Алгоритм поиска приближенной композиционной модели Липшиц-ограниченной сюръективной функции Текст научной статьи по специальности «Математика»

№ 4 (52) 2014

И. С. Калинников, аспирант Московского института электронной техники, gaminot@gmail.com

Алгоритм поиска приближенной композиционной модели Липшиц-ограниченной сюръективной функции

Статья посвящена исследованию алгоритма построения аппроксимации целевой Липшиц-ограниченной сюръективной функции с использованием композиции функций из заданного множества . Функции этого множества также принимаются Липшиц-ограниченными и сюръек-тивными . Рассматривается переборный алгоритм решения задачи, затем предлагается схема его оптимизации . Алгоритмы применяются к тестовой задаче, состоящей в исследовании распределения степеней вершин в модели топологий Mesh-сетей .

Ключевые слова: функциональная аппроксимация, композиционные модели, метрический поиск, Mesh, радиосети, сетевые топологии .

введение

Использование различных видов функциональных аппроксимаций играет значительную роль в областях информатики, связанных с первичной обработкой данных эксперимента или имитационного моделирования, а также в области автоматического формирования математических моделей. Одним из практически применяемых видов функциональных аппроксимаций являются композиционные модели (например, [1, 2]), т. е. аппроксимации, получаемые за счет композиции отображений. Данный вид функциональных аппроксимаций дает ряд востребованных на практике возможностей: подбор произвольной системы функций для приближения, построение аппроксимации при наличии малого количества исходных данных или данных с погрешностями, представление аппроксимации в аналитической форме. Применение композиционных моделей ограничено высокой вычислительной сложностью их построения в общем случае. В данной работе рассматриваются возможности оптимизации поиска приближенных композиционных моделей (представляющих исходную зависимость с погрешностью) в частном,

но сохраняющем практическую важность случае.

Процессом поиска приближенной композиционной модели длины п для заданной функции f по множеству функций F = {д1 }= будем называть процесс минимизации метрики д, (...д,)) по множеству индексов I = {(/1,..., /п)\11 п"е {0,...,т}}, который не гарантирует нахождения строго оптимального решения. Будем полагать, что f и функции из F — это отображения [0,1] ^ [0,1], Липшиц-ограниченные и сюръективные. Под Липшиц-ограниченностью функции ф понимается существование L такого, что для любых х1, х2 из области определения функции выполняется |ф(х1) -ф(х2)| < L|x1 - х2|.

В статье рассматриваются возможности оптимизации случайного (переборного) поиска приближенной композиционной модели в множестве индексов I за счет неравенств треугольника и ограничений, связанных с константами Липшица, функций из F и Альтернативные методы ускорения поиска приближенной композиционной модели, основанные на аппроксимации специальными видами функций или параметрической оптимизации [1], имеют ряд существенных ограничений. Предлагаемый алгоритм оптимизированного случайного поис-

№ 4 (52) 2014

journal of appued informatics

ка сравнивается с алгоритмом случайного поиска на примере двух зависимостей f, для которых строятся композиционные модели. Исходные зависимости f строятся на основе данных имитационного моделирования, реализуемого программой NPART [3], и представляют экспериментальные данные из области моделирования топологий Mesh-сетей [2, 4]. В результате для данных имитационного моделирования получается описывающее их аналитическое выражение, которое может быть использовано в расчетах и программном обеспечении.

Метрический поиск

В качестве метрики на множестве из композиций и целевой функции будем рассматривать метрику qG (f, g) = max x eG|f( x) - g( x)|, соответствующую задаче приближения функции в точках определения. Также примем, что во множестве функций, по которому строится композиционная модель (F), содержится тождественное отображение g0(x) = id(x) = x, что позволяет в ходе поиска находить композиционные модели длины менее п. Множество, в котором выполняется поиск, включает все неэквивалентные n-кортежи индексов функций из F:

U = u("=o((0..0,j.......jn)\gh+1.....gn e F/{go}}.

Эквивалентными считаются ко ртежи, отличающиеся исключительно размещением нулевых индексов, соответствующих тождественному отображению. Каждый кортеж индексов i = (i1,...,in) соответствует композиции функций g: (...g, ), которую обозначим

'l ' n

далее Cmp(i,F). Нулевые индексы в составе кортежа не учитываются в его длине, поэтому далее будем использовать m-кортежи,

т < п, имея в ввиду п-кортежи длины т, расширенные нулями слева.

