АЛГОРИТМ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ ПАРАМЕТРОВ СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ АСИНХРОННОЙ МАШИНЫ С КОРОТКОЗАМКНУТЫМ РОТОРОМ ПО КРИВОЙ ЗАТУХАНИЯ ФАЗНОГО ТОКА Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Дмитрий Сергеевич Буньков Dmitriy S. Bunkov

инженер-программист отделения силовой электроники, АО «ЭлеСи», Томск, Россия

УДК 621.313.33 DOI: 10.17122/1999-5458-2022-18-1-5-23

АЛГОРИТМ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ ПАРАМЕТРОВ СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ АСИНХРОННОЙ МАШИНЫ С КОРОТКОЗАМКНУТЫМ РОТОРОМ ПО КРИВОЙ ЗАТУХАНИЯ ФАЗНОГО ТОКА

Актуальность

Построение наиболее востребованной и распространенной на сегодняшний день векторной системы управления асинхронной машиной (АМ) с короткозамкнутым ротором (КЗ) базируется на применении линейной математической модели АМ, параметры которой представлены Т-образной схемой замещения, без учета потерь в магнитопроводе. Большинство отечественных преобразователей частоты (ПЧ) не имеют встроенной универсальной опции по нахождению оценок параметров схемы замещения АМ при неподвижном роторе, что, в свою очередь, является стандартом для наиболее продвинутых зарубежных производителей. Таким образом, построение алгоритмов предварительной идентификации особенно актуально при разработке программного обеспечения для универсальных ПЧ отечественного производства, способных работать с различными моделями АМ, что повышает их конкурентоспособность.

Цель исследования

Разработать алгоритм предварительной идентификации параметров схемы замещения АМ с неподвижным КЗ ротором по кривой затухания тока статора методом дифференциальной эволюции на основании полученной аналитической математической модели, а также проверить корректность найденных оценок параметров, используя анализ регрессионных остатков.

Методы исследования

В данном исследовании использованы теоретические и экспериментальные методы исследования. К теоретическим методам относятся теория электропривода, теория систем автоматического управления, теория электрических машин, теория дифференциальных уравнений, а также методы составления и решения систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений, прямое и обратное преобразование Лапласа, методы оптимизации. Экспериментальные исследования проводились на программно-аппаратном комплексе, где для оценивания точности результатов применялись методы анализа регрессионных остатков.

Результаты

Разработана настраиваемая регрессионная математическая модель, описывающая в аналитической форме процесс затухания тока статора АМ с неподвижным КЗ ротором. На основании разработанной настраиваемой регрессионной математической модели сформирован алгоритм идентификации параметров схемы замещения АМ методом дифференциальной эволюции. С помощью анализа регрессионных остатков подтверждена корректность оценок параметров схемы замещения АМ,

ELEcTRicAL FAciLiTiES AND SYSTEMS

полученных с использованием разработанного алгоритма предварительной идентификации на основании экспериментальных кривых затухания тока.

Ключевые слова: схема замещения, асинхронная машина, регрессионные остатки, предварительная идентификация, дифференциальная эволюция, оптимизация

OFF-LINE ESTIMATION ALGORITHM OF SQUIRREL-CAGE INDUCTION MACHINE EQUIVALENT CIRCUIT PARAMETERS BY A FALLING PHASE CURRENT CURVE

Relevance

The construction of the most popular and widespread, according to the author, a field oriented control system for squirrel-cage (SC) induction machine (IM) is based on the use of a linear mathematical model IM, the parameters of which are represented by a T-shaped equivalent circuit without taking into account magnetic core loses. The most domestic frequency converters (FC) do not have a built-in universal option for estimation of IM equivalent circuit parameters under the condition of the rotor non-rotatable, which in turn is the standard for the most advanced foreign manufacturers. Thus, the construction of offline identification algorithms is especially important in the development of software for universal domestically produced frequency converters, capable of working with different AM models, which increases their competitiveness.

Aim of research

To develop an algorithm for off-line identification of non-rotating SC IM equivalent circuit parameters by a stator falling current curve using the differential evolution method based on the obtained analytical mathematical model, and also to check the correctness of the obtained parameter estimates using analysis of regression residuals.

Research methods

In this study, theoretical and experimental research methods were used. The theoretical methods include: the theory of electric drive, the theory of automatic control systems, the theory of electrical machines, the theory of differential equations, as well as methods for compiling and solving systems of linear and non-linear algebraic equations, direct and inverse Laplace transform, optimization methods. Experimental studies were carried out on a hardware-software complex, where regression analysis methods were used to evaluate the accuracy of the results.

Results

An adaptive regression mathematical model has been developed that describes in an analytical form the process of SC non-rotating IM stator current falling. Based on the developed adaptive regression mathematical model, an algorithm of induction motor equivalent circuit parameters estimation was formed by the method of differential evolution. Using the analysis of regression residuals, confirmed the correctness of estimated IM equivalent circuit parameters obtained using the developed preliminary identification algorithm based on the experimental falling current curves.

Keywords: equivalent circuit, induction machine, analysis of regression residuals, offline identification, differential evolution, optimization

Общая методика идентификации

параметров динамического объекта

по кривой затухания тока

Построение наиболее востребованной и распространенной на сегодняшний день векторной системы управления асинхронной машиной (АМ) с короткозамкну-тым ротором (КЗ) [1] базируется на применении линейной математической модели АМ, параметры которой представлены Т-образной схемой замещения, без учета потерь в магнитопроводе [2]. Большинство отечественных преобразователей частоты (ПЧ) не имеют встроенной универсальной опции по нахождению оценок параметров схемы замещения АМ [3-5] при неподвижном роторе, что, в свою очередь, является стандартом для наиболее продвинутых зарубежных производителей.

Предлагаемая процедура предварительной идентификации параметров динамического объекта по кривой затухания тока [6] средствами цифрового устройства производится в два этапа. В качестве динамического объекта выступает АМ с неподвижным КЗ ротором, для которой производится идентификация параметров схемы замещения на основании фазного тока статорной обмотки.

На первом этапе накачки средствами транзисторного коммутатора производится подключение обмоток динамического объекта к источнику питания, что вызывает протекание постоянного тока заданной величины. Этап накачки продолжается до полного и гарантированного завершения переходного процесса по току, время которого определяется свойствами динамического объекта, после чего установившееся значение тока /(0+) запоминается цифровым устройством и используется при дальнейших расчетах в качестве ненулевого начального условия.

