CC BY
11
Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. № 4(24). C. 158-165. ISSN 2079-6641
DOI: 10.18454/2079-6641-2018-24-4-158-165
УДК 519.85; 519.17
АЛГОРИТМ ПОСТРОЕНИЯ БАЗОВОГО ГРАФА ЗАДАЧИ СИНТЕЗА ОПТИМАЛЬНОЙ ПОТОКОВОЙ
СЕТИ
М.А. Багов, Л. В. Скорикова
Институт прикладной математики и автоматизации - филиал КБНЦ РАН, 360000, КБР, г. Нальчик, ул. Шортанова, 89 А E-mail: ipma@niipma.ru
В статье представлен метод построения базового (избыточного) графа соединений узлов потоковой сети, основанный на формализации инженерного подхода и оптимизации.
Ключевые слова: потоковая сеть, задача синтеза, базовый граф, метод построения, функция перспективности дуг, алгоритм.
© Багов М.А., Скорикова Л. В., 2018
MSC 65K05; 94C15
ALGORITHM FOR CONSTRUCTING THE BASIC GRAPH FOR OPTIMUM FLOW NETWORK SYNTHESIS PROBLEM
M.A. Bagov, L. V. Skorikova
Institute of Applied Mathematics and Automation of Kabardin-Balkar Scientific Centre of RAS ( IAMA KBSC RAS), 360000, Nalchik, Shortanova st., 89A, Russia E-mail: ipma@niipma.ru
In the paper, the construction method of the basic (redundant) flow network node-link diagram is presented. Formalized design approach combined with optimization methods are used.
Key words: flow network, synthesis problem, basic graph, construction method, arcs perspective function, algorithm.
© Bagov M.A., Skorikova L.V., 2018 158
Введение
Важной и нерешенной к настоящему времени проблемой является построение избыточного геометрического графа соединений узлов потоковой сети друг с другом на основе которой далее решается задача построения оптимальной потоковой сети. Проблема состоит в построение такого связного избыточного геометрического графа соединений заданных узлов сети друг с другом и с источником сетевого продукта, который не содержит нерациональных соединений (дуг графа). Такой граф позволяет снизить размерность задачи построения оптимальной потоковой сети, являющейся существенно многоэкстремальной.
Задача синтеза потоковой сети с одним источником
Задача синтеза оптимальной сети, являющаяся математической моделью проектирования оптимальных сетей по переносу вещества и энергии - распределительных сетей электро-, водо-, газоснабжения, ставится следующим образом:
З = £ fij (vij )lij ^ min (1)
ijeD
£ vj - £ vjk = gj, Vj = 0 e B; £ voj = £ g (2)
ier+ ker- jer- jeB
Vij ^ 0, Vij e D, (3)
где Г(В,D) - заданный конечный, связный, вообще говоря, двухзвенный орграф, моделирующий заданные возможные соединения узлов сети друг с другом; В,D-множество его вершин и дуг; Vij, fij, lij - соответственно искомое значение потока (тока, воды, газа) по (i,))-ой дуге сети, заданная функция удельной (на единицу длины) стоимости потока по (i,))-ой дуге, заданная длина (i,))-ой дуги. Функция fij(vij) является непрерывной, строго вогнутой, возрастающей функцией, fij(0) = 0.
В силу вогнутости целевой функции задача (1) - (3) является существенно многоэкстремальной и относится к классу NP - полных задач [1], так как любой локальный минимум задачи является базисным решением системы ограничений и, следовательно, угловой точкой транспортного многогранника (2), (3), т.е., с сетевой точки зрения, остовным деревом графа Г(В,D). Количество же остовных деревьев растет по экспоненте от количества вершин и дуг графа.
Построение функции перспективности дуг полного графа потоковой сети
В виде (1) - (3) задача построения оптимальной сети ставится математиками в результате совместной работы с инженерами-проектировщиками сетей [1-6].Вследствии этого возникает вопрос: как формируется граф Г(В,Б) возможных соединений узлов (вершин) сети друг с другом? В работах Сибирского энергетического института (г. Иркутск) СО РАН [2], одним из основных направлений деятельности которого является создание математических методов и компьютерных систем проектирования оптимальных сетей, граф Г(В,Б) называется избыточной проектной схемой. В
[2,стр.123] говорится, что «... в предельном случае такой схемой возможных соединений узлов сети может служить полный граф, но, как правило, уже на этапе задания схемы проектировщик может учесть конкретные условия и особенности объекта и отбросить подавляющее 'большинство заведомо нерациональных и просто нереальных связей».
Но дело в том, что каждый проектировщик при отбрасывании нерациональных связей и построении избыточной схемы руководствуется достаточно простыми соображениями, не использует, как правило, количественных расчетов оценивающих перспективность включения дуги (i, j) в базовый граф (избыточную схему соединений) с использованием функции затрат fij(gij).
