CC BY
37
С • £ Г в, ) Л
УДК 630.383
А.В. Скрыпников, Е.В. Кондрашова, Т.В. Скворцова
АЛГОРИТМ ПОИСКА ОПТИМАЛЬНОГО ТРАНСПОРТНОГО ПЛАНА С ОПТИМИЗАЦИЕЙ ВЫВОЗКИ
ЛЕСОПРОДУКЦИИ
Разработан алгоритм поиска оптимального транспортного плана при вывозке лесопродукции из лесозаготовительных районов, отличающийся учётом фактического состояния лесовозных дорог. Составлена прогнозная модель удельной стоимости лесопродукции, отличающаяся учетом минимальных суммарных затрат.
Ключевые слова: лесопродукция, вывозка, оптимальный маршрут, удельная стоимость.
A.V. Skrypnikov, E.V. Kondrashova, T.V. Skvortsova
ALGORITHM FOR THE OPTIMUM TRANSPORT PLAN SEARCH FOR FOREST PRODUCT REMOVAL
OPTIMIZATION
The algorithm for the optimal transport plan search when removing forest products from the forest areas which is notable for considering the forest road actual state is developed. The forecasting model of the forest product unit cost, which is notable for considering the minimum total costs is made.
Key words: forest products, removal, optimum route, unit cost.
Сеть автомобильных дорог имеет сложное начертание, связывает между собой населенные пункты, лесосырьевые базы, лесоперерабатывающие предприятия. Участки дорожной сети имеют различные транспортно-эксплуатационные показатели (ширина проезжей части, укрепление обочин и т.п.). В ходе решения задачи поиска оптимального транспортного плана необходимо рассматривать сеть лесовозных автомобильных дорог как единую целостную систему, в которой величина Р представляет множество населенных пунктов, мест пересечения дорог, границ участков дорожной сети, находящихся в различном транспортноэксплуатационном состоянии; К - множество лесосырьевых баз; \|У - множество перерабатывающих предприятий. Объект заготовки древесины в зоне действия сети дорог представлен точкой ъ. Элементы множеств Р,К,^Р и точка ъ образуют множество X сообщающихся между собой точек
Х= ; реР,кеК,у еЧЛ (1)
Множество всех отрезков (отдельный участок) дорог, соединяющих между собой сообщающиеся точки, представлено величиной и. Тогда сеть лесовозных автомобильных дорог с обозначенными на ней районами лесозаготовок, перерабатывающими предприятиями представляет плоско неориентированный граф О — и (рис. 1). Элементы множества Х^, Х£, •••, хп являются вершинами, а элементы
множества иСь 42, •••> ип - ребрами графа О . Такое ребро определяется через вершины графа
ик = Сьх] 1 = = у (2)
Рис. 1. Фрагмент графа сети лесовозных автомобильных дорог района в Республике Коми
Каждая вершина характеризуется степенью ё, то есть числом ребер, к которым она принадлежит. Степень вершины обозначена ф. Ребрам графа присвоены количественные значения, которые характеризуют удельную стоимость доставки груза между смежными вершинами Xj и х j. Эта величина называется весом ребра Су 4.Ф ] . Тогда общие удельные затраты на перевозку лесоматериалов Су ^1
представляют собой последовательность ребер ...,11^ с общими затратами (весом), рав-
ными транспортным расходам (весов) всех ребер, входящих в маршрут Г|. Задача поиска минимальных удельных затрат на доставку груза от поставщика на предприятие записывается в виде
СО І^ Су ->шіп.
(3)
Для ее решения использован метод Данцига, суть которого состоит в том, что каждой из вершин графа х^ присваивается индекс , который представляет собой минимальные удельные затраты на
доставку груза от одной точки до некоторой точки х0, принятой за начальную и имеющую индекс М^0 3= 0. Алгоритм расчета индексов включает процедуру прямого перебора всех вершин графа, анализ индексов смежных вершин и выбор минимального из них.
Міі
тіп 2
0<п<і
0<І<п*і
С<
п,ХУ
(4)
где х п, х j - все смежные вершины на каждом шаге расчета;
С^п^ - удельные затраты на доставку груза между ними.
Удельные затраты на перевозку лесоматериалов между смежными вершинами определяются грузоподъемностью используемых автопоездов, протяженностью участка и средней скоростью. Скорость автопоезда на участке зависит от загрузки его движением, состава транспортного потока и сцепных качеств покрытия.
Оптимальный маршрут движения автотранспорта обеспечивает минимальные затраты на перевозку лесных грузов между двумя любыми выбранными вершинами графа. Предлагаемый алгоритм имеет ряд преимуществ перед другими методами: информационно-структурная гибкость, позволяющая рассматривать сеть любой размерности и динамично определять расстояние, скорость транспортных средств и транспортные затраты на доставку груза с учетом транспортно-эксплуатационного состояния участков лесовозных
автомобильных дорог, возможность графического описания транспортной схемы и представления дорожной сети в системе управления базами данных.
