CC BY
103
2005
Известия ТИНРО
Том 140
УДК 641.1
В.А.Бураго
АЛГОРИТМ ПРОЕКТИРОВАНИЯ СБАЛАНСИРОВАННЫХ ПРОДУКТОВ И РАЦИОНОВ ПИТАНИЯ
Рассматривается расчет оптимальной рецептуры — одна из основных вычислительных задач теории и практики проектирования новых пищевых продуктов или составления сбалансированных рационов. Задача излагается в достаточно общей формулировке: в предположении, что требования, предъявляемые к проектируемому рациону (или продукту), выражаются в терминах линейных равенств или неравенств, а целевая функция является квазивогнутой. Предлагается компьютерный алгоритм, решающий эту задачу. Рассмотрены его ключевые точки. Настоящее исследование является продолжением обсуждения, начатого публикацией в т. 138 "Известий ТИНРО" (Бураго, 2004); его целью является раскрытие математического содержания задачи проектирования оптимально сбалансированных продуктовых композиций и рассмотрение ее возможного алгоритмического наполнения.
Burago V.A. An algorithm for design of the balanced food products and rations // Izv. TINRO. — 2005. — Vol. 140. — P. 329-338.
Food recipe evaluation and optimization is a central computational problem in theory and practice of the optimal food product or ration design. However, food engineers or technologists do not consider mathematical aspects of this problem usually. Often the computer techniques are employed but are not described with proper accuracy; consequently it becomes difficult (if possible) to check up or to re-render the obtained results.
In the paper , a general food reci pe optimization problem is considered in technical detail. All requirements of optimal ration (or food product) are supposed in the form of linear equalities or inequalities , and the goal function — as a quasiconcave one. A computer-aided approach for solving this problem is proposed, its key points are considered.
The paper continues the discussion initiated in "Izvestiya TINRO", vol. 138 (Бураго , 2004) to disclose mathematical content of the optimal recipe problem and to consider its feasible algorithmic support.
Задача проектирования пищевых продуктов или составления рационов питания, имеющих наибольшую пищевую ценность (удовлетворяющих некоторому предопределенному набору требований), остается актуальной и неизменно вызывает интерес специалистов. К настоящему моменту разработано большое количество разнообразных рекомендаций и диетологических концепций. В то же время эта задача, очевидно, не может считаться окончательно решенной.
Среди характеристик пищевой ценности продуктов питания, вероятно, наиболее важной и принципиальной является оценка биологической ценности входящего в состав исследуемого продукта белка. Ее принято получать, сопоставляя белок данного продукта и эталонный белок, обладающий наибольшей биологической ценностью. В последнее время получила широкое применение методика, основанная на вычислении химического скора — содержания аминокислот в
долях (или в процентах) от стандарта (FAO/WHO, 1973; FAO/WHO/UNU, 1985). В развитие этого подхода был введен коэффициент использования белка (или коэффициент рациональности аминокислотного состава), количественно оценивающий степень соответствия исследуемого белка эталону (Бражников и др., 1985; Липатов, Рогов, 1987). Пусть f f ..., f — эталонные количества аминокислот, p p ..., pm — содержание этих же аминокислот в оцениваемом белке, тогда коэффициент использования белка ф равен
Ф = ^min • А + Л + • • • + fm , (1)
Pi + Р2 + • • • + Pm
где Smin — скор главной лимитирующей аминокислоты. Проектирование оптимального продукта в терминах значений коэффициента ф означает подбор такого состава рецепта и таких долей ингредиентов, при которых коэффициент использования белка максимален. Для бинарных смесей попытка решения задачи максимизации коэффициента (1) была предпринята А.М.Бражниковым с соавторами (1985). В общей постановке эта задача аналитически не решается.
Аминокислотная сбалансированность является важным, но не единственным требованием, предъявляемым при оценке пищевой ценности продуктов питания. К числу таких принципиальных характеристик, помимо аминокислотного баланса, относят также условия энергетического баланса, сбалансированности жирнокислотного состава, ограничения на содержание углеводов, микро- и макроэлементов, витаминов. Точная постановка задачи оптимизации рецептуры зависит от комплексного учета этих требований и, возможно, ряда дополнительных условий, с ними связанных.