Введем соответствующий целевой функции f кортеж и обозначим его *, при этом будем считать, что Стр(*, F) = f. Тогда множество, на котором определяется метрика — иоХ, = и и {*}, а метрика — це (/ еиех1, у еиех1) = = qG(Стр(,, F),Стр(у, F)). Полученное представление позволяет полностью описывать поведение алгоритма относительно элементов иехР не прибегая к функциям. Через L¡ обозначим константу Липшица функции д, еР, а через Lf константу функции Липшица f. Под сеткой будем понимать упорядоченную последовательность узлов б = {х,1 х1 е [0,1], х1 > х/-1} заданной длины О. Максимальный шаг между двумя различными сетками б1 и б2 определяется как

D(G1,G2) = max

x eGi

min

eG0

\X: - X:

При практическом применении поиска целевая функция f задается таблицей значений на сетке б с погрешностью е в точках задания. Задание f с погрешностью означает наличие погрешности определения значений метрики, поэтому вместо метрики будем рассматривать верхнюю ц+: и2х ^ [0,1] и нижнюю ц-: ^[0,1] ее оценки. Действительное значение метрики у всегда лежит между верхней и нижней границами ц- < ц < ц+. При этом, если не учитывается погрешность вычислений, то выполняя оценку метрики по сетке б, можно получить следующие равенства для ц-, ц+ (см. (1), (2)).

Таким образом, характерное значение погрешности для расстояний вида ц(/, *) равно ц+ (/, *)-ц"(/, *) > 2^. Поскольку расстояния такого вида являются ключевыми

Ц-(i, j) = ■

max

max(max x

\Cmp(i, F)- Cmp(j, F)|,(i, j * *) j

|Cmp(i, F) - Cmp(j, F)| - ef ,0),(i = *) v (j = *)J

(1)

Ц+ (i, j) = ■

min(max x

Ц (i, j),(i, j * *) j

, |Cmp(i, F) - Cmp(j, F)| + ef, 1),(Z = *) v (j = *) j

(2)

50

ПРИКЛАДНАЯ ИНФОРМАТИКА /-

' № 4 (52) 2014

для поиска композиционной модели, будем считать, что точность поиска фиксируется изначально и составляет не более се,, где с > 2.

Процесс поиска в описанной постановке задачи заключается в последовательном (или случайном) выборе элементов / е и, оценке расстояний т(/, *) на сетке G (изначально все расстояния имеют оценки ц+ = 1, ц- = 0) и уточнении лучшего достигнутого результата. Учитывая, что оценки значений метрик сохраняются, процесс поиска можно представить как смену последовательности состояний, каждое следующее из которых не «хуже» предыдущего. Процесс поиска проходит набор состояний в = Ц ,}(л=0, каждое из которых определяется полученными оценками метрик ц± и оценивается функцией качества состоя -ния W : в ^ ^. В качестве функции состояния используем функцию

W(s!) = £ (ц+ (у,*)-ц" (у,*)).

j еи(се, )

При этом

тп+1 - 1

w(So) = I иех1 I -1 = —— а W(sм) = ¡се,, т — I

где Г — количество композиционных моделей, для которых с точностью се, не может быть осуществлен выбор лучшей. Множество

и(се,, ^) = {У е и I ц" (у, *) + се, < тт^(ц+ (Г, *))}

представляет набор «перспективных» композиционных моделей на каждом шаге работы алгоритма. Функция качества состояния W(s() оценивает не только минимальность достигнутого значения, но и степень «иссле-дованности» множества поиска и.

Функция, которая определяет качество работы алгоритма на промежутке между состояниями s( и sу, задается следующим образом:

' *у>- у-1-'

£ ^ sf+1)

Г=/

где ^ sf+1) — количество вычислений, необходимое для смены состояний.

Для рассмотрения возможностей оптимизации алгоритмов поиска приближенной композиционной модели опишем простейший алгоритм — алгоритм случайного поиска или последовательного просмотра в пространстве U.

Алгоритм 1. Случайный/последовательный поиск в пространстве U.

1. Выбрать элемент i е U(cef, s,), проверить, что |±(/, *) не оценивались. Если оценивались, повторять шаг 1 до исчерпания времени работы или элементов.

2. Вычислять (/, *) на сетке G либо до исключения из U(cef, s,), либо до завершения вычисления.