На основании выполненных исследований можно сделать вывод, что при оптимизации транспортных перевозок следует стремиться к увеличению грузоподъемности автомобилей, выбору наиболее короткого маршрута движения и повышению средней скорости движения транспортных средств за счет использования наименее загруженных движением лесовозных автомобильных дорог с высокими транспортноэксплуатационными показателями (твердое покрытиее, хорошая ровность, широкая проезжая часть, укрепленные обочины). Оптимизация маршрута возможна методом Данцига с помощью теории графов.
Изменение удельной стоимости транспортных работ Са (1) описывается параболической функцией
С ат (0 = аТ 2 + ЬТ + с, (5)
где а, Ь, с - коэффициенты уравнения, определяющиеся методом наименьших квадратов по исходному ряду за период не менее 4-5 лет с установившейся закономерностью изменения транспортных затрат. Значения коэффициентов, полученные путем обработки данных за период 2000-2010 годов, приведены в таблице 1.
Исследования зависимости удельных транспортных затрат от дальности перевозки грузов в ценах
2005 года показали, что она имеет случайный характер
С ат = аЬ + Ь, (6)
где С ат - удельные транспортные затраты, руб/т;
Ь - дальность транспортировки лесоматериалов, км; а и Ь - коэффициенты линейного уравнения зависят от вида груза (табл. 2).
Таблица 1
Значения коэффициентов уравнения (5) за период 2000-2010 годов
Дальность перевозки грузов, км а Ь с
10 0,0420 1,0574 27,1380
20 0,1145 1,4259 51,9940
30 0,0771 3,4301 71,1360
50 0,2001 4,2163 110,230
60 0,0897 6,7088 118,770
75 0,1176 7,8570 139,240
100 0,1716 9,6681 173,660
150 0,1234 11,5712 208,08
200 0,1923 12,7123 245,78
Таблица 2
Значения коэффициентов уравнения (6) в ценах на 1-й квартал 2005 г.
Класс груза а Ь
Колотые 2,7155 17,484
Измельченные 3,3659 21,462
Пиленые 4,3968 28,315
Круглые 5,3076 33,532
Для обоснования оптимальной грузоподъемности автопоездов выполнен анализ зависимости стоимости эксплуатации автопоезда от его грузоподъемности [1]. Исследования показали, что с увеличением грузо-
подъемности G стоимость эксплуатации автопоездов возрастает по зависимости (7). Коэффициент корреляции равен 0,87.
Сат =217,991п<}> 91,739. (7)
Для повышения надежности принимаемых организационных решений представляется перспективным прогнозирование стоимости лесоматериалов выполнять в пределах доверительного интервала с заданным уровнем надежности. Такой подход позволяет снизить степень риска, связанного с непредвиденным увеличением транспортных затрат. На основании статистической обработки центрированных значений стоимости лесоматериалов и транспортных затрат относительно выявленных трендов нами установлено, что отклонения стоимости №) - случайные относительно параболических зависимостей (5) и (6) и распределяются по нормальному закону
Г"Л2
1
с<3сср<
ГС>-----------я° > , (8)
с ^ л/ 2 тс
где f(C) - стоимость в 1-й момент времени;
- стоимость в 1-й момент времени согласно выявленного тренда (5) или (6);
ас - среднее квадратичное отклонение стоимости относительно установленного тренда.
Проверка гипотезы нормальности распределения центрированных значений стоимости осуществлялась с помощью критерия Колмогорова-Смирнова. Для всех фактических выборок фактическое значение критерия изменяется от 0,78 до 0,82 и не превышает допустимого значения.
Выполненные исследования позволили предложить вероятностную модель прогнозирования удельных затрат для конкретного лесозаготовительного района на основе мониторинга и статистической оценки характера изменения удельной стоимости лесоматериалов:
Спр(0 = (аТ2 + ЬТ + с)±Фрстпр, (9)
где С^р (0 - прогнозируемая на период транспортировки, с заданной надежностью Р, стоимость лесо-
материала;
Фр - нормируемое отклонение;
Одр - среднее квадратичное отклонение ошибки прогноза стоимости ресурса;
а, Ь, c - коэффициенты, определяющиеся методом наименьших квадратов путем обработки исходного материала с устойчивой тенденцией изменения стоимости за предшествующие 4-5 лет.