Из опубликованных на эту тему работ первостепенный и несомненный интерес представляет ряд статей Н.Н.Липатова (1986, 1990, 1995), в которых излагается общая концепция задачи оптимизации состава пищевых продуктов или рационов питания. Оптимальная рецептура составляется с помощью последовательного учета требований сначала к аминокислотному, а затем — к жирнокис-лотному и углеводному составам.
Для метода Н.Н.Липатова характерна достаточно глубоко проработанная формализация задачи, в результате чего на первый план выходит ее математическое содержание. В первую очередь это относится к оценке рациональности аминокислотного состава, для которой предложена система критериев, специфицированных сообразно различным ситуациям, определяемым величинами минимального скора и соотношениями между заменимыми и незаменимыми аминокислотами в исследуемом белке и в белке-эталоне. Во всех ситуациях эти критерии, по существу, сводятся к требованиям
S ^ 1 и ф ^ max. (2)
min
К сожалению, описание алгоритма для решения задачи оптимизации аминокислотного состава дано автором лишь эскизно. По имеющейся в указанных публикациях информации можно предположительно заключить, что речь идет о переборе значений весовых долей ингредиентов исследуемого сырьевого набора с некоторым шагом, характеризующим точность расчета. Результатом оптимизации по аминокислотному составу является лучшая из просмотренных рецептур. Э та рецептура далее оптимизируется, сначала по жирнокислотному, а затем по углеводному составу.
При всей привлекательности и основательности подхода Н.Н.Липатова следует признать, что более естественной является постановка вопроса о прямом вычислении оптимума с учетом всех желаемых свойств продуктовой композиции и о разработке соответствующего алгоритма. С вычислительной точки зрения методика также не выглядит завершенной. Впрочем, составить окончательное суждение о последнем затруднительно, поскольку реализация
вычислительного алгоритма не раскрывается, результаты вычислений не приводятся.
Надлежит отметить также подход к численному проектированию сбалансированных рецептур, основанный на использовании метода функций желательности Харрингтона (Harrington, 1965; Касьянов и др., 2001; Шаззо, 2004).
Метод Х аррингтона — весьма общая, гибкая и универсальная методика, позволяющая свести прикладную задачу поиска оптимального решения к математической задаче на экстремум. Следует, однако, иметь в виду, что у этого подхода имеются и существенные "умолчания" (естественные для универсальной методики, но недопустимые в контексте конкретной прикладной задачи), заключающиеся в отсутствии обоснованных критериев и четких правил выбора функций, оценивающих степень выполнимости предъявляемых требований или величину "желательности" рассматриваемой рецептуры. Формулируются лишь общие условия, которым должны удовлетворять функции желательности; их окончательное определение оставлено исследователю, применяющему метод. Как следствие, адаптация методики к отдельной предметной области может стать проблемой, не уступающей по сложности исходной. Приходится считаться с тем, что формулировка задачи и получаемые решения зависят от конкретного вида функций желательности, вследствие чего могут появляться "решения—артефакты", множественность решений и связанные с этим вычислительные или интерпретационные трудности. Чтобы избежать подобных проблем, следует теснее увязать математический формализм со спецификой решаемой задачи, для чего необходимо точно и максимально конкретно определить тип условий проектирования или требований к продукту, формулируемых при постановке математической задачи, и, насколько возможно, устранить произвол при выборе оценочных функций.
Требования, предъявляемые к пищевым продуктам, достаточно разнообразны, их конкретный вид может существенно зависеть от обстоятельств решаемой задачи: назначения разрабатываемой рецептуры, особенностей ее применения и т.п. Однако принципиально почти все такие условия, известные на данный момент, по формальным признакам можно разбить на три базовых класса: линейные неравенства, формулируемые в терминах долей ингредиентов (рецептурные ограничения); линейные неравенства, формулируемые в терминах долей компонент (ограничения на абсолютное содержание питательных компонент); и условия, выраженные пропорциями компонент (требования сбалансированности). Все мыслимое разнообразие условий не ограничивается перечисленными классами, однако они охватывают если не все, то по крайней мере подавляющее большинство практически важных требований, предъявляемых к пищевым продуктам, поэтому, не умаляя общности по существу, мы ограничимся рассмотрением условий лишь указанных типов.