Оценим порядок количества дуг базового графа (БГ). Полный граф содержит
n(n — 1) 2 --- дуг, т.е. количество дуг оценивается величиной ^ n . Снизим порядок на
единицу (иначе само построение базового графа лишено смысла), т.е. потребуем, чтобы базовый граф содержал mn дуг, где m — const << n. Величина m означает количество дуг, входящих в каждый узел сети. Примем 2 ^ m ^ 3. При m = 1 получаем некоторое остовное дерево полного графа сети.
Пусть имеем некоторое остовное дерево полного графа сети, то перспективность включения в него дуги (i, j) и исключения любой иной дуги из образовавшегося при этом контура, зависит от потоков по контуру, т.е., в конечном итоге, от структуры остовного дерева. Поэтому, на различных остовных деревьях перспективность (i, j)-ой дуги будет различна. Однако функция перспективности дуги (i, j) должна быть независима от структуры графа, т.е. должна включать в себя лишь потоки gi,gj и их комбинации. Единственным остовным деревом, структура которого не влияет на функцию эффективности любой дуги полного графа, является радиальное остовное дерево, т.к. в нем узлы сети непосредственно подключены к источнику. Только такой граф позволяет оценить перспективность дуги (i, j) на основе потоков gi и gj.
14
12
13
з
1
Рис. 1. Подключение узла 8 через узел 7 к сети
Тогда функция перспективности включения дуги (г,)) в БГ имеет вид:
Ф ij = fn(gi)hi + fi j (gj )li j - [fn(gi + gj )ln + fij (gj )lij ]
(4)
где gi и gj- соответственно потоки при радиальном подсоединении узлов ' и у по дугам (1, i) и (1, у) к источнику, /у(gj) - удельная стоимость потока gj по (', j) - ой дуге.
Выделение узла сети подключаемого непосредственно к источнику
В потоковой сети обязательно существует узел, который подключается непосредственно к источнику. Соответствующая ему дуга радиального остовного дерева должна войти в базовый граф. Инженерный подход состоит в том, что к источнику подключается ближайший к нему узел. Построенная нами функция перспективности (4) дает возможность выделить узел, подключаемый непосредственно к источнику, на основании количественных оценок. Это тот узел, который не выгодно подключать к сети через любой иной узел, т.е. тот на котором достигается
штшахф/]j=2,... ,п;'=2,... ,п, j = i (5)
j '
где [фу] - квадратная матрица в диагональных ячейках ' = j которой стоят нули.
Вычислим для определения этого узла значения
Ф; = шах{фг7}'=2,...,п;'=у ; У = 2,. . . , П (6)
и определим тот узел 2 ^ р ^ п на котором
ф; = ш1п{Ф} } у=2,...,п. (7)
Этот узел р и следует подключить непосредственно к источнику сети.
Поскольку распределение потоков по узлам сети происходит из этого узла р, а узел 1 есть источник потока (например, точка водозабора для водопроводной сети) то функция перспективности дуги (', у) примет вид:
ф'у = 1р^)1р1 + /ру (gj)1ру - [/р^ + gj)1р1 + /у (яу)Ы (8)
Алгоритм построения базового графа сети
Пусть задано среднее количество дуг т ^ 1 входящих в любую вершину БГ. Решение задачи построения БГ состоит из следующих этапов:
1. Определяется узел р, где 1 < р ^ п, непосредственно подключаемый к источнику. Для этого вычисляются значения функции перспективности всех дуг полного графа сети Г(,Б) и выделяется тот узел, который удовлетворяет условиям (5-7).
2. Для каждого узла у (за исключением 1 и р) вычисляются значения функции перспективности Фу (8) входящих в них дуг и выделяются среди них т дуг, имеющих наибольшие значения. Среди этих т дуг выделяются те, которые имеют положительные значения функции перспективности.
3. На БГ выделяется основное дерево наибольшего веса, с которого перспективно начинать решение задачи синтеза оптимальной сети.
Ниже представлена блок-схема алгоритма построения БГ и остовного дерева наибольшего веса сети.
Для построения базового графа и начального остовного дерева сети разработана программа для ЭВМ на языке С#.
Вычислительный эксперимент
Таблица 1.
Дуги 2-3 2-4 2-5 2-6 2-7 2-8 2-9 2-10 2-11 2-12 2-13 2-14
Длины 3,1 4-0 8Д 6,0 7:5 10,3 9,8 10,9 14,1 14,2 15,0 17,7
Проведен обширный вычислительный эксперимент для различных геометрических полных графов сетей. Ниже представлен результат построения БГ для сети, содержащей 14 узлов. Сеть соответствует оросительной трубопроводной сети колхоза
"Родина"Ставропольского края в разработке которой принимали участие сотрудники ИПМА КБНЦ РАН.
Таблица 2.
