Алгоритм построения Т-неприводимого расширения для многоугольных орграфов Текст научной статьи по специальности «Математика»

то состояние Б = Бо ... Бя-\ лежит в цикле графа функционирования системы

с параметрами

п = Е пг, к = ко + £ щ - По, Т = То + £ W(Б^ - W(Бо)

г=0 г=о г=о

и является состоянием с короткими сериями.

Теорема 5. Пусть состояние Б' лежит в цикле графа функционирования системы с параметрами п', к', Т и отображением А' и выполнено условие W(Б) = W(А'(Б')). Тогда состояние

с*_ с*/ с*/ с*/ с*/

Б = Б Б . . . Б Б

'------V-----'

т

лежит в цикле графа функционирования системы с параметрами

п = тп', к = к' + 1п', Т = Т + Ш(Б')

и является состоянием с короткими сериями для всех 0 < I < т.

ЛИТЕРАТУРА

1. Евдокимов А. А., Лиховидова Е. О. Дискретная модель генной сети циркулянтного типа с пороговыми функциями // Вестник Томского государственного университета. 2008. №2. С.18-21.

2. Быков И. С. Функционирование дискретных моделей генных сетей циркулянтного типа с пороговыми функциями // Материалы IX молодежной научн. школы по дискретной математике и её приложениям. МГУ, 2013. С. 26-31.

УДК 519.17

АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ Т-НЕПРИВОДИМОГО РАСШИРЕНИЯ ДЛЯ МНОГОУГОЛЬНЫХ ОРГРАФОВ

А. В. Гавриков

Предложен полиномиальный алгоритм построения одного из Т-неприводимых расширений для многоугольного орграфа. Приведено доказательство корректности алгоритма.

Ключевые слова: многоугольный орграф, отказоустойчивость дискретных систем, Т-неприводимое расширение.

Под ориентированным графом (или орграфом) понимается пара С = (V, а), где V — конечное непустое множество вершин; а — отношение на множестве V (дуги орграфа). Вложение орграфа С = (V, а) в орграф Н = ^, в) — это взаимно однозначное отображение : V ^ W, такое, что (Уи,ь Е V)((и,ь) Е а ^ (р(и),ф(ь)) Е в). При этом говорят, что орграф С вкладывается в орграф Н. Расширение орграфа С = (V, а) — это орграф Н = (Ш, в), где | W| = IV| + 1, такой, что орграф С вкладывается в каждый максимальный подграф орграфа Н [1]. Тривиальное расширение (ТР) орграфа С — это соединение С + т орграфа С с вершиной т, обозначается через ТР(С). Т-неприводимое расширение (ТНР) орграфа С — это расширение орграфа С, полученное удалением максимального множества дуг из ТР(С) [2].

Ориентированные графы представляют собой математические модели дискретных систем [3]. Вопросы отказоустойчивости на данный момент сформулированы в терминах теории графов [3, 4]. Конструкции оптимальных расширений, которыми являются

Т-неприводимые расширения, широко применяются в диагностике дискретных систем и криптографии [5].

В общем случае задача определения того, является ли орграф Н расширением для орграфа С, является МР-полной, а задача поиска ТНР по заданному орграфу С не принадлежит классу МР [6].

Контур в орграфе — это простой циклический путь. Контур, состоящий из п вершин, обозначим через Сп = v0v1... ^га-1^о, считая ^о выбранной начальной вершиной. Многоугольным орграфом порядка п называется всякий орграф М, полученный переориентацией некоторых дуг контура Сп [7]. Далее все арифметические операции над индексами вершин в многоугольных орграфах будем производить по модулю п. Следующий алгоритм строит одно из ТНР для многоугольного орграфа. Алгоритм

Дан многоугольный орграф М = (^, 7). Построим его ТНР следующим образом:

1. Добавим к М вершину т.

2. Для каждой вершины V Е Z добавим дуги следующим образом:

— если V Е Z является источником, то добавим дугу ^,т);

— если V Е Z является стоком, то добавим дугу (т^);

— если V Е Z такова, что ^+^) = 1 и <1-^) = 1, то добавим дуги ^,т) и (т^).

Обозначим построенный орграф Но = (^ во). Положим к = 0.

3. Рассматриваем вершины многоугольного орграфа М, имеющие степени исхода и захода 1, в порядке возрастания их индексов.