3. Вычислить (/,*), обновить ограничение на принадлежность элементов U(cef, s+i) (исключить элемент i и/или уменьшить minjeUЦ (j, *))).

4. Определить текущий лучший вариант композиционной модели как элемент j е U, на котором достигается minjeU(|+ (j, *)).

5. Перейти к шагу 1, сменив состояние на si+1, если время работы алгоритма не исчерпано и не достигнута точность, большая или равная cef.

Основной вычислительной сложностью для подобного алгоритма является оценка значений метрик по сетке G. Простейшим способом оптимизации является ограничение значений метрик, исходя из неравенства треугольника и неравенств, определяющих константу Липшица. Данные вычисления являются менее затратными, но могут изменять функцию качества состояния ll(s) и, улучшая характеристику H(s,, s) для алгоритма, ускоряют нахождение подходящей композиционной модели.

В соответствии с неравенством треугольника оценки метрики |±(/, j) могут быть ограничены следующим образом:

1+ (/, j) = min(1, minke_Uet (|+ (/, k) + |+ (k, j))), что следует из условия Vk e Uext |(/, j) < |(/, k)+|(k, j) < |+ (/, k)+1+ (k, j);

-n journal of applied informatics

№ 4 (52) 2014 ' -

= max(0,iriaxk

Ц(/, j) =

и (max(^"(/, k) -Ц+ (k, j);

ц(у, к) -ц+ (к, /)))), что следует из условия

Ук е ^^ц(/, У) > > тах(ц(/, к) - ц(к, у),ц(у, к) - ц(/, к)) > > тах(ц(/, к) -ц+ (к, у),ц(у, к) -ц+ (к, /)).

Неравенство треугольника является основой большинства оптимизаций поиска в метрических пространствах [5, 6], однако ввиду отсутствия линейно зависимых от объема множества поиска предвычис-лений в рассматриваемой формулировке задачи описываемые выражения не позволяют оптимизировать поиск по сравнению с алгоритмом 1. Данное утверждение легко доказать, исходя из того, что ограничение на расстояние вида (/, *) может быть получено только на основе оценок расстояний (/, *) и (/, у), при этом требуется затратить ресурсы на вычисление расстояния (/, у), в то время как они могут использоваться для непосредственной оценки расстояния (/, *).

Поиск с учетом структуры элементов

Если кроме ограничений значений метрики, определяемых неравенством треугольника, рассмотреть структуру каждого элемента из и и основываться на неравенстве для константы Липшица каждого отображения, можно получить дополнительно следующие оценки для метрик:

V, е {1.....т}ц±((/1...../ Д(у.....т ,,)) =

= Ц±/'mi),(V.. jm2)) ±

D(G,gt (G)) l l ^

' П Lgi, +П L9!

2

если т1, т2 < п;

V, е {1.....т}ц+ ((,, 1.....ц),(,, у.....у^)) =

= Ц ц+ ((/1,..., im1), (У1,..., УтД если т., т2 < п;

V, е {1,...,т}, если д{ монотонная функция, тогда

ц«^ /1,..., ЦМ^ у1,..., ут2)) =

= Ц"(('1,..., m),(УV..., Уm2)), если т1, т2 < п.

Необходимо учитывать, что если для расстояния между парой элементов (/, у) можно построить несколько оценок ц±(/, у), ц±(/, у), то верны оценки ц+ (/, у) = min(ц+ (/, у), ц+ (/, у)) и ц"(/, у) = тах(ц1(/, у), ц2(/, у)).

Рассмотрим возможность оптимизации работы алгоритма 1 с использованием данных неравенств. Для этого проанализируем шаги вычислений, приведенные на рис. 1. Алгоритм случайного или последовательного поиска (алгоритм 1) поочередно вычисляет оценки для расстояний вида ц(/, *). За п шагов работы алгоритма 1 добавляется п оценок, влияющих на функцию состояния поиска 1/У(в). Алгоритм, использующий полученные ранее неравенства, может выбрать пару (/ = (/1...../,),у = (у1.....у5)) коротких ,,э < п

композиций и вычислить расстояние ц± (/, у) между ними, что неэффективно с точки зрения данного шага, так как 1Ж(в) не изменится. Далее, основываясь на вычисленном расстоянии, можно дать оценки расстояний вида:

ц(/ ° Р = (/1...../,, Р1.....Рк),

уо Р = ( у1.....у{, Р1.....Рк))

— за счет использования структуры элементов /, у и особенностей метрики;

ц(Р о / = (Р1.....Рк,/1...../,),

Ро у = (Р1.....Рк, у1.....ув))

— за счет оценки через константу Липшица и обратную константу минимального изменения /4 для монотонных функций.