Ниже дана детальная формулировка исследуемой задачи и рассмотрен алгоритм ее решения; рецептура, рассчитываемая в силу предлагаемого алгоритма, гарантированно удовлетворяет предварительно формулируемым условиям вышеперечисленных категорий. Принята следующая терминология: ингредиенты — продукты (сырьевые компоненты), составляющие рецептуру, макрокомпоненты — макропитательные вещества (белок, жир, углеводы, витамины, минеральные вещества), микрокомпоненты или элементы — микропитательные вещества (виды аминокислот, жирных кислот, конкретные витамины, химические элементы и т.п.). Обобщенно макро- и микрокомпоненты будем называть компонентами.
Статья является логическим продолжением ранее опубликованной работы (Бураго, 2004), в которой рассматривалась задача оптимизации аминокислотного состава продуктов (или рационов) питания. Ее главные результаты, необходимые для достижения целей настоящей публикации, суммированы ниже в разделе Базовая задача.
- y (1) ■ " Л' х"
y = Л'х = У(к ) = Л'кх
- y (*) _ _Л'Кх_
Формулировка задачи
Пусть матрица А характеризует состав ингредиентов, входящих в рецептуру продукта или формирующих рацион питания. Строки матрицы соответствуют ингредиентам, столбцы — питательным компонентам. Элементы матрицы — массовые доли компонент в соответствующих ингредиентах. Представим матрицу А в блочном виде А = [А1 ... Ах], где блоки Ак, к = 1, ..., К являются матрицами макропитательных компонент (аминокислотного, жирнокислотного, углеводного, микро- и макроэлементного или витаминного состава) размерности п ■ т, соответственно К — число макрокомпонент, учитываемых при проектировании рецептурной композиции.
Обозначим х = (х1, х2, ..., хп)' вектор рецептурных долей (п — количество варьируемых ингредиентов, штрих означает транспонирование), тогда компонентный состав у сырьевой композиции, определяемой вектором х, равен
(3)
Каждый из подвекторов y(к) = Лкх = У^] вектора y представляет со-
ответствующую питательную компоненту.
Требования, предъявляемые к продукту в целом, складываются из требований к отдельным компонентам. Эти требования записываются в виде равенств либо неравенств, или отношений пропорциональности. Выделим требования трех типов: рецептурные ограничения, ограничения на абсолютное содержание каких-либо микро- или макрокомпонент (компонентные ограничения) и требования пропорциональности (сбалансированности) тех или иных питательных компонент.
Рецептурные ограничения. Первая категория требований сводится к ограничениям на рецептурное количество ингредиентов, т.е. они записываются в виде равенств или неравенств в терминах долей ингредиентов:
x . < x < x , (4)
mm max'
где xmin и xmax — векторы требуемой размерности, а векторные неравенства понимаются поэлементно. Причина и природа этих ограничений может быть различной: вкусовые, технологические, структурные, экономические и другие требования. В эту же категорию отнесем нормирующее условие
n
X Xj = q, х > 0. (5)
i=1
Компонентные ограничения. Ограничения к абсолютным значениям питательных компонент формулируются в терминах элементов вектора y:
Ушт < Л'х < ymax. (6)
В эту группу требований отнесем, в частности, условие энергетического баланса: калорийность продукта (рациона) должна находиться в определенном диапазоне сообразно возрастной категории, степени интенсивности труда, образу жизни и другим условиям.
Рассматриваемая категория ограничений очень обширна. Выбирая матрицу A надлежащим образом, сюда можно отнести вообще все линейные по x неравенства. Так, ограничения на абсолютное содержание питательных компонент
обобщают рецептурные ограничения (4, 5), поскольку последние являются частным случаем (6), когда А = I или А = I = (1, 1, ..., 1) (здесь I — единичная матрица, I — п-мерный вектор). Тем не менее алгоритмически целесообразно более простые для контроля рецептурные ограничения выделять в отдельную категорию. Кроме того, условия первого и второго типов обычно различаются по своей приоритетности: во многих случаях рецептурные ограничения являются обязательными, поскольку определяют условия "физической реализуемости" продукта, в то время как компонентные ограничения лишь желательны (в той или иной мере).