Исходный для прогноза ряд стоимости лесоматериалов C м формируется для принятой транспортной схемы перевозки лесоматериала в хронологической последовательности. Расчет удельной стоимости лесоматериалов выполняется с учетом транспортных и погрузо-разгрузочных работ [1] по формуле
C м (t) = Co(t) + C тр (t) + C н (0, (10)
где C м (0 - стоимость лесоматериала в момент времени !;
м
^ (0 - отпускная стоимость лесоматериалов;
C тр (0 - транспортные расходы на перевозку лесоматериала с погрузо-разгрузочными работами;
c „ (О - наценка организаций снабжения и сбыта.
Среднее квадратичное отклонение апр фактической сметной стоимости лесного груза относительно установленного тренда определяется по формуле
°пр
у ( с' с с '
^ \гм * > ^пр " >У
--------------------—, (11)
П
где Cnp (t) - стоимость лесного груза, рассчитанная по формуле установленного тренда в момент времени (0;
п - количество членов исходного временного ряда стоимости лесного груза.
Так, сметная стоимость лесного груза подчинена нормальному закону распределения, ее значение в любой момент времени заготовки и перевозки ! колеблется в пределах доверительного интервала
С^<>ФрЯпр йС^ОС^рО-ФрСпр. (12)
Предложенная математическая модель прогнозирования удельных затрат на ресурсы (9) позволяет, с заданным уровнем надежности, описать динамику изменения стоимости лесного груза и энергоресурсов в период заготовки и перевозки, выработать оптимальные организационные мероприятия с целью снижения стоимости перевозки.
При оптимизации графика вывозки лесоматериалов необходимо учитывать: интенсивность потребления; транспортную схему вывозки лесных грузов и эксплуатационное состояние лесовозных автомобильных дорог; сложившуюся ценовую ситуацию на рынке лесопродукции и транспортных услуг.
Функция ^) представляет собой прогноз удельной стоимости лесопродукции на предстоящий период заготовки или вывозки ^. Период заготовки и вывозки ! изменяется от 0 до ^. С целью разработки универсальной математической модели время ! представим в виде относительного времени вывозки ! = ^ ^. Удельная стоимость лесопродукции включает в себя затраты на заготовку ^ (0, транспортные расходы и затраты, связанные с погрузо-разгрузочными работами ^ p (0.
сОСоС+СтрОСп-рС оз)
Предположим, что график вывозки лесоматериалов на лесозаготовительное предприятие описывается непрерывной функцией у(0. Приращение функции в единицу времени ду(0 есть не что иное, как интенсивность вывозки лесопродукции за период . Поскольку вид определяется параболической функцией а;о , «траектория», или график, вывозки будет представлять собой некоторую параболу вида
У<>а2+Л1 + У0, (14)
где С,, г\ - соответственно коэффициенты уравнения, характеризующие интенсивность вывозки лесопродукции.
Представляется целесообразным производить вывозку лесопродукции как можно меньше по наименьшей стоимости материалов и транспортных услуг ).
Опишем процесс изменения общей стоимости вывозки лесопродукции выражением вида
ї і ї |сОО=у— /сО
0 о
(15)
Интеграл в левой части выражает общую стоимость вывозки материалов. Правая часть формулы есть произведение всего объема поставок V на среднюю удельную стоимость поставки лесопродукции, (м3 или т).
В результате образуется система уравнений, из которой можно однозначно определить значения С, и Г|
У„=У<1
V ‘0
|сОО = — |е<3‘.
0 ‘о 0
JЧt2+лt + Vodt = v
Преобразуем второе уравнение системы (16)
^ + С + Т|1 4" Уд
= + атІ^3 + аУої2 + Ь^3 + Ьг|1;2 + ЬУ01 + с^2 + сг|1 + сУ0 =
а^4 + і3 Сг) + _з- (аі2 + Ы + с)У0 +
1
Л =
- €У0 + Ьг) + +1 ^У0 + сг| > с У0
V-з ,
1 с* . ^ 1 ^ л ^4 1
^ и ^ ' 1 -Э —-4) 3 " и I -> —-и 2
7а^о + т + ЬСІ^ + ^СУ0 + Ьг| + + ]- СУ0 + сл 2 + с\0і,
(16)
где а, Ь, с - коэффициенты уравнения (5), описывающего изменение удельной стоимости вывозки лесоматериалов на предприятие с учетом транспортных расходов и затрат на погрузо-разгрузочные работы. В левой части имеем
‘о 0
2 и ^ V і‘ + Ь‘ + с — —
г
‘о V
1 3 1^2
— а‘о + — Ь‘0 + с‘(
= V
3
а‘
2
2
Ь‘о + с
Система (16) принимает вид
Уо=^'
“аС‘о + ~ ^Л + ЬСХо + ~ ^о + ЬЛ + сС Ію + ~ + сЛІ-о + ^о‘о —
cVotо = V
1 2 1 і
— а‘ о ч—Ь‘ о
ч3 о 2 о
(17)
С 0 £ ?
