Алгоритм прямого метода характеристик для гиперболических систем квазилинейных уравнений первого порядка Текст научной статьи по специальности «Физика»

Решетневскце чтения

О. V. Kaptsov

Institute of Computational Modelling, Russian Academy of Sciences, Siberian Branch, Russia, Krasnoyarsk

ON THE GOURSAT CLASSIFICATION PROBLEM

The Goursat problem of classification of nonlinear hyperbolic differential equations, which have two characteristic invariants, is considered. An algorithm for finding the characteristic invariants is described. On the basis of this algorithm, implemented in the REDUCE, made checking of the characteristic invariants of the two Lain\'{e}'s equations. It is shown that one of them has the invariants of the second and third orders. The presence of this equation shows that the Goursat problem, apparently, is still open. Computer calculations show that the characteristic invariants of the second Laine's equation given in his paper are incorrect.

© Kan^B O. B. 2012

УДК 539.37

М. М. Клунникова Сибирский федеральный университет, Россия, Красноярск

В. М. Садовский

Институт вычислительного моделирования Сибирского отделения Российской академии наук, Россия, Красноярск

АЛГОРИТМ ПРЯМОГО МЕТОДА ХАРАКТЕРИСТИК ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА*

Разработан универсальный вычислительный алгоритм и компьютерная программа в системе ЫайаЪ для произвольной гиперболической системы квазилинейных уравнений. Алгоритм применен к расчету сетки линий скольжения и поля вектора скорости в задачах теории предельного равновесия идеально пластических и сыпучих сред.

Рассматривается задача Коши для произвольной гиперболической системы квазилинейных уравнений общего вида:

dU dU A ^ + В -¿Т = F > U (x(s), Ms)) = F(s),

ox oy

Систему (1) можно привести к уравнениям на характеристиках :

dxh

- = а.

(1)

dU

Yk(аkA + bkB)— = YkF. (2) ds

где и(х, у) - да-мерная вектор-функция, подлежащая определению в точках плоской области Б; А (и, х, у), В(и, х, у) - да х да-матрицы, Е(П, х, у) - да-мерный вектор, Ф(Х) - вектор такой же размерности, заданный на кривой Ь: х = х^), у = у^), служащей частью границы Б. Полагается, что задача Коши поставлена корректно.

Предполагается, что система уравнений является гиперболической [1], тогда характеристическое уравнение

det(aB -рА) = 0, (а2 + р2 =1) в каждой точке (х, у)еБ имеет ровно да действительных корней ак(и, х, у), рк(и, х, у) (к = 1,..,,да), удовлетворяющих условию ак а + рк Ъ > 0 для некоторого ненулевого вектора (а, Ъ), указывающего направление выхода характеристик. Полная система левых собственных векторов Ук (и, х, у) имеет вид Ук (акВ -РкА) = 0.

^Ук

ds к ds

Для решения задачи Коши методом характеристик [2] на кривой Ь вводится сетка узлов (х1,у:),.,(х",у"). Из каждого узла выпускается веер характеристик вовнутрь области решения. С помощью библиотечной процедуры МайаЪ в узлах решается спектральная задача

(Р-КЯУк = 0, V * о, к = 1,2,..., да),

где Р = аВТ - ЪАТ, 0 = аАТ + ЪВТ, ¥к = У^ . Коэффициенты а и Ъ выбираются так, чтобы вектор (а,Ъ) был направлен вдоль внутренней нормали к звеньям ломаной, аппроксимирующей кривую Ь. Матрица 0 при таком выборе коэффициентов оказывается невырожденной, что гарантирует существование решения спектральной задачи.

Затем величины ак и рк вычисляются по форму-

лам

а, =

a -lkb

V(1 + l2)(a2 +b2)

bk =

l ka + b

V(1 + l2)(a2 +b2)'

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта 11-01-00053).