Требования сбалансированности. Сбалансированность состава сырьевой композиции определяется с помощью пропорции вида
урУЧ= У,*:У2*■••:<, (7)
в правой части которой указана желаемая пропорция-эталон, соответствующая "идеальному" продукту.
Обобщим определение коэффициента использования белка, распространив его на другие питательные компоненты. Степень соответствия условию (7) оценим, исходя из величины наихудшего из отношений у- / у*. Сбалансированная в
силу требования (7) масса продукта равна Ш1п(у(к V у*— У*— Выражая эти величины в долях единицы, получим характеристики
f !Ъ\ \
ф(к)(x) =
min
i
Уг
(k)
y(k)
i y(k
(k)
^ (k) I Уг
k = 1,..., K. (8)
Большие значения оценочных функций (8) соответствуют лучшему продукту. Задавая границы ф^) , получим ограничения третьего типа:
ф(к)( x) *фСЙ, (9)
Целевая функция. Составление сбалансированной рецептуры удобно свести к задаче на экстремум интегрального критерия (целевой функции) при дополнительных ограничениях указанных выше типов. Для идеального продукта все функции ф(к)(х) достигают теоретического максимума, равного единице. Реально функции (8) достигают наибольших значений в различных рецептах, поэтому требование одновременной максимизации вектора показателей (8) противоречиво. В качестве скалярного критерия рассмотрим "консервативный" критерий:
ф(x) = min ф(к) (x) ^ max. (10)
k x
Значение целевой функции (10) для любого рецептурного вектора определяется худшим из показателей ф(к)(х).
Ниже рассмотрим также частный вариант постановки задачи, который будет отличаться от задачи (3-10) упрощенной целевой функцией:
ф(х) = ф«(х), (11)
где значение индекса i предполагается фиксированным. Заметим, что в случае, когда значение i в определении (11) соответствует белковой макрокомпоненте, целевая функция совпадает с коэффициентом (1).
Для удобства изложения условимся в контексте данной статьи задачу (410) называть общей (нисколько не претендуя на всеохватывающую общность), задачу с целевой функцией (11) — базовой или частной.
Известно, что для белковой компоненты оценка вида (8) хорошо согласуется с другими методами определения биологической ценности. Например, для методики, основанной на использовании инфузории Tetrahimena pyriformis, результаты оценивания 6 рецептов сывороточных гелей с различными добавками (Козлов и др., 2004) приведены на рисунке. Критерием биологической ценности в этой методике является отношение числа клеток, выросших за фиксированное время на исследуемом белке, к такому же показателю для стандартного ("идеального") белка. Данные свидетельствуют о высокой корреляции между значениями биологической ценности, получаемыми с помощью биологического теста, значениями минимального аминокислотного скора и значениями коэффициента использования белка. Сравнивая показатели между собой, отметим более резкое увеличение минимального скора в рецепте № 5. Кроме того, минимальный скор показывает несколько завышенное различие (по сравнению с тест-организмом) между 2-м и 5-м рецептами. Хотя оба расчетных показателя (минимальный скор и коэффициент использования белка) демонстрируют адекватное поведение, следует признать, что коэффициент использования белка в данном случае лучше отражает результаты биологического тестирования.
BV, %
100
ф, доли ед.
Оценки биологической ценности (BV) шести рецептов сывороточного геля: 1 — биологический тест; 2 — минимальный скор; 3 — коэффициент ф. Рассчитано по ранее опубликованным данным (Козлов и др., 2004)
Biological value estimation for six recipes of whey gel: 1 — biological test; 2 — minimal score; 3 — coefficient ф. Calculated on the basis of earlier published data (Козлов и др., 2004)
Номер рецепта
Вычислительные аспекты
Базовая задача. Рассмотрим задачу (4-8, 11). Обозначим
а] = -уАге] , а0 = Т^А«'Im, (12)
1] т 1
тогда
ф( х) = ф(г )(х) = —^шт а'х. (13)
а0 х ]
Постановка задачи максимизации функции (13) рассматривалась ранее (Бу-раго, 2004), в частности, проведено исследование ее свойств, на основании которого можно утверждать следующее.