Здесь и далее по тексту знак «о» обозначает конкатенацию наборов индексов в рамках допустимой длины п. При вычислении описанных оценок не изменится, а качество оценок будет значительно падать с возрастанием длины набора р. Однако далее алгоритм может вычислить расстояния

№ 4 (52) 2014

(п - 1 штук) между парами элементов следующего вида: (*, /); (*, ( о р/у о р); (*, ( о (/р о у), а за счет использования неравенства треугольника оценить расстояния между следующими парами элементов: (*, у/ /); (*, у о р/ / о р); (*, р о у/ р о /), (см. рис. 1).

Описанная возможность действует для любых р и не зависит от смены /, у в вычисляемых и оцениваемых расстояниях. При выполнении п шагов работы алгоритма, рассматриваемого в данном примере, будет произведено непосредственное вычисление п - 1 расстояний, влияющих на W(s), и вычислено п - 1 оценок, каждая из которых также уменьшает W(s). При подходящем выборе элементов /, у, р и числа шагов вычисления п оценка уменьшает W(s) больше, чем непосредственное вычисление одного расстояния (вместо которого производилось вычисление ц±(/, у)), приводит к улучшению характеристики Н(^, si+n) алгоритма. Может быть достигнута и большая оптимизация целевой функции, если изначально проводится более одной оценки расстояния между парами элементов вида (/, у), /, у ф *. Рассмотренный пример показывает, что описанные неравенства пригодны для повышения производительности алгоритма построения композиционной модели.

Рассмотрим поисковый алгоритм, в котором используется описанный принцип для улучшения значения целевой функции эффективности алгоритма Н^,, s¡+n).

Алгоритм 2. Поиск с предвычислением. 1. Определить объем предвычислений. Для этого определяется максимальное п, такое, что

t

limit

N(1)

N (2(np+1))-1 N(np+1) - N(1)^

2(N(1) 1) N(2) 1

N(1)-1

где tijmtt — предельное время, которое можно затратить на предвычисления, tcalc — среднее время вычисления значения метрики между композиционными моделями с точностью се(, N(i) = (IFII -1)1 — количество композиционных моделей длины п.

Правая часть неравенства представляет оценку количества расстояний, которые необходимо вычислить между всевозможными композиционными моделями длины менее n. Проводится оценка соответствующих расстояний, |±(t = 01.....ts), j = (j.....jt)), s, t < Пр

и сохранение полученных значений.

2. Кластеризовать агломеративным алгоритмом complete-link [7] на основе вычисленных значений расстояния композиции, для которых были проведены предвычисления.

3. Выбрать случайно элемент i е U(cef, si), проверить, вычислялось ли |±(i, *) непосредственно. Если вычислялось и не исчерпано время поиска, то повторить шаг 3, в противном случае завершить выполнение алгоритма.

4. Вычислять |±(i, *) на сетке G либо до исключения из U(cef, s), либо до завер-

- Непосредственная оценка метрики

---Оценка метрики через неравенства, ограничивающие константу Липшица, и т.д.

--Оценка метрики через неравенство треугольника

Рис. 1. Шаги вычислений алгоритма поиска (слева — алгоритм 1, справа — алгоритм, использующий полученные неравенства)

53

t

caic

№ 4 (52) 2014

JOURNAL OF APPLiED INFORMATICS

Таблица 1

Настройки программы NPART и исходные зависимости для построения композиционных моделей

Генерация на основе исходных данных NPART Berlin Генерация на основе исходных данных NPART Leipzig

Размеры модельного поля: 500 х 500 Размеры модельного поля: 500 х 500

Узлов: 50 Узлов: 50

Радиус ведения связи:100 Радиус ведения связи: 200

Топологий использовано: 50 Топологий использовано: 50

Использование метрики качества с условными распределениями Использование метрики качества с условными распределениями

Попыток на вершину: 100; штраф: 5; вес в метрике качества: 1 Попыток на вершину: 100; штраф: 5; вес в метрике качества:1

Распределение степеней вершин — функция fs/c П 2 _ Распределение степеней вершин — функция f[c 0 18 _

^Е П ,18 ° П, 16 § 0,14 ® 0,12 ш i п,1 £ П,П8 g П,П6 ^ П,П4 0,02 У ¡Е 0,16 1 0, 14 § 0,12 Ci <D ï 0,1 1 0,08 ¡5 0,06 ■= 0,04 0,02

\ /

Y \

V 1 \ N.