По окончании первого этапа накачки производится переход ко второму этапу идентификации — формированию кривой затухания тока, что обеспечивается отключением обмоток испытуемого динамического объекта от источника питания и их замыканием между собой. За счет энергии, накопленной в магнитной системе динамического объекта на этапе накачки, происходит плавное затухание свободной составляющей фазного тока /исх(0 от установившегося значения /(0+) до нуля. Мгновенные значения затухающего тока динамического объекта фиксируются с помощью цифрового устройства идентификации (рисунок 1). Исходный сигнал кривой тока /исх(0 может быть доступен для наблюдения только в модельных задачах, в реальных же системах этот сигнал необратимо смешан с помехами измерительной системы <^(0. К помехам <1(/) следует отнести помехи, вызванные несовершенством канала измерения, несовершенством регулировочной характеристики датчика тока (зона нечувствительности, насыщение, гистерезис).

При прохождении через аналогово-цифровой преобразователь (АЦП) сигнал /вх.АцП(0 подвергается двум видам преобразования: дискретизации по времени с периодом дискретизации Дt и квантованию по уровню с добавлением аддитивной помехи квантования <2((), зависящей от разрядности АЦП.

Для дальнейших выкладок сделано допущение, что суммарные помехи <(0 = <() + <2(?) в измерительной системе имеют форму белого шума с гауссовским распределением. Обработка полученного дискретного сигнала /изм(я-Д^), где п — номер текущего шага дискретизации, производится в программном обеспечении цифрового устройства с помощью блока предварительной идентификации. Сформированная итерационная проце-

Рисунок 1. Функциональная схема цифрового устройства для предварительной идентификации параметров динамического объекта по кривой затухания тока

Figure 1. Functional diagram of a digital device for parameters off-line identification of a dynamic object according to the falling current curve

дура производит расчет невязки Лг (и • А?) между током на выходе настраиваемой регрессионной модели Дг («■ Лг), для которой ток /(0+) является ненулевым начальным условием, и экспериментально полученным током /изм(пД/), определяя значение целевой функции 5,(и Аг,Х,г(0+)), которое характеризует степень сходимости алгоритма к решению.

На основании полученного значения целевой функции производится ее минимизация, достигаемая корректировкой оценок искомых параметров настраиваемой регрессионной модели динамического объекта Х{к\ где к - шаг итерационного процесса идентификации. После окончания итерационной процедуры, которое происходит по достижении требуемого уровня показателя оптимизации, происходит выдача полученных итоговых оценок Х^ искомых параметров. Начальные приближения оценок Х(0) задаются до начала процесса вычисления и в значительной степени определяют скорость сходимости алгоритма к решению.

Формирование настраиваемой регрессионной модели затухающего тока статора АМ с неподвижным КЗ ротором

Описание процессов, протекающих в АМ с КЗ ротором, может быть представлено Т-образной схемой замещения без учета магнитных потерь в неподвижной, жестко связанной со статором системе координат а, в (рисунок 2).

г ^ -

г1сф^ г2сф J ' Юэл.р ' —2ав

R 1о

& W

М1сф

t_

Рисунок 2. Т-образная схема замещения АМ с КЗ ротором без учета магнитных потерь в неподвижной, жестко связанной со статором системе координат а, в

Figure 2. T-shaped equivalent circuit IM with non-rotating short circuit rotor without taking into account magnetic losses, rigidly connected to the stator coordinate system а, в

Электротехнические комплексы и системы

На Т-образной схеме замещения (рисунок 2):

йщ — обобщенный вектор напряжения статора;

— обобщенный вектор тока статора; ^ — обобщенный вектор тока намагничивания;

— обобщенный вектор тока ротора; юэлр — электрическая частота ротора; ¥гар — обобщенный вектор потокосце-

пления ротора.

Обобщенные вектора переменных состояния представлены в системе координат а, в, жестко связанной со статором.

Таким образом, при учете неподвижности ротора (юэл.р= 0) для регулируемых АМ необходимо определять оценки следующих параметров Т-образной схемы замещения: активное сопротивление ста-торной обмотки /?ь приведенное к статор-ной активное сопротивление роторной обмотки К^, индуктивность рассеяния ста-торной обмотки Ца, приведенная к статору индуктивность рассеяния обмотки ротор Ь'2в, а также индуктивность главного контура намагничивания (рисунок 2).

На основе прямых измерений электрических величин в фазных обмотках АМ можно получить только оценку активного сопротивления статорной обмотки. Нахождение остальных оценок электромагнитных параметров Т-образной схемы замещения АМ требует применения методов предварительной идентификации.

К основным допущениям, принимаемым при составлении настраиваемой регрессионной математических модели АМ с КЗ ротором (рисунок 2), применяемой в дальнейшем для построения алгоритма предварительной идентификации, относятся линейность магнитной системы, отсутствие потерь в магнито-проводе, а также равенство индуктивности рассеяния обмотки статора и приведенной к статору индуктивности рассеяния обмотки ротора Ца = = Ьа [7]. Таким

образом, требуется построение алгоритма предварительной идентификации, определяющего оценки индуктивности рассеяния ¿ст, индуктивности главного контура намагничивания а также приведенного к статору активного сопротивления обмотки ротора К АМ с КЗ ротором.

Для составления настраиваемой регрессионной модели, лежащей в основе алгоритма предварительной идентификации, использована стандартная линейная модель АМ без учета магнитных потерь в неподвижной жестко связанной со статором системе координат а, в [8], описываемая системой дифференциальных уравнений вида

т''2р-в-(О•'МО

а ■ ■ ь2

-—г-^-МО-^МО

О ■ Ьу ■ ь2

(0-

& ь2 ь'2 ЧЛ )

-*,-®г(0-М0 (1)

+гР-аг{ О-МО

л

-МО-иОЬлМО '

. /

где г1а (?) — состояние тока статора в момент времени t по оси а [А];

г1р(0 — состояние тока статора в момент времени t по оси в [А];

м1и(0 — состояние напряжения, питающего статорную цепь, в момент времени t по оси а [В];

м1р(0 — состояние напряжения, питающего статорную цепь, в момент времени t по оси в [В];

х|/1а(г) — состояние вектора потокосце-пления, наводимого от протекания токов статора, в момент времени ? по оси а [Вб];

\|/1р(0 — состояние вектора потокосце-пления, наводимого от протекания токов статора, в момент времени ? по оси в [Вб];

ю,. (?) — мгновенное значение угловой скорости вращения ротора АМ [рад/с];

Мс (?) — мгновенное значение момента статического сопротивления на валу двигателя [Нм];

1л=ца-\-Ь — эквивалентная индуктивность обмотки статора [Гн];

¿2 = ¿2Я + ^ц — эквивалентная индуктивность обмотки ротора [Гн];

12

о = 1--—7 — коэффициент рассеяния

А '^2

[ое.];

т'2

k-L;—

эквивалентное актив-

Система дифференциальных уравнений (1) принимает вид:

dt c-Z, <^4. a-i, ' а-Ц-Ц? V2aW

•A

ФМ0_ К

(2)

K-K ,

На основании (2) и теоремы о дифференцировании оригинала прямое преобразование Лапласа [9] при ненулевых начальных условиях для УгДО

записывается как

dUt)

^ 4.C0+V0

= P-I1ÁP)~ÍlaO d¥2»(t)

>piM-hAo+)=

dt Va,(0+)í0 --P-^laiP)-^! a0>

(3)

ное сопротивление цепей статора [Ом];

3 — момент инерции одномассового механизма [кгм2];

гр — число пар полюсов.