Пусть, для определённости, вершины пронумерованы таким образом, что для вершины VI Е Z, имеющей степени исхода и захода 1, существуют ^-:1,^+1 Е Z, такие, что ^^1, ^), (^, ^+1) Е 7. По построению в п. 2 алгоритма вершина vi соединена с вершиной т дугами (^,т) и (т,^) (рис. 1). Пунктирная линия на рис. 1, соединяющая две вершины, означает, что между ними может быть как одна дуга в любом из направлений, так и две дуги, если одна из инцидентных вершин является вершиной т. Возможны следующие случаи:

Случай А: многоугольный орграф М вкладывается в орграф Нк — Vi-1 — (т, ^). Строим орграф Нд,+1 = (^вк+1), такой, что Нк+1 = Нк — (т,^), вк+1 = вк — (т^). Далее алгоритм продолжает работу с орграфом Нк+1, переходим к следующей вершине в п. 3.

Случай В: многоугольный орграф М вкладывается в орграф Нд — vi+1 — ^, т). Строим орграф Нк+1 = (^вк+1), такой, что Нд+1 = Нд — ^,т), вк+1 = вк — ^,т). Далее алгоритм продолжает работу с орграфом Нк+1, переходим к следующей вершине в п. 3.

Случай С: орграф М не вкладывается ни в орграф Нк—vi-1 — (т, vi), ни в орграф Нк — vi+1 — (V, т). Не производим никаких действий, переходим к следующей вершине в п. 3.

Рис. 1. Иллюстрация п. 3 алгоритма

Уточнение: если в многоугольном орграфе M каждая вершина является либо источником, либо стоком, то п. 3 алгоритма пропускается.

После того как все вершины в п. 3 рассмотрены, алгоритм завершает свою работу. Построенный из орграфа Н орграф Hk, где k — количество дуг, удалённых в п. 3 алгоритма, является ТНР для многоугольного орграфа M.

Асимптотическая сложность алгоритма составляет O(n3), где n = |Z| —количество вершин в многоугольном орграфе M.

Доказана теорема о корректности предложенного алгоритма. Алгоритм позволяет также получить верхние и нижние оценки количества добавленных дуг в ТНР для многоугольных орграфов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Богомолов А. М., Салий В. Н. Алгебраические основы теории дискретных систем. М.: Наука, Физматлит, 1997. 326 c.

2. Курносова С. Г. Т-неприводимые расширения для некоторых классов графов //Теоретические проблемы информатики и её приложений: сб. науч. тр. / под ред. проф. А. А. Сытника. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2004. С. 113-125.

3. Hayes J. P. A graph model for fault-tolerant computing systems //IEEE Trans. Comput. 1976. V. С-26. No. 9. P. 875-884.

4. Абросимов М. Б. Некоторые вопросы о минимальных расширениях графов // Известия Саратовского университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2006. Т. 6. Вып. 1/2. С. 86-91.

5. Салий В. Н. Доказательства с нулевым разглашением в задачах о расширениях графов // Вестник Томского государственного университета. Приложение. 2003. №6. С. 63-65.

6. Абросимов М. Б. О сложности некоторых задач, связанных с расширениями графов // Матем. заметки. 2010. Т. 88. №5. С. 643-650.

7. Салий В. Н. Упорядоченное множество связных частей многоугольного графа //Известия Саратовского университета. 2013. Т. 13. Вып. 2. С. 44-51.

УДК 519.1

ОБ АТТРАКТОРАХ В КОНЕЧНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ ДВОИЧНЫХ ВЕКТОРОВ, АССОЦИИРОВАННЫХ С ОРИЕНТАЦИЯМИ ПАЛЬМ

А. В. Жаркова

Описываются аттракторы в конечных динамических системах двоичных векторов, ассоциированных с ориентациями пальм, определяется свойство принадлежности состояния аттрактору. Состояниями динамической системы являются все возможные ориентации данной пальмы, а эволюционная функция у данной ориентации пальмы переориентирует все дуги, входящие в стоки.

Ключевые слова: аттрактор, двоичный вектор, конечная динамическая система, пальма, сверхстройное (звездообразное) дерево.

Под конечной динамической системой понимается пара (S, 8), где S — конечное непустое множество, элементы которого называются состояниями системы, 8 : S ^ S — отображение множества состояний в себя, называемое эволюционной функцией системы. Каждой конечной динамической системе сопоставляется карта, представляющая собой орграф с множеством вершин S и дугами, проведёнными из