Прикладная математика

Крайние характеристики, выпущенные из узлов (У, y) и (У+1, У+1), пересекаются в точке (x, y), которая берется в качестве нового сеточного узла. На следующем этапе выпускаются оставшиеся характеристики системы из заранее неизвестных точек отрезка, соединяющего j-й и (/'+1)-й узлы на кривой L так, чтобы эти характеристики попали в узел (x, y).

Координаты точки выхода k-й характеристики xk = x + XkDx, yk = y + XkDy вычисляются через числовой параметр Xk£(0, 1), для определения которого используется квадратное уравнение

-(aj +XkDak)(y - yk) + (ft + XkDbk)(x - xk) = 0 .

Далее по интерполяционной формуле Uk= U + XkU+1 с помощью выбранного корня определяется приближенное решение в точке (xk,yk). Аналогичная формула применяется для вычисления левых собственных векторов и матриц-коэффициентов системы в этой точке.

На последнем этапе метода вычисляются коэффициенты уравнений на характеристиках

Yk(akAk +bkBk)(U - Uk) = YkFkDsk, (3) аппроксимирующих уравнения, (2), где Dsk = (x - xk )2 + (y - yk )2, а все величины с нижним индексом k относятся к точке выхода k-той характеристики. Решение задачи Коши строится как решение системы (3) в характеристическом треугольнике, ограниченном крайними характеристиками.

Алгоритм реализован в виде программы в системе МаИаЪ.

Проведены расчеты линий скольжения и поля скоростей в задаче идеальной пластичности для плоскости с отверстием, нагруженным внутренним давлением [3], осесимметричной задаче о вращающемся штампе на поверхности пластического полупространства [4] и в плоской задаче о предельном равновесии сыпучей среды [5]. Результаты показали хорошую работоспособность алгоритма.

Библиографические ссылки

1. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений. М. : Наука, 1978.

2. Магомедов К. М., Холодов А.С. Сеточно-характеристические численные методы. М. : Наука, 1988.

3. Качанов Л. М. Основы теории пластичности. М. : Наука, 1969.

4. Аннин Б. Д. Двумерные подмодели идеальной пластичности при условии полной пластичности // Проблемы механики : сб. ст. к 90-летию со дня рождения А. Ю. Ишлинского. М. : Физматлит, 2003. С. 94-99.

5. Садовская О. В., Садовский В. М. Математическое моделирование в задачах механики сыпучих сред. М. : Физматлит, 2008.

М. М. Klunnikova Siberian Federal University, Russia, Krasnoyarsk

V. М. Sadovskiy

Institute of Computational Modelling, Russian Academy of Sciences, Siberian Branch, Russia, Krasnoyarsk

ALGORITHMS OF DIRECT METHOD OF CHARACTERISTICS FOR HYPERBOLIC SYSTEMS OF QUASILINEAR FIRST-ORDER EQUATIONS

A universal computational algorithm and a computer program in the Matlab for any hyperbolic system of quasilinear equations were developed. The algorithm is applied to the calculation of the grid lines and the slip velocity vector field in the theory of limit equilibrium perfectly plastic and granular media.

© Клунникова М. М., Садовский В. М., 2012

УДК 539.3

Ю. А. Кравцова

Новокузнецкий институт (филиал) Кемеровского государственного университета, Россия, Новокузнецк

ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СЕТЧАТЫХ ОБОЛОЧЕЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ С УЧЕТОМ РАЗЛИЧНЫХ ГИПОТЕЗ ДЕФОРМИРОВАНИЯ УСИЛИВАЮЩИХ ЭЛЕМЕНТОВ

Представлено теоретическое описание гипотез деформирования балок гипотез Тимошенко и Сен-Венана.

Тонкостенные оболочечные конструкции находят широкое применение в ракетостроении, самолетостроении, судостроении и строительстве. Оболочки подкрепляются ребрами для увеличения прочности при незначительном увеличении массы.

Расчет устойчивости оболочек, имеющих сложную структуру, вызывает вычислительные и принципиальные трудности. Разрешение данных проблем является одной из актуальных задач разработки оболочеч-ных конструкций.