла к ней:

т=

(1)

где qj - суммарный поток тепла, подводимый к подсистеме; С1 - ее теплоемкость.

Рассмотрим стационарное состояние тепломеханической системы, содержащей тепловую машину, которая может контактировать с подсистемами, получая или отдавая им потоки тепла, потребляя или вырабатывая мощность. Требуется найти такие температуры контакта и рабочего тела тепловой машины с каждой из подсистем, при которых получаемая в единицу времени работа (мощность Р) максимальна. Если максимальная мощность отрицательна, то она соответствует минимуму затрат подводимой извне энергии (в этом случае тепломеханическим преобразователем является тепловой насос).

Постановка задачи и условия оптимальности

Обозначим через и температуру рабочего тела при контакте с 1-й подсистемой; qjj(Tj, Тц) - поток тепла между 1-й подсистемой и преобразователем; Р - мощность преобразователя. Поток, поступающий в каждую из подсистем, будем считать положительным.

Формализуем задачу о максимальной мощности:

P=Vqi(Ti,ui)^ max

t? u' >0 при условиях

P=Aq,(T„u,)=0;

1=1 U '

(2)

(3)

^(Т^)=qj(Tj,Uj),i=1,...,т. (4)

j=l

Критерий (2) следует из энергетического баланса рабочего тела преобразователя. Условие (3) вытекает из энтропийного баланса рабочего тела, а (4) - энергетический баланс для 1-й подсистемы конечной емкости.

Предположим, что потоки qj, qjj линейно зависят от разности температур

qj=аДТ - и^=ац(Т) - Т1), (5)

где ау - коэффициенты теплопереноса. Такой

закон теплообмена называют ньютоновским.

Очевидно, что при числе резервуаров, большем или равном двум, и различающихся температурах резервуаров максимальная мощность положительна.

Разобьем задачу на три подзадачи. 1. Максимизировать извлекаемую мощность

Р*(аг) при контакте преобразователя с резервуа-

п

рами для заданного значения аг - потока энтропии от резервуаров к рабочему телу

Рг(°г) = Ё qi ^тах

(6)

(7)

при условии

Ё _ = °г .

!=т+1и!

2. Максимизировать извлекаемую мощность Р*(а8) при контакте преобразователя с подсистемами конечной емкости для заданного значения а, - потока энтропии от подсистем к рабочему телу

т

р8(о8)=Ёqi ^ т„ах

i=l п

при условии

Ч,

(8)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1=4

(9)

и балансовых соотношениях (4).

3. Найти максимальную суммарную мощность при условии баланса по энтропии для рабочего тела преобразователя, производство энтропии в котором равно нулю:

Р(Ч,)=Р*(а,)+Р*(а аг +а = 0. (10)

Первая из этих задач рассмотрена в работе [4] для случая аг = 0, где показано, что для ньютоновского теплообмена значение приведенной температуры контакта Л определяется как

4Л=*

п Ё

а[= Ё а •

(11)

1=Ш+1

Максимальная мощность, извлекаемая при контакте с резервуарами:

п

Рг-(ог) = Ё а1Л/Т

ч/Т -

п

Ё а,^

(12)

ч

с ростом аг эта мощность монотонно возрастает.

Во второй задаче требуется найти не только температуры контактов и,, но и температуры подсистем Т, для ^=1, ..., т. Выразим и, через qj и Т, при условии, что потоки тепла заданы в ньютоновской форме (5):

Т qi

и = 1. —-, i i а ,

(13)

и перепишем балансовые соотношения (4) как систему линейных уравнений относительно температур подсистем Т,, ^=1, ..., т:

т п п

Ё^-Т Ёац = qi - Ё а^,1=1,-,т. (14)

Ц=1 Ц=1 j=m+1

Или в матричной форме: А(а)Т=С^),

где А(а)=

а11-а 1 а1

а,,

а,

(15)

а = Ё«ч , C(qi)=qi - Ё аijTj = qj - К, .

Ц=1 j=m+1

Обозначим элементы матрицы А(а) через aij (а), а элементы обратной ей матрицы А-1 через Ьу(а) и выразим температуры подсистем через потоки qj и заданные температуры резервуаров:

Т=А-1ОД,

ВД=bll(ql - К1)+bl2(q2 - К,)+...

+bim(qm -Кт).

(16)

ЭТ.

При этом —=Ь,., Эqv

=1,...,т, у=1,...,т .

Перейдем от задачи (8), (9), (4) относительно и,, Т, к оптимизационной задаче относительно по-

токов тепла

qj: Р=Ёqi ^ тах при условии

аiqi

-=о„

(17)

Р=Ё-

£ аiTi(q)-qi

Выпишем функцию Лагранжа для задачи (17): Ла

ь=Ёq.

1-

(18)

Условие ее стационарности по ^ примет фор-

дь Л ^ a2qiЛsbij ,

му =0^У-,-Ц—т+1-

дq ц ыКа,^^)^,)2

а,Т(ч), Л8

г=0, Ц=1, ...,т .