/ V + л1 + ^о ^ о
Система (17) однозначно определяет неизвестные коэффициенты С, и г|. Преобразуем второе уравнение в системе (17)
0
1
1
о
с
1 1 1 ^ ^
-at!+-bt!+-ct!
1 4 1, З 1 2Л
— at„ н—Ы„ н—ct„
V
1,1
-aV0t3+-bV0t02+cV0t0
v J і
= V
1
1
— at h— bt „ + с
3
2
Для простоты вычислений введем обозначения
* 1 1,4І'?-г^І4ІіЗІ2
A =- —I—- bt n + — ctn; В = — at 0 л— bt q ч— ct q ;
C = V
5atg 4 3 4 3 2
1? 1, ^ (^1 3
- at^ + — bt^ + с - -aV^t^ + — bV^t^ + cV^t
V
3 0 2 0
= V
1 2 I u
-at0 +2bto +c
-V,
o
3 oo 2 oo ^1 з 1,2
-at0 +-bt0 +ct0
о lo
Третье уравнение в системе (17) имеет вид
^ао+^12 + уо( = у.
Получаем систему
^t0+int0+Yot„=Y
CA + цв = с.
(18)
Упрощая (18)
f2Ct3+3m0+Yoto=Y кл + г|В = С.
(19)
Теперь определяем величины С, ИТ).
с
6B^-V0t0>3Ct0 2Cto-6A^-V0t0
to<Bt0-3A^ t2 CBt0 - ЗА
Искомая «траектория» объемов вывозки лесопродукции принимает вид г - ^ .2
V<
t
T
o
6ВУ-V0t0>3Qg t2 : 2Ct;-6A^-V0t0^
V
0^0 2Bt0 - ЗА
2Bt0 - ЗА
+ Vr
І
11 <Bt0 - 3A^
«в« - V0t0 У + <ctI-6AC - V0t0 i+ v0.
(20)
Следует отметить, что задача нахождения функции V{ становится решаемой только тогда, когда указывается ее вид: многочлен и т.д.
Для решения задачи вывозки лесопродукции нами выбран в качестве V( многочлен той же группы, что и , так как в поставленной задаче обе функции тесно связаны между собой, различаясь лишь
5
4
3
3
2
характером монотонности: если удельные затраты вывозки лесопродукции монотонно возрастают, то по практическим соображениям интенсивность вывозки V( монотонно убывает.
Предложенный подход к оптимизации графика вывозки лесоматериалов позволяет определить минимальные суммарные затраты на вывозку лесоматериалов. Замена непрерывной функции V( кусочнолинейной с шагом АТ позволяет определить, с заданным уровнем надежности, объем и стоимость отдельной партии.
Выводы
1. В ходе решения задачи поиска оптимального транспортного плана необходимо рассматривать сеть лесовозных автомобильных дорог как единую целостную систему, в которой представлено множество населенных пунктов, мест пересечения дорог, границ участков дорожной сети, находящихся в различном транспортно-эксплуатационном состоянии, лесосырьевых баз, перерабатывающих предприятий.
2. При оптимизации перевозок следует стремиться к увеличению грузоподъемности автомобилей, выбору наиболее короткого маршрута движения и повышению средней скорости движения транспортных средств за счет использования наименее загруженных движением лесовозных автомобильных дорог с высокими транспортно-эксплуатационными показателями (твердым покрытием, широкой проезжей частью, укрепленными обочинами). Оптимизация маршрута реализуется методом Данцига с применением теории графов.
3. Для повышения надежности принимаемых организационных решений выполнено прогнозирование стоимости лесоматериалов в пределах доверительного интервала с заданным уровнем надежности. На основании статистической обработки центрированных значений стоимости лесоматериалов и транспортных затрат с помощью трендов установлено, что отклонения стоимости случайные относительно параболических зависимостей (5) и (6) и распределяются по нормальному закону.
4. Оптимизация графика вывозки лесоматериалов требует учета: интенсивности потребления; транспортной схемы вывозки лесных грузов и эксплуатационного состояния лесовозных автодорог; сложившейся ценовой ситуации на рынке лесопродукции и транспортных услуг.
5. Замена непрерывной функции V^ кусочно-линейной с шагом АТ позволяет при нахождении искомой «траектории» V{ объемов вывозки лесопродукции определить с заданным уровнем надежности объем и стоимость отдельной партии.
Литература
1. Курьянов В.К. Лесотранспорт как система ВАДС: учеб. пособие для вузов. - Воронеж: Изд-во ВГЛТА,
2002. - 251 с.
---------♦'----------