Так как эксперимент снятия кривой затухания тока производится при неподвижном роторе (ю,.(?) = Ох процессы, протекающие в эквивалентных обмотках двухфазной АМ по составляющим а, в, становятся независимыми и идентичными процессам, происходящим в двух однофазных независимых нагруженных трансформаторах, каждый из которых символизирует соответствующую ось, а или в- Вследствие независимости процессов, отображаемых по осям а, в при неподвижном роторе, дифференциальные уравнения для описания переменных состояния г'1р (?) и \|/2р (?) в системе дифференциальных уравнений (1) можно исключить, а ось а выбрать в качестве базовой оси. При снятии кривой затухания тока статорные обмотки АМ являются закороченными, что позволяет приравнять нулю напряжения м1а(^),

где (0 +) = ца0 Ф 0 — тока статора по оси а в момент начала фиксации кривой затухания тока [А];

¥2а(0+) = ¥гао ф 0 — проекция потокосце-пления ротора по оси а в момент начала фиксации кривой затухания тока [Вб].

Ток ^„(0+) фиксируется непосредственно перед началом снятия кривой затухания тока.

Согласно уравнениям равновесия магнитных цепей АМ [7-10] в начале снятия кривой затухания тока

¥2„(0+) = ^-?2а(0+) + ^-?1а(0+), (4)

где г2а(0+) — значение тока ротора АМ в момент начала снятия кривой затухания тока.

В момент начала проведения эксперимента идентификации в обязательном порядке достигается условие равенства

нулю тока ротора г2а(0+) = 0. Тогда выражение (4) принимает вид

¥2а(0+) = 0 + ^^Л0+) = 0 + ^-г'1аО- (5)

Перейдем к операторной форме записи на основании исходной системы дифференциальных уравнений (2) с учетом ненулевых начальных условий (3), (5)

Р-1ы{р)-Чао =

о ■ о • Ь^ ■ И2

т'Г ¿V. \ л. / г/

2 2

1а0

к. ъ-к

ш=

Р + ^7 +

Ь2 о ■ Ьц ■ ¿2

а-Ц

р+ 'к 4 Г 4+4 1 2-4+4

р2+р и^+КУ^+к)} + / ' \

{ 4-(2-4+4) ] [4(2-4+4)J

уМ+у1

+

А,-(2-^+4)

= 0.

Решив характеристическое уравнение (9), получим полюсы полинома знаменателя (8)

ъ=

4-(2"4+4) М2А+4)

(10)

(6)

4(2-4+4)

д2

4(2-4+4)

Выражаем (/?) из второго уравнения системы (6)

К '

р + -л-

4

Подставляем Ч'гЛ/') в первое уравнение системы (6) и выражаем /1а(/>)

'Чао- (7)

Произведем обратную подстановку

значений а, Я L1 и ¿2 в уравнение (7) и, упростив выражение, получим итоговое изображение по Лапласу свободной составляющей затухающего тока статора

г2=

являющиеся корнями этого характеристического уравнения.

Задача проектирования эффективных АМ, приемлемых для применения в инженерной практике, требует конструирования обмоток статора и ротора с заведомо различающейся конструкцией, и, как следствие, с отличающимися электрическими параметрами. Различие параметров обмоток статора и ротора АМ позволяет гарантированно предполагать, что корни (10) знаменателя передаточной функции (8) не являются кратными [11]. Отсутствие кратных корней (10) характеристического уравнения (9) позволяет применять вторую теорему разложения [12] для нахождения оригинала тока ¿1а (t) по известному изображению (8)

(11)

■Ь. (8)

В знаменателе выражения (8) заменим р на у и, приравняв полученный полином к нулю, получим характеристическое уравнение

где к — номер корня характеристического уравнения;

Рт (у) — числитель передаточной функции (8) при соответствующем корне у;

(у) — производная знаменателя передаточной функции (8) при соответствующем корне у.

Выражение Рт (у) согласно (8) определяется

( 4+4

у +

Рт( у) =

К

ь

2-4+4

V 11 ° JJ

1а0

■ (12)

(9)

Выражение (Уп (у) согласно (8) определяется как знаменатель

у + у ■

+

V

RiK

+

(13)

Произведя возврат от изображения к оригиналу через подстановку корней у12 согласно выражению (11) второй теоремы о разложении, получаем оригинал тока статора

= (14)

Qn{ъ) б„Ы

Согласно (10), (12) выражения ^(у^ и Рт (у2) определяются

' ЧаЯ'

рЛъ)=

V(2A+4) M2-h+K)

4-RrK

' haß-

а(ъ)=

(Ri + K)-(Lll+La)

\2

4 Rj-K

аы=-

v

Полученное аналитическое выражение тока статора в непрерывном времени (14) позволяет сформировать настраиваемую регрессионную модель вида

+

Согласно (10), (13) выражения Q'„{4\) и Q'„ (y2) определяются

(15)

для которой задача оптимизации сводится к нахождению оценок трех параметров схемы замещения АМ ь^,

Построение алгоритма предварительной идентификации параметров схемы замещения АМ методом дифференциальной эволюции

Переход к дискретной форме записи [13, 14] настраиваемой регрессионной модели (15) позволяет сформировать целевую функцию, где для избавления от знака невязки между модельными и экспериментальными значениями используется возведение в квадрат [15, 16]. Значение целевой функции как суммы соответствующих элементарных целевых функций по трем оцениваемым параметрам имеет вид:

т _

Л=1

(16)

где т — число оцифрованных значений тока статора, полученных экспериментально.