А, v

ч \

s____ s\ ___

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 : Степень вершины 20 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 I Степень вершины 20

шения вычисления. Обновить ограничение н(б1, sj) для описанных алгоритмов в рамках

общих предположений не представляется возможным, то сравнение эффективности алгоритмов проводилось экспериментально на примере двух различных тестовых задач, которые рассмотрим далее.

на принадлежность элементов U(cef, б,.., а также текущий лучший вариант композиционной модели, если это требуется. 5. Найти элемент (ех1, принадлежащий

некоторому кластеру С((ех,) (набор кластеров получен на шаге 2), такой, чтобы за счет элементов данного кластера и описанных ранее неравенств для оценок метрики можно было дать оценки для расстояний вида (¡, *),} е С((ех1). Полученные оценки расстояний (¡,*) использовать для обновления множества и(сг,, б(+1). Выполнение шага 5 может проводиться несколько раз в зависимости от правил выбора (ех1.

6. Проверить, достигнута ли точность композиционной модели, большая или равная сг,. Если не достигнута и время выполнения поиска не закончилось, то перейти к шагу 3, сменив состояние поиска на б(+1.

Поскольку аналитически сравнить математические ожидания значений функций

Экспериментальный анализ эффективности алгоритмов

В качестве тестовых задач рассматриваются различные распределения степеней узлов в компьютерных Mesh-сетях [2, 4]. Топологии Mesh-сетей для построения эмпирической функции распределения получаются с использованием инструмента NPART1 [3], функционирующего в различных режимах.

1 Программа генерации топологий беспроводных Mesh-сетей NPART свободного доступна по URL: https: //www.rok.informatik.hu-berlin.de/Members/milic/ NPART.

54

№ 4 (52) 2014

Полученные эмпирические распределения масштабируются линейным сжатием в [0,1] ^ [0,1]-отображения, для которых и выполняется построение композиционной модели. Приведем параметры программы NPART, виды моделей распределения узлов, графики функций распределения степеней узлов, которые далее будут рассматриваться как экспериментальные зависимости f.

Для построения композиционной модели применялось следующее множество функций

F = {х, 1-х,

ех -1 е х - е

е -1 1-е~

х

4Х,

1од(1 + х) , х1/з

, X , х ,

1од(2) ' ' ' х (1,2 - х)

х

2х

, 4х(1 - х),

0,36

2| х - 0,5|

2 - х 1 + х |х -0,75 х 1од(1 + х)

0,75

1од(2)

^, (1-х)е-х}.

е

Длина композиционной модели устанавливалась равной п = 7. Приведем графики зависимостей H(s0,sj) для алгоритмов 1 и 2, графики целевых функций

Г = а(Г (гх + 5!)) + 1Г = = а2 (4^° (у 2 х + 52)) + р2,

а также графики полученных композиционных моделей.

Полученные композиционные модели (см. табл. 2) дают погрешность, допустимую для использования в качестве функции распределения для генераторов случайных значений степеней вершин, для аналитического расчета характеристик топологий, определяемых распределением степеней вершин. Однако можно заметить, что подобный порядок точности может быть достигнут при более коротких композиционных моделях п = 4,5, а повышение точности на более

длинных композиционных моделях может быть достигнуто только при коррекции системы функций F.

Несмотря на недостатки построенных моделей, полученные результаты (см. табл. 2) показывают большую эффективность алгоритма 2 по сравнению с алгоритмом 1 как на основе выбранной функции качества работы алгоритма Н, так и по времени достижения наилучшего результата приближения. Таким образом, учет структуры композиционных моделей, а также свойств составляющих их отображений позволяет в 5-10 раз повысить эффективность работы алгоритмов поиска приближенных композиционных моделей по сравнению со случайным поиском.