(19)

(а/Гц(ч)-ЧцГ

Решив систему из т+1 уравнений (19), (9) относительно qj, находим оптимальные значения

Ч*(а8) и Л*(а8), а затем значения Т*(о8), и*(а8)

и Р*(08). При таком решении удобнее задавать не

а8, а Л*, затем по формуле (9) рассчитывать соответствующее решению значение потока энтропии а,.

В третьей задаче требуется найти максимальную суммарную мощность, извлекаемую из резервуаров и подсистем.

Выпишем функцию Лагранжа задачи (10):

Ь=Р*(о8)+Рг*(Ог)+Х(а8 +аг). (20)

Из условия стационарности функции Лагран-жа по а,, аг получаем соотношение

ЭР* =ЭР* Эа, Эаг

а21 а22 а 2

а , а , "-а -си

п

п

=1

¡=1

г

аг +аг

аг +аЕ

т эр; Эр;

Так как производные - и - равны

Эп Эа„

Л8(с8) и Лг(аг) соответственно, извлекаемая мощность Р^) максимальна, когда

Л* (с)=Л* (-а),а=аг =-с8. (22)

Приведем алгоритм расчета максимальной мощности, извлекаемой тепломеханическим преобразователем. Поскольку решение задачи разделено на три этапа, рассмотрим поэтапный алгоритм.

1. Заданные переменные: температуры резервуаров Т 1=т+1, п [К]; матрица коэффициентов теплопереноса ау, 1, ¿=1, ..., п [Вт/К]; коэффициенты теплопереноса для контактов преобразователя с подсистемами и резервуарами а1, 1=1, ..., п [Вт/К].

2. Выпишем алгоритм нахождения максимальной извлекаемой мощности при контакте с резервуаром при заданном значении пг:

а) найдем значение приведенной температуры контакта Л(аг) по формуле (11) и значение температур контакта преобразователя с резервуарами по формуле (13);

б) найдем значения максимальной извлекаемой мощности как функцию потока энтропии Рг(аг) по формуле (12).

3. Выпишем алгоритм нахождения максимальной извлекаемой мощности при контакте с подсистемами. Поскольку для решения этой задачи необходимо решить систему из т+1 уравнений (19), (9) относительно qj и Л;, будем использовать для этого метод Ньютона:

а) обратим матрицу А(а) (15) любым доступным методом и выразим значения температур подсистем Т1 относительно qj по формуле (16);

б) составим матрицу Якоби W(q,Л;) для системы (19), (9) относительно qj, 1=1, ..., т и Л; с учетом того, что

а2^ ЛЛ

Ц=X;

+1-

а2т(д) Л; "(а.¡'ВД^.^

=0,.=1,...,т

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

в) в качестве начального приближения возь-

1 п

мем ф0=0, Л0 =-У Т ;

п - т1=т+1

г) найдем следующие приближения:

<дk+1, Лк+Х >=< qk, Лк >-W-1(дk, Л^ )F(дk, Л^);

д) вычислим значение функции F в точке q

k+1

k+1

; повторим итерацию до необходимой точ-

ности.

е) найдя оптимальные значения g* (с8) и

Л*(с8), можно найти температуры подсистем ТТ* по формуле (16) и значение температур контакта

* " т» *

и1 и извлекаемой мощности Р; .

4. Вычислим значения Лг(сг) и Рг*(сг) для значений пг = 0 .

5. Решим вторую задачу для пг =-о;. Вычислим Л*(с8).

6. Если |Л*(а8)-ЛГ(ог) >5, перейдем к п. 4 с

учетом аг =аг +е.

7. Вычислим значение извлекаемой мощности для полученных оптимальных Л; и .

Пример. Рассмотрим систему, состоящую из двух резервуаров, четырех подсистем и преобразователя. Структура системы показана на рисунке.

Матрица коэффициентов теплопереноса имеет вид

0 8009007004000 8000 5009000 100 9005000 3002000 7009003000 0 250 4000 2000 0 0 01000 2500 0

Значения а. при 1, ¡=1, ..., 4 соответствуют коэффициентам взаимодействия подсистем между собой, значения при 1>4 или ¡>4 - коэффициентам взаимодействия подсистем с резервуарами. Температуры резервуаров: Т+=700 К, Т_=300 К. Коэффициенты теплопереноса при взаимодействии преобразователя с подсистемами и резервуарами: а=1000, а2=1300, а3 =900, а4 =800, а5 =100, а6 = 50.

Значения а1 при 1=1, ..., 4 соответствуют коэффициентам взаимодействия с подсистемами, а при 1>4 - коэффициентам взаимодействия с резервуарами. Коэффициенты имеют размерность Вт/К.

Сначала были найдены значения Лг(сг) по

{а„}=

формуле (11) и Рг (сг) по формуле (12) для значений пг, лежащих в интервале [0, 0,5]. Затем решалась система из т уравнений (19) для фиксированного значения Л; на отрезке [400, 600] К и по формуле (9) рассчитывалось соответствующее значение .