В качестве метода минимизации целевой функции (16) выступает метод дифференциальной эволюции (ДЭ) [17, 18], отличающийся низкими вычислительными затратами среди аналогичных мета-эвристических методов оптимизации [19], а также отсутствием необходимости вычисления частных производных от целевой функции, что характерно для классических методов оптимизации [20].

На основании целевой функции (16) производится формирование алгоритма предварительной идентификации (рисунок 3) методом дифференциальной эволюции [17, 18], где в качестве оптимизируемых параметров выступают Ьа, ь^, В^.

Движение рабочей точки по поверхности целевой функции зависит от предварительно заданной силы мутации (Т),

/-1-

¿.■=0,(«P-1);1|

1

^ Начало

^^ 2-у

Снятие кривой /

затухания тока ¿изм(0 +

! Ввод R1, i1a0, At, m, D = 3, G = 0, e, CR, F, Г, sh,

(g )=s (g )+f -с (g )—с (g ))

_min , R_

WP = KD]

I (G +1), if (rand (0,1) < CR) or (j = k)

(G +1) =

else x, , (G)

^ ( A,(G+1), 4(0+1), R2,(0+1) ) = X

^ ( ( n -At), 4(o+1), 4(0+,), R2(o+1)) -—i3Kn (и -Ai)

-5—1-1

Распределение особей начальной популяции

i(G +1) =

fx'(G +1),if f (x'(G +1))< f (% (G))

I % (G), otherwise

ф

^ Конец

Рисунок 3. Блок-схема итерационного алгоритма идентификации параметров схемы замещения Щ методом дифференциальной эволюции

Figure 3. Block diagram of the iterative algorithm for estimating the parameters La, L , R'2 of the equivalent circuit using the differential evolution method

вероятности скрещивания (CR), схемы скрещивания (sh), которые являются настройками метода ДЭ и задаются согласно ландшафту целевой функции (этап 3 на рисунке 3). Для повышения скорости сходимости алгоритма идентификации к решению предложено ограничение поискового пространства областью положительных решений, имеющих физический смысл, а также равномерным распределением особей начальной популяции в полученном w-мерном пространстве.

Таким образом, согласно предложенному алгоритму идентификации методом ДЭ (этапы 3-5 на рисунке 3) начальная популяция особей, каждая из которых является пробным решением, распределена в заданных пределах

Aj min "Aj max'4 min max'^2 min max' фор-

мируя трехмерное пространство решений

согласно выражению NP = KD, где K —

коэффициент популяции; D — мерность

поискового пространства, равная единице

при решении одномерной задачи; NP —

размер сформированной популяции.

Процесс нахождения искомых оценок заключается в итерационном

формировании новой популяции (этапы 6-12 на рисунке 3), что требует применения операции мутации (этап 7 на рисунке 3,), операции скрещивания (этап 8 на рисунке 3), а также операции селекции (этапы 9-10 на рисунке 3) согласно размеру популяции. Далее производится выбор особи из сформированной новой популяции, лучше всего соответствующей критерию оптимизации.

Критерием останова алгоритма идентификации (этап 13 на рисунке 3) является уменьшение дисперсии особей (Disp), характеризующей степень сходимости особей популяции к экстремуму целевой функции, ниже заданного предела е. После останова алгоритма идентификации (этап 14 на рисунке 3) производится вывод в качестве решения лучших особей популяции

K{G_besty Lv{G_best)'K(G_best)' наиболее

близко соответствующих критерию оптимизации. При программной реализации метода дифференциальной эволюции в цифровом устройстве рекомендовано применение чисел с плавающей точкой удвоенной точности (double float) размерностью 64 бита [17, 18].

Апробация алгоритма предварительной идентификации с использованием

экспериментальной измерительной установки

Для проведения процедуры предварительной идентификации параметров различных АМ с КЗ ротором по кривой затухания тока статора на базе ПЧ была разработана экспериментальная измерительная установка (рисунок 4), автономный инвертор напряжения (АИН) которой выполнен на MOSFET-транзисторах Л-типа с индуцированным каналом [21] с крайне низким падением напряжения в открытом состоянии. В качестве микроконтроллера, примененного в составе экспериментальной измерительной установки для организации управления транзисторами АИН, измерения мгновенных значений кривой затухания тока, а также последующего нахождения оценок параметров схемы замещения АМ с КЗ на основе разработанного алгоритма предварительной идентификации использован микроконтроллер STM32F407VGT6, имеющий в своем составе 12-битный АЦП.

Рисунки 5, 6 иллюстрируют этапы проведения эксперимента снятия кривой затухания фазного тока статора АМ с КЗ ротором. Подключение АИН экспериментальной измерительной установки, имеющей в своем составе транзисторы VT1-VT6, производится к клеммам А, В, С обмоток статора АМ с КЗ ротором. Фиксация мгновенных значений тока iA фазы А, которая выбрана как базовая, производится с помощью соответствующего канала измерения.

На первом этапе эксперимента предварительной идентификации производится накачка током (рисунок 5), обозначенного синим цветом, испытуемых обмоток АМ до гарантированного завершения переходного процесса по току, по окончании которого значение тока фиксируется микроконтроллером устройства. Такой подход обеспечивает выполнение обязательного требования из области допущений, что в начале процесса затухания тока статора ток ротора должен быть равен или близок к нулю с приемлемой точностью. Формирование требуемого уровня установившегося значения тока обеспечивается уровнем напряжения звена

Рисунок 4. Внешний вид экспериментальной измерительной установки, запитанной от лабораторного источника напряжения, при снятии кривой затухания тока статора АМ

с неподвижным КЗ ротором

Figure 4. Appearance of the experimental measuring device, powered from a laboratory voltage source, when taking the falling current curve of the IM stator with non-rotating short-circuit rotor

постоянного тока ис, регулируемого лабораторным источником напряжения в зависимости от активного сопротивления испытуемых обмоток. Контур протекания тока обеспечивается замыканием транзисторов УТ1, УТ4, УТв, транзисторы УТ2, УТ3, УТ5 при этом остаются закрыты. Уровень постоянной составляющей тока, формируемой на этапе накачки током обмоток, целесообразно задавать приближенным к величине номинального тока АМ, что при интеграции данного метода идентификации в программное обеспечение ПЧ обеспечит хорошее соотношение сигнала и шума в измерительном канале,

и, как следствие, меньшую погрешность оценивания параметров. Для организации этапа накачки в ПЧ, входные цепи которого запитаны от промышленной сети 380 В, а АИН выполнен на полупроводниковых ключах к крайне низким падением напряжения на открытом канале, возможно применение широтно-импульс-ной модуляции, что позволит сформировать требуемый уровень тока в статорных обмотках, не превышающий номинальных значений.