Заключение

В статье рассмотрен вопрос поиска приближенной композиционной модели для заданного Липшиц-ограниченного отображения. Для поиска приближенной композиционной модели может использоваться ряд методов полиномиальной сложности, но со значительными ограничениями по применимости. Методологией, лишенной ограничений по виду отображений, длине композиционной модели (за исключением вычислительной сложности) и подобному, является метрический поиск, однако в отсутствие предвычислений он становится прямым перебором вариантов. Анализируя структуру композиционной модели и накладывая на составляющие ее функции из F ряд ограничений, например Липшиц-ограниченность и сюръективность, можно получить более быстродействующие алгоритмы, пригодные для решения широкого класса практических задач. В статье рассмотрено одно из возможных применений разрабатываемых методов для приближения распределения степеней вершин в топологиях компьютерных Mesh-сетей. Примеры других областей, в которых могут быть востребованы подобные методы, приведены в [1, 2].

55

№ 4 (52) 2014

journal of appued informatics

Таблица 2

Сравнение алгоритмов построения композиционных моделей

Зависимость H(s0, s) для алгоритмов 1, 2

-- Алгоритм 1 Алгоритм 2

ч

1 0 0,5 1 1,5 2

Время, мс

Для приближения

3 x 101

-- Алгоритм 1 Алгоритм 2

\ V \ ч

1 0 0,5 1 1,5 2

Время,мс

Для приближения ^

2,5 3

x 10е

Композиционная модель, полученная алгоритмами 1, 2, и исходная зависимость .

Для приближения

Для приближения ^

Погрешность и формула композиционной модели, полученные алгоритмами 1, 2

!+ = 0,124, | = 0,084

= ИМ, ч = (1-x x, f3 = i-x, U = xf5 = ^ 1 log(2) 3 4 5 e1

Г (x )~ <5 (( f f ((3 ((2 (( (x

|+ = 0,117, | = 0,076

f rf e-x - e-1 . 2x . \x - 0,75|

f Wx, f2 =-r-, f3 =-, f4 =J-L

1 ^ ' 2 1-e-1 3 1 + x 4 0,75

fsc (x)~ <2 ((4 f f ((3 ((2 ((1 (x; ""

Зависимость «лучшего» от времени работы алгоритмов 1, 2 для функции f2

0,14 0,138 0,136 0,134 0,132 0,13 0,128 0,126 0,124

Алгоритм 2 --- Алгоритм 1

- _ ^

\ \

\ \ \

\ \ \ \

--- \

V *

0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 Время, мс x 104

56

12

№ 4 (52) 2014

Список литературы

1. Лабутин С. А., Пугин М. В. Анализ сигналов и зависимостей: учеб. пособие. Н. Новгород: Нижегородский гос. тех. ун-т., 2001. — 158 с.

2. Калинников И. С. Декомпозиционное представление в моделировании компьютерных радиосетей с динамической архитектурой // В мире научных открытий. 2013. № 7 (43). С. 297-320.

3. Milic B, Malek M. NPART — Node Placement Algorithm for Realistic Topologies in Wireless Muiltihop Network Simulation — Proceedings of the Second International Conference on Simulation Tools and Techniques — 2009. URL: http://edoc.hu-berlin.de/ series/informatik-berichte/224/PDF/224.pdf.

4. Akyildiz I. F., Wang X, Wang W. Wireless mesh networks: a survey — 2004. P. 43.

5. Chavez E., Navarro G., Baeza-Yates R., Marro-quin J. L. Search in metric spaces — ACM Computing Surveys. Vol. 33. 2001. № 3. P. 273-321.

6. Zezula P., Amato G, Dohnal V., Batko M. Similarity search: The metric space approach — Springer. 2006. — 220 p.

7. Manning C. D, Raghavan P., Schütze H. Introdunc-tion to Information Retrieval. Cambridge University Press — 2008. URL: http://www-nlp.stanford.edu/ IR-book/.

8. URL: http://www.ece.gatech.edu/research/labs/bwn/ surveys/mesh.pdf.

I. Kalinnikov, Graduate Student of National Research University of Electronic Technology, Moscow, gaminot@gmail.com

An algorithm for searching approximate compositional model of Lipschitz bounded surjective function

The paper is devoted to analysis of algorithm to create functional approximation for the target Lip-schitz-bounded surjective function via a composition of functions from a given set. The direct search algorithm is introduced at first, then the possibilities of optimization are discussed. After that an optimized algorithm is built. Obtained algorithms are compared on the problem of approximating Mesh network node degree distribution.

Keywords: functional approximation, composition models, metric space search, radio Mesh networks, network topology.