1. Целевая функция (11) является квазивогнутой, т.е.
ф(х) >тт [фЦ), ф(х2)], (14)
где векторы х1, х2 произвольны, а точка х принадлежит отрезку с вершинами х1 и х2.
2. Поскольку целевая функция непрерывна и задана на компактном множестве, из условия (14) следует, что решение задачи существует, причем множество точек, в которых функция достигает своего максимума, связно.
3. Искомое значение x следует искать среди граничных точек, в которых I.(x) = /.(x), т.е. на множестве векторов x, для которых l'nx = q и выполнены хотя бы некоторые из равенств ejx = xmin( j), ejx = xmax( j) или a'x = ajx (i Ф j). Другими словами, максимальное значение рассматриваемого критерия (11) с необходимостью принадлежит множеству узловых точек:
Г = U {x : b'xx = pi1,b'hx = pi2,...,Ъ\п_хx = Pin_1, l'x = q} (15)
{il, h,..., in_i}
где векторы b. берутся из множества векторов, содержащего все орты е. = = (0, ..1, ..0)', j = 1, ..., n, векторы-столбцы матрицы A, а также разности вида a. - a,, j, i = 1, ..., m, i Ф j, а объединение вычисляется по всевозможным сочетаниям индексов i i ..., i Правые части равенств в случае, когда вектор b. совпадает с одним из ортов или столбцов матрицы A, определяются сообразно ограничениям (4) и (6), причем каждый вектор b. может входить в (15) в сочетании и с x . ., и с x . (соответственно — y . . и y .), что должно учитываться при
mm, г max, i у mm, i у max, г 7 J 1
формировании множества узловых точек.
В силу перечисленных выше свойств максимальное значение функции (11), определенной на континуальном множестве, определяемом условиями (5) и (4), следует искать на множестве вида (15). Область поиска сужается до конечного множества векторов, определяемых из решения систем уравнений вида
Bx = r,
(16)
где
В =
" Ъ0 " " q '
bi1 Pii
=
Ъ'п_1 _ _Pin-1 _
(17)
Ь. — векторы, участвующие в определении множества (15) (причем Ь0 = 1п), правые части уравнений р. определяются скалярными произведениями векторов долей неварьируемых ингредиентов (подвекторов полных рецептурных векторов) на соответственные подвекторы векторов Ь . Вектор х составлен только из рецептурных значений варьируемых ингредиентов. В случае, когда варьируемые ингредиенты составляют полный вектор (неварьируемых ингредиентов нет), все р., соответствующие векторам вида Ь. = а.1 - а.2 (Д Ф /2), равны нулю.
Во избежание возможной двусмысленности здесь следует сделать оговорку по поводу варьируемых и неварьируемых ингредиентов. Иногда под последними понимаются несколько ингредиентов, рецептурные доли которых находятся в определенной пропорции, причем эта пропорция должна оставаться постоянной, но их суммарное количество может быть изменено в случае необходимости. Например, в такой роли могут рассматриваться ингредиенты, составляющие гарнир блюда. Однако, не снижая уровня общности, данную группу ингредиентов можно ввести в рецепт и как независимый единый ингредиент, поэтому "неварь-ируемость" в данной статье понимается буквально — как постоянство абсолютных рецептурных долей.
Итерации. Определим рекуррентные формулы для улучшения текущего рецепта при решении базовой задачи. Пусть t — счетчик итераций. Предположим, что на итерации, определяемой номером ^ уже найдена некоторая узловая точка хШ, удовлетворяющая рецептурным ограничениям; для нее составлена
матрица B[t] и получена обратная матрица B-1[t]. На очередной (t + 1)-той итерации вычисляется узловая точка x[t + 1], являющаяся решением системы уравнений
B[t + 1] • x[t + 1] = r[t + 1], (18)
где матрица B[t + 1] и вектор r[t + 1] определены сообразно выбранным векторам b, определяющим новую узловую точку.