Вершивы Д}го к Ф* Верш нны Дуги к Ф;;
2 3-2 3,1 -2.994 S 7-8 3,9 3,293
4-2 4,0 -3.770 5-8 4,2 2,745
5-2 8.1 -9 Л 97 4-8 6.4 2,243
3 2-3 3.1 1,247 9 6-9 4,0 3,315
4-3 6.0 -2,557 10-9 4.0 1,285
6-3 4,7 -4,085 7-9 6,2 0,493
4 2-4 4,0 0.047 10 7-10 4,9 2,893
3-4 6,0 -3,284 9-10 4,0 2,841
5-4 4,3 -3,655 6-10 5,7 2,715
5 4-5 4,3 2 Л 43 11 8-11 4,6 5,234
7-5 5,5 -0,507 7-11 6,7 4,293
2-5 щ -0,853 10-11 6,0 3,585
6 2-6 6,0 1.247 12 9-12 4,6 5,541
3-6 4,7 0,016 10-12 4,5 5,185
4-6 5,7 -1,357 13-12 4,3 3,687
7 4-7 4,4 1.443 13 10-13 4,2 6,285
2-7 7,5 0,547 12-13 4,3 4.818
6-7 4,5 0,515 7-13 8,1 3,793
14 11-14 4.0 7,860
13-14 5,1 6,387
10-14 8,1 5,085
В табл. 2 даны рассчитанные значения функций эффективности. На рис. 2 представлен построенный БГ сети, на дугах которого указаны значения функции перспективности. На рис. 3 представлено начальное остовное дерево сети, с которого стартует метод решения задачи синтеза оптимальной потоковой сети.
Рис. 2. Базовый граф сети
Заключение
Представлен метод построения базового графа потоковой сети и начального остов-ного дерева сети, основанный на формализации инженерного опыта, его расширения и оптимизации. Впервые базовый граф строится на основе предложенной функции, оценивающей перспективность включения любой дуги полного графа сети в базовый граф. Эта функция позволяет определить и тот узел, который следует подключить непосредственно к источнику сети. Проведенный вычислительный эксперимент показал перспективность использования метода при создании компьютерных систем оптимального проектирования потоковых сетей с одним источником.
Список литературы
[1] Михалевич В. С., Трубин В. А., Шор Н.З., Оптимизационные задачи производственно-транспортного планирования, Наука, М., 1986, 260 с. [Mihalevich V. S., Trubin V. A., SHor N.Z., Optimizacionnye zadachi proizvodstvenno-transportnogo planirovaniya, Nauka, M., 1986, 260 pp.]
[2] Меренков А.П., Сеннова Е.В., Сумароков С.В. и др., Математическое моделирование и оптимизация систем тепло-, водо-, нефте- и газоснабжения, ВО «Наука», СО РАН, Новосибирск, 1992, 406 с. [Merenkov A.P., Sennova E.V., Sumarokov S.V. i dr., Matematicheskoe modelirovanie i optimizaciya sistem teplo-, vodo-, nefte- i gazosnabzheniya, VO «Nauka», SO RAN, Novosibirsk, 1992, 406 pp.]
[3] Некрасова О.А., Хасилев В.Я., "Оптимальное дерево трубопроводной системы", Экономика и математические методы, 3:4 (1970), 427-431. [Nekrasova O.A., Hasilev V.YA., "Optimal'noe derevo truboprovodnoj sistemy", Ekonomika i matematicheskie metody, 3:4 (1970), 427-431].
[4] Сумароков С.В., "Метод решения многоэкстремальной сетевой задачи", Экономика и математические методы, 5:12 (1976), 1016-1018. [Sumarokov S.V., "Metod resheniya mnogoehkstremal'noj setevoj zadachi", Ekonomika i matematicheskie metody, 5:12 (1976), 1016-1018].
[5] Кудаев В.Ч., "Метод динамической декомпозиции синтеза нелинейных сетевых систем", Известия КБНЦ РАН, 2002, № 1(8), 18-27. [Kudaev V. Ch., "Metod dinamicheskoj
dekompozicii sinteza nelinejnyh setevyh sistem", Izvestiya KBNC RAN, 2002, № 1(8), 1827].
[6] Кудаев В. Ч., "Ранги экстремумов и структурная оптимизация больших сетевых систем", Известия КБНЦ РАН, 2016, №4(72), 15-24. [Kudaev V.Ch., "Rangi ehkstremumov i strukturnaya optimizaciya bol'shih setevyh sistem", Izvestiya KBNC RAN, 2016, №4(72), 15-24].
Для цитирования: Багов М.А., Скорикова Л. В. Алгоритм построения базового графа задачи синтеза оптимальной потоковой сети // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2018. №4(24). C. 158-165. DOI: 10.18454/2079-6641-2018-24-4-158-165
For citation: Bagov M.A., Skorikova L. V. Algorithm for constructing the basic graph for optimum flow network synthesis problem, Vestnik KRAUNC. Fiz.-mat. nauki. 2018, 24: 4, 158-165. DOI: 10.18454/2079-6641-2018-24-4-158-165
Поступила в редакцию / Original article submitted: 18.09.2018