На втором этапе эксперимента предварительной идентификации (рисунок в) происходит отключение обмоток статора

юг=0

Рисунок 5. Схема коммутации ключей АИН для обеспечения этапа накачки током обмоток

статора АМ с неподвижным КЗ ротором

Figure 5. Switching scheme of autonomous voltage inverter keys to ensure the current pumping of the IM stator windings with non-rotating short-circuit rotor

G)r=0

Рисунок 6. Схема коммутации ключей АИН для снятия кривой затухания тока статора АМ

с неподвижным КЗ ротором

Figure 6. Switching scheme of autonomous voltage inverter keys to ensure the current falling of the IM stator windings with non-rotating short-circuit rotor

АМ от звена постоянного тока и их замыкание друг на друга коммутацией транзисторов VT1, УТЬ, VT5, транзисторы УТ2, УТ4, УТ6 при этом разомкнуты. В момент коммутации транзисторов начинается плавное затухание токов обмоток статора, поддержание которых обеспечивается за счет энергии, накопленной в магнитных цепях АМ, и дискретная фиксация этих токов, обозначенных розовым цветом, с помощью канала измерения в память микроконтроллера. Частота оцифровки мгновенных значений кривой затухания тока составляет 10 кГц, что согласуется с характеристиками применяемого в составе системы управления микропроцессора, а также приблизительной электрической постоянной времени АМ и временем переходного процесса. Полученные мгновенные значения кривой затухания тока фиксируются в памяти микроконтроллера, после чего на их основе производится итерационное нахождение требуемых оценок параметров схемы замещения АМ методом дифференциальной эволюции.

Стоит отметить, что предварительная программная фильтрация экспериментально полученной кривой затухания тока не требуется, так как отклик настроенной регрессионной модели позволяет оптимальным образом провести линию тренда через зашумленные исходные данные с максимально возможной достоверностью. Также стоит отметить, что принудительное стопорение вала АМ при проведении процедуры предварительной

идентификации не требуется. Возможное вращение вала полностью завершится на этапе накачки, при котором фиксируется только установившееся значение тока. На этапе снятия кривой затухания тока вращение вала не происходит, так как не происходит изменение направления вектора тока в обмотках АМ, сформированного на этапе накачки, а происходит только уменьшение его длины, что соответствует принятым допущениям.

В качестве исследуемого динамического объекта, использованного для экспериментальной оценки работоспособности алгоритмов предварительной идентификации (рисунок 3), выступала АМ с КЗ ротором серии ЭЛАС производства ОАО «МОГИЛЕВЛИФТМАШ» (Могилёв, Республика Беларусь) в диапазоне мощностей от 120 до 550 Вт. Серия АМ ЭЛАС (таблица 1) применяется в составе электропривода ГУСАР под управлением преобразователя частоты ESD-VCX производства АО «ЭлеСи» (Томск) [22].

Для оценки степени сходимости разработанного алгоритма предварительной идентификации (рисунок 3) к решению на каждом шаге расчета к производится оценка уровня дисперсии особей П1вр(к) (рисунок 7, а), а также значения целевой функции Япоп(к) для популяции (рисунок

7, Ъ).

Итерационные процессы уменьшения дисперсии особей и значения целевой функции (рисунок 7) демонстрируют высокую скорость сходимости алгоритма

P Вт HOM5 A Ином, об/мин I а £ HOM5 UHOM КПД cos9

120 1350 0,5 380 57 0,66

180 1350 0,7 380 60 0,68

250 1320 0,9 380 65 0,67

370 1385 1,24 380 68 0,67

550 2730 1,4 380 75 0,81

Таблица 1. Справочные данные АМ с КЗ ротором серии ЭЛАС Table 1. Reference data IM with a short-circuit rotor of the ELAS series

1000! 8000 6000 4000 2000 0

-©— Disp ( k )

200,

150

100

50

0

10

15

20 00

""©—¿Поп ( k )

>-9-е-е-е-о

к

10

15

20

а) b)

Рисунок 7. Итерационные процессы изменения значений дисперсии особей Disp(k) (а) и целевой функции для популяции 5П0П (£) (b) при нахождении параметров схемы

замещения ЭЛАС мощностью 120 Вт

Figure 7. Iterative processes of changing the values of the individuals dispersion Disp(k) (a) and the objective function for the population Snan(k) (b) when searching the parameters of the ELAS equivalent circuit with a power of 120 W

идентификации, а также асимптотическую устойчивость.

Графики экспериментально полученной кривой затухания тока статора АМ с КЗ ротором серии ЭЛАС и Вт и отклика тока регрессионной модели, настроенной на основании полученных оценок параметров Щ,, представлены на рисунке 8.

Параметры схемы замещения АМ с КЗ ротором серии ЭЛАС в диапазоне от мощностей 120-550 Вт, полученные с помощью разработанного алгоритма предварительной идентификации, представлены в таблице 2.

Интегральные погрешности между экспериментальной кривой затухающего тока и откликом тока настроенной регрессионной модели для АМ серии ЭЛАС определены согласно выражению [23]:

А

0.4

0.3

0.2

0.1

i 1 - /эксп ( n Ai ) - l(n ai,4,L,R) _

Ьии, 1 i 1

0.06 % L

m M i

0.04

т Ш11 m

1 Pl i ' i 1 04 0.06 0.08 0.1 n ■ At

0 0.1 0.2 0.3 0.4 с

Рисунок 8. Сравнение экспериментально полученной кривой затухания тока статора ^(n At) АМ с КЗ ротором ЭЛАС мощностью 120 Вт и отклика тока настроенной регрессионной модели

Figure 8. Comparison of the experimentally obtained IM stator falling current curve of 120 W ELAS short-circuit rotor and the current response of the tuned regression model ^(лД^^Л)

Таблица 2. Оценки параметров схемы замещения АМ серии ЭЛАС Table 2. Equivalent circuit estimated parameters of the AM of the ELAS series

5

5

0

Модель R, Ом \ мГн La, мГн

ЭЛАС 120 36,76 1,4197 0,17

ЭЛАС 180 21,96 1,0426 0,12

ЭЛАС 250 17,62 0,8699 0,09

ЭЛАС 370 11,04 0,6380 0,06

ЭЛАС 550 6,27 0,6538 0,03

i

8 = --J--100%.

0

Результаты сведены в таблицу 3.