Будем рассматривать алгоритм, в котором на каждой итерации происходит обновление только одной j-той строки матрицы B и соответствующего ей элемента вектора r. Для матриц H[t] = B-1[t] (t = 1, 2, ...) справедливо тождество
H[t +1] = (B[t ] + ej (b[t +1] - b[t ])')-1 =
= H[t ]--1-H[t ]e (b[t +1] - b[t ])'H[t ], (19)
1 + (b[t +1] - b[t ])'H[t ]ej
позволяющее вычислять обратные матрицы H[t] на следующих итерациях, не выполняя операции обращения. Определим вспомогательную матрицу
F[t +1] = I--1--——— Н(j )[t ] • (b[t +1] - b[t ])' (20)
1 + (b[t +1] - b[t])'H(j ^t] Л (20)
где I — единичная матрица требуемой размерности, тогда
H[t + 1] = F[t + 1]H[t], (21)
x[t +1] = H[t + 1]r[t +1] = F[t + 1](x[t] + (rj [t +1] - rj [t])H( j) [t]). (22)
В формулах (20) и (22) верхний индекс означает номер столбца (H(j) — j-тый столбец матрицы H).
Общая задача. Рассмотрим теперь задачу (4-10). Сформулируем итеративный алгоритм ее решения, опираясь на решение частной задачи. Обозначим
искомое решение Ф* = rnaxmin ф(г)(x). Тогда оптимальный рецепт является решением частной задачи (4-8, 11) при дополнительных ограничениях ф('* > ф*. Таким образом, для получения искомого решения остается получить достаточно точную оценку величины ф*.
С этой целью рассмотрим следующую итерационную процедуру. Предположим, что на t-той итерации известны границы фтЬ[Л и ф [t] такие, что фmin[t] < ф* < фтШ. Вычислим решения базовых задач
Zj [t ] = arg max ф( j)(x), (23)
{x:min ф(г')( x )>ф[? ]}
i
где _
Ф[t ] = 0,5(фmin[t ] +Фmax[t ]). (24)
Если множество {x: minф(г)(x) > ф[t]} не пусто, то решения z[t] существуют и
будут найдены. В этом случае следует вычислить новую границу ф :
/ \
Фгат^ + 1] = max
ф[*], max min ф(г')(z ■ [t])
j i
(25)
иначе (т.е. в ситуации, когда не все решения zj[t] существуют) — обновить значение ф :
"max
Фг^ +1] = ФИ. (26)
Затем необходимо вернуться к решению задач (23). Итерации (23-26) повторяются до достижения требуемой точности (выполнения неравенства вида ф [t] - ф . [t] < е).
т max 'min
Для обоснования изложенного алгоритма заметим, что в случае, когда
ф[/] < max min ф(') (z [t]) j i
0min[t +1] = max min ф(/)(Zj [t]) < max min ф(/)(x) = ф*, (27)
j i x i
где предполагается, что на текущей итерации t решение всех задач вида (23)
существует, иначе ф* < ] = +1]. Отсюда следует, что
фт^ + 1] < ф* < фmax[t + 1]. (28)
Если аналогичное неравенство выполнено на первой итерации (что, очевидно, можно обеспечить, выбирая ф = 0, ф ax = 1), то при любом t значение ф* находится между границами фтЬШ и ф [t][!
В то же время, в силу (23), длина интервала (фтЬ, ф ) уменьшается на каждой итерации. Действительно, если решение задачи (23) существует, то
0min[t +1] >0[t ], в противном случае фmax[t +1] = 0[t ], поэтому
ф [t + 1] - ф . [t + 1] < 0,5 • (ф [t] - ф . [t]) (29)
imar ~min ' ~max "min
и, следовательно, имеет место сходимость
lim ф[7] = lim фmin [t] = lim ^ax [t] = ф* , (30)
t —t —t —
причем | ф[^] — ф* | < 0,5 • (фmax [t] — фmin [t]) < 0,5^. Значение аргумента, отвечающее найденному значению ф*, определяет оптимальную рецептуру.