После этого находились оптимальные п и Л по формуле (22), значения температур подсистем Т1 по формуле (16) и температур контакта преобразователя и1 по формуле (13).

В результате были получены следующие значения оптимальных температур: Т1=564,8 К; Т2=540,2 К; Т3=563,7 К; Т4=527 К.

Оптимальные температуры контакта преобразователя с подсистемами: и1=557,8 К; и2=543,6 К; из=557,7 К; щ=536,3 К; и5=620,2 К; иб=406 К.

Значение предельной извлекаемой мощности Р*=3,22 кВт.

В работе получены оценки максимальной извлекаемой мощности для произвольной стационарной термодинамической системы и соответствующие ей распределения потоков тепла и температур контакта рабочего тела с подсистемами. Предложен алгоритм расчета максимальной извлекаемой мощности и оптимальных характеристик тепловой машины.

Литература

1. Novikov I.I. The efficiency of atomic power stations // J. Nuclear Energy II. 1958. № 7, pp. 25-128.

2. Curzon F.L., Ahlburn B. Efficiency of a Carnot engine at maximum power output. Amer.J. Physics. 1975. № 43, pp. 22-24.

3. Amelkin S.A., Andresen B., Burzler J.M., Hoffmann K.H., Tsirlin A.M. Maximum power processes for multi-source endore-versible heat engines J. Phys. D: Appl. Phys. 2004. № 37, pp. 1400-1404.

4. Tsirlin A.M., Kazakov V., Ahremenkov A.A., , Alimo-va N.A. Thermodynamic constraints on temperature distribution in a stationary system with heat engine or refrigerator // J. Phys. D: Appl. Phys. 2006. № 39, pp. 4269-4277.

ПРОГРАММНЫЙ КОМПЛЕКС ОПТИМИЗАЦИИ ЗАКОНОВ УПРАВЛЕНИЯ

(Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, проект № 08-01-00274-а)

А.О. Блинов; В.И. Гурман, д.т.н.; Е.А. Трушкова, к.ф.-м.н.; В.П. Фраленко (ИПС им. А.К. Айламазяна РАН, г. Переславль-Залесский, sarmat@pereslavl.ru)

В статье описывается программный комплекс ISCON (Improvement and Synthesis of Control), в котором успешно реализованы на кластерном вычислительном устройстве алгоритмы аппроксимации, оптимизации и улучшения приближенно-оптимального управления для различных динамических процессов с управлением. Проведено исследование возможностей и эффективности ПК ISCON на ряде модельных и прикладных задач.

Ключевые слова: задача оптимального управления, аппроксимация, метод наименьших квадратов, метод улучшения, параллельный алгоритм, язык программирования Т++.

Статья посвящена разработке и реализации методов синтеза оптимальных целевых законов управления, что является кардинальной проблемой теории и практики управления. Ее решение связано с бесконечномерными обратными задачами, аппроксимируемыми при численной реализации многомерными задачами, требующими неограниченно растущих вычислительных ресурсов для приближения к точным решениям. Это приводит к неизбежному выводу о необходимости реализовать решение подобных задач на современных высокопроизводительных вычислительных системах параллельной архитектуры. Парадигма параллельных вычислений в высшей степени соответствует самой природе рассматриваемых задач, связанных с множественностью однотипных операций на верхнем уровне, таких как решение обратной задачи через множество решений прямой (прямо или косвенно), а также формирование и численная реализация полей управлений (ситуационных управлений).

В статье приводятся результаты разработки, реализации и исследования экспериментального варианта программного комплекса (ПК) улучшения и оптимизации законов управления для приложений в различных областях (ПК ISCON) с распараллеливанием и переносом на кластер.

Комплекс предназначен для моделирования сложных динамических процессов, решения оптимизационных задач и задач улучшения управления для различных прикладных областей на

кластерном вычислительном устройстве. С этой целью в нем реализованы алгоритмы аппроксимации, оптимизации и улучшения приближенно-оптимального управления. Главными компонентами комплекса являются графический интерфейс, сервер управления, управляющие модули и набор исполняемых модулей.

В графическом интерфейсе происходят ввод начальных данных, постановка задачи, выбор метода решения задачи, управление потоками данных, визуализация и сохранение результатов. Сервер управления участвует в обеспечении пользователей доступом к возможностям комплекса, принимает запросы на решение выбранных задач с выбранными пользователем настройками. Управляющие модули принимают полученную от сервера управления информацию и выполняют развертывание полигона для вычислений, запуская в дальнейшем либо локально, либо удаленно исполняемый модуль решаемой задачи. Кроме того, модули обеспечивают сбор выходных данных и их передачу обратно серверу управления.

Основной идеей при разработке архитектуры системы было обеспечение гибкости и расширяемости. Выбранная модульная схема ПК обеспечивает расширяемость и масштабируемость. Гетерогенность вычислительной среды поддержана включением в архитектуру ПК управляющих модулей, связывающих физически разделенные компоненты ПК. В зависимости от набора исполняемых модулей ПК может использоваться при соз-

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.