Таблица 3. Интегральные погрешности между экспериментальной кривой тока и откликом тока настроенной регрессионной модели для АМ серии ЭЛАС

Table 3. Integral errors of the experimental current curve and current response of the tuned regression model for the IM series ELAS

Мощность, Вт 120 180 250 370 550

о, % V 1,010 1,295 1,559 1,678 3,514

Построение зависимости распределения регрессионных остатков от времени (рисунок 9) позволяет произвести визуальный анализ регрессионных остатков.

0,04

0,02

-0,02 -

-0,04

Полученные интегральные погрешности (таблица 3) не превышают 4 %, что является приемлемым результатом для инженерной практики.

Анализ регрессионных остатков

Для подтверждения того, что настроенная регрессионная модель с оптимальной достоверностью описывает экспериментальные данные, получаемые в результате взятия невязки регрессионные остатки е,.(г = 1,...,и) должны соответствовать следующим критериям [24].

Критерий 1. Модельные данные должны стремиться к истинному значению математического ожидания, в качестве которого при решении данной задачи оптимизации выступают экспериментальные данные. При этом регрессионные остатки должны быть Ее! = 0,1 = 1,...,п.

Критерий 2. Регрессионные остатки должны иметь одинаковую дисперсию Ве1 = а3,1 = 1,...,п, т.е. быть равномерно расположены относительно математического ожидания ошибки, в данном случае относительно нуля.

Критерий 3. Остатки должны быть независимыми £, • * = 1 ,—,п.

Рисунок 9. Распределение регрессионных остатков при обработке данных для АМ модели ЭЛАС 120

Figure 9. Distribution of regression residuals during data processing for the AM model ELAS 120

На основании визуального анализа регрессионных остатков (рисунок 9) можно утверждать, что регрессионные остатки стремятся к нулю, при этом распределение остатков относительно математического ожидания расположено равномерно (критерий 1).

Иным методом регрессионного анализа является критерий Стьюдента [25], который требует определения среднеквадратичной ошибки расхождения в наборах данных:

s = .

\{n\-n)-s\2 +(п2-1) -si2

r 1 — +

n2

где п1 = п2 — число элементов в выборке, и это является полной выборкой снятых величин;

т 1, т2 — средние значения на выборке для экспериментально полученной кривой затухания тока и отклика настроенной регрессионной модели;

0

и s2 — среднеквадратичные значения на выборке для экспериментально полученной кривой затухания тока и отклика настроенной регрессионной модели;

у=п 1+п2-2 — степень свободы при комбинировании двух средних значений.

Критерий значимости согласно критерию Стьюдента определяется как т\ — т2

г =-.

Нулевая и альтернативная гипотезы заданы как НО: т1 < т2 и Н1: т1 > т2.

Нахождение ^-значения, определяющего вероятность получения для данной вероятностной модели распределения значений случайной величины такое же или более экстремальное значение статистики по сравнению с ранее наблюдаемым, при условии, что нулевая гипотеза верна, согласно критерию Стьюдента, следующее:

Р = 2-(\-рЩ,у)), где а — уровень значимости, принятый 0,01.

Расчет предела критической области согласно критерию Стьюдента производится как

что позволяет проверить нулевую гипотезу.

Для проверки независимости остатков (критерий 3) применяется статистика Дарбина-Уотсона (DW-критерий) [26]

= -„2-2-^-= 2-(1-Р1),

Х(е,)2

2У

где р1 — коэффициент автокорреляции первого порядка, при этом р1=0=>Д(Г = 2

р!=-1=> БЖ = 4.

Проведенный анализ регрессионных остатков данных, полученных при обработке результатов идентификации параметров АМ серии ЭЛАС, представлен в таблице 4.

Внешний вид графика распределения Стьюдента на примере обработки данных для АМ модели ЭЛАС 120 представлен на рисунке 10.

На основании графика распределения Стьюдента (рисунок 10 и таблица 4) значений критерия значимости, предела критической области, ^-значения, среднеквадратичной ошибки расхождения в наборах данных и их анализа делается заключение, что средние значения между полученной экспериментальной кривой затухания тока и откликом настроенной

Таблица 4. Результаты анализа регрессионных остатков для АМ серии ЭЛАС

crit =

qt

а

Table 4. Results of analysis of regression residuals for AM series ELAS

Мощность, Вт 120 180 250 370 550

Графический анализ Наличие математического ожидания да да да да да

Критерий Стьюдента Среднеквадратическая ошибка расхождения в наборах данных 5, о.е.10-3 0,546 0,8228 1,129 1,526 1,874

Критерий значимости 1, о.е. 0,766 0,947 0,775 0,724 1,478

^-значение, о.е. 0,444 0,344 0,439 0,469 0,137

Предел критической области сгН, о.е. 2,576 2,576 2,576 2,576 2,576

Статистика Дарби-Уотсона DW-критерий 1,924 1,65 1,235 0,876 0,285

0,4

0,3

0,2

0,1

График / распределения / \ 1 f=0,76( \ > 1 crit=2,5' 1 16

Стьюдента 1\ 1 1

|\ 1 \ 1 1

1 \ 1 1

_4 -2 0 2 4

Рисунок 10. График распределения Стьюдента при обработке данных для АМ модели ЭЛАС 120

Figure 10. Student's distribution plot during data processing for the AM model ELAS 120

регрессионной модели равны, а также соблюдается условие равенства дисперсий (критерий 2).

Согласно определенному DW-крите-рию (таблица 4) регрессионные остатки независимы, но имеют небольшую положительную автокорреляцию (критерий 3).

Выводы

1. На основании общеизвестной системы дифференциальных уравнений получено аналитические выражения, описывающие кривую затухания тока статора АМ с КЗ ротором для апробирования методов идентификации параметров при условии неподвижности ротора и ненулевых начальных условиях.

2. Разработан алгоритм предварительной идентификации трех параметров схемы замещения АМ с КЗ ротором с применением метода дифференциальной эволюции. Получены численные оценки параметров схемы замещения АМ с неподвижным КЗ ротором различных мощностей в диапазоне 120-550 Вт

3. Получены интегральные погрешности расхождения между экспериментальной кривой затухания тока статора АМ и откликом настроенной регрессионной модели, не превышающие 4 %, что допустимо в инженерной практике.