В заключение заметим, что задача проектирования сбалансированной рецептуры, рассмотренная выше, значительно упрощена по сравнению с реальной ситуацией, в которой оказывается пищевик-технолог при разработке нового продукта или составлении рациона питания. На практике требуется более полный учет факторов, влияющих на конечный результат, в частности и прежде всего таких, как органолептические и функционально-технологические свойства продукта или полуфабриката. Кроме того, при формулировке математической задачи в настоящей статье не были приняты во внимание физиологические особенности усвояемости, а также характер кулинарной обработки продуктов, которая может приводить к изменению содержания питательных компонент в ингредиентах. Причем если технологические условия можно учесть с помощью рецептурных ограничений, а последствия кулинарной обработки или особенности усвояемости — вводом соответствующих коэффициентов, то управлять органолеп-тическими свойствами на этапе математического проектирования весьма затруднительно. Тем не менее обсуждаемая методика имеет определенные преимущества и представляет удобный инструмент для численной оценки и балансировки пищевых рецептур. Она учитывает специфику решаемой задачи, оставаясь достаточно гибкой в применении.
Отметим также технические преимущества предлагаемого алгоритма в сопоставлении с другими математическими методами оптимизации (среди которых наибольшее распространение получили методы градиентного типа). Например, алгоритм гарантирует точное вычисление искомого решения за конечное число итераций; не требуется вычисление значений градиента, что важно для поиска экстремума негладких функций, каковой является коэффициент ф; достаточно просто строятся оценки областей вида ф(x) > ф0, Уфо > 0, в частности, множество субоптимальных рецептов, для которых ф(x) > (1 -е)ф(xopt) (0 < £ < 1).
Предлагаемая методика применима как при проектировании рецептов сырьевых наборов для приготовления блюд, так и для расчета сбалансированных рационов питания.
Литература
Бражников А.М., Рогов И.А., Михайлов Н.А., Сильченко М.Н. Возможные подходы к аналитическому проектированию комбинированных продуктов питания // Изв. вузов. Пищ. технология. — 1985. — № 3. — С. 22-27.
Бураго В.А. Математические принципы оптимизации аминокислотного состава композиционных продуктов питания // Изв. ТИНРО. — 2004. — Т. 138. — С. 381-388.
Касьянов Г.И., Запорожский А.А., Юдина С.Б. Технология продуктов питания для людей пожилого и преклонного возраста. — Ростов-на-Дону: Изд. центр "МарТ", 2001. — 192 с.
Козлов С.Г., Просеков А.Ю., Афанасьев О.Ю. Сравнительная оценка относительной биологической ценности сывороточных гелей при помощи тест-организма Tet-rahimena pyriformis // Хранение и переработка сельхозсырья. — 2004. — № 4. — С. 42-43.
Липатов Н.Н. Некоторые аспекты моделирования аминокислотной сбалансированности пищевых продуктов // Пищ. и перерабат. пром-сть. — 1986. — № 4. — С. 48-52.
Липатов Н.Н. Принципы и методы проектирования рецептур пищевых продуктов, балансирующих рационы питания // Изв. вузов. Пищ. технология. — 1990. — № 6. — С. 5-10.
Липатов Н.Н. Предпосылки компьютерного проектирования продуктов и рационов питания с задаваемой пищевой ценностью // Хранение и переработка сельхозсы-рья. — 1995. — № 3. — С. 4-9.
Липатов Н.Н., Рогов И.А. Методология проектирования продуктов питания с требуемым комплексом показателей пищевой ценности // Изв. вузов. Пищ. технология. — 1987. — № 2. — С. 9-15.
Шаззо Р.И. Современные аспекты совершенствования технологий комбинированных продуктов функционального назначения // Хранение и переработка сельхозсырья. — 2004. — № 9. — С. 7-10.
Harrington Jr.E.C. The desirability function // Industrial Quality Control. — 1965. — Vol. 21, № 10. — P. 494-498.
FAO/WHO. Energy and protein requirements: report of a joint FAO/WHO ad hoc expert committee. — Geneva: WHO, 1973 (WHO tech. rep. ser.; № 522).
FAO/WHO/UNU. Energy and protein requirements: report of a joint FAO/WHO/ UNU expert consultation. — Geneva: WHO, 1985 (WHO tech. rep. ser.; № 724).
Поступила в редакцию 26.11.04 г.