4. В результате проведенного анализа регрессионных остатков выявлено следующее:

4.1 согласно визуальному анализу можно утверждать, что регрессионные остатки стремятся к нулю, при этом распределение остатков относительно математического ожидания расположено равномерно;

4.2 согласно критерию Стьюдента среднеквадратичная ошибка расхождения в наборах экспериментальных и модельных данных составляет не более 1,874 с вероятностью (р-значение) не менее 0,137;

4.3 согласно критерию Дарби-Уотсона полученные значения DW-критерия находятся в допустимом диапазоне 0-2 о.е., что свидетельствует о том, что регрессионные остатки независимы, но имеют положительную автокорреляцию;

5. Пункты 3, 4 выводов свидетельствуют о корректности допущений, принятых при составлении настраиваемых регрессионных моделей для рассматриваемого режима работы АМ, а также об устойчивой сходимости разработанного алгоритма предварительной идентификации. Разработанный алгоритм предварительной идентификации параметров схемы замещения АМ с КЗ ротором может быть применим при настройке различных систем управления АМ, включая векторную систему управления.

0

Список источников

1. Иванов-Смоленский А.В. Электрические машины. М.: Высшая школа, 1980. 890 с.

2. Вольдек А.И. Электрические машины. Л.: Энергия, 1985. 840 с.

3. Chen Yang, Jing Yang. Off-Line Parameter Identification of Linear Induction Motor Based on PWM Inverter // 2019 5th International Conference on Control, Automation and Robotics (ICCAR). 2019. Vol. 1. P. 477-481.

4. Аникин В.В. Методика и средства предварительной идентификации параметров модели послеремонтных регулируемых погружных асинхронных электродвигателей: диса ... канд. техн. наук. Томск, 2020. 182 с.

5. Боловин Е.В. Разработка алгебраических методов идентификации параметров асинхронных двигателей на основе дискретных моделей: дисс. ... канд. техн. наук. Томск, 2018. 271 с.

6. Глазырин А.С., Аникин В.В., Бунь-ков Д.С., Анятскин Д.И., Старцева Ю.Н., Ковалев В.З., Хамитов Р.Н., Кладиев С.Н., Филипас А.А. Нелинейное алгебраическое оценивание индуктивности вибрационного электромагнитного активатора по кривой затухания тока // Известия Томс-кого политехнического университета. Инжиниринг георесурсов. 2020. Т. 331. № 1. C. 148-157.

7. Baiqiang Yu, Anwen Shen, Yu Kong and Shuo Yue. Parameter Identification for Induction Motor Eliminating Dead Zone Effect // 2019 Chinese Automation Congress (CAC). 2019. Vol. 1. P. 1669-1675.

8. Удут Л.С., Мальцева О.П., Коя-ин Н.В. Проектирование и исследование автоматизированных электроприводов. Часть 8. Асинхронный частотно-регулируемый электропривод: Учебное пособие. Томск: Изд-во ТПУ, 2000. 448 с.

9. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лап-ласа и Z-преобразования. М.: Наука, 1971. 288 c.

10. Шрейнер Р.Т. Математическое моделирование электроприводов переменного тока с полупроводниковыми преобразователями частоты. Екатеринбург: УрО РАН, 2000. 654 с.

11. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования.

3 изд., испр. М.: Изд-во «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1975. 768 с.

12. Штокало И.З. Операционное исчисление (обобщения и приложения). Киев: Наукова Думка, 1972. 302 c.

13. Анучин А.С. Системы управления электроприводов. М.: Издательский дом МЭИ, 2015. 370 с.

14. Котельников В.А. О пропускной способности эфира и проволоки в электросвязи

— Всесоюзный энергетический комитет // Материалы к I Всесоюзному съезду по вопросам технической реконструкции дела связи и развития слаботочной промышленности, 1933. Репринт статьи в журнале УФН. 2006. Т. 176. № 7. С. 762-770.

15. Мудров В.И., Кушко В.Л. Метод наименьших модулей. 2-е изд. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1971. 64 с.

16. Линник Ю.В. Метод наименьших квадратов и основы математико-статистиче-ской теории обработки наблюдений. 2-е изд. М.: Высшая школа, 1962. 354 с.

17. Storn R., Price K. Differential Evolution

— A Simple and Efficient Adaptive Scheme for Global Optimization over Continuous Spaces // Journal of Global Optimization. 1995. No. 23 (1). P. 1-12.

18. Storn R., Price K. Lampinen J. Differential Evolution: A Practical Approach to Global Optimization. Berlin: Germany, Springer-Verlag, 2005. 285 p.

19. Пантелеев А.В. Метаэвристические алгоритмы поиска глобального экстремума. М.: МАИ, 2009. 160 с.

20. Звонков В.Б., Попов А.М. Сравнительное исследование классических методов оптимизации и генетических алгоритмов // Сибирский журнал науки и технологий. 2013. № 4 (50). С. 23-27.

21. Bose B.K. Modern Power Electronics and AC Drives. New Jersey, USA: Prentice Hall PTR, 2002. 711 p.

22. ООО НПО «Сибирский машиностроитель» [Электронный ресурс] URL: https:// www.nposibmach.ru/product (дата обращения: 27.02.2022).

23. Афанасьев К.С. Разработка наблюдателя состояния для асинхронного электропривода с повышенной параметрической

робастностью: дисс. ... канд. техн. наук. Томск, 2015. 106 с.

24. Burden R.L., Faires J.D. Numerical Analysis. 7th Edition. Brooks/Cole, 2000. 837 p.

25. Student. The Probable Error of a Mean // Biometrika. 1908. No. 6 (1). P. 1-25.

26. Durbin J., Watson G.S. Testing for Serial Correlation in Least Squares Regression, I // Biometrika. 1950. Vol. 37. P. 409-428.

References

1. Ivanov-Smolenskii A.V. Elektricheskie mashiny [Electrical Machines]. Moscow, Vysshaya shkola, 1980. 890 p. [in Russian].

2. Vol'dek A.I. Elektricheskie mashiny [Electrical Machines]. Leningrad, Energiya Publ., 1985. 840 p. [in Russian].

3. Chen Yang, Jing Yang. Off-Line Parameter Identification of Linear Induction Motor Based on PWM Inverter. 2019 5th International Conference on Control, Automation and Robotics (ICCAR), 2019, Vol. 1, pp. 477-481.

4. Anikin V.V. Metodika i sredstva predvaritel'noi identifikatsiiparametrov modeli posleremontnykh reguliruemykh pogruzhnykh asinkhronnykh elektrodvigatelei: diss. ... kand. tekhn. nauk [Methods and Means of Preliminary Identification of Model Parameters after Repair of Adjustable Submersible Asynchronous Electric Motors: Cand. Engin. Sci. Diss.]. Tomsk, 2020. 182 p. [in Russian].

5. Bolovin E.V. Razrabotka algebrai-cheskikh metodov identifikatsii parametrov asinkhronnykh dvigatelei na osnove diskretnykh modelei: diss. ... kand. tekhn. nauk [Development of Algebraic Methods for Identifying Parameters of Asynchronous Motors Based on Discrete Models: Cand. Engin. Sci. Diss.]. Tomsk, 2018. 271 p. [in Russian].

6. Glazyrin A.S., Anikin V.V., Bun'-kov D.S., Anyatskin D.I., Startseva Yu.N., Kovalev V.Z., Khamitov R.N., Kladiev S.N., Filipas A.A. Nelineinoe algebraicheskoe otsenivanie induktivnosti vibratsionnogo elektromagnitnogo aktivatora po krivoi zatukhaniya toka [Nonlinear Algebraic Estimation of a Vibration Electromagnetic Activator Inductivity by a Failing Current Curve]. Izvestiya Tomskogo politekhnicheskogo univer-siteta. Inzhiniring georesursov — Bulletin of the Tomsk Polytechnic University. Geo Assets

Engineering, 2020, Vol. 331, No. 1, pp. 148157. [in Russian].

7. Baiqiang Yu, Anwen Shen, Yu Kong and Shuo Yue. Parameter Identification for Induction Motor Eliminating Dead Zone Effect. 2019 Chinese Automation Congress (CAC), 2019, Vol. 1, pp. 1669-1675.

8. Udut L.S., Mal'tseva O.P., Koya-in N.V. Proektirovanie i issledovanie avtoma-tizirovannykh elektroprivodov. Chast' 8. Asinkh-ronnyi chastotno-reguliruemyi elektroprivod: Uchebnoe posobie [Design and Research of Automated Electric Drives. Part 8. Asynchronous Frequency-Controlled Electric Drive: Textbook]. Tomsk, Izd-vo TPU, 2000. 448 p. [in Russian].

9. Dech G. Rukovodstvo kprakticheskomu primeneniyu preobrazovaniya Laplasa i Z-preobrazovaniya [A Guide to the Practical Application of the Laplace Transform and the Z-Transform]. Moscow, Nauka Publ., 1971. 288 p. [in Russian].

10. Shreiner R.T. Matematicheskoe modeli-rovanie elektroprivodov peremennogo toka s poluprovodnikovymi preobrazovatelyami chastity [Mathematical Modeling of AC Electric Drives with Semiconductor Frequency Converters]. Ekaterinburg, UrO RAN, 2000. 654 p. [in Russian].

11. Besekerskii V.A., Popov E.P. Teoriya sistem avtomaticheskogo regulirovaniya [Theory of Automatic Control Systems]. 3 ed. Moscow, Nauka Publ., Glavnaya redaktsiya fiziko-matematicheskoi literatury, 1975. 768 p. [in Russian].

12. Shtokalo I.Z. Operatsionnoe ischislenie (obobshcheniya i prilozheniya) [Operational Calculus (Generalizations and Applications)]. Kiev, Naukova Dumka, 1972. 302 p. [in Russian].

13. Anuchin A.S. Sistemy upravleniya elektroprivodov [Electric Drive Control Systems]. Moscow, Izdatel'skii dom MEI, 2015. 370 p. [in Russian].

14. Kotel'nikov V.A. O propusknoi sposobnosti efira i provoloki v elektrosvyazi — Vsesoyuznyi energeticheskii komitet. Materialy kI Vsesoyuznomu s"ezdupo voprosam tekhni-cheskoi rekonstruktsii dela svyazi i razvitiya slabotochnoi promyshlennosti, 1933. Reprint stat'i v zhurnale UFN [Materials for the First All-Union Congress on the Technical Reconstruction of Communications and the Deve-

lopment of Low-Current Industry, 1933. Reprint of an Article in the UFN Journal. 2006. Vol. 176, No. 7, pp. 762-770. [in Russian].

15. Mudrov V.I., Kushko V.L. Metod naimen 'shikh module [The Method of Least Modules]. 2 ed. Moscow, Gos. izd-vo fiz.-mat. lit., 1971. 64 p. [in Russian].

16. Linnik Yu.V. Metod naimen'shikh kvadratov i osnovy matematiko-statisticheskoi teorii obrabotki nablyudenii [The Least Squares Method and the Foundations of the Mathematical and Statistical Theory of Observation Processing]. 2 ed. Moscow, Vysshaya shkola Publ., 1962. 354 p. [in Russian].

17. Storn R., Price K. Differential Evolution — A Simple and Efficient Adaptive Scheme for Global Optimization over Continuous Spaces. Journal of Global Optimization, 1995, No. 23 (1), pp. 1-12.

18. Storn R., Price K. Lampinen J. Differential Evolution: A Practical Approach to Global Optimization. Berlin, Germany, Springer-Verlag, 2005. 285 p.

19. Panteleev A.V. Metaevristicheskie algoritmy poiska global'nogo ekstremuma [Metaheuristic Algorithms for Global Extremum Search]. Moscow, MAI, 2009. 160 p. [in Russian].

20. Zvonkov V.B., Popov A.M. Srav-nitel'noe issledovanie klassicheskikh metodov

optimizatsii i geneticheskikh algoritmov [Comparative Study of Classical Optimization Methods and Genetic Algorithms]. Sibirskii zhurnal nauki i tekhnologii — Siberian Journal of Science and Technology, 2013, No. 4 (50), pp. 23-27. [in Russian].

21. Bose B.K. Modern Power Electronics and AC Drives. New Jersey, USA, Prentice Hall PTR, 2002. 711 p.

22. OOO NPO «Sibirskii mashinostroitel'» [OOO NPO «Siberian Mashinostroitel»]. [Electronic Resource]. URL: https://www. nposibmach.ru/product (accessed 27.02.2022). [in Russian].

23. Afanas'ev K.S. Razrabotka nablyu-datelya sostoyaniya dlya asinkhronnogo elektroprivoda s povyshennoi parametricheskoi robastnost'yu: diss. ... kand. tekhn. nauk [Development of a State Observer for an Asynchronous Electric Drive with Increased Parametric Robustness: Cand. Engin. Sci. Diss.]. Tomsk, 2015. 106 p. [in Russian].

24. Burden R.L., Faires J.D. Numerical Analysis. 7 ed. Brooks/Cole, 2000. 837 p.

25. Student. The Probable Error of a Mean. Biometrika, 1908, No. 6 (1), pp. 1-25.

26. Durbin J., Watson G.S. Testing for Serial Correlation in Least Squares Regression, I. Biometrika, 1950, Vol. 37, pp. 409-428.